椭圆与双曲线的标准方程共21页
椭圆双曲线的准线方程
椭圆双曲线的准线方程
1、椭圆：
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（a>b>0）
准线方程为：x=±a^2/c
2、双曲线
双曲线：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
准线方程为：x=±a^2/c
圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线（同在Y轴一侧的焦点与准线）对应的距离比为离心率。
椭圆上任意一点到焦点距离与该点到相应准线距离的比等于离心率e。
扩展资料
几何性质：
准线到顶点的距离为Rn/e，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。
当离心率e大于零时，则P为有限量，准线到焦点的距离为P = Rn(1+e)/e = L0/e 。
当离心率e等于零时，则P为无限大，P是非普适量。
用无限远来定义圆锥曲线是不符合常理的。
教科书中定义局限性的原因是不了解准线的几何性质，当e等于零时则准线为无限远，准线是非普适量，是局限性的量。
教科书中用准线来定义圆锥曲线不包含圆的原因。
椭圆与双曲线课件
返回
5
椭圆的标准方程：
y
F1
O F2
x
双曲线的标准方程:
y
F2
O
x
F1
返回6
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程 图形
y
O
F1
F2 x
A2 y
F2 B2
B1 O x F1
范围 对称性
顶点 离心率
-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1
-b ≤x≤b, -a≤y≤a
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a)
B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)
7
双曲线
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
y
ox 或
y
或
ox
关于 坐标 轴和 原点 都对 称
返回8
求椭圆或双曲线的标准方程方法步骤:
(1)焦点明确直接设题,再求出a,b
(2)焦点不明确设题技巧:椭圆可设为
双曲线可设为: 等轴双曲线可设为:
(3)已知双曲线
的两个焦点分别
为F1,F2,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°, 求△F1PF2的面积
13
例4:焦半径公式的应用
在双曲线
上求一
点P,使它到左焦点的距离是它
到右焦点的距离的两倍
14
椭圆与 双曲线
(复习课)
1
复习流程
知识回顾 典例再现
2
知识网络
定义
标准方程
性质 常用结论
3
椭圆的第一定义:平面上到两个定点的距离的和（2a）等 于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
椭圆与双曲线
04
椭圆与双曲线在生活 中的应用
建筑学：拱形结构设计与优化
椭圆型拱门
椭圆型拱门在建筑设计中常用来 增加空间感和美观度，其优雅的 曲线形状能够分散压力，提高结
构的稳定性。
椭圆型穹顶
大型公共建筑中，椭圆型穹顶不 仅具有视觉冲击力，还能有效地 分散重力，提高建筑的承重能力
。
双曲线型结构
双曲线在建筑设计中可用于创造 独特的空间效果，如双曲线型楼 梯、走廊等，增加建筑的动感和
几何意义
离心率反映了焦点到椭圆中心的距离与长轴半径的比例关系，也决定了椭圆形 状的变化。
椭圆上任意一点性质
到两焦点的距离之和
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之 和等于长轴的长度，即 (2a)。
中点性质
任意弦的中点轨迹是以椭圆中心为中 心、以短轴为直径的圆。
切线性质
过椭圆上任意一点的切线与通过该点 且与长轴平行的直线交于一点，该点 位于与焦点连线上的中垂线上。
THANKS
感谢观看
综合运用各种技巧
在解题过程中，可以综合运用代数、几何、三角等多种数学知识和 技巧，提高解题效率。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
椭圆的定义与性质
双曲线的定义与性质
椭圆是平面上所有满足到两个定点（焦点 ）距离之和为常数的点的集合；其性质包 括对称性、离心率、长轴和短轴等。
双曲线是平面上所有满足到两个定点（焦 点）距离之差为常数的点的集合；其性质 包括对称性、离心率、实轴和虚轴等。
椭圆与双曲线在现实生活中的应用
介绍椭圆和双曲线在物理学、工程学、经济学等领域的应用，以及其 在解决实际问题中的重要作用。
著名数学家的贡献
介绍对椭圆和双曲线研究做出重要贡献的数学家，如阿波罗尼乌斯、 开普勒等，以及他们的主要成就和思想方法。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆和双曲线公式
椭圆和双曲线公式
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a^2-c^2=b^2。
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)。
双曲线的标准方程分两种情况：
焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a>0，b>0）。
焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a>0，b>0）。
双曲线的离心率为：e=c/a
双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）*x。
扩展资料
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。
等轴双曲线：一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2、这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）。
椭圆与双曲线的标准方程
例1
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹. c a
y
P
· F
l
O
x
若(a>c>0)变为(c>a>0)呢?
解 :根据题意可得
化简得
(a2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 )
( x c) 2 y 2 c 2 a a | x| c
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线.
x2 y2 1 4 3
1 2
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 12 x
例3 的距离.
已知双曲线
x2 y2 1 64 36
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
圆锥曲线的共同性质
复习回顾
1、 椭圆的定义：
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|）
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
双曲线及其标准方程(共19张PPT)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
y
P
F1 O F2 x
双曲线的更多秘密， 等着我们一起探索！
绘制距离之差为定值 的点的运动轨迹
设︱FF2︱=2a
-6-
运动过程中，平面上动点M到两定点距离的差为常数
特点观察
-7-
绘制距离之差为定值的 点的运动轨迹过程中
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2||MF1|=|F1F|=2a
由①②综合可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
焦点在X轴上的双曲线标准方程
c2=a2+b2
-12-
焦点位置改变，标准方程如何变化？
y
M
F1 O F2 x
y M
F2 x
O
F1
x2 a2
F2(c,0)
c2=a2+b2
(a 0，b 0)
y2 x2 a2 b2 1
F1(0,-c),F2(0,c)
-13-
根据标准方程判断焦点位置
2.3 双曲线及其标准方程
生活中的双曲线
发电厂冷却塔外形线
-2-
巴西利亚大教堂
花瓶轮廓线
反比例函数图像
-3-
数学中的双曲线
F1 o F2
双曲线及其标准方程
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 1．到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点 的轨迹 2．与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. （0<e<1） 双曲线 1．到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2．与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.（e>1） 抛物线
|x| a，yR 原点 O（0，0） (a,0), (─a,0) x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c= a 2 b 2 ）
e c (e 1) a
x0 (0,0) x轴
p F ( ,0 ) 2
对称轴 焦点 焦距 离心率 准线
定
义
与定点和直线的距离相 等的点的轨迹. （e=1）
图 形
方
标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点
x2 y2 1 ( a b >0) a2 b2
x2 y2 1 (a>0,b>0) a2 b2
y2=2px
x 2 pt 2 y 2 pt (t 为参数)
程
x a cos y b sin (参数为离心角）
─axa，─byb 原点 O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c= a 2 b 2 ）
e c (0 e 1) a
x a sec y b tan (参数为离心角）
e=1
x p 2