2021-2022年高三数学(理工农医类)第二次统一考试
2021-2022年高三下学期第二次质量检测数学理试题 含答案
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．1. 方程的解是 ．2. 已知函数，则 ．3. 若实数满足，则的最小值为 ．4. 设（i 为虚数单位），则 ．5. 的值为 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 ．7. 在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为______．8. 等差数列的前项和为，则 ．9. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为级需要的天数为，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为 . 11.已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为________．12.给定平面上四点满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则面积的最大值为 ．13. 对于非空实数集，定义{},A z x A z x *=∈≥对任意．设非空实数集．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有 （2）对于任意给定符合题设条件的集合必有； （3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是 ．14. 已知当时，有21124(2)12n x x x x=-+-+-++，根据以上信息，若对任意,都有20123,(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+则 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．15.集合{}20,()()01x A x B x x a x b x ⎧-⎫=<=--<⎨⎬+⎩⎭，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16.函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++则函数是（ ）（A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 17.若,且．则下列结论正确的是( ) （A ） （B ） （C ） （D ）18.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（ ） （A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能三、解答题(本大题共5小题，满分74分) 19.(本题满分12分)如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中点．试求直线与平面所成角的大小．20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2=+-∈，试判断是否为“局部奇函f x ax bx a a b R()24(,)数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．21.（本题满分14分，第一小题满分4分，第二小题满分10分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线．(1) 若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．23. （本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分）设等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即1*1111(1,)t M a a t t N =++≤∈，112*2122(1)t t t M a a a t N ++=+++<∈，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即1*1(1,)i i i t t i i M a a t t N -+=++≤∈．(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得： ；(2) 试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{}*123,(1),n n t t t t t n N ≤<<<<∈,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．xx 高三年级十三校第二次联考数学试卷答案（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分．1. 方程的解是 ．2. 已知函数，则 ．3. 若实数满足，则的最小值为 4 ．4. 设（i 为虚数单位），则 ．5. 的值为 0 ．6. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+ 除以5的余数是 3 ．7. （理）在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为______．8. 某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为级需要的天数为，则等级为级需要的天数____2700______。
2021-2022年高三下学期第二次联考试题 数学理
2021-2022年高三下学期第二次联考试题 数学理注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时量120分钟，满分150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数 (为虚数单位)，则 A ． B ．1 C ． D ． 2．已知集合{}{}3log(1),0xA x y xB x x-==+=<，则有 A ． B ． C ． D ．3．如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为 A ． B ． C ． D ．4．已知函数的定义域为，且，设p ：函数 是偶函数；：函数是奇函数，则p 是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知圆：交轴正半轴于点A ，在圆上随机取一点B ，则使 成立的概率为A ．B ．C ．D ． 6．设为自然对数的底数，则，，的大小关系为A ．。
B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若输出S 的僵值为，则判断框内， 对于下列四个关于的条件的选项，不能填入的是 A ． B ． C ． D ．8．集合{}{}222(,)1,,1,(,)(2),0M x y x y y x y N x y x y r r =+≤≤≥-=-+=>，若，则的取值范围为A ．B ．C ．D ． 9．已知，其中''120,(0,),()()02f x f x πωθ>∈==，,，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是 A ． B ． C ． D ．10·双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，、分别为的左，右焦点，点P 在该双曲线的右支上且到直线的距离为，若，则双曲线的标准方程为A ．B ．C ．D ．以上答案都不对11．设等差数列的前项和为，已知335588(1)34,(1)32a a a a -+=-+=，则下列选项正确的是A ．B ．C ．D ．12．设2222()(ln )1,(044a a D x a x a R =-+-+∈，则D 的最小值为A ．B ．C ．D ．2第Ⅱ卷本卷包括必做题与选做题两部分，第13~2l 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选做题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题。
2021-2022年高三下学期毕业班联考(二)数学(理)试题 含答案
C EF 2021年高三下学期毕业班联考（二）数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知复数，则复数的虚部是A ．B ．iC ．－D ．－i2. 设实数满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则的最小值是A ．B ．1C ．2D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，若输入,则输出的A ．B ．C ．D ．4. 下列说法正确的是A ．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题；B ．命题“已知、为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题为真命题；C ．“若，则”的否命题为“若，则”；D ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.5. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为,则双曲线的标准方程为 A ． B ． C ． D ．6. 函数在定义域内可导，若，且当时，有，设，，，则 A ． B ． C ． D ．7. 已知为圆的直径，于，为的中点，与相交于点，切线与的延长线交 于点.若圆的半径为1，则的长为A ．B ．C ．D ． 8. 已知菱形的边长为2,,点、分别在边、上，，.若, 则的最小值 A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的专业有420名学生，专业有580名学生，则在该学院的专业应抽取____________名学生．10.设区域{(,)|01,01},x y x y Ω=≤≤≤≤区域{(,)|,(,)}A x y y x x y =≤∈Ω,在区域中随机取一个点,则该点在中的概率___________11. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____12. 在中，内角，，所对的边分别是,,3))((bc a c b c b a =-+++则的值为_________13．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于两点，弦长___________ 14．若函数的图象与函数的图象恰有五个交点，则实数的取值范围是________．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-．(I)求函数的最小正周期； (II)若006(),,12542f x x πππ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，求的值. 16．（本小题满分13分）国家旅游局确定xx 以“丝绸之路旅游年”为xx 旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。
2021-2022年高三第二次阶段性测试数学理
2021-2022年高三第二次阶段性测试数学理理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,{}22730,N x x x x =++<∈Z ,如果,则等于 A ．B ．C ．或D ．2．已知函数，则的值是A ．B ．C ．D ．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出两点的距离为A ．B ．C ． D.4．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若，，，则； ②若，，则； ③ 若，，，则；④ 若，，，则． 其中错误．．命题的序号是 A ．①③ B．①④ C ．②③④ D ．②③ 数学试题第1页（共5页）B AC5.函数的图象大致是6．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是A ．B ．C ．D ．7.已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则（ ）A ．—3B ．—2C ．1D ．－1 8.的值是A.3+ln2B.C.4+ln2D.9.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为 A ． B ． C ． D ．10．下列命题中为真命题的是 A ．若B ．直线为异面直线的充要条件是直线不相交C ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题的否定为：“”数学试题第2页（共5页）11.已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则A.或3B.3C.27D.1或2712．已知定义在R 上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，且直线2x cos α－2y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1相切，则向量a 与b 的夹角为________．14.已知22334424,39,41633881515+=⨯+=⨯+=⨯，…，观察以上等式，若（m ，n ，k均为实数），则m+n －k=_______.15．设、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数的最大值为 .16.定义在R 上的函数，对，满足()()()()f 1x f 1x ,f x f x -=+-=-，且在上是增函数.下列结论正确的是___________.（把所有正确结论的序号都填上） ①；数学试题第3页（共5页）②；③在上是增函数； ④在处取得最小值. 三、解答题：（本大题共6小题，共74分。
2021-2022年高三第二次(5月)统一考试数学理试题 含答案
2021年高三第二次（5月）统一考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则＝A ．B ．C ．D ．2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，输出的值为A ．6B ．10C ．14D ．15 4．已知非零向量，，“∥”是 “∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是； ②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是A ．B ．C ．D ．6．已知函数且的最大值为,则的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是A． B． C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的渐近线方程是；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则．10．如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线与⊙相交于两点，且，为线段的中点，的延长线交⊙于点．若，则的长为______；的值是．11．已知等边的边长为3，是边上一点，若，则的值是______．12．已知关于的不等式组0,,2,2xy xx yx y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域为三角形区域，则实数的取值范围是．13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润（=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额），则（用表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系中，以点，曲线上的动点，第一象限内的点，构成等腰直角三角形,且，则线段长的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．16．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示． （Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰 时段（早晨7点至9点）中度拥堵的 天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为： 畅通时30分钟，基本畅通时35分钟， 轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50 分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，在等腰梯形中，，，， 为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．交通指数值0.25 0.10 0.05 0.152 4 6 8 10 0.20 13 5 7 918． （本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，试求的取值范围．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；ECDBA图1BFOCDA 1E 图2（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．20．（本小题满分13分）已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，，都有；（Ⅲ）求证：对任意正整数，集合具有性质．北京市朝阳区xx学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）xx．5一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．…………………6分(Ⅱ) 由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．…………………13分解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25=65天. ……………………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知的可能取值为．且；；；；；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX=⨯⨯⨯⨯⨯．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形中，由，，，为中点，所以为等边三角形．如图2,因为为的中点，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以．………4分ECD BA图1FODA1E（Ⅱ）连结，由已知得，又为的中点，图2所以．由（Ⅰ）知平面， 所以， 所以两两垂直．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为，易知．所以1(00(100),(0(100)A B C E -，，，，，所以111(103),(033),(10A B AC A E =-=-=-，，，，，． 设平面的一个法向量为， 由 得 即 取，得．设直线与平面所成角为，则1sin cos ,5A B θ=〈〉===n． 所以直线与平面所成角的正弦值为． (9)分 （Ⅲ）假设在侧棱上存在点，使得平面．设，．因为，所以(10(0()BP λ=-+=-． 易证四边形为菱形，且，又由（Ⅰ）可知，，所以平面． 所以为平面的一个法向量．由()(1,130BP CE λ⋅=-⋅-=-=，得． 所以侧棱上存在点，使得平面，且． …………14分 18．（本小题满分13分）D解：（Ⅰ）当时, ，．．则，而．所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组12,,32xx yy x⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立．设，．所以．（1）当，即时，当时，，为单调减函数，所以．依题意应有解得所以．（2）若，即时，当，，为单调增函数，当，，为单调减函数．由于，所以不合题意．（3）当，即时，注意到，显然不合题意．综上所述，．…………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意可知，，所以椭圆离心率为．…………… 3分（Ⅱ）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以．令，由得，则．令，由得，则．所以的面积．因为点在椭圆上，所以．所以．即，则．所以．当且仅当，即时，面积的最小值为． … 9分 （Ⅲ）①当时，．当直线时，易得，此时，．因为，所以三点共线． 同理，当直线时，三点共线．②当时，设点，因为点与点关于直线对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点． 又因为，， 且22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以．所以点三点共线．综上所述，点三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）当时，，令，,则, 且对，都有，所以具有性质．相应的子集为，． ………… 3分 （Ⅱ）①若,由已知,又,所以．所以．②若,可设，,且，此时31(3)(3)132n nnn x y s r s r --=+-+=-≤-<．所以，且．所以． ③若, ,，则313331(3)()3(1)3222n n n nnnx y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以．又因为，所以．所以． 所以．综上，对于，，都有． …………… 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当时，命题成立，即集合具有性质． （2）假设()时，命题成立．即，且，，都有． 那么 当时，记,， 并构造如下个集合：,,,，1313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+，显然．又因为，所以112131{1,2,3,,}2k kk S S S S ++-''''''''=．下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素． ①若两个元素,, 则, 所以．②若两个元素都属于,由（Ⅱ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数． 从而，时命题成立．综上所述，对任意正整数，集合具有性质．………………………13分。
2021-2022年高三上学期第二次考试数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第二次考试数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合，，=（）A．B．C．N D．R2．若，其中，则（）A. B. C. D.3．已知，，，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞a＞b4．已知定义域为的函数不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．，B．，C．，D．，5．已知在R上是奇函数，且满足,当时，，则（）A.-12B. -16C. -20D. 06．设，则对任意实数，，“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．函数的值域为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，角所对的边分别为，已知＝，＝，，则C＝（）A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°9. 已知是定义在的函数，且. 满足，则下列不等式正确的是（ ）A. B.C. D.10．如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（ ）A.B.C.D.11．已知函数，，，则的最大值为（ ）A ．B ．1C ．2D ． 12．设函数 ,则函数的各极小值之和为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．的值等于 . 14．已知，且，则lg(8sin 6cos )lg(4sin cos )αααα+--= ．15. 若函数有且只有个不同零点，则实数的取值范围是 .16．函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则= ．三、解答题（本大题共6小题，请写出必要的解题步骤和文字说明）17.（本小题满分10分）设函数.（1）解方程；（2）设不等式的解集为，求函数（）的值域.18.（本小题满分12分） 已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f . （1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数的图象关于直线对称，求实数的最小值.19.（本小题满分12分）（1）已知，，求的值；（2）已知，均为锐角，且，，求．20.（本小题满分12分）已知函数（）．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当时，是否存在正实数，当（是自然对数底数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；21.（本小题满分12分）如图,在△ABC中,,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.（1）若△BCD的面积为,求CD的长;（2）若ED=,求角A的大小.22.（本小题满分12分）设函数（1）若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。
2021-2022年高三第二次(5月)统一练习数学理试题含答案
2021-2022年高三第二次（5月）统一练习数学理试题含答案数学试卷（理科）考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）复数A．B．C．D．（2）已知双曲线的一个焦点为，实轴长为6，则双曲线的渐近线方程为A． B. C. D.C(3) 若满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则的最小值为A ． B. C. D.（4）设是两个不同的平面，是直线且“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （5）如图，过点和圆心的直线交于两点()，与切于点，于，则的长度为A. 1B.C. 2D.（6）执行如图所示的程序框图， 如果输出的值为3，则判断框 内应填入的判断条件为A. B. C ． D ．（7）已知函数f (x ) 是定义在上的奇函数， 当时，f (x ) 的图象如图所示，那么满足不等式 的的取值范围是俯视图侧（左）视图111正（主）视图11DCAe 2e 1BAOA. B. C. D.（8）将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示.设正八角星的中心为，并且 若将点到正八角星16个顶点的向量，都写成为的形式，则的最大值为A ． B. 2 C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知是等比数列()的前项和，若，公比 ，则数列的通项公式 . （10）在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则 的最小值为________.(11) 如图，点是的边上一点，7,2,1,45.AB AD BD ACB ︒===∠=那么___________;____________.(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱 锥中最长棱的棱长为_________.（13）xx 3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕.活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块.“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷.某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有______种. （用数字作答）（14）已知数列中，*11,1,().3,(1),2n n n n n a a a n a a +->⎧⎪=∈⎨-+≤⎪⎩N ①若则_________；②记则____________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数的解析式及的值； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.（16）（本小题满分13分）为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试. 现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（I ） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（II ） 如果将数学基础采用A 、B 、C 等级制，各等级对应的测试成绩标准如下表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩 基础等级ABC甲校 乙校5 1 9 1 1 24 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 88 6 5 7 8C 1B 1A 1F EDCBA事件发生的概率.从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率.（17）（本小题满分14分） 如图，三棱柱中，垂直 于正方形所在平面，，为中点，为线段上的一点（端点除外）， 平面与交于点.（I ）若不是的中点，求证：;（II ）若是的中点，求与平面所成角的正弦值; （III ）在线段上是否存在点，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线. 设. （I ）求的值，及的关系式； （II ）求函数的单调区间；（III ）设，若对于任意，都有，求的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，过原点作直线交椭圆于、两点，且点不是椭圆的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，点是线段的中点，直线交椭圆于点，连接．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）求证：.（20）（本小题满分14分）定义表示中的最大值. 已知数列，，，其中，， .记. （I ）求；（II ）当时，求的最小值； （III ），求的最小值.昌平区 xx 高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 （理科） xx.5一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） ; （12） （13）144 （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）解：（I ）023()2sin(2),.324f x x x ππ=+=…………………7分 （II ）由ππππ5π[, ],2[, ]44366x x ∈-+∈-， ……………………9分当时，即，当时，即， ……………………13分（16）（本小题满分13分）解： （I ）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差. ……………………6分（II ）设事件=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”.设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A ”， 设事件=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”， 设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B ”， 设事件=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C ”， 根据题意，所以111222111222()()()()()()()()()()P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F =++=++131373335105101010100=⨯+⨯+⨯=. 因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为 ……………………13分（17）（本小题满分14分）（I ）证明：连接，交于点，连接.在三棱柱中， 为中点, 且为中点，所以.因为,所以. ………………2分 由已知，平面与交于点， 所以从而， 又，所以11BC DAB EF EF =平面平面,所以. ……………………4分(II) 建立空间直角坐标系 如图所示.11(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),1(0,2,1),(0,0,1),(0,1,),(1,2,0).2A A C CB B E D 1 111(2,1,),(0,2,1),(1,2,0)2AE C B C D =--==.设平面的法向量为 由得,令,得. ……………………6分421cos ,63||||AE n AE n AE n <>== ……………………8分所以，与平面所成角的正弦值为. ……………………9分 (III) 在线段上存在点，使得且.理由如下：假设在线段上存在点，使得设,.则,1111(0,2,1)(0,,)y z y z λ--=--.112,11,1y z λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩. ………………11分 ，. ,解得: . ………………13分 所以，在线段上存在点，使得且.………………14分 （18）(本小题满分13分） 解：（I ）因为函数，，所以函数，.又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，即 ………………4分 （II ）由已知，2()()()e 1axh x f x g x x ax =-=+--. 所以.设()'()e 2axF x h x a x a ==+-，所以， R ，，所以在上为单调递增函数. ……………6分 由（I ）得，所以，即0是的零点.所以，函数的导函数有且只有一个零点0．…………………………7分 所以及符号变化如下，（III ）由（II ）知当 时，是增函数. 对于任意，都有等价于max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-，等价于当时，，因为，所以在上是增函数，又，所以. ……………13分（19）（本小题满分13分） 解：（I ）由题意知，则，所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为. ……………5分 （II ）设，则由点在椭圆上，所以① ② 点不是椭圆的顶点，②-①得 .法一：又01001000332,,24PB BCy y y yk k x x x x +===+且点三点共线， 所以, 即 所以，2201010101022010*******()4()43()1,3()3()34AB PAy y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====⨯-=--+-- 即 . ……………13分法二：由已知与的斜率都存在，2210101022101010PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-221022103()344x x x x --==--又得则，即 . ……………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）由题意，{}10002000max max n n a ,b ,n kn ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为1000200010002--=(k )n kn kn， 所以，当时，，则，当时，，则， 当时，，则. ……………4分（II ）当时，{}{}10001500max max max 2003n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭， 因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为，而{}44444444250max 11d a ,c a ===，，有. 所以的最小值为. ……………8分（III ）由(II)可知，当时，的最小值为. 当时，{}{}2000750max max max 100n n n n n n d a ,b ,c b ,c ,n n ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭.因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为， 而，.此时的最小值为. ⑵当时，150********200(1)200450≥=-+--k n n n，，所以{}{}1000375max max max 50n n n n n n d a ,b ,c a ,c ,n n ⎧⎫==≥⎨⎬-⎩⎭.设，因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列， 所以当时，取得最小值，此时. 又因为， 而，.此时的最小值为. 综上，的最小值为. ……………14分39454 9A1E 騞25251 62A3 抣28376 6ED8 滘356058B15 謕v` 39901 9BDD 鯝| XZ3 36775 8FA7 辧。
2021-2022年高三第二次综合练习 理科数学 含解析
2021年高三第二次综合练习理科数学含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，集合，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，选D.（2）若，则实数的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】123211111()d()03232x mx x x mx m+=+=+=⎰，解得，选B.（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】第一次循环，，不满足条件，循环。
第二次循环，，不满足条件，循环。
第三次循环，，不满足条件，循环。
第四次循环，，满足条件，输出。
所以判断框内的条件是，选C.（4）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，代入抛物线得，即，要使渐近线与抛物线有公共点，则，即，又，所以，所以。
所以此双曲线的离心率的取值范围是，选A.（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其中高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为，所以三棱锥的体积为，选A.（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A．种B．种C．种D．种【答案】C【解析】由题意可知，3名职工中只有一人值班一天，此时有种，把另外2人，排好有3个空，将值班一天的这个工人，从3个空中，选一个，另外2人，全排有.所以不同的安排方法共有，选C.（7）已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是当A．②B．①②C．③D．②③【答案】D【解析】①因为，而，两个函数的定义域不同，所以①不成立。
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面面ABCD，面BDF
在面BDF内作，垂足为H，连结EH，
是二面角的平面角……12分
所以
在中，
由可得
所以
又
解得
当时，二面角为……14分
解法二：（I）直四棱柱，
以D为原点，DA、DB、所在直线分别为x、y、z轴可建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），D（0，0，0）， ，
，解得……12分
（16）解：（I）设“获得价值50元的商品”为事件A，则事件A是等可能事件，所以……5分
（II）设“获得奖品”为事件B，则事件B是等可能事件
所以……10分
（III）设商家可以获得的利润为y元，若有10000人次参加这项促销活动，则
（元）
所以，商家可以获得的利润大约是128571元。……14分
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
朝阳区高三第二次统一考试数学（理工农医类）
参考答案及评分标准
一.选择题：
1. B2. C3. A4. A5. B6. D
7. A8. C
二.填空题：
（9）1（10）
（11）（2，0），6（12）③
（13）
三.解答题：
（15）解：……3分
……5分
（I）的最小正周期……6分
（II）由知……8分
……10分
（17）解法一：
（I）解：在直四棱柱中，
是异面直线与所成的角……2分
又四棱柱是直四棱柱，
面，于是
在中，
异面直线与所成角的正切值为2……4分
（II）证明：
直四棱柱中，面，于是
同理
……6分
，E为DC中点，
在直棱柱中，面面，且面ABCD
面……8分
是在面内的射影
……10分
（III）解：设，由（II）易得
取BD的中点G，连结EG得，且
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（5）已知向量，若与平行，则实数m等于（）
A.B.C. 2D.
（6）七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其它产品，则不同的排列方法共有（）
A. 120种B. 240种C. 480种D. 960种
（7）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围是（）
（11）抛物线的焦点F的坐标为_________；若P为抛物线上一点，点M的坐标是（4，2），则的最小值为__________。
（12）一个体积为v的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为图__________（填入正确图象的序号）
（17）（本小题满分14分）
直四棱柱的底面ABCD为平行四边形，其中，，，E为DC中点，F是棱上的动点。
（I）求异面直线与所成角的正切值；
（II）当时，证明；
（III）当DF的长为多少时，二面角E-FB-D的大小为？
（18）（本小题满分14分）
已知函数（a为实数）
（I）若在处有极值，求a的值；
（II）若在上是增函数，求a的取值范围。
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数的反函数是（）
A.
B.
C.
D.
（2）已知直线，平面，则下列条件中能推出的是（）
A.B.
C.D.
（3）函数的图象大致是（）
（4）已知p：为第二象限角，，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
A.B.C.D.
（8）给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，……，则这个数列的一个通项公式是（）
A.B.
C.D.
第II卷（非选择题共110分）
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。
（9）
（10）已知，则_______，____________
设与所成角为
……4分
（II）
……10分
（III）设，由题意知为平面DBF的法向量，
设平面BEF的法向量为
由可得
即
令
……12分
二面角为为
解得
当时，二面角为……14分
（18）解：
（I）由已知得的定义域为
又……3分
由题意得
……5分
（II）解法一：依题意得
对恒成立，……7分
……9分
的最大值为
的最小值为……12分
又
均满足条件
它们构成首项为xx，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
又因时符合题意
为所求……14分
解法二：依题意得
对恒成立，
即
对恒成立……7分
令
（1）当时，不成立……9分
（2）当时，抛物线开口向下，可得
即……11分
（3）当时，抛物线开口向上，可得
即，这与矛盾，故舍去……13分
又因时符合题意
综上可得为所求……14分
（19）解：（I）
右准线，渐近线
……3分
（II）双曲线C的方程为： Nhomakorabea…7分奖品
5枚白棋子
价值50元的商品
4枚白棋子
价值30元的商品
3枚白棋子
价值10元的商品
如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。
（I）求获得价值50元的商品的概率；
（II）求获得奖品的概率；
（III）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约是多少？（精确到元）
（III）由题意可得……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1）……13分
（20）解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
（13）定义符号函数，则不等式的解集为_________。
（14）抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分。若一共抛掷硬币4次，且每次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分的期望__________
三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分12分）
（20）（本小题满分13分）
已知函数 ，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
已知：（为常数）
（I）若，求的最小正周期；
（II）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值。
（16）（本小题满分14分）
某商店搞促销活动，规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：
取出的棋子
2021年高三数学（理工农医类）第二次统一考试
xx.5
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
棱锥的体积公式
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。