【PPT课件】航天器的轨道与轨道力学
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哈工大航天学院课程-空间飞行器动力学与控制-第3课-空间飞行器轨道动力学上PPT课件
（2）运载火箭的 主动段轨道
在主动段飞行时，作用 在火箭上的力和力矩 如图3.6所示
图3.6 在主动段作用于火箭上的力系
第15页/共48页
XOY 为发射平面坐标， X1O1Y1为速度坐标。图中 为地心角， 为俯仰角， 为 速度方向角， 为火箭飞行 攻角。
第16页/共48页
把作用在火箭上所有的力，
第30页/共48页
春分点：黄道与天赤道的一 个交点。
黄道：地球绕太阳公转的轨 道面（黄道面）与以地心为球心 的天球相交的大圆。
“黄赤交角”：黄道面与赤 道面约相交成23°27′。
太阳的周年视运动：由于地 球公转观测到太阳在恒星间移动， 周期为1年。
黄道就是天球上的太阳周年 视运动轨迹。太阳由南向北过天 赤道的交点叫“春分点”，另一 个交点是秋分点。
co s2
2
k
vk2
v
2 k
rk2
co s2
k
2 2
rk
4 vk2rk2 cos2 k
co s(0
（3-8） )
式中， 3.8961014 m3/s2 称为地球引力常
数可见。，自由飞行段的轨道方程，完全取决于主动段终点的速度 ，速度方向角
和径向距离。
第23页/共48页
在图3.7中，如果火 箭在 B点，再一次点 火加速，使火箭的速 度达到航天飞行器在 该点的运行速度，它 就进入绕地球运动的 的轨道，此轨道称为 “卫星轨道”。卫星 的轨道高度和形状， 由运载火箭主动段终 点的速度矢量和空间 位置决定。
在运载火箭方案论证初期，可以依据发射航天 飞行器的速度要求，用齐氏公式计算出理想速度， 再减去约2000m/s的速度损失，进行方案估计。
第20页/共48页
(优选)航天器动力学基本轨道
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
航天器动力学基本轨道
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
轨道结构理论与轨道力学(扣件)课件
扣件的疲劳性能分析
扣件的疲劳极限
研究扣件在循环载荷作用下的疲 劳极限，以及达到疲劳极限时扣 件的表现。
扣件的疲劳损伤
探讨扣件在疲劳过程中产生的各 种损伤，如裂纹、断裂等现象， 以及这些损伤对扣件性能的影响 。
扣件的寿命预测
根据疲劳试验的结果，预测扣件 在不同工作条件下的寿命，为轨 道结构的维护和更换提供依据。
扣件的创新研究与展望
新型扣件系统的研发
针对不同轨道结构和运营条件，研发新型扣件系统，以满足不断发展的轨道交通需求。
绿色环保设计
加强扣件系统的环保设计，如采用可回收材料和节能技术，降低对环境的影响，同时推 动轨道交通行业的可持续发展。
THANKS
感谢观看
扣件的发展趋势与前沿技术
高性能材料的应用
随着新材料技术的发展，如超高强度钢 材和合成橡胶等，扣件系统的性能得到 了显著提升，能够提供更高的预紧力和 扣压力，同时降低维护成本。
VS
智能化监测技术
通过引入传感器和智能化监测技术，实现 对扣件系统工作状态的实时监测和预警， 及时发现潜在问题，提高轨道工程的安全 性和可靠性。
轨道结构的发展历程与趋势
发展历程
轨道结构的发展经历了木枕、混凝土枕和钢枕等阶段，材料 和技术的不断进步提高了轨道结构的性能和使用寿命。
趋势
未来轨道结构的发展趋势是向着更高效、更安全、更环保的 方向发展，如采用新材料、新工艺，提高线路维护和管理水 平等。
CHAPTER
02
轨道力学基础
轨道力学的基本概念
轨道力学的研究需要综合考虑多种因素，如车辆、路基、桥梁
03
和气候等。
轨道力学的应用领域
01
轨道力学的应用领域包 括铁路、城市轨道交通 、高速公路和桥梁等。
第二章_轨道力学
中心异常角E与r0的关系： r0 a(1 e cos E)
cos E (CO x0 ) / a (ae r0 cos0 ) / a (a cos E ae) / r0 cos0 r0 a (1 e 2 ) /(1 e cos0 ) [a (1 e ) / r0 1] / e cos0
轨道平面坐标系
z0 z
c
y0
x0
卫星轨道半径的方程
轨道平面坐标系下卫星运动方程:
d 2 x0 d 2 y0 ( x0 x ˆ 0 y0 y ˆ0 ) ˆ0 ˆ0 x 0 3 / 2 dt 2 y dt 2 2 2 x0 y0
离心加速度
r
ME
a v2 / r, FOUT ma mv2 / r
圆形轨道上运行的卫星速度和轨道周期
受力平衡状态：
FOUT m m v2 FIN 2 r r
圆形轨道卫星运行速度：
v
r
2r 2 r r 圆形轨道卫星运行周期： T v
一些典型轨道速度、高度和周期
第二章 轨道力学和发射装置
本章主要内容:
轨道运行的有关定律 卫星视角的确定 轨道摄动
卫星发射装置
轨道对卫星通信系统的影响
牛顿运动定律基本公式
1 2 s ut at 2 2 2 v u 2as
v u at
P ma
s t u v a m P
：物体运动距离 ：时间 ：物体初始速度 : 物体最终速度 ：物体加速度 ：物体质量 ：施加在物体上的力
2 2 2 2 2
公式推导
ˆ sin ˆ0 r ˆ0 cos0 x 0 0
cos E (CO x0 ) / a (ae r0 cos0 ) / a (a cos E ae) / r0 cos0 r0 a (1 e 2 ) /(1 e cos0 ) [a (1 e ) / r0 1] / e cos0
轨道平面坐标系
z0 z
c
y0
x0
卫星轨道半径的方程
轨道平面坐标系下卫星运动方程:
d 2 x0 d 2 y0 ( x0 x ˆ 0 y0 y ˆ0 ) ˆ0 ˆ0 x 0 3 / 2 dt 2 y dt 2 2 2 x0 y0
离心加速度
r
ME
a v2 / r, FOUT ma mv2 / r
圆形轨道上运行的卫星速度和轨道周期
受力平衡状态：
FOUT m m v2 FIN 2 r r
圆形轨道卫星运行速度：
v
r
2r 2 r r 圆形轨道卫星运行周期： T v
一些典型轨道速度、高度和周期
第二章 轨道力学和发射装置
本章主要内容:
轨道运行的有关定律 卫星视角的确定 轨道摄动
卫星发射装置
轨道对卫星通信系统的影响
牛顿运动定律基本公式
1 2 s ut at 2 2 2 v u 2as
v u at
P ma
s t u v a m P
：物体运动距离 ：时间 ：物体初始速度 : 物体最终速度 ：物体加速度 ：物体质量 ：施加在物体上的力
2 2 2 2 2
公式推导
ˆ sin ˆ0 r ˆ0 cos0 x 0 0
高中物理必2课件：6.5 宇宙航行课件
简称 人造卫星。 学.科.网
由此可见，人造地球卫星运行遵 循的规律是：卫星绕地球做圆周运动，
地球对卫星的引力就是向心力。
想一想:卫星运动快慢跟什么有 关呢?
（二）卫星的绕行速度、角速度、周期和轨道半径的关系
1、线速度随轨道半径的关系：
GMm mV2
r2
r
V
GM r
可见：卫星绕行轨道半径越大，绕行速度越小。
各种各样的卫星……
思考：卫星的轨道 北
西
F
赤道平面
东
F
南
人造地球卫星的运行轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时，是地球的引力提供 向心力，卫星受到地球的引力方向指向地心，而做圆 周运动的向心力方向始终指向圆心，所以卫星圆周运 动的圆心和地球的地心重合。这样就存在三类人造地 球卫星轨道：
①赤道轨道，卫星轨道在赤道平面， 卫星始终处于赤道上方； ②极地轨道，卫星轨道平面与赤道 平面垂直，卫星通过两极上空； ③一般轨道，卫星轨道和赤道成
对第一宇宙速度的理解:
v1
GM R
gR
1.上式对其它天体也适用，R为天体半径, M为 天 体质量, g为天体表面的重力加度,G为引力 常量. 2.v1为发射卫星的最小发射速度,又是卫星进入
？ 轨道后最大线速度(也叫运行速度).
人造卫星的发射速度与运行速度
1、发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的 速度,并且一旦发射就再也没有补充能量,被发射物仅依 靠自身的初动能克服地球引力做功上升一定高度,进入 运行轨道.因卫星上升过程中要克服引力和空气阻力(在 大气层中时)做功消耗动能,所以卫星越高,发射速度越大。
v gR 二、宇宙速度
GM
1.第一宇宙对任何天体都适用）
由此可见，人造地球卫星运行遵 循的规律是：卫星绕地球做圆周运动，
地球对卫星的引力就是向心力。
想一想:卫星运动快慢跟什么有 关呢?
（二）卫星的绕行速度、角速度、周期和轨道半径的关系
1、线速度随轨道半径的关系：
GMm mV2
r2
r
V
GM r
可见：卫星绕行轨道半径越大，绕行速度越小。
各种各样的卫星……
思考：卫星的轨道 北
西
F
赤道平面
东
F
南
人造地球卫星的运行轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时，是地球的引力提供 向心力，卫星受到地球的引力方向指向地心，而做圆 周运动的向心力方向始终指向圆心，所以卫星圆周运 动的圆心和地球的地心重合。这样就存在三类人造地 球卫星轨道：
①赤道轨道，卫星轨道在赤道平面， 卫星始终处于赤道上方； ②极地轨道，卫星轨道平面与赤道 平面垂直，卫星通过两极上空； ③一般轨道，卫星轨道和赤道成
对第一宇宙速度的理解:
v1
GM R
gR
1.上式对其它天体也适用，R为天体半径, M为 天 体质量, g为天体表面的重力加度,G为引力 常量. 2.v1为发射卫星的最小发射速度,又是卫星进入
？ 轨道后最大线速度(也叫运行速度).
人造卫星的发射速度与运行速度
1、发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的 速度,并且一旦发射就再也没有补充能量,被发射物仅依 靠自身的初动能克服地球引力做功上升一定高度,进入 运行轨道.因卫星上升过程中要克服引力和空气阻力(在 大气层中时)做功消耗动能,所以卫星越高,发射速度越大。
v gR 二、宇宙速度
GM
1.第一宇宙对任何天体都适用）
高中物理必修2教材《万有引力与航天》课件ppt
说法正确的是（ BC ）
A.运行速度大于7.9km/s
B.离地面高度一定，相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球运 行的角速度大
D.向心加速度比静止在赤道上的 物体的向心加速度小
8、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆 轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点 火。将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点， 轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1，2，
R2
在赤道上与 地球保持相
对静止
此处的 万有引
力
m
( 2π T
)2
R
G
M R
m 2
离地高度近 似为0，与 地面有相对
运动
同步 卫星
可求得距
地面高度 与地球自 h≈36000 周期相同， km，约为 即24h
地球半径
此处的 万有引
力
的5.6倍
轨道面与赤
m
(
2π T
)2R
G
M R
m 2
道面重合， 在赤道上空， 与地面保持
GMm r2
mw2r
m( 2 )2 r
地球同步卫星
T
宇宙航行的成就
经典力学的局 限性
宏观物体、低速运动、弱引力场
2.开普勒三大定律
开普勒第一定律（轨道定律）
所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在 椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）
FF
对于每一个行星，太阳和行星的连线在相等的 时间内扫过的面积相等。
h
R2
适用条件：
m2 r
①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算．当
两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可 以看成质点，直接使用公式计算．
A.运行速度大于7.9km/s
B.离地面高度一定，相对地面静止
C.绕地球运行的角速度比月球运 行的角速度大
D.向心加速度比静止在赤道上的 物体的向心加速度小
8、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆 轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点 火。将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点， 轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1，2，
R2
在赤道上与 地球保持相
对静止
此处的 万有引
力
m
( 2π T
)2
R
G
M R
m 2
离地高度近 似为0，与 地面有相对
运动
同步 卫星
可求得距
地面高度 与地球自 h≈36000 周期相同， km，约为 即24h
地球半径
此处的 万有引
力
的5.6倍
轨道面与赤
m
(
2π T
)2R
G
M R
m 2
道面重合， 在赤道上空， 与地面保持
GMm r2
mw2r
m( 2 )2 r
地球同步卫星
T
宇宙航行的成就
经典力学的局 限性
宏观物体、低速运动、弱引力场
2.开普勒三大定律
开普勒第一定律（轨道定律）
所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在 椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律（面积定律）
FF
对于每一个行星，太阳和行星的连线在相等的 时间内扫过的面积相等。
h
R2
适用条件：
m2 r
①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算．当
两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可 以看成质点，直接使用公式计算．
轨道结构理论与轨道力学(传力特性)
0.1 0.2H1 0.8 0.9H1 s
EJ H ( EJ / 6)
H1
k pH (10 100k p )
ksH (ks / 10)
3.轮轨横向力在轨枕上的分配与传递
H1设计取值
螺栓抗拨力 80 100kN (1.5 2.0)H1
P
一般为50kN
扣件横向刚度 105 106 kN / mm (0.8 0.9)H1 (0.1 0.2)H1 胶垫剪切刚度 103 kN / mm
(2)路基压实密度与容许应力 我国 90-95%,98% 0.13MPa 前苏联 98% 0.0785MPa 德国 103% 0.06-0.08MPa
(3)路基施工标准偏低及容许 应力过高是既有线路基产生 大量病害的根本原因。
(1)路基面名义压应力0.1-0.2MPa，路基 面道碴颗粒平均接触应力590-800MPa。
k sx
8.8 9.8) [ f1 (0.25) f 2 (0.65)] 9kN
扣件纵向有荷阻力
枕上压力 钢轨与胶垫的摩擦系数３倍无荷阻力， 但计算中通常取２倍无 荷阻力
3.道床纵向阻力
道床纵向无荷阻力
枕底纵向摩擦力 (50%) 道碴盒石碴反力 (50%) 10 15kN / 枕
1.轮载及动轮载
(2)轮轨非正常接触
接触应力 2500,70007500MPa
(3)弹性极限 3.1 s , 安定极限4.0 s
(1)轮轨踏面正常椭圆接触斑
2.轮轨接触应力
2a=14mm
2b=10mm
正常接触应力110-1500MPa
P
0 .2 0 .3 P
EJ 0 .4 0 .6 P
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G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1
G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg
GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)
r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
mi
dvri
dt
vri
dmi dt
r F总
(2.11)
如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在
这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与
相对论有关的效应也会导致质量 mi 随时间变化。式
(2.11)各项mi除以 mi ，就得出第 i个物体的一般运动方
的立方成正比。即 a3/T2=K
它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而 且周期仅取决于长半径。
图2．3表示3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都
相等，周期也就相同。
图2．3 开普勒第三定律
2.1.2 牛顿定律
第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运 动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状 态。
开普勒第二定律
式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫 做面积速度。
为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的 路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行 的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规 律，叫做面积速度守恒。
3．第三定律——周期律 行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的长半径a
第谷．布拉赫
约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律 1．第一定律——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的 一个焦点上。 因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离 太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点， 如图2．1所示。
2．第二定律——面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的
图2.4中所示的其他外力 Fr其他，包括阻力、推力、太阳辐
射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体
上的合力称为
v F总
，其表达式为
v vv
F总 Fg F其他
(2.8)
v vvv v F F F F F 其他 阻力 推力 太阳压力 干扰 L
现在应用牛顿第二运动定律
统如图2.4所示。
r
由牛顿万有引力定律得出，mn作用在 mi 上的力 Fgn
为
Fr rr gn
Gmimn rn3i
(
ni )
(2.5)
式中
rrni rri rrn
作用在第i个物体上的所有引力的矢量和
r Fg
为
r
n
Fg Gmi
j 1
ji
rr mj (
rji
ji )
(2.6) (2.7)
牛顿
2.1 航天器轨道的基本定律
如果说1642年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完 全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定 了基础。一个是第谷·布拉赫, 他几十年如一日,极为细 致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是 约翰·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭 示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用 肩膀托起牛顿的“巨人”。
面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到
t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间 隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面 积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为
dA/dt=常量
开普勒第二定律
&rr& rr rr 21
G
n j1
mj r3
j2
(
j
2
)
G
n j2
mj r3
j1
(
j1 )
j2
因为
r r 12
，所以
21
&rr& rr rr rr 21
G(m1 r3
21
m2
)
(
21)
n
j
3
Gm
j
(
j2
r3 j2
rj1 3
)
程为
r
&rr&ii
(2.12)
方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种
形式的微分方程是很难求解的。假定第i个物体的质量保
持不变（即无动力飞行，m&i =0），同时还假定阻力和其
他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方
程式(2.12)简化成
&rr& rr i
(2.14)
对i=2的情况，方程式(2.13)变成
&rr& rr 2
G
n j 1
mj rj32
(
j2)
j2
(2.15)
根据式(2.6)，有 于是有
rr21 rr1 rr2 &rr&21 &rr&1 &rr&2
(2.16) (2.17)
将式(2．14)和(2．15)代人式(2．17)得到
式中， Fg为由于质量引起的作用在质量m上的力矢量；
r为从到m的距离矢量。万有引力常数G的值为
G =6．670×10-13 N·cm2／g2。
2.2 二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，
在该坐标系内，n个质量的位置分别为 r1, r2,L , rn .此系