完全平方公式几何意义及拔高
完全平方公式几何意义及拔高
01
基础练习:
已知
02
若 求
01
谢谢指导！
202X
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错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
解: (4m+n)2=
例1、运用完全平方公式计算：
=16m2
(1)(4m+n)2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2
(4m)2
+2•(4m) •n
+n2
+8mn
+n2
解： (x-2y)2=
=x2
(2)(x-2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
x2
-2•x •2y
+(2y)2
-4xy
+4y2
例2、运用完全平方公式计算：
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗?
1、积为二次三项式；
间的符号相同. 首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
贰
壹
叁
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
完全平方公式
完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种特殊的二次多项式的因式分解方法。
它可用于将一个二次多项式表示为两个平方形式的因子相乘之积，并进一步简化求解过程。
完全平方公式的一般形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式表示，当我们将两个数相加，然后求它们的平方时，结果等于两个数的平方与它们的乘积的两倍之和。
为了更好地理解完全平方公式，我们将通过一些例子来演示它的应用。
例1：将二次多项式x^2+6x+9用完全平方公式进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将该二次多项式表示为两个平方相加的形式。
首先，我们将二次项和常数项分别开平方，并将它们代入完全平方公式中：x^2+6x+9=(x+3)^2通过这个因式分解，我们可以看到(x+3)^2中的两个因子相同，即(x+3)。
这个结果告诉我们原始的二次多项式可以表示成两个相同的因子相乘。
例2：将二次多项式4x^2+12x+9用完全平方公式进行因式分解。
与例1类似，我们首先将二次项和常数项分别开平方，并代入完全平方公式中：4x^2+12x+9=(2x+3)^2这个因式分解告诉我们原始的二次多项式可以表示为(2x+3)^2的形式。
除了用完全平方公式进行因式分解，我们还可以通过完全平方公式求解二次方程。
例3：求解二次方程x^2+4x+3=0。
首先，我们将二次方程的表达式转化为完全平方的形式：x^2+4x+3=(x+2)^2-1通过将二次项和常数项开平方并代入完全平方公式，我们得到了一个新的方程：(x+2)^2-1=0。
接下来，我们将这个新方程转化为平方根的形式：(x+2)^2-1=0(x+2)^2=1x+2=±√1解这个方程，我们得到两个解：x+2=1或x+2=-1x=-1或x=-3因此，原始的二次方程有两个解：x=-1和x=-3通过以上示例，我们可以看到完全平方公式在因式分解和求解二次方程中的重要性。
它不仅可以简化求解过程，还能帮助我们理解二次多项式的性质。
完全平方公式在数学运算中的作用
完全平方公式在数学运算中的作用
完全平方公式是一种数学运算，它可以用来解决一元二次方程的根。
它的公式是：ax2 +
bx + c = 0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
它的解法是：x = -b ± √(b2 - 4ac) / 2a。
完全平方公式可以用来解决一元二次方程，这是一种常见的数学问题，它可以用来解决各
种科学、工程和经济问题。
例如，它可以用来解决物理学中的力学问题，如求解物体的运动轨迹；它也可以用来解决经济学中的问题，如求解投资收益率等。
此外，完全平方公式还可以用来解决几何学中的问题，如求解圆的面积、椭圆的面积等。
它还可以用来解决概率论中的问题，如求解概率分布的参数等。
总之，完全平方公式是一种重要的数学运算，它可以用来解决各种科学、工程和经济问题，为科学研究和工程应用提供了重要的支持。
完全平方公式知识点：常考经典变形及同步拔高（初二数学）
完全平方公式知识点：常考经典变形及同步拔高（初二数学）
完全平方公式是中学阶段（中考数学）必须掌握的重点知识。
而同学们学习了乘法公式之后，我们经常会遇到这样一类求值问题：【第一类】题目只给出两数和与两数积的值，让我们求一些相关代数值的值：
【典型例题】
【思路分析】
这类问题我们无需计算出ab的具体值，只需要利用乘法公式对已知条件进行适当变形，即可拼凑出想要的条件：
【第二类】题目只给出了一个数和其倒数的和，让我们求一些相关代数值的值：
【总结归纳】
本课以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
【巩固练习】
答案：
1题：答案为1；2题：答案为98；3题：答案为13，其它题暂不公布答案，同学们可跟帖发布。
完全平方公式变形的应用
完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。
在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。
下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。
一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。
例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。
然后，通过参数方程求解两点之间的距离。
2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。
例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。
然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。
二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。
例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。
已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。
要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。
2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。
例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式的知识点及题目3篇
完全平方公式的知识点及题目3篇奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。
让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。
下面是小编给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特征(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
(三)这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式计算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式计算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。
二、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。
三、变结构例3：运用公式计算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：计算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
初中数学完全平方公式知识点及练习有哪些
初中数学完全平方公式知识点及练习有哪些完全平方公式是初中数学里一个非常重要又不易掌握的公式,平日里同学们要针对这个知识点进行复习、练习，啃透这个难点。
下面是小编给大家带来的初中数学完全平方公式知识点及练习，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特征(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
(三)这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式计算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式计算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。
二、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。
三、变结构例3：运用公式计算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：计算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
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下面各式的计算是否正确？如果不正确，
应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy &# =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
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精选课件
例2、运用完全平方公式计算：
(1) 1022 解： 1022 = (100+2)2
=10000+400+4
=10404 (2) 992
精选课件
完全平方公式
1
精选课件
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
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精选课件
思考:
你能根据图1和图2中的面积说 明完全平方公式吗?
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(a+b)2= a精2选课+件 2ab+b2 公式特征： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同. 首平方，尾平方，
积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式.
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想一想:
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b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
3
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完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(ab)2 a 2+2ab+b 2
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精选课件
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a22abb2
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精选课件 23
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(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
7
精选课件
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2+8mn +n2
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2.若 x22kx9是一个完全平方公式,
则 k ____3___;
3.若 x28xk2是一个完全平方公式,
则 k _____4__;
精选课件
13
4.请添加一项________，使得 k2 4
是完全平方式.
xy8,xy4,求 x.y
4k 4k
k2
4
5.已知
xy12
精选课件
14
a 2 b 2 ( a b )2 2 a b ( a b )2 2 a ,b
解： 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1
=9801
10
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思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
11
例3.
若 ab5,a b6,求 a2b2,a2ab b2.
精选课件
12
拓展练习:
1 1. 20 2 0 22 80 2 00 8 2 00 9 2 0 =__9 _____;
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1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
a 2 b 2 ( a b ) 2 2 ab (ab)2 2ab
4a b(ab)2(ab)2
15
精选课件
课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.