人教版高中数学必修4第三章单元综合测试
A．直角三角形 C．锐角三角形
B．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：sinAsinB<cosAcosB，即 sinAsinB－cosAcosB<0， －cos(A＋B)<0，所以 cosC<0，从而角 C 为钝角，△ABC 为钝角 三角形． 答案：B 2sin2α cos2α 7. · 等于( 1＋cos2α cos2α A．tanα C．1 2sin2α cos2α 解析：原式＝ · 1＋2cos2α－1 cos2α ＝ 2sinα· cosα 2tanα 2 2 ＝ cos α－sin α 1－tan2α ) B．tan2α 1 D.2
)
5π 11π B.kπ＋12，kπ＋ 12 ，k∈Z
π π C.kπ－3，kπ＋6，k∈Z
π 2π D.kπ＋6，kπ＋ 3 ，k∈Z
π 解析：f(x)＝ 3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋6)，由已知得周期 T＝π. π ∴ω＝2，即 f(x)＝2sin(2x＋6)． π π π π π 由 2kπ－2≤2x＋6≤2kπ＋2(k∈Z)得 kπ－3≤x≤kπ＋6(k∈Z)． 答案：C 6．在△ABC 中，sinAsinB<cosAcosB，则△ABC 为( )
单元综合测试三
时间：120 分钟 分值：150 分
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．对任意的锐角 α，β，下列不等关系中正确的是( A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ C．cos(α＋β)<sinα＋sinβ )
B．sin(α＋β)>cosα＋cosβ D．cos(α＋β)<cosα＋cosβ
1 3 1 1 5π 解析：f(x)＝2× 2 sin2x＋2cos2x－2sin 6 3 1 1 ＝ 4 sin2x＋2cos2x－4
3 1 1＋cos2x 1 1 π ＝ 4 sin2x＋2× － ＝ sin(2 x ＋ 2 4 2 6)， 1 π 所以 g(x)＝2sin(4x＋6)． π π π 7π π π 因为 x∈[0，4]，所以 4x＋6∈[6， 6 ]，所以当 4x＋6＝2时，g(x) 1 π 7π 1 取得最大值2；当 4x＋6＝ 6 时，g(x)取得最小值－4. 答案：C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填 在题中横线上) 13． 已知 α， β 为锐角， 且 cos(α＋β)＝sin(α－β)， 则 tanα＝________. 解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)， ∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ. ∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)． ∵β 为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα， ∴tanα＝1. 答案：1 π 4 7π 14．已知 cos(α－6)＋sinα＝5 3，则 sin(α＋ 6 )的值为________． 3 3 4 解析：由已知得 2 cosα＋2sinα＝5 3， 1 3 4 所以2cosα＋ 2 sinα＝5， π 4 即 sin(α＋6)＝5， 7π π 4 因此，sin(α＋ 6＝tan[(β－α)－α]＝－12. 答案：B 5． 已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)， y＝f(x)的图象与直线 y ＝2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f(x)的单调递增区间是( π 5π A.kπ－12，kπ＋12，k∈Z
B．－sin2α D．－cos2α
π π 解析：原式＝cos2(4－α)＝cos(2－2α)＝sin2α. 答案：A 3－sin70° 3. ＝( 2－cos210° 1 A.2 C．2 ) 2 B. 2 3 D. 2
3－sin70° 23－sin70° 解析：原式＝ ＝ ＝2. 1＋cos20° 3－cos20° 2－ 2 答案：C 1 2 4．已知 tanα＝2，tan(α－β)＝－5，那么 tan(β－2α)的值为( 3 A．－4 9 C．－8 1 B．－12 9 D.8 )
解析：当 α＝β＝30° 时可排除 A，B；当 α＝β＝15° 时，代入 C 1－cos30° 3 得 0<cos30° <2sin15° ， 平 方 得 4 <4sin215° ＝ 4× ＝2－ 3 2 ≈0.268，矛盾．故选 D. 答案：D π π 2．化简 cos2(4－α)－sin2(4－α)得到( A．sin2α C．cos2α )
答案：A
π 11．已知向量 a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(2，π)， 2 π 若 a· b＝5，则 tan(α＋4)＝( 1 A.3 1 C.7 ) 2 B.7 2 D.3
2 解析：由题意，得 cos2α＋sinα(2sinα－1)＝5， 3 π 解得 sinα＝5.又 α∈(2，π)， 4 3 所以 cosα＝－5，tanα＝－4， π 则 tan(α＋4)＝ 答案：C 1 π π 1 π π 12．将函数 f(x)＝2sin2xsin3＋cos2xcos3－2sin(2＋3)的图象上各 1 点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象， π 则函数 g(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为( 1 1 A.2，－2 1 1 C.2，－4 1 1 B.4，－4 1 1 D.4，－2 ) 1 ＝ π 7. 1－tanαtan4 π tanα＋tan4
4 9．已知等腰三角形顶角的余弦值等于5，则这个三角形底角的正 弦值为( 10 A. 10 3 10 C. 10 ) 10 B．－ 10 3 10 D．－ 10
π 解析： 设等腰三角形的底角为 α(0<α<2)， 则其顶角为 π－2α.由已 4 知 cos(π－2α)＝5， 4 ∴cos2α＝－5. 4 9 故 1－2sin2α＝－5，sin2α＝10. π 3 10 又 0<α<2，∴sinα＝ 10 . 答案：C 3π 1 10．已知 sin2α＝5(2<2α<π)，tan(α－β)＝2，则 tan(α＋β)＝( A．－2 2 C．－11 3 π 解析：由 sin2α＝5，且2<2α<π， 4 3 可得 cos2α＝－5，∴tan2α＝－4， ∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)] ＝ tan2α－tanα－β ＝－2. 1＋tan2αtanα－β B．－1 2 D.11 )
＝tan2α. 答案：B 8．若 cos2θ＋cosθ＝0，则 sin2θ＋sinθ＝( A．0 C．0 或 3 B．± 3 D．0 或± 3 )
解析：由 cos2θ＋cosθ＝0 得 2cos2θ－1＋cosθ＝0， 1 所以 cosθ＝－1 或2. 当 cosθ＝－1 时，有 sinθ＝0； 1 3 当 cosθ＝2时，有 sinθ＝± 2 . 于是 sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0 或 3或－ 3. 答案：D
【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末综合检测(B)新人教A版必修4
第三章 三角恒等变换章末检测（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：＋θ＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]．(1)求a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ²b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求α＋π4π＋2α的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章 三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2³13－191＋19＝75.] 10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)³(－13)＋223³13＝429. 16．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝cos 3x 2＋cos x 22＋sin 3x 2－sinx22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ²b |a |²|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 21．解 (1)由题意，得m ²n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ²(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以α＋π4π＋2α＝α＋π4cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝2α－sin α＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2³π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。
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π B．3
π C． 2
2π D． 3
5.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由 间的小正方形拼成的一大正方形， 若直角三角形中较小的锐角为
4 个相同的直角三角形与中 θ，大正方形的面积是 1，小
正方形的面积是 215，则 sin2θ－ cos2θ的值等于 (
)
A．1
24
7
B ．－ 25 C． 25
π个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是 6
()
A ． y＝ sin 2x
B． y＝cos 2x
2－ 6
答案 D
解析 ∵f(x)＝ sin 2x＋ π6 ，
π
π
∴将函数 f(x)＝ sin 2x＋ 6 的图象向右平移 6个单位长度，
得f
π x－ 6 ＝sin
D． f(x)在
π， 2
π
内单调递减
9．已知
ω＞ 0，函数
f(x)＝
2 2 (sin ωｘ＋cos ωｘ) 在
π2， π上单调递减，则实数
ω的取值范围是
()
A．
1， 5 24
B．
1， 3 24
1 C． 0，2
D． (0,2]
10．已知正三角形
ABC 的边长为
2
3，平面
ABC 内的动点
P，M
满足
→ |AP|＝1，
ππ 再取 ω＝ 2，则 f(x)＝sin 2x＋ 4 在 2 ，π上不单调，故 ω≠2，故排除 D，故选 A.
方法二
因为 ω＞ 0，函数 f(x)＝sin ωｘ＋ 4π在 π2， π上单调递减，所以
T＝ 2ωπ≥2
π－
π 2
，得
0＜ ω≤ 2. 又 ω2π＋ π4＜ ωｘ＋ π4＜ ωπ＋ π4，
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：习题课(三) 含解析
习题课(三)一、选择题1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB→＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同、终点相同，故①不正确；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确；③也不正确，因为A 、B 、C 、D 可能落在同一条直线上；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中，若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了，因此⑥也不正确．2．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,17]B ．(3,17)C ．(3,10)D ．[3,10]答案：A解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →共线时的情况求解．即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →|≤17.3．对于非零向量a ，b ，下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b ，则|a |＝|b |B ．若a ∥b ，则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0D ．a ∥b 与a ，b 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质，可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反，但模长不确定，因此B 错误．4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6，两式相减并除以4，可得a ·b ＝1.5．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A. 5B.10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ，∴2x －4＝0，x ＝2，又b ∥c ，∴2y ＋4＝0，∴y ＝－2，∴a ＋b ＝(x ＋1,1＋y )＝(3，－1)．∴|a ＋b |＝10.6．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β.已知非零向量a ，b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a °b ，b °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪n 2n ∈N 中，则a °b ＝( ) A.52或32 B.12或32C ．1 D.12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2，n ∈N ①.同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2，m ∈N ②.再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12，①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4，m ，n ∈N ，∴m ＝n ＝1，∴a °b ＝n 2＝12，选D. 二、填空题7．若向量OA →＝(1，－3)，|OB →|＝|OA →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20，所以|AB →|＝20＝2 5.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因此cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3. 9．设正三角形ABC 的面积为2，边AB ，AC 的中点分别为D ，E ，M 为线段DE 上的动点，则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________．答案：532解析：设正三角形ABC 的边长为2a ，因为正三角形ABC 的面积为2，所以a 2＝233.设MD ＝x (0≤x ≤a )，则ME ＝a －x ，MB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2，当x ＝a 2时，MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532. 三、解答题10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.11．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)若AP →＝3PB →，则OP →＝14OA →＋34OB →， OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3. 能力提升12．已知A (1,0)，B (5，－2)，C (8,4)，D (4,6)，那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4，－2)，BC →＝(3,6)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0，故AB →⊥BC →.又DC →＝(4，－2)，故 AB →＝DC →.又|AB →|＝20＝2 5，|BC →|＝45＝3 5，故|AB →|≠|BC →|，所以，四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中，已知三点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －4,2)，AC →＝(2，t )，BC →＝(6－t ，t －2)，若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝0，即2(t －4)＋2t ＝0，∴t ＝2；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0，∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解，∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD →＝BC →，设点D 的坐标为(x ，y )，即(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)，∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2 ＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD →|取得最小值4 2.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 单元测试卷 平面向量(含答案解析)
7
7
∴Error!解得 m=2，n= ，∴D(2， )，故选 A.225.答案为：D.
解析：由题意，得 a·b=3×(－3)＋4×1=－5，|a|=5，|b|= 10，
a·b －5 1
则 cos θ=
= =－ .
|a||b| 5 10 10
3
sin θ
∵θ∈[0，π]，∴sin θ= 1－cos2θ= ，∴tan θ=
22.已知 a=(2＋sin x，1)，b=(2，－2)，c=(sin x－3，1)，d=(1，k)(x∈R，k∈R)． ππ
(1)若 x∈[－ ， ]，且 a∥(b＋c)，求 x 的值； 22
(2)若函数 f(x)=a·b，求 f(x)的最小值； (3)是否存在实数 k 和 x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在， 请说明理由．
3.在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=60°，AD 是边 BC 上的高，则A→D·A→C的值等于( )
9 A．－
4
9
27
B.
C.
D．9
4
4
4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C=2A→D，则顶点 D 的坐标
为( ) 7
A．(2， ) 2
答案解析
1.答案为：D. 解析：A 中，两向量的夹角不确定，故 A 错；B 中，若 a⊥b，a⊥c，b 与 c 反方向， 则不成立，故 B 错；C 中，应为A→B=O→B－O→A，故 C 错； D 中，因为 b⊥c，所以 b·c=0，所以(a＋c)·b=a·b＋c·b=a·b，故 D 正确．
2.答案为：B. 对 A，a 与 b 若其中一个为 0，不合题意，错误．对 B，零向量是 0，正确；对 C，方向相 同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对 D，共线向量所在直线可能平行，也可能重 合，错误．故选 B.
高中数学 第三章 函数概念与性质单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一
第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )A ．1B ．0C ．πD ．－13．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x 2－2x ＋1，则f(－1)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域是( )A ．[－4,0]B ．[－4,0)C ．[－4，－1)∪(－1,0]D ．(－4,0)5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．1≤m≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝16．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D ．单调增区间是[－1,1] 10．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)211．关于定义在R 上的函数f (x )，下列命题正确的是( ) A ．若f (x )满足f (2 018)>f (2 017)，则f (x )在R 上不是减函数 B ．若f (x )满足f (－2)＝f (2)，则函数f (x )不是奇函数C ．若f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f (x )在R 上是减函数D ．若f (x )满足f (－2 018)≠f (2 018)，则函数f (x )不是偶函数12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[m ，n ]上有最大值f (n )D ．f (x －1)>0的解集为(－∞，1)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．15．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，则a ＝________，f (－3)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X围为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (－2))的值； (2)若f (a )＝32，求a .19．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }满足：(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式，并求当x ∈[0,3]时，f (x )的值域．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，某某数k的取值X围．21．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值X围．第三章单元测试卷1．解析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.答案：D2．解析：∵函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x ∈Q，∴D (π)＝0，D (D (π))＝D (0)＝1.故选A.答案：A3．解析：令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，令x ＝－1，得f (－1)＋g (－1)＝5，两式相加得：f (1)＋f (－1)＋g (1)＋g (－1)＝6.又∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．∴2f (－1)＝6， ∴f (－1)＝3，故选A. 答案：A4．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤－x2≤2，x ＋1≠0，∴－4≤x ≤0且x ≠－1.∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1或m ＝2.答案：B6．解析：设x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝x 2－2(－x )＝x 2＋2x .故f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D 7.解析：f (x )的图象如图．由图知， 若f (x －4)>f (2x －3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值X 围是(－1,4)． 答案：C8．解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A9．解析：f (x )＝－x 2＋2x ＋3则定义域满足：－x 2＋2x ＋3≥0解得：－1≤x ≤3 即定义域为[－1,3]考虑函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在－1≤x ≤3上有最大值4，最小值0. 在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为[－1,3]，值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故选CD. 答案：CD10．解析：f (2x －1)＝(2x －1)2＋2(2x －1)＋1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确．故选BD.答案：BD11．解析：由题意，对于A 中，由2 018>2 017，而f (2 018)>f (2 017)，由减函数定义可知，f (x )在R 上一定不是减函数，所以A 正确；对于B 中，若f (x )＝0，定义域关于原点对称，则f (－2)＝f (2)＝－f (2)，则函数f (x )可以是奇函数，所以B 错误；对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确；对于D 中，若f (x )是偶函数，必有f (－2 018)＝f ( 2018)，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，故A 正确；再令y ＝－x ，代入原式得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )，令x 1<x 2，再令x 1＝x ＋y ，x 2＝x ，则y ＝x 1－x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[m ，n ]上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又f (x －1)>0，即f (x －1)>f (0)，结合原函数在定义域内是减函数可得，x －1<0，解得x <1，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－314．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：115．解析：由定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ， 可得f (0)＝a ＝0，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ， 则f (－3)＝－f (3)＝－(32－2×3)＝－3. 答案：0 －316．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 17．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下： 设x 1，x 2是[3,5]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵3≤x 1≤x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增，所以 函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，函数f (x )的最大值为f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32.18．解析：(1)因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f (f (－2))＝f (－1)＝2.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，所以a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，所以a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，所以a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 19．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)(2)都不满足； 当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)(2)都满足． 因此m ＝0，且f (x )＝x 3在区间[0,3]上是增函数， 所以0≤f (x )≤27，故f (x )的值域为[0,27]． 20．解析：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x ) ＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －22＋2，x ≥0，－x ＋22＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．21．解析：(1)由题意知D 地距B 城(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧100－x ≥10，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)． 又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)．(2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 时，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．解析：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －2≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4]．。
D_高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析
π
(ax＋4)，又函数的最小正周期为 1，故 a ＝1，∴a＝2π， 解析：由条件得 f(x)＝ 2sin π 1 2πx＋ ) ( 4 .将 x＝－8代入得函数值为 0. 故 f(x)＝ 2sin
7．tan20°＋tan40°＋ 3(tan20°＋tan40°)等于( ) 3 A. 3 B．1 C. 3 D. 6 答案：C tan20°＋tan40° 解析：tan60°＝1－tan20°·tan40°， ∴ 3－ 3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3. 8．关于 x 的方程 sinx＋ 3cosx－a＝0 有实数解，则实数 a 的范围是( ) A．[－2,2] B．(－2,2) C．(－2,0) D．(0,2) 答案：A 解析：sinx＋ 3cosx－a＝0，∴a＝sinx＋ 3cosx 3 1 π π sinx＋ cosx x＋ x＋ 2 3 ，－1≤sin 3 ≤1，∴－2≤a≤2. ＝2 2 ＝2sin 2 5 3
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×9－1＝－9. 3．已知 M＝Error!，N＝Error!，则( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案：B 1 1 解析：由 cos2x＝1－2sin2x＝2，得 sinx＝±2，故选 B. θ 4 θ 3 4．已知 sin2＝－5，cos2＝5，则角 θ 终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C θ θ 24 θ θ 7 解析：∵sinθ＝2sin2cos2＝－25<0，cosθ＝cos22－sin22＝－25<0，∴θ 终边在第三象 限． 5．函数 f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 答案：D 解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg π 3π
2019-2020学年高中数学人教A版必修4同步作业与测评：第三章 单元质量测评 Word版含解析
第三章 单元质量测评对应学生用书P97 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 275°－1的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 答案 C解析 2sin 275°－1＝2cos 215°－1＝cos30°＝32．2．函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值是( )A ．－π3B ．－π6C ．π6D ．π3 答案 A解析 f (x )＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ＝2sin(ωx ＋φ)．由图象，得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，所以ω＝2．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，且－π2<φ<π2，所以2×5π12＋φ＝π2，所以φ＝－π3，故选A ．3．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 ∵a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b ＝tan(2×13°)＝tan26°，c ＝sin 50°2＝sin25°，∴a <c <b ．4．2cos10°－sin20°cos20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12 答案 A解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°cos20°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3．5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 答案 A解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈π4，3π4， 又sin θ＋cos θ＝2sin θ＋π4， 所以22<sin θ＋π4≤1， 所以1<sin θ＋cos θ≤2．6．函数y ＝sin2x ＋π3·cos x －π6＋cos2x ＋π3·sin π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2 答案 C解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π3－x －π6＝sin π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1．故x ＝π是图象的一条对称轴方程．7．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．32 答案 B解析 sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝sin163°sin223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°) ＝sin163°sin223°＋cos163°cos223° ＝cos(223°－163°) ＝cos60°＝12．8．函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到．( )A ．向右移动π12个单位B ．向左移动π12个单位 C ．向右移动π6个单位 D ．向左移动π6个单位 答案 A解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin2x ，f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin2x －π6＝2sin2x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( ) A ．22 B ．12 C ．0 D ．－1 答案 C解析 a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)． ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝0．10．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1．当x ∈0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴f (x )min＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4．∴a ＝－4．故选C ．11．已知1－cos x ＋sin x1＋cos x ＋sin x＝－2，则sin x 的值为( )A ．45B ．－45C ．－35D ．－155 答案 B 解析 原式＝(1－cos x )＋sin x(1＋cos x )＋sin x＝2sin 2x 2＋2sin x 2cos x 22cos 2x 2＋2sin x 2cos x 2＝tan x2＝－2，∴sin x ＝2sin x 2cos x 2sin 2x 2＋cos 2x 2＝2tan x 21＋tan2x 2＝2×(－2)1＋4＝－45，故选B ． 12．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tanα＋β2的值是( ) A ．12 B ．－2 C ．43 D ．12或－2 答案 B解析 由题意知：⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－4a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－3a －1＝43，tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，∴tan α＋β2＝12或tan α＋β2＝－2． 由a >1，可得 tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0， ∴tan α<0，tan β<0， 结合α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴tan α＋β2<0，故tan α＋β2＝－2，故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．答案 12解析 因为向量a ∥b ，所以sin2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12．14．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________． 答案 k π－π4，k ∈Z解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1．即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z ．15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2π3－x ＝________．答案2＋33解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33．16．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题： ①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立； ②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是单调递增；③函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图象重合．其中正确命题的序号是________(注：把你认为正确命题的序号都填上)．答案 ①③解析 ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π⇒x ＝k π2－5π12，当k ＝1时，x ＝π12，故③正确；④中应该是向右平移，故④不正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos α－sin α＝325，且π<α<3π2，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．解 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825．所以2sin αcos α＝725．又α∈π，3π2，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425． 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解f(x)＝cos x，－12·(3sin x，cos2x)＝3cos x sin x－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cos π6sin2x－sin π6cos2x＝sin2x－π6．(1)T＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π．(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6．由正弦函数的性质知，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12．因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12．19．(本小题满分12分)在斜△ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B tan C＝1－3，求角A．解在△ABC中，有A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)．所以－cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C．上式两边同时除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝－1．又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－11－(1－3)＝－33＝－tan A ． 所以tan A ＝33． 又0<A <π，所以A ＝π6．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ，ω>0． (1)若f (x )图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围； (2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值是12，求f (x )最小值，并说明如何由y ＝sin2x 的图象变换得到y ＝f (x )的图象．解 f (x )＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋k ＋12． (1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1．又ω>0， ∴0<ω≤1．(2)∵T ＝πω＝π，∴ω＝1． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＋12．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6．从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时， f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时f (x )取最小值－1．把y ＝sin2x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin (2x －π6 )的图象． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合；(3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值． 解 (1)f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6． 令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )． (2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝2k π＋2π3，k ∈Z ． (3)f (x )＝65，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725． 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1．(1)求角C 的大小；(2)若sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，试求sin2A ＋π3的值．解 (1)由2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1，得1－cos(A ＋B )＋2cos 2C －1＝1．又由A ＋B ＋C ＝π，将上式整理，得2cos 2C ＋cos C －1＝0，即(2cos C －1)(cos C ＋1)＝0．∴cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由0<C <π，得C ＝π3．(2)由sin 2A －sin 2B ＝12sin 2C ，得2sin 2A －2sin 2B ＝sin 2C ，即1－cos2A －1＋cos2B ＝34，cos2B －cos2A ＝34，∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －cos2A ＝34，∴－32cos2A －32sin2A ＝34． 得32cos2A ＋12sin2A ＝－34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－34．。
最新人教版高中数学必修4第三章《三角函数的积化和差与和差化积》预习导航
预习导航1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 【自主测试1－1】函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C ．π2 D ．π4 解析：∵y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧ cos ⎝⎛⎭⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎡⎭⎬⎫⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14， ∴函数的最小正周期为π.答案：B【自主测试1－2】sin 37.5°cos 7.5°＝__________.解析：sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12⎝⎛⎫22＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y 2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2； cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y 2. 名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin 105°＋sin 15°等于( )A ．32B ．22C ．62D ．64解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 答案：C【自主测试2－2】函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4的最小值为________． 解析：∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos x cos π4＝2cos x ， ∴f (x )min ＝－ 2.答案：－ 2。
高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析(2)
解析： sinx＋ 3cosx－ a＝ 0，∴ a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1 2sin x＋
3 2 cosx
＝2sin
x＋
π 3
，－
1≤sin
x＋π3 ≤ 1，∴－ 2≤ a≤2.
9．若
α， β为锐角，
2 sinα＝ 5
5， sin(α＋ β)＝ 35，则
cosβ等于 (
)
25 A. 5
25 B. 25
故 f(x)＝
2sin
2πx＋
π 4 .将
x＝－
1代入得函数值为 8
0.
1，故 2π＝ 1，∴ a＝ 2π， a
7． tan20 ＋°tan40 ＋° 3(tan20 ＋°tan40 °)等于 ( )
3 A. 3 B ． 1
C. 3 D. 6 答案： C
解析： tan60 °＝ tan20 ＋°tan40 °， 1－ tan20 ·°tan40 °
C.2 5或 2 5
5
25
D ．－
2 25
5
答案： B
解析： cosβ＝ cos[( α＋β)－α]
＝ cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋ β)sinα，
∵ α为锐角 cosα＝
1－ 2205＝ 55，
∴
sin(α＋
β)＝
35＜
sinα，∴
α＋
β＞
π 2.
∴ cos(α＋ β)＝－
1－ 295＝－ 45，
D．1
解析： 原式＝
sin68 °cos23°－ cos68°sin23 °＝ sin(68
°－ 23°)＝ sin45 °＝
2 2.
2．已知