信息光学中的傅里叶变换优秀课件
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信息光学课件 透镜的傅里叶变换性质
P1 p2 p3
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。
（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。
（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
信息光学中的傅里叶变换
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
F ( f x , f y )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j( f x , f y )
F( fx, fy)
( fx, fy)
2
F( fx, fy)
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f (x, y) F( fx , f y ) exp j2 ( fx x f y y) dfxdf y = F -1{F ( f x , f y )}
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
4、平移特性
F f ( x x0 , y y0 ) exp j2 ( fx x0 f y y0 ) F ( fx , f y )
F exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y) F ( fx fx0 , f y f y0 )
f (x, y)
f
f (x x0, y y0)
（1）互相关定理
F f ( x , y ) ★g( x , y ) F( fx, fy ) G( fx , f y )
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
F ( f x , f y )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j( f x , f y )
F( fx, fy)
( fx, fy)
2
F( fx, fy)
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f (x, y) F( fx , f y ) exp j2 ( fx x f y y) dfxdf y = F -1{F ( f x , f y )}
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
4、平移特性
F f ( x x0 , y y0 ) exp j2 ( fx x0 f y y0 ) F ( fx , f y )
F exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y) F ( fx fx0 , f y f y0 )
f (x, y)
f
f (x x0, y y0)
（1）互相关定理
F f ( x , y ) ★g( x , y ) F( fx, fy ) G( fx , f y )
《傅里叶光学》课件
傅里叶光学在图像处理领域的应用，如图像滤波 、增强、识别等。
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅立叶光学(信息光学)_课件
1 x>0 Step（x）= ½ x=0
0 x<0
step(x)
1
0
step(x-x0),间断点移到x0处
x
二、符号函数：描述某孔径一半宽有 的位相差
1 x>0 Sgn（x）= 0 x=0
-1 x<0
Sgn(x)=2step(x)-1
sgn(x)
1
x
0
1
三、矩形函数（门函数）：表示狭缝、矩孔的透过
傅立叶光学
第一章 绪论 第二章 线性系统与Fourier分析 第三章 光波的标量衍射理论 第四章 透镜的Fourier变换性质 第五章 光学成像系统的频率响应 第七章 光学全息 第八章 空间滤波与光学信息处理
第一章 绪论
一、“信息光学”的含义 信息光学＝数学工具（级数、积分）＋经典光学 （光波的传播、干涉、衍射、成像、光学信息的记 录与再现、光学信号的处理）
2、光学中的线性叠加原理uv uuv uuv 波的迭加原理：矢量：E E1( p) E2( p) L
n
相干光场：复振幅：U（p）=Ui ( p) i 1
n
非相干光场：光强：I ( p) Ii ( p) i 1
3、利用系统的特性来求输入/输出关系 “三步法则”： 第一步：将复杂输入分解为简单输入函数之和 第二步：分别求出简单函数的输出 第三步：将简单函数输出加起来
2.1 线性系统的基本概念 一、系统：同类事物按一定关系所组
成的整体
特征(性)：不管内部结构，只是全体与外 部的关系，是整体行为，综 合行为
二、物理系统：由一个或多个物理装
置所组成的系统
1、概念：考虑与外形的信息交换 2、内容：输入/输出关系 3、特点：系统的外特性 4、作用：对输入信号变换作用——运算作用
0 x<0
step(x)
1
0
step(x-x0),间断点移到x0处
x
二、符号函数：描述某孔径一半宽有 的位相差
1 x>0 Sgn（x）= 0 x=0
-1 x<0
Sgn(x)=2step(x)-1
sgn(x)
1
x
0
1
三、矩形函数（门函数）：表示狭缝、矩孔的透过
傅立叶光学
第一章 绪论 第二章 线性系统与Fourier分析 第三章 光波的标量衍射理论 第四章 透镜的Fourier变换性质 第五章 光学成像系统的频率响应 第七章 光学全息 第八章 空间滤波与光学信息处理
第一章 绪论
一、“信息光学”的含义 信息光学＝数学工具（级数、积分）＋经典光学 （光波的传播、干涉、衍射、成像、光学信息的记 录与再现、光学信号的处理）
2、光学中的线性叠加原理uv uuv uuv 波的迭加原理：矢量：E E1( p) E2( p) L
n
相干光场：复振幅：U（p）=Ui ( p) i 1
n
非相干光场：光强：I ( p) Ii ( p) i 1
3、利用系统的特性来求输入/输出关系 “三步法则”： 第一步：将复杂输入分解为简单输入函数之和 第二步：分别求出简单函数的输出 第三步：将简单函数输出加起来
2.1 线性系统的基本概念 一、系统：同类事物按一定关系所组
成的整体
特征(性)：不管内部结构，只是全体与外 部的关系，是整体行为，综 合行为
二、物理系统：由一个或多个物理装
置所组成的系统
1、概念：考虑与外形的信息交换 2、内容：输入/输出关系 3、特点：系统的外特性 4、作用：对输入信号变换作用——运算作用
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
傅立叶变换ppt课件
信号处理
在信号处理中，傅立叶变换和逆变换 是常用的工具，用于分析信号的频谱 特性和时域特性。
逆变换的计算方法
直接计算法
对于一些简单的函数，可以通过直接计算得到其逆变换。这种方法 需要手动计算，比较繁琐。
查表法
为了方便计算，可以制作一个傅立叶变换和逆变换的表格，通过查 表得到函数的逆变换。这种方法比较快捷，但需要制作表格。
对于非周期信号，傅立叶变换的结果 可能存在频谱泄露现象，需要进行窗 函数处理或加权平均处理。
THANKS
感谢观看
总结词
线性组合的性质
详细描述
傅立叶变换具有线性组合的性质，即对于两个函数的和或差的傅立叶变换，等 于各自傅立叶变换的线性组合。
移位性质
总结词
时间或频率的平移不变性
详细描述
傅立叶变换具有时间或频率的平移不变性，即函数在时间或频率轴上平移一定量 ，其傅立叶变换的结果也相应平移。
微分性质
总结词
频域的微分运算性质
更好地分析和处理信号。
信道容量分析
利用傅立叶变换可以分析信道的传 输特性，从而确定信道的容量。
多载波传输
在多载波传输中，傅立叶变换被用 于将高速数据流分解成多个低速数 据流，以便于在多个载波上传输。
04
CATALOGUE
傅立叶变换的逆变换
逆变换的定义
逆变换
如果一个函数f(t)的傅立叶变换存 在，那么可以找到一个函数F(ω) ，使得f(t) = F(-ω)。这个过程就 是逆傅立叶变换。
MATLAB中傅立叶变换的示例
01
img = imread('image.jpg');
02
img_fft = fft2(double(img));
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但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。
正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。
我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
F ()
f (x, y)
F -1（）
F( fx, fy )
二、傅里叶变换的存在条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
f
f
F( fx, fy )
F(fxfx0,fyfy0)
f
5、对称性质
F f*(x,y) F*(-fx,fy) F f*(x,y) F*(fx, fy)
若f(x,y)为实函数，显然有
F( fx, fy )F*(-fx,fy) 称 F( fx, fy )具有厄米对称性
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义
含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F (fx ,fy ) f(x ,y )ex j2 p(fx x fyy )d x d y
F(fx, fy) F { f (x, y)}
在此定义中， 变换 F( fx, fy )本身也是两个自变量 f x和 f y 的函数。 F(x,ffy)称为yf)(的 x, 傅里叶频 谱谱 或 fx,fy ,分 空别 间称 为X和Y方向率 的. 空间频
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折
3、缩放性质
F f(x,y)F(fx, fy) F f(a,xb)y 1 F( fx , fy )
ab a b
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
4、平移特性
F f(x x 0 ,y y 0 ) e x j 2 ( f x x p 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
e dx a
2
j2fxx
aБайду номын сангаас
1 (ej2fxa2ej2fxa2) j2fx
2
sin f xa f x
a sin fxa af x
asin c(fxa)
F {rect(y)} asinc(fya)
f (x,y)=1
F lim {f (x, y)} a2sicn (ax)fsicn (ay)f(fx, fy) a
f(x, y) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。
（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。 这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存 在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。
设 F f(x,y)F(fx, fy) F g(x,y)G(fx, fy)
a,b为常数，则
F a(x f ,y ) b (x g ,y ) aF(fx, fy)bG(fx, fy)
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F F f(x,y) f(x,y)
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( fx)
(fx)ej2fxxdfx
(fx)e0dfx
(
fx)dfx
物理图像
1
(fx,fy)
e j2 (fxx fyy )d x d y
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质
F( fx, fy )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) ej x ( f x , f p y )
F( fx, fy )
( fx, fy)
2
F( fx, fy )
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f(x ,y ) F (fx,fy)ex j2p (fxxfyy )d fxd fy= F -1{F( fx, fy )}
F ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f ( x ) ,y ) F(fxfx0,fyfy0)
f (x, y)
f
f(xx0,yy0)
F( fx, fy )
f
e x j 2 ( f x p x 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f( x ) ,y )
解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
f (x, y) la i m rec(a x t)rec(a yt)
rect ( x )
1
a
a 2
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换 请同学业们动手推导
F {rect(x)} rec(xt)ej2fxxdx
a
信息光学中的傅里 叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代 光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成 像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。
例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。
正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。
我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
F ()
f (x, y)
F -1（）
F( fx, fy )
二、傅里叶变换的存在条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
f
f
F( fx, fy )
F(fxfx0,fyfy0)
f
5、对称性质
F f*(x,y) F*(-fx,fy) F f*(x,y) F*(fx, fy)
若f(x,y)为实函数，显然有
F( fx, fy )F*(-fx,fy) 称 F( fx, fy )具有厄米对称性
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义
含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F (fx ,fy ) f(x ,y )ex j2 p(fx x fyy )d x d y
F(fx, fy) F { f (x, y)}
在此定义中， 变换 F( fx, fy )本身也是两个自变量 f x和 f y 的函数。 F(x,ffy)称为yf)(的 x, 傅里叶频 谱谱 或 fx,fy ,分 空别 间称 为X和Y方向率 的. 空间频
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折
3、缩放性质
F f(x,y)F(fx, fy) F f(a,xb)y 1 F( fx , fy )
ab a b
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
4、平移特性
F f(x x 0 ,y y 0 ) e x j 2 ( f x x p 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
e dx a
2
j2fxx
aБайду номын сангаас
1 (ej2fxa2ej2fxa2) j2fx
2
sin f xa f x
a sin fxa af x
asin c(fxa)
F {rect(y)} asinc(fya)
f (x,y)=1
F lim {f (x, y)} a2sicn (ax)fsicn (ay)f(fx, fy) a
f(x, y) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。
（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。 这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存 在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。
设 F f(x,y)F(fx, fy) F g(x,y)G(fx, fy)
a,b为常数，则
F a(x f ,y ) b (x g ,y ) aF(fx, fy)bG(fx, fy)
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F F f(x,y) f(x,y)
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( fx)
(fx)ej2fxxdfx
(fx)e0dfx
(
fx)dfx
物理图像
1
(fx,fy)
e j2 (fxx fyy )d x d y
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质
F( fx, fy )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) ej x ( f x , f p y )
F( fx, fy )
( fx, fy)
2
F( fx, fy )
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f(x ,y ) F (fx,fy)ex j2p (fxxfyy )d fxd fy= F -1{F( fx, fy )}
F ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f ( x ) ,y ) F(fxfx0,fyfy0)
f (x, y)
f
f(xx0,yy0)
F( fx, fy )
f
e x j 2 ( f x p x 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f( x ) ,y )
解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
f (x, y) la i m rec(a x t)rec(a yt)
rect ( x )
1
a
a 2
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换 请同学业们动手推导
F {rect(x)} rec(xt)ej2fxxdx
a
信息光学中的傅里 叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代 光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成 像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。
例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换