《大学物理I》力学部分综合练习题

《大学物理I 》力学部分综合练习题
(内部学习资料)
1. 某刚体绕定轴作匀变速转动时，对于刚体上任一质元∆m 的法向加速度大小a n 和切向加速度大小a t ，随时间如何变化？ 法向加速度大小a n 随时间变化，而切向加速度大小a t 保持不变。

2. 一质点在空间作曲线运动，质点速率的表达式有哪些？ 略。

详见教材与习题
3. 已知质点的运动方程为 j t i t r )219(22
-+=。

则该质点在t =3s 时，速率随时间变大或变小？ 速率随时间变大
4. 如图所示，质量为kg 02.=M 的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置，弹簧伸长m 1000.=y ，今有kg 02.=m 的油灰由距离笼子底高m 30.=h 处自由落到笼子上，求笼子向下移动的最大距离。

0.3 m
5. 有两个半径和质量均相等的细圆环A 和B 。

A 的质量为均匀分布，Ｂ的质量为非均匀分布，则其分别对于过圆环中心且与环面垂直轴的转动惯量J A 和J B 之间的大小关系？ 相等。

6. 有一悬线长为l ，质量为m 的单摆和一长度同样为l ，质量也为m ，可绕一端的水平轴自由转动的匀质细棒构成的复摆，现将单摆和复摆同时从与竖直方向成相同夹角的位置由静止释放，则当它们运动到竖直位置时，两摆角速度ω单、ω复之间的大小关系？
ω单<ω复
7. 一质点沿半径为R=1m 的圆以速度2
30π
ω=
(SI)运动。

t =0时质点开始以角加速度2
2
πα-=(SI)减速运动，求质点所行距离s =____m.(结
果保留2位小数) 2.25 m
8. 直升机升力螺旋桨由对称的叶片构成。

设飞机叶片长l =1m ，其质量线密度函数为λ＝0.5x (SI)。

当叶片转动的角速度为πω10=(SI)时，求该叶片根部的张力T=______N 。

（结果取整数） 164 N
9. 质量为0.5kg 的小球，设在水中所受浮力恒为F=2N ，当它从静止开始在水中下沉时，受到水的粘滞力f =0.2v (SI)，t=0时,x =0,v =0，求小球的最大速度v m =________m/s 。

（结果取3位有效数字） 14.5 m/s
10. 一质点沿x 轴的运动方程为)1(4
3
4t e x --=
(SI)，则质点加速度的最大值为a m =_________m/s 2（结果取整数） 12 m/s 2
11. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即
2d d v v
k t
-=式中k 为常数。

试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为kx e -=0v v 其中
0v 是发动机关闭时的速度。

证： 2d d d d d d d d v v v v v k x
t x x t -===
∵x k d d -=v v
,
⎰
⎰
-=x
x k 0d d 0
v
v v
v
, ln kx -=0
v v ∴kx
e
-=0v v 得证。

12. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω。

设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即ωk M -= (k 为正的常数)，试求圆
盘的角速度从ω0变为
20
ω时所需的时间。

解： ωωk t
J -=d d J t k d d -=ωω ⎰⎰-=t J t k 02d d 0
ωωω ∴ J kt =ln2 k
J t 2ln =
13. 质量为m 的质点以初速度υ0沿x 轴作直线运动，起始位置在坐标原点处，所受阻力与其速度成正比，试求质点速度为n
0v （n>1）时，
它所经过的距离与它所能行经的总距离之比。

解： t
m
k f d d v
v =-= → ⎰⎰
-=t
t m
k
d d v
v 0
v v
t m
k
-=0v v ln → t m k
e -=0v v
又 t m k
e dt
dx
-==0v v → ⎰
⎰-
=t
t m k x t
e
x 0
d d v
得 )(t m k
e k
m x --=10
v
由此可知，质点所能行经的最远距离为k
m x 0
v =
max 由 n
e t m
k 00
v
v v ==- 得 n e
t m
k =，
则
n t m k ln =→ n k
m
t ln = 此时质点运动的距离为：ln 0001(1)(1)(1)k
t n m t m m m x e e k k k n
--=-=-=-v v v 则
max 0(11)
1(1)t m n x k x m k n
-==-v v
14. 设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与它们之间的距离r 的函数关系为3r
k
f =
，k 为正常数，试求这两个粒子相距为r 时的势能。

设相互作用力为零的地方势能为零。

解： 已知f = 0，即∞→r 处为势能零点 23p p 2d d r
k r r k r f w E r r
==⋅=
=⎰⎰
∞∞α
15. 质量为m 的质点在xoy 平面上运动，其位置矢量为：
j t b i t a r
ωωsin cos += (SI) 式中a 、b 、ω是正值常数，且a >b ，试求
a.质点在A 点（a ，0）时和B 点（0，b ）时的动能
b. 质点所受的作用力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F
的分力F x 和分力F y 分别作的功。

c. 该质点所受到的对坐标原点O 的力矩M
d. 该质点对O 点的角动量L。

(a) 由位置矢量 j t b i t a r
ωωs i n c o s
+= 知： t b y t a x ωωsin ,cos ==
,sin t a t x ωω-==d d x v ,cos t b t
y
ωω==d d y v A 点(a ，0)， 01==t t ωωs i n ,c o s 222y 2x 2
1
2121ωmb m m E kA =+=
v v B 点(0，b )， 1s i n ,0c o s ==t t ωω 222y 2x 2
1
2121ωma m m E kB =+=v v
(b) x y F ma i ma j =+ j t mb i t ma ωωωωsin cos 2
2--=
⎰
⎰
-
==
→0
20
x x d d a
a
x t a m x F w B A ωωcos ,由 220
22
1
d ωωma x x m a
=
-
=⎰
⎰
⎰
-
==
b
b
y t b m y F w 0
2
y y d d ωωs i n ⎰
-
=-
=b
mb y y m 0
2222
1
d ωω
（c ）j t b i t a dt r
d V ωωωωcos sin +-=
r j t b i t a dt
V d a
22
2ωωωωω-=--=sin cos
r m a m F
2ω-==
02=-⨯=⨯=)(r m r F r M
ω
（d ）
k
ab m k
t ab m k t ab m j t b i t a m j t b i t a V
m r L
ωωωωωωωωωωω=+=+-⨯+=⨯=2
2sin cos )
cos sin ()sin cos (。