第三章多电子原子
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
3 第三章 原子结构和元素周期表
三、 核外电子排布
根据三个原理和鲍林近似能级图，写出 下列元素原子的核外电子排布式。
也可写作：
21Sc：
1s22s22p63s23p63d14s2
[Ar] 3d14s2
Mn： 1s22s22p63s23p63d54s2 25
[Ar] 3d54s2
方括号部分称原子实
注意
对于等价轨道（同一电子亚层）来说，电
第 3章
原子结构和元素周期表
第一节
核外电子的运动状态
一、氢原子光谱和玻尔模型
当一束白光通过棱镜时，不同频率的光由于折射率不同， 经过棱镜投射到屏上，可得到红、橙、黄、绿、青、蓝、紫连 续分布的带状光谱。这种光谱称为连续光谱。 各种气态原子在高温火焰、电火花或电弧作用下，气态原子也 会发光，但产生不连续的线状光谱，这种光谱称为原子光谱。 不同的原子具有自己特征的谱线位置。 1.氢原子光谱 氢原子光谱为线状光谱 ,在可见光区可观察到四条分立的 谱线，分别是H、H、H、H，并称之为巴尔麦线系。从谱 线的位置可以确定发射光的波长和频率，从而确定发射光的能 量。
在没有外加磁场情况下，同一亚层的原子轨道，
能量是相等的，叫等价（简并）轨道。
n、l、m可以确定原子轨道的能量和形状，
故常用这3个量子数作的脚标以区别不同的波函
数。例如 100 ，表示n=1、l=0、m=0的波函数。
（4）自旋量子数（ms）：表示电子自旋角动 量在外磁场方向的分量。 实验证明，电子除绕核运动外，还有绕自身 的轴旋转的运动，称自旋。 1 1 ms= 和 2。其中每一个数值表示电子的一种 2 自旋方向，即顺时针和逆时针方向。 研究表明：同一原子中，各个电子的四个量 子数不可能完全相同，即不可能有运动状态完 全相同的电子。 由此可知：每一个轨道只能容纳两个自旋方 向相反的电子。
原子物理学 课后答案
目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。
第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。
1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。
难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。
2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。
3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。
第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。
第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。
第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。
第三章 多电子原子的结构
子半径逐渐收缩，这个现象称为镧系收缩。从 72 号 Hf 开始重新填充 5d 轨道，到 79 号 Au 5d 轨道填 满，形成第三过渡元素系。由于镧系收缩，第三过 渡系的元素与第二过渡系的元素中同族元素的原子 离子半径很相近，化学性质很相近。第七周期的 5f 轨道参与成键的程度比第六周期 4f 轨道要大（由于 5f 轨道有节面，4f 轨道没有节面，5f 轨道电子云分 布比 4f 更为弥散，离原子核更远）。从 Ac 到 Lr 的离子都具有 fx 的组态，化学性质很相似，称为锕 系元素。
§3 原子中电子的排布和元素周期表 3.1 原子中电子排布的原则
基态原子核外电子的分配遵从如下三条原则： （1）泡利原理：在同一原子中不能有两个或两个以 上的电子具有完全相同的四个量子数，即每一个原 子轨道最多只能填充两个自旋相反的电子。 （2）最低能量原理：在符合泡利原理的前提下，电 子填充后尽可能使体系的能量最低。 （3）洪特规则：在等价轨道（量子数 n、l 都相同） 上排布的电子尽可能分占不同的轨道，且自旋平行。
3. 第三周期填 3s 和 3p 轨道，可以填 8 个电子。3d 轨 道虽然可填 10 个电子，但由于优先填充 4s 比优先 填充 3d 的体系总能量更低，所以 3p 轨道填满后， 先填 4s 轨道，4s 填满后再填 3d，然后再填 4p，4d 和 5s 情况类似。这样就造成第三周期填充的轨道为 3s、3p，总数仍是 8 个电子。
上面四式中，η1 和 η2 是对称的，而 η3 和 η4 是 非对称的，但可将 η3 和 η4 线性组合成两个等价的自 旋波函数 (3-23) (3-24) 其中 η5 是对称的，η6 是反对称的。
包括空间坐标与自旋坐标的多电子体系的完全波 函数是否必须是对称或反对称的呢？并且是对称的还 是反对称的呢？泡利（Pauli）在总结大量实验结果的 基础上得出泡利原理。
第三章 电子效应和空间效应
例： CH3δ+ Clδ键距 μ=qd q: 中心电荷 d：正负电荷中心的距离
分子的偶极距是各键的键距向量和:
H H H
μ=0
Cl H Cl Cl
μ=0
Cl Cl H H
μ=1.94D
C
C
C H
Cl-Cl ( 键距为零)
3.2诱导效应
4.2.1 定义：诱导效应是指在有机化合物中由于电负性不同的取 代基的影响，使整个分子中成键电子云按取代基团的电负性所决定 的方向而偏移的效应。
-I效应：
CH3δδδ+-CH2δδ+-CH2δ+→Clδ-
+I效应：
O CH 3 C H
诱导效应在没有外加电场影响下也存在，它体现的是分子自身的性质。诱
导效应一般用 I 表示，饱和 C-H 键的诱导效应规定为零。
当一个原子或原子团与碳原子成键后，电子云偏离碳 原子，称为-I 效应。 例：
O H3C X H3C H H3C
非极性共价键:相同原子(基团)成键,电 子云分布对称 极性共价键:不同原子(基团)成键,电子 云分布偏向 共价键极性:取决成键原子的相对电负 性.是结构与反应性能关系的基础
极性共价键： 形成共价键的原子，它们之间吸引电子 的能力是不一样的。这就使得两原子间 共价键的电子云不是平均分配在两个原 子核之间，而是偏向电负性较大的原子， 这种键成称为极性共价键。
•
3.4.2 对反应机理的影响
在一些反应中，由于诱导效应等因素可以改变其反 应机理。如溴代烷的水解反应，伯溴代烷如CH3—Br主 要按 SN2历程进行，而叔溴代烷如(CH3)3C—Br则主要 遵从SN1历程进行。
3.4.3 对反应速率的影响
原子物理学第三章习题解答
第三章习题解答3-1 电子的能量分别为10eV 、100eV 和1 000eV 时，试计算其相应的德布罗意波长。
解：根据公式hp λ==10eV 、100eV 、1 000eV得1240eV λ=⋅因此有：（1）当110,0.39K E eV nm λ===时 （2）当1100,0.123K E eV nm λ===时 （3）当11000,0.039K E eV nm λ===时3-2设光子和电子的波长均为0.4nm ，试问（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：由题意知Q 光子的动量h p λ= ， 光子的能量cE h hνλ==电子的动量 h p λ= ， 电子的能量2e E m c =∴（1）121p p = （2）126212400.0610.40.40.40.51110e e E h hc eV nm E m c m c eV nm⋅====⨯⨯⋅ 3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？（2）其相应的德布罗意波长是多少？解：（1）相对论给出运动物体的动能为：20()k E m m c =-，而现在题设条件给出20k E m c =故有2200()m c m m c ∴=-由此推得02m m ===2230.8664v v c c ∴=⇒==（2）0hp c λ==Q0.0014nm λ∴===3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量。
若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18，一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30度，试求这些热中子的能量。
解：根据布喇格晶体散射公式： 2sin 20.18sin300.18d nm λθ==⨯⨯=o 而热中子的能量较低，其德布罗意波长可用下式表示：h p λ==()222220.02522k hc h E eV m mc λλ=== 3-5电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正。
半导体物理第三章半导体中的电子状态
有化运动：2s能级引起“2s”的共有化运动，2p能级引起
“共2有p化”的运动。
2p
• 2s • • •
► 晶体中电子的运动
► 晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的？
a: 考虑一些相同的原子，当它们之间的距离很大时，可以 忽略它们之间的相互作用，每个原子都可以看成孤立的， 它们有完全相同的电子能级。如果把这些原子看成一个 系统，则每一个电子能级都是简并的。(2个原子构成的 系统，为二度简并（不计原子本身的简并时）；N个原 子构成的系统，为N度简并）。
b: 能带的形成：原子相互靠近时，由于之间的相互作用， 使简并解除，原来具有相同能量的能级，分裂成具有不 同能量的一些能级组成的带，称为能带。原子之间的距 离愈小它们之间的相互作用愈强，能带的宽度也愈大。 (图3.2)
• 原子能级和能带之间并不一定都存在一一对应的关系。 当共有化运动很强时，能带可能很宽而发生能带间的重 叠，碳原子组成的金刚石就是属于这种情况。(图3.3)
3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小， 能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有化运动强，能级分 裂大，因而能带较宽。
4：每个能带都是共有化电子可能的能量状态，称为允带；各允 带之间有一定的能量间隙，电子能量不可能在这一能量间隙 内，称之为禁带。
5：每个允带包含的能级数一般等于孤立原子相应能级的简并度 （不计自旋简并）× 组成晶体的原子数目。
设一维晶格长为L，
则有：
L
0
(
x
)
2
dx
1
( 归一化）
即：
L
0
2
A dx 1，
取A
1, L
则 ( x )＝
1 exp(ikx) L
原子核物理-第三章
3.3 β衰变
• 由于K层电子最靠近原子核，故K层俘获几率最大，但 当 时，显然K层俘获不能发生， 而L层俘获则能发生，如202Pb和205Pb
• 轨道电子俘获所形成的子核原子，它的内层电子缺少 了一个，即产生了一个空穴，如K层俘获将使K层产生 一个空穴，从而子核原子处于不稳定的激发态，造成 L层电子跳到K层来填充该空穴并发出特征X射线，这 一射线能量为两层电子的结合能之差
3.1 放射性衰变的基本规律
• 镎系，在人造放射性核素中获得，从 241Pu开始衰变到稳定核素209Bi，系中各 放射性核素的质量数满足A=4n+1，该系 最长的母体半衰期为2.14X106a • 上述放射系中的衰变主要通过α衰变进行， 很少一部分通过β衰变，并且过程中伴随 γ射线的发射
3.1 放射性衰变的基本规律
• 因此发生β+衰变的条件为母核的原子质量比子核的原 子质量大2个电子质量
3.3 β衰变
• 轨道电子俘获的一般形式为： • 轨道电子俘获的本质是核内质子俘获电子转变成中子
• 轨道电子被俘获必须克服电子在原子中的结合能Bi，i 表示K，L，M等层，所以衰变能等于
• 因此发生第i层轨道电子俘获的条件为母核原子质量与 子核原子质量之差大于子核原子第i层电子结合能对应 的质量，即
3.2 α衰变
3.2 α衰变
• 母体向子体不同能级衰变的分支比Ri定义为衰变分强 度，分支比满足Σ Ri =1，所以总的衰变强度等于各分 强度之和
i Ri
ln 2 ln 2 Ri i T T
3.2 α衰变
• 如果母核本身是衰变产物，那么既可 能处于基态又可能处于激发态，从而 处于激发态的母核可以通过发射γ射线 退回基态再进行α衰变，或者直接进行 α衰变，后者所发射的α粒子具有很大 的能量，称为长射程α粒子，激发能越 高， α粒子的能量就越大 • 对一般的原子核，从激发态发射γ射线 的概率要大得多，只有212Po和214Po有 长射程α粒子
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2、价电子绕原子实运动的情况
（1）价电子远离原子实运动 相当于价电子在n 很大的轨道上运动， 价电子与原子实间的作用很弱，原子实电 荷对称分布，正负电荷中心重合在一起。 有效电荷为+e，价电子好象处在一个单位 正电荷的库仑场中运动，与氢原子模型完 全相似，所以光谱和能级与氢原子相同。
Z ee * 势能U ,Z 1 4 0 r0
主线系
第二辅线系
第一辅线系 线 系 限 第 四 条 第 三 条 第 二 条 第 一 条
碱金属原子三个线系的精细结构示意图
推论1；谱线的分裂意味着能级的分裂 推论2；s 能级是单层的，所有p,d,f 能 级都是双层的，并且当量子数n 增大时，双层能级间隔减小。
二、精细结构的理论解释与电子自旋 1、电子自旋（1925年荷兰科学家）
s= 0.4 s =1.35
p = 0.05 p=0.86
d= 0.001 d =0.001
f f
钠：
=0.000
3、能量和能级:
hcR hcR E n hcT *2 2 n (n )
与氢原子的差别
（1）能量由（n, ）两个量子数决定，主量子数 相同，角量子数不同的能级不相同。各能级均低 于氢原子相应能级。 （2）对同一n值，不同值的能级，值较大的能 级与氢原子的差别较小；对同一值，不同n值的 能级，n值较大的能级与氢原子的差别较小。 （3）n很大时，能级与氢的很接近，少数光谱线 的波数几乎与氢的相同。
1. 实验规律: 所有的碱 金属原子的光谱，具 有相仿的结构，实验 上可观察的谱线一般 分为四个线系。 对于锂： 主 线 系：
第二辅线系： 第一辅线系： 柏格曼系：
? ? ?
?
，n = 2, 3, 4… ，n =3,4,5… ，n =3,4,5…
， n =4,5,6…
对于钠
§4.2 原子实的极化和轨道贯穿
1、建立原子实模型
内层电子 与原子核结合的较紧密，而价电子与核 结合的很松，可以把内层电子和原子核看作一个整 体称为原子实。价电子绕原子实运动，原子的 化学性质及光谱都决定于这个价电子。 锂价电子的轨道：n ≥ 2
原子实的有效电荷数 ：
Z*=Z正电荷-负电荷（Z-1）=1
4. 理论解释
原子实模型 原子实极化与轨道贯穿 能级间跃迁的选择定则：
=±1
§4.3 碱金属原子光谱的 精细结构 ——电子的自旋
精细结构的实验事实 精细结构的理论解释与电子自旋
辐射跃迁的选择定则
一、分析精细结构的实验事实：
由实验可知所有的碱金属原子光谱有相 仿的精细结构。主线系和第二辅线系的每 一条光谱线是由两条靠得非常近的分线构 成；第一辅线系和柏格曼线系每一条光谱 线是由三条靠得非常近的分线构成。 例如钠的黄色光谱线，就是它的主线 系的第一条线，是由波长为5890Å和5896Å 的两条分线构成。
则光谱项为：
RZ T 2 n
R n
2
改写后： T
(
)
2
R 2 所以 n*<n n
a非贯穿轨道
b贯穿轨道
价电子的轨道运动
量子力学定量处理
能量和光谱项
hcR E n 2 (n )
R Tn 2 (n )
越小， 越大
小结：碱金属原子光谱
(5) 磁量子数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自旋角动量相对外场的取向只有两种
1 ms 2
（6）自旋磁矩:
μs
e PS m
轨道角动量:
P ( 1)
e μ P 2m s l 2 ps Pl
轨道磁矩 :
（7） 旋磁比:
2、总角动量
电子同时具有轨道角动量和自旋角动量，总 角动量应当是两个角动量的矢量和。
Pj P Ps
P j j (j 1)
=0时 j=1/2 =1时 j=1/2,3/2
j=+s 或 -s
3 Pj Ps 2
3 15 Pj , Pj 2 2
2
Pj Pl Ps 2Pl Ps cos
2 2
角 动 量 矢 量 合 成
u
Z*e
B
PS
r
-e
Z*e
B
r -e
m
u
电子在轨道运动中如何感受磁场的示意图
e μ s PS m
1 Ze 1 Els μ B 2 2 3 pl ps 40 m c r
2
附加能量
*
-e
价电子远离原子实
（2）价电子靠近原子实运动 3e e 2e e ee 势能U 4 0 r小 4 0 r大 4 0 r0
-e
价电子靠近原子实， 使原子实极化
Z ee * U ,Z 1 4 0 r小
*
a 原子实极化（形成电偶极子），使电子又 受到电偶极子的电场的作用，能量降低，同 一n值，越小，极化越强。 b 轨道贯穿（电子云的弥散），对于那些偏 心率很大的轨道， 接近原子实的那部分还 可能穿入原子实发生轨道贯穿，这时Z*>1,从 而使能量降低。
主 线 系： 第二辅线系： 第一辅线系： 柏格曼系：
?
，n = 3, 4…
，n =4,5… ，n =3,4… ， n =4,5…
?
? ?
2. 光谱项
RZ R R 光谱项 : T n 2 *2 2 n n (n )
*2
锂：
=0.000
电子具有固有角动量和固有磁矩的特性叫电 子自旋。
电子自旋的特点：
（1）自旋与轨道（空间）运动的状态无关 （2）自旋量子数 s =1/2 （3）自旋角动量是量子化的
1 1 3 Ps s( s 1) ( 1) 2 2 2
(4) 自旋角动量在外场方向投影
1 Psz m s 2
P
125°16' j=3/2
B
Pj
P
B
s
Ps
Pj
65 °54 '
s
j=1/2
Ps
3.旋轨相互作用
由于电子具有轨道角动量和轨道磁矩在空间产生 磁场,电子又具有自旋角动量和自旋磁矩在空间也产 生一个磁场,这两个磁场的相互作用使原子获得附加 E 能量,这就是旋轨相互作用能量 。
E μ B