天津一中第二学期高一数学期末试卷及答案
2019-2020学年天津一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年天津一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若复数z1对应复平面内的点（2，﹣3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．﹣B．C．﹣D．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β3．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）A．1，3，4B．2，3，3C．2，2，4D．1，1，65．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米6．如图，O是△ABC的重心，＝，＝，D是边BC上一点，且＝3，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的体积等于（）A．B．C．D．10．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，＝﹣，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题11．i是虚数单位，则||的值为．12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为．13．若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．14．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，则的值是．15．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝；设＝λ﹣（λ∈R），且•＝4，则λ的值为．三、解答题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝2．求：（ⅰ）边长c；（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．18．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母写这个试验的样本空间；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD＝1．（1）求证：BC⊥SC；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．20．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．参考答案一、选择题1．若复数z1对应复平面内的点（2，﹣3），且z1•z2＝1+i，则复数z2的虚部为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由已知求得z1，代入z1•z2＝1+i，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z1＝2﹣3i，又z1•z2＝1+i，∴，∴复数z2的虚部为．故选：B．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，n∥α或n⊂α；在C中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在D中，m与β平行或m⊂β．解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β，m⊥α，则m与β平行或m⊂β，故D错误．故选：C．3．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）＝0，解得x＝2．又∵，且，∴1•（﹣4）＝y•2，解之得y＝﹣2，由此可得，，∴＝（3，﹣1），可得＝＝．故选：B．4．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）A．1，3，4B．2，3，3C．2，2，4D．1，1，6【分析】利用分层抽样的性质结合频率分布直方图能求出第2，3，4组抽取的人数．解：采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2抽取的人数为：8×＝2人，第3组抽取的人数为：8×＝2人，第4组抽取的人数为：8×＝4人．故选：C．5．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米【分析】在Rt△DBC中求出BC，再利用Rt△ABC的边角关系求出AC的值，即得AD 的大小．解：在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，所以BC＝CD＝2.3米；在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，BC＝2.3米，所以tan70.5°＝，AC＝BC tan70.5°＝2.3×2.842＝6.5366≈6.5（米），所有AD＝AB﹣CD＝6.5﹣2.3＝4.2（米），即像体AD的高度为4.2米．故选：B．6．如图，O是△ABC的重心，＝，＝，D是边BC上一点，且＝3，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由＝3，得：D是BC的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则＝﹣+，故得解解：如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且由＝3，得：D是BC的四等分点，则＝﹣+，故选：A．7．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【分析】直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状．解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．8．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【分析】利用对立事件和互斥事件的概念求解．解：根据事件的特点易知，事件M是否发生对事情N发生的概率没有影响，故M与N 是相互独立事件，故A，B，D属于相互独立事件．对于C：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件；故选：C．9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的体积等于（）A．B．C．D．【分析】根据直线平面的垂直问题得出Rt△SBC，Rt△SAC中AC的中点O，判断SC 为球O的直径，又可求得SC＝2，球O的半径R＝1，求解即可．【解答】解；∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥面SAB，∵BS⊂面SAB，∴SB⊥BC，∴Rt△SBC，Rt△SAC中AC的中点O，∴OS＝OA＝OB＝OC，∴SC为球O的直径，又可求得SC＝2，∴球O的半径R＝1，体积，故选：B．10．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，＝﹣，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据＝﹣，根据线性运算进行变换可求得∠DAB＝；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标值建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于t的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．解：由题意知：＝，设∠DAB＝θ，所以＝（）•（）＝2＝4cosθ﹣4cosθ＝﹣，所以cosθ＝，又θ∈（0，π），所以，以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，所以A（﹣，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），设F（0，t），则＝（，t），＝（﹣，t+），所以＝﹣2+t（t+）＝t2＝（t）2﹣，当t＝时，取最小值，故选：D．二、填空题11．i是虚数单位，则||的值为．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为．【分析】基本事件总数n＝6，利用列举法求出事件（表示事件B的对立事件）包含的基本事件的个数，由此能求出一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率．解：掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，基本事件总数n＝6，事件（表示事件B的对立事件）包含的基本事件有：2，4，5，6，共4个，则一次试验中，事件（表示事件B的对立事件）发生的概率为：P（A∪）＝＝．故答案为：．13．若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．【分析】由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积＝A2全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故答案：14．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，则的值是﹣．【分析】取基底为，，把所求向量转化为用基底表示，即可求出结论．解：因为△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且，∴＝﹣＝﹣（）；则＝（+）•（+）＝（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+•＝﹣×22﹣×12+×1×2×cos120°＝﹣﹣﹣＝﹣．故答案为：﹣．15．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．【分析】由正弦定理得c＝2b，再由余弦定理可得cos A＝，把c＝2b 代入化简可得cos A的值，从而求得A的大小．解：∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，∴cos A＝＝＝＝＝，又0＜A＜π，∴A＝，故答案为．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝3；设＝λ﹣（λ∈R），且•＝4，则λ的值为．【分析】由＝2可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把和＝λ﹣均代入•＝4，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．解：∵＝2，∴B、D、C三点共线，∴，两边平方，有，∴，解得，（舍负）．∵•＝4，∴（），化简整理，得，∴，解得．故答案为：3，．三、解答题17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a＝，b＝2．求：（ⅰ）边长c；（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式化简即可得出．（II）（ⅰ）因为，，利用余弦定理即可得出．（ⅱ）由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得………∴，∴，∵0＜C＜π，…………∴…………………（Ⅱ）（ⅰ）因为，，由余弦定理得，∴…………………（ⅱ）由，…………………因为B为锐角，所以…………………，………………………18．某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母写这个试验的样本空间；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．【分析】（I）结合已知数据，直接利用列举法即可求解；（II）结合等可能事件的概率公式即可直接求解．解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．（II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD＝1．（1）求证：BC⊥SC；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．【分析】（1）先证明SD⊥BC，又BC⊥CD，证明BC⊥平面SDC，根据线面垂直的性质，得出结论；（2）根据题意∠SCD为所求二面角的平面角，根据几何法求出∠SCD；（3）根据题意，得到∠DMP为所求异面直线所成的角，根据勾股定理，求出结果．解：（1）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD＝D，∴BC⊥平面SDC，∵SC⊂平面SDC，∴BC⊥SC；（2）由（1）知BC⊥SC，又CD⊥BC，∴∠SCD为所求二面角的平面角，在Rt△DSC中，∵SD＝DC＝1，∴∠SCD＝45°；（3）取AB中点P，连结MP，DP，在△ABS，由中位线定理得MP∥SB，∴∠DMP或其补角是异面直线DM与SB所成角，∵，，所以△DMP中，有DP2＝MP2+DM2，∴∠DMP＝90°．20．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出＝（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF＝OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI＝BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB＝BD．∴EF∥GI，EF＝GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E （0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为＝（x，y，z），则，取＝（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为＝（1，0，0），∵|cos＜，＞|＝∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为＝；（3）解：AH＝HF，∴＝＝（，0，）．设H（a，b，c），则＝（a+，b，c）＝（，0，）．∴a＝﹣，b＝0，c＝，∴＝（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值＝|cos＜，＞|＝＝．。
天津高一高中数学期末考试带答案解析
天津高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．C．D．3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7.函数的大致图象是（）8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．二、填空题1. .2.已知,，那么= .3.函数，的图象如图所示，则= .4.函数的单调递增区间为 .5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .6.已知是奇函数，满足，，则= .三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．3.已知 (a>0)是定义在R上的偶函数，（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数在的单调性；（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由天津高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.【考点】集合的交集运算.2.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，.故选C.【考点】三角函数的基本公式.3.非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，.故选C.【考点】向量垂直的充要条件；向量的夹角.4.函数的零点所在的大致区间是 ( )A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】B【解析】∵，而，∴函数的零点所在区间是（1，2），故选B．【考点】函数的零点的判定定理.5.把函数的图象向右平移（其中）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方法一：函数的图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，则，得，即，有最小值，解得.方法二：函数的图象的对称轴为，即；图象向右平移（其中）个单位，得到的函数为，即，当时，有最小值.故选B.【考点】函数的图象与性质.6.已知偶函数在区间上单调递减，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由偶函数在区间上单调递减，得在区间上单调递增，，所以或，解得.故选A.【考点】函数的奇偶性和单调性.7.函数的大致图象是（）【答案】B【解析】由题意知：，即，所以函数的定义域为；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减.故选B.【考点】函数的定义域；函数的奇偶性和单调性.8.函数若是方程三个不同的根，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数图像（略），方程有三个互不相等的实根等价于函数与直线图像有三个交点，由图像易知.当方程存在三个不等的实根时，其中有两根在区间内，关于对称；一个根在区间内，故的取值范围是，故选B.【考点】分段函数的概念；指数函数、正弦函数的图象；数形结合思想；函数方程的概念.二、填空题1. .【答案】.【解析】.【考点】余弦函数的基本公式.2.已知,，那么= .【答案】.【解析】【考点】两角差的正切公式.3.函数，的图象如图所示，则= .【答案】.【解析】由图像知：，则；,则；,则；所以.【考点】函数的图象与性质.4.函数的单调递增区间为 .【答案】.【解析】由对数函数的图像和性质得：，则；又，所以函数在其定义域上为偶函数；且当时，单调递增，则当时，函数单调递减；所以函数的单调递增区间为.【考点】对数函数的图像和性质.5.边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，，，则＝ .【答案】.【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，∴，即,,∵,∴M为CD的中点，得,又∵，∴,∴.【考点】向量的数量积坐标运算和向量在平面几何中的应用.6.已知是奇函数，满足，，则= .【答案】-2.【解析】由，得，因此f(x)是以4为周期的函数；又f(x)是定义域为R的奇函数，得，；则，，所以.【考点】函数的奇偶性和周期性.三、解答题1.已知，是第二象限角，求:（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系式直接求解，注意在各个象限内的符号；（2）由同角三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式求解.试题解析：（1）解：∵，且是第二象限角，∴ ,（2），,=【考点】同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式.2.设函数f (x)＝cos(2x＋)＋sin2x＋2a（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的最小值为0，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用两角和的正弦和余弦将函数化简为，由正弦函数的递增区间为，列出关于x的不等式，求得不等式的解集即可得到函数的递增区间；（2）由x得范围求出函数中角的范围，利用正弦函数的图像和性质得到函数最小值的方程，解得参数a的值，再求得函数的最大值.试题解析：解：（1）．由，得所以的单调递增区间为．（2）由，得，故．由的最小值为0，得解得．的最大值为.【考点】两角和的正弦和余弦；函数的图象与性质.3.已知(a>0)是定义在R 上的偶函数， （1）求实数a 的值； （2）判断并证明函数在的单调性； （3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上是单调递增的；（3）.【解析】（1）由函数为偶函数，得，代入函数表达式，化简求得，由，得；（2）用定义证明函数在上单调递增的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）将不等式转化为在上恒成立，即，只需求得函数的最小值，代入不等式即可求得m 的范围.试题解析：解析：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x) 即＝ ∴e x －e －x ＝0，∴ (e x －e －x )＝0， ∴a －＝0，即a ＝±1.而a ＞0，∴，∴f(x)＝e x ＋e －x .（2）函数在上是单调递增的.证明：任取且x 1＜x 2，∴f(x)在上是增函数．（3）由题意，在上恒成立，则只需∵f(x)为偶函数，且f(x)在上是增函数∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)的最小值为则有 ，因此.【考点】函数的单调性、最值；函数的奇偶性和周期性.4.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.【答案】（1）；（2）最小值为-2，的取值集合为；（3）.【解析】（1）将向量，，，代入函数，利用三角函数的基本关系式化简得到，由的最小正周期为，得；（2）由函数的图象与性质，得函数的最小值和相应的x的取值范围；（3）函数的图象向左平移个单位，得；由图象关于点对称，得，解得，则得最小值.试题解析：（1）由已知得，因为最小正周期为,所以（2）因为，所以最小值为-2，此时满足则因此的取值集合为（3），由题意得，，所以得最小值.【考点】向量的数量积；三角函数的基本关系式；函数的图象与性质；函数的最值；函数图像的平移.5.已知函数，其中（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由【答案】（1）奇函数；（2）在上的减函数；（3）存在这样的k其范围为.【解析】（1）已知函数的定义域关于原点对称，再证明，所以函数是奇函数；（2）用定义证明函数在上单调递减的步骤：设值—作差、变形—判断符号—得出结论；（3）由（1）（2）得，不等式可变形为，从而得到不等式组，解得.试题解析：（1）∴是奇函数．（2）任取∴在上的减函数；（3）是上的减函数对恒成立由对恒成立得：对恒成立令由得：由得：即综上所得：所以存在这样的k其范围为【考点】函数的奇偶性、单调性和最值.。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
天津市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
( A2, B2 ),( A3, B1 ), ( A3, B2 ), ( B1, B2 )}，
共 10 个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，
记事件
A
表示“2
件都是一级品”，包含
3
个样本点，则
P
(
A)
=
3 10
.
记事件
B
表示“2
件都是二级品”，包含
1
个样本点，则
P
(
B
)
=
1 10
.
记事件
C
表示“2
件中
1
件一级品、1
件二级品”，包含
6
个样本点，则
P(C)
=
6 10
=
3 5
.
事件
A，B，C
两两互斥，所以
P(B)
+
P(C)
=
P(B
U
C)
=
7 10
，
又由 B È C 表示“至少有 1 件二级品”. 故选：D. 5．C 【分析】根据学生的成绩都在 50 分至 100 分之间的频率和为 1 可求得 x 值，以此判断 A； 计算成绩在区间[70，80)的学生频率，然后可计算该区间学生数，以此判断 B；按照频率频 率分布直方图中平均数计算公式计算可判断 C；按照频率分布直方图中百分位数的计算方 法计算可判断 D. 【详解】定义 A：根据学生的成绩都在 50 分至 100 分之间的频率和为 1，可得
则 m // n ；③若 m / /a ， m Ì b ，a I b = n ，则 m // n ；④若a ^ g ， b ^ g ，a I b = m ，
则 m ^ g .其中所有正确命题的编号是（ ）
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
天津市第一中学、益中学校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
天津市第一中学、益中学校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．－13B ．13C D ． 2．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A ．BC ．D 3．设向量a ()1,1x =- ，b ()3,1x =+，则//a b 是2x = 的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A ．B ．C ．5kmD ．10km5．已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式20x ax b ++≥的解集为R ,则( ) A ．20a b -≥B ．20a b -≤C ．240a b -≥D ．240a b -≤6．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形7．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．649．已知向量a =(3，4)，b =(2，1)，则向量a 与b 夹角的余弦值为( ) A ．255B ．55-C ．2525D ．1152510．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1B ．52-C ．25-D ．52二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
天津市一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.1132.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5B. 25C. 10D. 104.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，65.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=-C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c b a b c c-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O的体积等于( )A.3π B.43π C.23π D.6π 10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-二、填空题11.i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________. 12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=． （1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率.19.如图，四棱锥S ABCD-的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，1SD=.（1）求证BC SC⊥；（2）求平面SBC与平面ABCD所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.20.如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.答案与解析一、选择题1.若复数1z 对应复平面内的点()2,3，且121z z i ⋅=+，则复数2z 的虚部为（ ） A. 513-B.513C.113D.113【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求出2511313z i =-，即得复数2z 的虚部. 【详解】由题意12+3z i =，由121z z i ⋅=+得21(1)(23)3512+3(2+3)(2)1313i i i z i i i i ++-===--， ∴复数2z 的虚部为113， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂．【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 3.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则=a b +( ) A. 5 B. 25C. 10D. 10【答案】C 【解析】 试题分析:向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，2402x x ∴-=⇒=，1(4)202y y ⨯--=⇒=-，从而(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，因此223(1)10a b +=+-=，故选C ．考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直．4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，6【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得第2，3，4组中频数之比，结合分层抽样的特点可得人数. 【详解】由图可知第2，3，4组的频率之比为0.15:0.15:0.3，所以频数之比为1:1:2，现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，所以第2，3，4组抽取的人数依次为2，2,4. 故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的解读及分层抽样方法，通过频率分布直方图可得出频率是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.5.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt ABC 中，70.5ABC ∠=︒，在Rt DBC 中，45DBC ∠=︒，且 2.3CD =米，求像体AD 的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943︒≈，cos70.50.334︒≈，tan70.5 2.824︒≈）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B 【解析】 【分析】在Rt BCD 和Rt ABC 中，利用正切值可求得AC ，进而求得AD . 【详解】在Rt BCD 中， 2.3tan CDBC DBC==∠（米），在Rt ABC 中，tan 2.3 2.824 6.5AC BC ABC =∠≈⨯≈（米），6.5 2.3 4.2AD AC CD ∴=-=-=（米）.故选：B .【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.6.如图，O 是△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，D 是边BC 上一点，且BD =3DC ，则（ ）A 15OD a b 1212=-+ B. 15OD a b 1212=- C. 15OD a b 1212=--D. 15OD a b 1212=+【答案】A 【解析】 【分析】由O 为△ABC 的重心，则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+，又由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则1115341212OD OE ED AE a b =+=+=-+，故得解【详解】如图，延长AO 交BC 于E ，由已知O 为△ABC 的重心， 则点E 为BC 的中点，且()122AO OE AE AB AC ，==+ 由BD =3DC ，得：D 是BC 的四等分点， 则()()1111134324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++- 151212a b =-+， 故选A ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题． 7.在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c ba b c c-分别为角,,A B C 对应边),则ΔABC 的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B 【解析】由题可得21sin22A cosA -==1222c b b c c -=-，所以bcosA c=.由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C 为直角. 本题选择B 选项.8.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）A 掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件的定义直接判断各选项，即可得到结果．【详解】对于选项A ，事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项B ，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；对于选项C ，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”， 则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断，本题属于基础题.9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =球O 的体积等于( )A.3π B.43π C.2π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平面垂直的判定与性质得出SBC ，SAC 为直角三角形，可得SC 的中点O 为球心，又可求得2SC =，求出球的半径，即可得解．【详解】解：SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，SA BC ∴⊥，AB BC ⊥， BC ∴⊥面SAB ， BS ⊂面SAB ， SB BC ∴⊥，Rt SBC ∴，Rt SAC 中AC 的中点O ， OS OA OB OC ∴===，SC ∴为球O 的直径，又可求得2SC =，∴球O 的半径1R =，体积34433V R ππ==， 故选B ．【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．10.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A. 23-B. 43-C. 15275-D. 7336-【答案】D 【解析】根据23AE BD ⋅=-，根据线性运算进行变换可求得3DAB π∠=；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 【详解】由题意知：23BE BC =，设DAB θ∠= ()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ 8824cos 4cos 333θθ=-+-=- 1cos 2θ∴= 3πθ⇒= 以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：()3,0A ∴-，2313E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()0,F t 则()3,AF t =，23133EF t ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2112233AF EF t t t t ⎛⎫∴⋅=-++=+- ⎪⎝⎭当16t =-时，()min 11732361836AF EF ⋅=--=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.二、填空题11.i 是虚数单位，则51i i-+的值为__________. 13【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件AB （B 表示事件B 的对立事件）发生的概率为______. 【答案】23【解析】 【分析】 根据对立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得结果.【详解】依题意可知，事件A 与事件B 为互斥事件，且()2163P A ==，()4263P B ==， 所以()P A B ()()P A P B =+()()1P A P B =+-1221333=+-=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，属于基础题.13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】2π12π+ 【解析】【分析】利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比. 【详解】设正方形的边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2r a π=，2a r π=， 所以圆柱的全面积为22224a S a ππ=⨯+全，故全面积与侧面积之比为222221242a a a ππππ⨯++=，填2π12π+. 【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.14.在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.【答案】53-【解析】【分析】 用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值.【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=， ()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.15.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____. 【答案】6π 【解析】【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B = 根据正弦定理：sin sin b c B C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<< ∴6A π= 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，3AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.【答案】 (1). 3 (2).2711【解析】【分析】由2BD DC →→=可得1233AD AB AC →→→=+，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可； 把1233AD AB AC →→→=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．【详解】解：2BD DC →→=，B ∴、D 、C 三点共线， ∴1233AD AB AC →→→=+， 两边平方得：2221412||||||2||||cos609933AD AB AC AB AC →→→→→=++⨯⨯︒， ∴2371441||42||99992AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯， 解得：37AB →=-或（舍去）．4AD AE →→=，12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-=， 化简整理，得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++=， ∴1229432cos604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=，解得2711λ=． 故答案为：3，2711． 【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．三、解答题17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c (cos cos )0C a B b A c ++=．（1）求角C 的大小；（2）若a =2b =．求：（ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．【答案】（1）34C π=； （2）（ⅰ）c =（ii ）sin(2)B C -=． 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.【详解】解：（1(sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=∴sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-， 0C π<<， ∴34C π=（2）（ⅰ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422(10c a b ab C =+-=+-⨯=，∴c =（ⅱ）由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=，43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B C B C B C -=-=⨯-=【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.18.某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其所属年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件M 的样本点，并求事件M 发生的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；25. 【解析】【分析】（1）根据样本空间的概念写出即可；（2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.【详解】（1）这个试验的样本空间为： {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z .（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为；{},A Y ，{},A Z ，{},B X ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y 共6种，因此事件M 发生的概率()62155P M ==. 【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =.（1）求证BC SC ⊥；（2）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（3）90︒.【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为SCD ∠，根据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则DMP ∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角，根据勾股定理，即可求解.【详解】（1）∵底面ABCD 是正方形， ∴BC CD ⊥，∵SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴SD BC ⊥，又DCSD D =， ∴BC ⊥平面SDC ，∵SC ⊂平面SDC ，∴BC SC ⊥.（2）由（1）知BC SC ⊥，又CD BC ⊥，∴SCD ∠为所求二面角的平面角，在Rt DSC ∆中，∵1SD DC ==，∴45SCD ∠=︒.（3）取AB 中点P ，连结,MP DP ，在ABS ，由中位线定理得//MP SB ， DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角， ∵132MP SB ==2151242DM DP ==+=， 所以DMP ∆中，有222DP MP DM =+，90DMP ∴∠=︒.【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理能力，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.20.如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O−EF−C 的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ3（Ⅲ）721. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值. 试题解析：依题意，OF ABCD 平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（Ⅰ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110{0n AD n AF ⋅=⋅=，即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =，可得()102,1n =,，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=， 又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（Ⅱ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220{0n EF n CF ⋅=⋅=，即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =，可得()21,1,1n =-. 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅，于是23sin ,3OA n =， 所以，二面角O EF C --的正弦值为3. （Ⅲ）解：由23AH HF =，得25AH AF = 因为，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅==-⋅.所以，直线BH和平面CEF. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题。
天津市第一中学高一数学下学期期末考试试题
天津一中201720182 高一年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I 卷(选择题填空题)、第II 卷(答题纸)两部分,共100 分,考试用时90 分钟。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一.选择题:(每小题3 分,共30 分）1.在正四面体 PABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,则下列四个结论中不成立的是A.B C∥平面PDFB.DF⊥平面P A EC.平面 PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC2.a、b 是两条不相交的直线,则过直线b 且平行于a 的平面A.有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D.只能有有限个3.直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a1)y+a21=0平行,则a 等于A.1B.1 或 2C.2D.14.两直线 2x+3ym=0 和xmy+12=0 的交点在ｙ轴上,则m的值为A.24B.6C.±6D.以上都不对5.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△A B O为直角三角形,则必有A.b=a3B.b=a3+a1C.(ba3)(ba3a1)=0D.|ba3|+|ba3a1|=06.一条光线从点(2,3)射出,经过y 轴反射与圆(x+3)2+(y2)2=1 相切,则反射光线所在的直线的斜率为A. 5 或 3B. 3 或 33 5 2 2C. 5 或 4D. 4 或 34 5 3 4PA PB PC 7.过点 P (1,1)的直线,将圆形区域{(x,y )|x 2+y 2≤4}分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线 的方程为 A.x+y 2=0 B.y 1=0 C.x y=0 D.x+3y 4=08.已知点 A 、B 、C 在圆 x 2+y 2=1 上运动,且 AB ⊥BC,若点 P 的坐标为(2,0),则| | 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.99.正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1,面对角线 A 1B 上存在一点 P,使得 AP+D 1P 取得最小值, 则此最小值为A.2 6 22D. 210.已知点 A (1,0)、B(1,0)、C(0,1),直线 y =a x +b(a >0)将△A B C 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取 值范围是 A .(0,1) B .(1 , 1)C .(1 , 1 ] D.[ 1 , 1)2 23 3 2二.填空题(每小题 4 分,共 24 分）11.长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,棱 AA 1=5,AB=12,那么直线 B 1C 1 到平面 A 1BCD 1 的距离是 .12.正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1,点 P 在侧面 CC 1D 1D 及其边界上运动，并且总保持 B 1P ∥平面 A 1BD,则动点 P 的轨迹的长度是 .13.如果 x 2+y 22x+y+k=0 是圆的方程,则实数 k 的取值范围是 .14.若圆 x 2+y 24x+2y+m=0 与 y 轴交于 A 、B 两点,且∠A C B =90o （其中 C 为已知圆的圆心）,则实 数 m 等于 .15.关于 x 的方程 16 x 2 x m 有两个实数解,则实数 m 的取值范围是.16.在平面直角坐标系 x o y 中,圆 C 的方程为 x 2+y 28x+15=0,若直线 y=kx 2 上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ． 三.解答题:(共 4 题,46 分)17.已知圆 C 与 y 轴相切,圆心在射线 x=3y(x≥0)上,且被直线 y=x 2 7 .(1)求圆C 方程;(2)直线l:(m+2)x+(m1)y4m2=0,证明:无论m取何值,直线 l 与圆C 恒交于两点.18.已知正方形ABCD 与梯形CDEF 所在平面互相垂直,C D⊥D E,CF∥DE,C D=CF=2,D E=4,G为 AE的中点. (1)求证:F G∥平面ABCD; (2)求证:平面 ADF⊥平面 AEF;(3)求平面AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.19.已知四边形ABCD 与BDEF 都为菱形,F A=FC,且∠DA B=∠DBF=60o. (1)求证:AC⊥平面 BDEF;(2)求二面角 EAFB 的正弦值;(3)若 M 为边DE 上一点,满足直线 AM 与平面 ABF ,求D MDE 的值.20.已知点 H(0,3),直线 l:2xy4=0,设圆 C 的半径为1,圆心在直线l 上.(1)若圆心C 也在直线xy1=0 上,过点 H 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点 M,使 MH=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围;(3)在(1)的条件下把圆 C 向左平移 3 个长度单位,向下平移 2 个长度单位得到圆C1,直线l1:y=kx+m与圆C1 交于A、P 两点,与 x、y 轴交于 M、N 两点,且PN=MN,点Q 是点P 关于 x 轴的对称点,QN 的延长线交圆C1 于点 B,过 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 A1、B1,是否存在直线 l1 使得点 M 平分线段 A1B1,若存在求出直线 l1 的方程;若不存在说明理由.参考答案：1.C2.B3.A4.C5.C6.D7.A8.B 9.C10.B 60 11.1312. 213.（ ,54） 14.‐315.[ 4,4 4 2 ） 16.317.解：（1）设圆心 C(3a,a)（a ≥0）半径 r=3a27 则由 (3a )2 ( 2a )22a 2 1 即a 0 a 0 a 1圆 C 方程(x 3)2 (y 1)2 9m（2） 令 2 x 则2点 p (2,2)适合直线 l 方程m 1 y 2故点 p(2,2) 使|PQ|= 2 3点 P 在圆 C 点故直线 l 与圆 C 恒交于两点 18.解平面 A B C D平面 C D E F (1) 平面 ABCD 平面 C D E F C DA CA DC D 面 A B C D ，A D平面 C D E F D E C D以 D 为原点， D C ,D E ,D A为 x,y,z 轴由正方向建立空间直角坐标系A（0，0，2）B（2，0，2）C（2，0，0）D（0，0，0）E（0，4，0）F（2，2，0）G（0，2，1）z0 FG ( 2,0,1)平面 A B C D 的法向量 P (0,1,0) FG P 0F G 平面 A B C DFG // 平面 A B C D(2)平面 A D F 的法向量 m(x ,y ,z ) DA(0,0,2)DA m0 zx6 y 1(1, 1,0) DF (2,2,0) DFm 0 x y平面 A D F 的法向量 m(x ,y ,z )AE (0,4,2) AE m0 2y z 0 x y(1,1,2)EF (2, 2,0) EFm 0 x y0 z2m n 0平面 A D F平面 A E F（3）由| c o s m p|| m| mp |6 p | 6故平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 6619.解（1）设 AC BD=0 O AF ADCA CFC A C FD F DB DBD∴AC ⊥平面 BDEFF D（2）F D BDF DACA C平面 A B C D B D以 O 原点，O A ，O B ，O F 为 x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系，设 AB=2aA ( 3a ,0,0)B (0,a ,0)C ( 3a ,0,0)D(0, a,0)F(0,0,3a)点 M 的轨迹是以 D (0, 1) r 2 圆 B D (0,1) 圆 B C (a ,2a 4) 圆 C 与圆 D 有公共交点等价于2 1 | CD | 2 1平面AEF 的法向量 m (x ,y ,z ) A F (3a ,0, 3a ) AF m0 x y0 x y 1(1,0,1)EFDB (0,2a ,0)EF m 0 y 0y 0平面A B F 的法向量 m (x ,y ,z )A F (3a ,0, 3a ) AF m 0 x y0 x y 1| c o sm n | (1,| m n |3,1)15 A B ( 3a ,a ,0)AB m 03x y 0 y 3 | m | | n | 5 设D MD E (01)A MD E A DB F A D ( 3a , a a , 3a )n (1,3,1) 2 由 2 | c o s A m ,n| 即8 24 1 0 15 014D M故 D E420.解（1）2x y 4 0 由圆 E C (3,2) r1,(x 3)2 (y 2)2 1 x y 1 0 设切线方程ykx 3 | 3k 2 3 | 1 即8k 26k 0 k 2k 1 0 o r k3故切线方程y 43或3x 4y12(2)设点 M （x ,y ）由 M A2M O x 2 (y 3)2 4x 2 4y 2即 x 2 (y 1)24(3)设A(x1,y1) B(x 2 ,y2 )M(mkm,0)N(0,m)mA1(x1,0)B1(x 2 ,0)P(,2m)kQ(, 2m)k直线l 方程 y kx m得(k21)x2 2k m x m2 1 01x2 y 2 1x m2k m1k y 3kx m k21直线QN方程x 2 y 21得(q k21)x26k m a x m2 1 0mx6k m由M平分A1B1可知2k q k2 1x12m x2kx x 2k mm6k m m6k m故2k m1 2k 21 k q k21 km29k214m21k21k 2 1p(m,2m)x2y 21k2故代入3 k中k21m213 7故直线l方程y3x7或y3 73x73 7。
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天津一中2014-2015-2高一年级数学期末试卷
一.选择题(每小题3分，共30分)
1.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是
A.
1
a
>
1
b
B.2a>2b
C.|a|>|b|
D.(
1
2
)a>(
1
2
)b
2.不等式2x2+ax+b>0的解集是{x|x>3或x<-2},则a、b的值分别是
A.2,12
B.2,-2
C.2,-12
D.-2,-12
3.如图,方程y=ax+
1
a
表示的直线可能是B
4.设x,y满足
24,
1,
22,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
则z=x+y
A.有最小值2,最大值3
B.有最大值3,无最小值
C.有最小值2,无最大值
D.既无最小值,也无最大值
5.等差数列的首项为
1
25
,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是
A.d>
8
75
B.d<
3
25
C.
8
75
<d<
3
25
D.
8
75
<d≤
3
25
6.从装有4个红球和3个黑球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是
A.至少有一个红球与都是黑球
B.至少有一个红球与恰有一个黑球
C.至少有一个红球与至少有一个黑球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
7.已知函数f(x)=
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋2，x≤0
－x＋2， x>0
,则不等式f(x)≥x2的解集为
A.[-1,1]
B.[-2,2]
C.[-2,1]
D.[-1,2]
8.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,
两球颜色为一白一黑的概率等于
A.
1
5
B.
2
5
C.
3
5
D.
4
5
9.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时, f(x)=x 2
,若∀x ∈[t,t+1],不等式f(x)≤9f(x+t)恒成立,则实数t 的最大值为
A .25- B.32- C.23- D.2
10.如果执行下面的程序框图,那么输出的S=
A.2450
B.2500 C .2550 D.2652
二.填空题(每小题4分，共24分)
11.若直线x+my+2=0与2x+3y+1=0互相垂直,则m=_____.-2/3
12.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1＋a 2b 2
的值为_ .5/2 13. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 .15
14.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为______．1/3
15.把J 、Q 、K 三张牌随机地排成一排,则JK 两牌相邻而排的概率为_____．2/3
16.已知不等式y x a y x +≤+对一切x>0,y>0恒成立,则实数a 的取值范围为 [√2,+∞)
三.解答题(共46分)
17.袋中有4个不同的红球,2个不同的白球,从中任取2个球.试求：
(1)所取的2球都是红球的概率；
(2)所取的2球不是同一颜色的概率．
解：(1)将4红球编号为1,2,3,4；2个白球编号为5,6.任取2球，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A 表示“都是红球”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，
{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25
. (2)基本事件同(1)，用B 表示“不同色”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，
{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815
.(12分)
18.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
（1）求A 的大小；
（2）求sinB+sinC 的最大值.
解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++
即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-
故 1cos 2
A =-，A=120° （2）由（1）得： sin sin sin sin(60)
B
C B B +=+︒
-1sin 2
sin(60)
B B B =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sin
C 取得最大值1。
19.直线l 过定点P(0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于M 、N 两点．若线段MN 的中点为P,求直线l 的方程．
设所求直线l 方程为：y=kx+1，l 与l 1、l 2分别交于M,N
所求直线l 的方程为x+4y-4=0
20.已知数列{a n }满足a 1=1,|a n+1-a n |=p n
,n ∈N ∗,
(1)若{a n }为递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;
(2)若p=0.5,且{a 2n-1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.
2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122211111111224224113321144m m m ---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故2122
41332m m a --=- 综上11
41,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.。