原子的磁矩
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磁学 第二章 原子的磁矩
s
p
d
f
l=0
1
23
6s 5s
6p 5d
5p
4d
4p
3d
4f
4s
3p
3s
2p
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1s
spdfFra bibliotekl=0
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4s
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3s
2p
2s
1s
为什么电子先占4s，再占3d ？
如果轨道的电荷分布偏离球对称，玻尔轨道的形状发生变化。 如图3s轨道是椭圆形的，一部分轨道离核近，s电子的原子波函数在核 附近非常大。S电子与核的库仑相互作用(相互吸引，能量低)，使电子 先占4s轨道，后占3d轨道。同样5S电子先于4f电子占据轨道。
L l(l 1)h l 1, 2,3，，n 角量子数 Lz mlh ml 0, 1, 2,， l 轨道磁量子数
S s(s 1)h s 1 自旋量子数 2
Sz msh
1 ms 2
自旋磁量子数
“轨道”
用波函数描述 nlm Rnl (r)Ylm ( ,)
Rnl (r)决定电子离开核距离分布
－3
d电子轨道取向量子数，ml 2,1,0, 1, 2
f电子轨道取向量子数，m l
3, 2,1,0, 1, 2, 3
ml =0 －1 －2
1 2
Mn3的d轨道有4个电子 总轨道角动量L=2＋1＋0＋（－1）=2 Co2的d轨道有7个电子 总轨道角动量L=2＋1＝（3 其余5个的总L＝0） Nd 3(4f4 6s2,f轨道有3个电子) 总轨道角动量L 3 2 1 6
d
原子物理课件 第1节 原子的磁矩
§ 6.1 原子的磁矩
1
在磁场中的原子
1896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放在磁场中， 则一条谱线就会分裂成几条，这种现象称为塞曼效应。
正常塞曼效应：一条谱线在外磁场作用下，分裂为等间隔 的三条谱线。
反常塞曼效应：除正常塞曼效应外的塞曼效应。
如何解释？
正常塞曼效应
反常塞曼效应
2
原子的总磁矩和有效磁矩
（2）J-J 耦合
g
gi
J(J
1)
ji(ji 1) J P(J P 2J(J 1)
1)
gp
J(J
1)
J P(J P 1) 2J(J 1)
ji(ji
1)
gi ji 是最后一个电子的, g p J P是(n-1)个电子集体的 。5
pj 作进动。
μ在 pj 方向投影是恒定的，垂直 pj 的分量因旋转，其对外平
均效果为零。所以对外起作用的是μj ，常把它称为电子的总 磁矩。
μj μl cos(l , j) μs cos(s , j)
[
pl
cos(l
,
j)
2
ps
cos(s
,
j)]
e 2m
Pj Pl
Ps
由余弦定理，有：
pl2 ps2 p2j 2 ps pj cos(s , j) ps2 pl2 p2j 2 pl pj cos(l , j)
1．单价电子原子的总磁矩 轨道磁矩：
Pj Pl
l
e 2m
pl
he
4 m
l(l 1)
l(l 1)BΒιβλιοθήκη Psµs 自旋磁矩：
µl
s
e m
ps
he
2 m
1
在磁场中的原子
1896年，荷兰物理学家塞曼发现：若把光源放在磁场中， 则一条谱线就会分裂成几条，这种现象称为塞曼效应。
正常塞曼效应：一条谱线在外磁场作用下，分裂为等间隔 的三条谱线。
反常塞曼效应：除正常塞曼效应外的塞曼效应。
如何解释？
正常塞曼效应
反常塞曼效应
2
原子的总磁矩和有效磁矩
（2）J-J 耦合
g
gi
J(J
1)
ji(ji 1) J P(J P 2J(J 1)
1)
gp
J(J
1)
J P(J P 1) 2J(J 1)
ji(ji
1)
gi ji 是最后一个电子的, g p J P是(n-1)个电子集体的 。5
pj 作进动。
μ在 pj 方向投影是恒定的，垂直 pj 的分量因旋转，其对外平
均效果为零。所以对外起作用的是μj ，常把它称为电子的总 磁矩。
μj μl cos(l , j) μs cos(s , j)
[
pl
cos(l
,
j)
2
ps
cos(s
,
j)]
e 2m
Pj Pl
Ps
由余弦定理，有：
pl2 ps2 p2j 2 ps pj cos(s , j) ps2 pl2 p2j 2 pl pj cos(l , j)
1．单价电子原子的总磁矩 轨道磁矩：
Pj Pl
l
e 2m
pl
he
4 m
l(l 1)
l(l 1)BΒιβλιοθήκη Psµs 自旋磁矩：
µl
s
e m
ps
he
2 m
第二章 第二节 原子磁矩
PJ H mJ
总磁量子数：mJ = J, J-1, …… -J共2J+1个可能值
按原子矢量模型，角动量PL与PS绕PJ 进动。故μL与μS也绕 PJ 进动。
第二节 原子磁矩
二、原子磁矩表达式的推导
μL与μS在垂直于PJ 方向的分量(μL)┴与(μS)┴在一个进动周期中平 均值为零。 ∴原子的有效磁矩等于μL与μS平行于PJ的分量和，即：
J gJ J J 1B
J 6.7B
如果已知原子基态光谱基项
L 2S 1 J
，则可以直接得到S、L、J
三个量子数，从而算出原子基态的磁矩。
第二节 原子磁矩 四、随堂练习 1、试计算自由原子Fe (3d6) 、Co (3d7) 、Ni (3d8) 、Gd (4f75d1) 、 Dy (4f10)等的基态具有的原子磁距μ各为多少？并写出基态光谱 基项。（课后习题1）当堂交作业
S1113
L 210 3
222 2
基态光谱基项的表示方法： 2S 1 LJ
J LS 3 2
轨道量 子数L
0
1
2
3
4
5
6
大写英 文字母
S
P
D
F
G
H
I
所以， Cr3+的基态光谱基项表示为：4 F3 2
第二节 原子磁矩
三、计算原子磁矩实例
2、Dy3+，4f9电子组态 f 电子，l = 3，磁量子数m = +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3
2、原子磁矩μJ在磁场中的取向是量子化的 μJ 在H方向的分量为：
J
mJ
J J 1
gJ mJ B
J gJ J J 1B
原子核的磁矩
5
5
1
2 R2Z (1 )3 1 2 R2Z 3 3 (1 )
5
1 5
1
因为ε较小，所以忽略ε3项
Q
6 5
R2Z
6 5
Zr02
A
2
3
说明：1）由上面公式可以看出，只要实验测得Q值后，则可计算
出ε。
2）对于大多数原子核，ε≠0，一般为百分之几。所以大
反演算符，即宇称算符 pˆ
pˆ (r1, r2,...) (r1,r2,...) 为了方pˆ便，(r用)(r)(代替r) (r1, r2,...) 则有
对某些波函数，存在下列关系
pˆ
(r )
(r )
则波函数 (r) 是 pˆ 的本征态, π为本征值，或称该态有确定的
称为核磁子。
因为 mp : me 1836
所以 B : N 1836
说明：1）由于核的磁矩比原子中电子的磁矩小的多，这就是为 什么超精细谱线的间距比精细结构谱线的间距小得多的原因。
2）通常是用核磁矩在给定Z方向投影的最大值来衡量核 磁矩的大小。
3）核磁矩常用核磁子为 N 单位 则质子的磁矩为： p 2.793 中子的磁矩为：n 1.913
其中：n 主量子数；l 轨道量子数； m 轨道磁量子数
Rn (r)
径向波函数，它只与r的大小有关。
Plm (cos ) 缔合勒让德多项式，其微分形式为
Plm (cos )
1 2l l!
(1
2 )m2
d lm
d lm
( 2
1)l
cos
在空间反演下： r r, ,
材料物理性能课件-3.2磁性起源和原子磁矩
l = 0，1，2，…，n-1共n个值，
角动量 pl 的绝对值为
pl l(l 1)
对应角动量的磁矩的绝对值是
l
l(l 1) e 2me
令
B
e 2me
则 l l(l 1) B
角动量和磁矩在空间是量子化的，其在外磁场方
向的分量不连续，间断值取决于磁量子数ml，即 有
( pl )HLeabharlann ml(l )H ml B
PJ的绝对值为 PJ J ( J 1)
PS S(S 1)
PL L(L 1)
原子的总角量子数J由S和L合成。J可取J=L+S，L+S1，…∣ L-S∣ 个可能值。 当L>S时J可取从(L+S)到(L-S)共(2S+1)个可能值； 当L<S时，J可取从(S+L)到(S-L)共(2L+1)个可能值。
(⑴)电子壳层与磁性 多电子原子中，决定电子所处的状态的准则有两条:
一是泡利(W.Pauli)不相容原理，即在已知体系中，同一 （n、l、ml、ms）量子态上不能有多于一个电子。
二是能量最小原理，即体系能量最低时，体系最稳定。
多电子原子中电子分布规律：
第一、由n、l、ml和ms，四个量子数确定以后，电子 所处的位置随之而定。这四个量子数都相同的电子不 多于一个。
J
2J (J 1)
J (J 1) B
令
g
1
J
(J
1)
S(S 1) 2J (J 1)
L(L
1)
称为朗德因子或光谱分裂因子
J
g
J ( J 1) B
原子磁矩在外场方向的投影为：
( J )H mJ gB
mJ = 0，±1，±2， …，±J，共有（2J+1）个
角动量 pl 的绝对值为
pl l(l 1)
对应角动量的磁矩的绝对值是
l
l(l 1) e 2me
令
B
e 2me
则 l l(l 1) B
角动量和磁矩在空间是量子化的，其在外磁场方
向的分量不连续，间断值取决于磁量子数ml，即 有
( pl )HLeabharlann ml(l )H ml B
PJ的绝对值为 PJ J ( J 1)
PS S(S 1)
PL L(L 1)
原子的总角量子数J由S和L合成。J可取J=L+S，L+S1，…∣ L-S∣ 个可能值。 当L>S时J可取从(L+S)到(L-S)共(2S+1)个可能值； 当L<S时，J可取从(S+L)到(S-L)共(2L+1)个可能值。
(⑴)电子壳层与磁性 多电子原子中，决定电子所处的状态的准则有两条:
一是泡利(W.Pauli)不相容原理，即在已知体系中，同一 （n、l、ml、ms）量子态上不能有多于一个电子。
二是能量最小原理，即体系能量最低时，体系最稳定。
多电子原子中电子分布规律：
第一、由n、l、ml和ms，四个量子数确定以后，电子 所处的位置随之而定。这四个量子数都相同的电子不 多于一个。
J
2J (J 1)
J (J 1) B
令
g
1
J
(J
1)
S(S 1) 2J (J 1)
L(L
1)
称为朗德因子或光谱分裂因子
J
g
J ( J 1) B
原子磁矩在外场方向的投影为：
( J )H mJ gB
mJ = 0，±1，±2， …，±J，共有（2J+1）个
原子`离子的磁矩(顺`抗磁)
率温度关系服从居里-外斯定律。
C
4. 在居里温度附近出现比热等性质的反常。
T Tp
5. 磁化强度M和磁场H之间不是单值函数，存在磁滞效应。
构成这类物质的原子也有一定的磁矩，但宏观表现却完 全不同于顺磁性，解释铁磁性的成因已成为对人类智力的最 大挑战，虽然经过近100年的努力已经有了比较成功的理论， 但仍有很多问题有待后人去解决。
在测量材料磁化曲线前可以通过交流退磁；形变退磁； 热退磁等方法，使材料达到退磁状态。
2.磁化曲线 反映材料特性的基本曲线，从中可以得到标
志材料的参量：饱和磁化强度Ms、起始磁化率a 和最大磁化率m
Ms
Ms可以理解为 该温度下的自
发磁化强度M0
顺磁性物质磁化曲线 抗磁性物质磁化曲线
铁磁体的磁化过程
就是亚铁磁性物质上世纪3040年代开始在此基础上人工合成了一些具有亚铁磁性的氧化物但其宏观磁性质和铁磁物质相似很长时间以来人们并未意识到它的特殊性1948neel在反铁磁理论的基础上创建了亚铁磁性理论后人们才认识到这类物质的特殊性在磁结构的本质上它和反铁磁物质相似但宏观表现上却更接近于铁磁物质
1.3 宏观物质的磁性
O2,有机物中的双自由基等
3. 铁磁性（Ferromagnetism)
这是人类最早发现并利用的强磁性，它的主要特征是：
1. >>0，磁化率数值很大， 100 105
2. 磁化率数值是温度和磁场的函数；
3. 存在磁性转变的特征温度——居里温度TC，温度低于居里 温度时呈铁磁性，高于居里温度时表现为顺磁性，其磁化
1.77 39.95 0.85
-28.0
3.09 83.80 1.03
-43
3.78 131.3 1.24
原子`离子的磁矩(顺`抗磁)
例如：Gd：T< 221K, 是平面型简单铁磁性。 221K< T <228K，是平面型螺旋反铁磁性。
姜书 p115
7. 超顺磁性（Superparamagnetism）
当铁磁颗粒减小到临界尺寸以下(1~10 nm)，微粒的各 向异性能远小于热运动能量，微粒的磁化矢量不再有确定的 方向时，铁磁粒子的行为类似于顺磁性一样。这些磁性颗粒 系统的总磁性叫做超顺磁性。普通顺磁性是具有固有磁矩的 原子或分子在外磁场中的取向，而超顺磁性是均匀磁化的单 畴粒子的原本无序取向的磁化矢量在外磁场中的取向。每 个单畴粒子包含较大数目的原子所以有大得多的磁矩。
一些抗磁性金属在20℃时的克分子磁化率（CGS单位）：
(106 )
(106 )
见冯索夫斯基《现代磁学》(1953) p74
2. 顺磁性（Paramagnetism）
这是19世纪后半叶就已经发现并研究的另一类弱磁性。 它的最基本特征是磁化率为正值且数值很小，0<<<1。
顺磁性物质的磁化率是温度的函数，服从居里定律或居里外斯（Curie-Waiss)定律。
反常抗磁性物质：Bi,Ga,Zn,Pb,磁化率与磁场、温度有关。
广义地说，超导体也是一种抗磁性物质，=-1 ，它的机理 完全不同，不在我们讨论之内。
见姜书p25
CGS单位制克分子磁化率
体积磁化率
密度 原子量 ×10-6
ρn
-1.9
0.205 4
0.097
-7.2
1.51 20.18 0.43
-19.4
1.3 宏观物质的磁性
原子、离子的磁矩（顺、抗磁）
固
体
晶体结构和晶场类型（自旋、轨道贡献）
磁
姜书 p115
7. 超顺磁性（Superparamagnetism）
当铁磁颗粒减小到临界尺寸以下(1~10 nm)，微粒的各 向异性能远小于热运动能量，微粒的磁化矢量不再有确定的 方向时，铁磁粒子的行为类似于顺磁性一样。这些磁性颗粒 系统的总磁性叫做超顺磁性。普通顺磁性是具有固有磁矩的 原子或分子在外磁场中的取向，而超顺磁性是均匀磁化的单 畴粒子的原本无序取向的磁化矢量在外磁场中的取向。每 个单畴粒子包含较大数目的原子所以有大得多的磁矩。
一些抗磁性金属在20℃时的克分子磁化率（CGS单位）：
(106 )
(106 )
见冯索夫斯基《现代磁学》(1953) p74
2. 顺磁性（Paramagnetism）
这是19世纪后半叶就已经发现并研究的另一类弱磁性。 它的最基本特征是磁化率为正值且数值很小，0<<<1。
顺磁性物质的磁化率是温度的函数，服从居里定律或居里外斯（Curie-Waiss)定律。
反常抗磁性物质：Bi,Ga,Zn,Pb,磁化率与磁场、温度有关。
广义地说，超导体也是一种抗磁性物质，=-1 ，它的机理 完全不同，不在我们讨论之内。
见姜书p25
CGS单位制克分子磁化率
体积磁化率
密度 原子量 ×10-6
ρn
-1.9
0.205 4
0.097
-7.2
1.51 20.18 0.43
-19.4
1.3 宏观物质的磁性
原子、离子的磁矩（顺、抗磁）
固
体
晶体结构和晶场类型（自旋、轨道贡献）
磁
6[1].1原子的磁矩6.2外磁场对原子的作用
![6[1].1原子的磁矩6.2外磁场对原子的作用](https://img.taocdn.com/s3/m/62d830020740be1e650e9adc.png)
PJ绕磁场旋进示意图
磁场对 J的力矩: M = 0 J × H = J × B
dP M= dt
(1) (2)
M的存在使得角动量的改 变 dP连续发生 dP ⊥ PJ , PJ只改变方向,大小不变
dP = PJ sin β dψ
dP dψ = PJ sin β = PJ sin β ω J dt dt dψ : 旋进的角速度 ωJ = dt
he E = M g B = M B B g 4πm
E eB 光谱项差: T = = Mg = MgL hc 4πmc
e 1 洛仑兹单位: L = B =0.47cm B 4πmc
结 论
1.原子在磁场中所获得的附加能量与B成正比; 2.因为M取(2J+1)个可能值,因此无磁场时的原子
的一个能级,在磁场中分为(2J+1)个子能级.
e J = g pJ 2m
(1)L-S耦合
J (J +1) L(L +1) + S(S +1) g = 1+ 2J (J +1)
J(J +1) + ji(ji +1) JP(J P +1) 2J(J +1) J(J +1) + JP(J P +1) ji(ji +1) + gp 2J(J +1) g = gi
E = M BB g
所以在弱磁场中原子的能级可表为:
Enljmj = Enl + Ej +EM
在分裂后的磁能级间的跃迁要符合选择定则:
L = ±1 ; J =0,±1 ; M =0,±1 J =0 时 ,M =0→M =0 除外.
B
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●ms决定电子自旋角动量在磁场方向分量Msz的大 小: h 1
M s z ms 2 ms 2
e h s ge s( s 1) g e s( s 1) e 2me 2
s ge
z
ge=2.00232 称为电子自旋因子；电子自旋磁矩方向 与角动量正好相反，故加负号
2
2. 角量子数l：决定电子的原子轨道角动量的大小。
h 2 ˆ M l (l 1) 2
h h 2 M l (l 1) , M l (l 1) 2 2
2
2
l 0,1,2,, n - 1
原子的磁矩：
e h eh l (l 1) l (l 1) l (l 1) e 2me 2 4me
●
h 1 1 2 ˆ M 2[ (sin ) 2 ] 2 4 sin sin
2 2
h R R ˆ M [ (sin ) 2 ] 2 2 4 sin sin
2 2 2
h ( 1) 2 4
1 3 m j , , , j 2 2
ˆ E H n n n 1. 主量子数n：决定体系能量的高低。
解此方程得出的每一个n正好被体系的Hamilton算符 作用后都等于一个常数En乘以n，即， n代表的状态具 有能量En，这是解R方程对En的限制。 单电子原子的能级公式（选电子离核无穷远处的能量为 零）：
2.2 量子数的物理意义
e Z Z En 2 2 2 13.6 2 (eV ) 8 0 h n n
4 2 2
n 1,2,3,
H原子基态能量E1=-13.6eV<0，仍有零点能， 如何理解？ ●virial theorem（维里定理）：对势能服 从rn规律的体系，其平均势能<V>与平均动能 <T>的关系为： <T>=n<V>/2. ●H原子势能服从r-1规律，所以<T>=-<V>/2 E1=-13.6eV=<T>+<V>=<V>/2, <V>=-27.2eV, <T>=-<V>/2=13.6eV,即为零点能。
h Mz m 2
m=0，1，2，…, l
e e h eh z Mz m m m e 2me 2me 2 4me
4. 自旋量子数s和自旋磁量子数ms： ●s决定电子自旋角动量∣Ms∣的大小:
Ms
s ( s 1)
h 2
s
1 2
电子的自旋磁矩s及其在磁场方向的分量sz：
eh e 9.274 10 24 J T 1 4me
e 称为Bohr 磁子。
3. 磁量子数m：决定电子的轨道角动量在z方向的分 量Mz，也决定轨道磁矩在磁场方向的分量z.
ih 1 im mh 1 im h ˆ ˆ M z R M z R e e m 2 R 2 2 2 2
e h ms g e ms e 2me 2
5. 总量子数j和总磁量子数mj：
●j决定电子轨
h j ( j 1) 2
j=l+s, l+s-1, …, ∣l-s∣
●mj决定电子总角动量在磁场方向分量的大小 Mjz：
h M jz m j 2