知识点45 尺规作图

一、选择题

1、（2018北京市丰台区初二期末）如图，已知射线OM ．以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，那么∠AOB 的度数是

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

答案：B 二、填空题

2.（2018北京市怀柔区初二期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

请回答：这样作一个角等于已知角的理由

是 .

答案：全等三角形的对应角相等；有三边分别相等的两个三角形全等；同圆（等圆）的半径相等.

3.（2018北京市顺义区八年级期末）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以B ，C 为圆心，以大于1

2BC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ；

②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD .

请回答：若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 .

答案：105

4．（2018北京市平谷区初二期末）阅读下面材料： 数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l 和直线l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q .”

小艾的做法如下：

（1）在直线l 上任取点A ，以A 为圆心，AP 长为半径画弧.

（2）在直线l 上任取点B ，以B 为圆心，BP 长为半径画弧.

（3）两弧分别交于点P 和点M

（4）连接PM ，与直线l 交于点Q ，直线PQ 即为所求. 老师表扬了小艾的作法是对的． 请回答：小艾这样作图的依据是____________________________________________________________．

解： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线；（或sss ；全等三角形对应角相等；等腰三角形的三线合一）

请回答：在上面的作图过程中，①ABC △是直角三角形的依据是 ；②ABC △是

O

Q

B

等腰三角形的依据是 ． 答案：①直径所对的圆周角为直角

②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

6、（2018北京房山区二模）阅读下面材料：

老师说：“小亮的作法正确”

请回答：小亮的作图依据是_________________________________________________． 答案：两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等 7、（2018北京东城区二模）阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题：

小东的作法如下：

A

B

C

老师说：“小东的作法是正确的.”

请回答：小东的作图依据是. 答案：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；

内错角相等两直线平行.

8、（2018北京东城区二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平

分∠BAC的是

A.图2

B. 图1与图2

C. 图1与图3

D. 图2与图3

答案C

9、（2018北京朝阳区二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.

已知：△ABC.

求作：△ABC的边BC上的高AD.

作法：如图，

（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径

作弧,两弧相交于点E；

（2）作直线AE交BC边于点D.

所以线段AD就是所求作的高.

请回答：该尺规作图的依据是．

答案：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义.

10、（2018北京通州区一模）

答案

11.（2018北京门头沟区初三综合练习）下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”

请回答：该尺规作图的依据是__________．

答案等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义

12．（2018北京顺义区初三练习）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．

小华的做法如下：

老师说：“小华的作法正确” ．

请回答：小华的作图依据是 ． 答案：同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形．（或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形． 等等）

13．（2018北京石景山区初三毕业考试）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角

板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图， （1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =； （2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，

交点为P ； （3）画射线OP ．

则射线OP 为AOB ∠的平分线．

请写出小林的画法的依据 ．

答案：（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（2）全等三角形的对应角相等．

14．（2018北京平谷区中考统一练习）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是．

答案

答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合一．15．（2018北京海淀区第二学期练习）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是．

答案与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.

16. （2018北京怀柔区一模）阅读下面材料：

小明的作法如下：

请回答：该尺规作图的依据是____________________________.

答案到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

17.（2018北京市朝阳区综合练习（一））下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是 ．

答案与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是

直角

18．（2018北京市大兴区检测）下面是“求作∠AOB 的角平分线”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是 ． 答案SSS 公理，全等三角形的对应角相等. 19．（2018北京东城区一模）已知正方形ABCD .

求作：正方形ABCD的外接圆.

作法：如图，

（1）分别连接AC，BD，交于点O ;

(2) 以点O为圆心，OA长为半径作O.

O即为所求作的圆.

请回答：该作图的依据是_____________________________________.

答案正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义

20．（2018北京丰台区一模）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是．

答案在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．

21、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）阅读以下作图过程：

第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；

第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；

第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.

请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________.

(第16题图)

答案：

22、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）16. 下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是 .

答案：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；等腰三角形的顶角平分线、底边上的

中线、底边上的高相互重合；等边三角形的判定；圆的定义. 23、（2018北京房山区第一学期检测）下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：⊙O .

求作：⊙O 的内接正方形. 作法：如图,

（1）过圆心O 作直线AC ，与⊙O 相交于A ，C 两点； （2）过点O 作直线BD ⊥AC ，交⊙O 于B ，D 两点； （3）连接AB ，BC ，CD ，DA . ∴四边形ABCD 为所求.

请回答：该尺规作图的依据是 ．（写出两条） 答案：

24、（2018北京大兴第一学期期末）下面是“作出

所在的圆”的尺规作图过程．

已知：

．

求作：所在的圆.

作法：如图，

（1） 在

上任取三个点D ，C ，E ；

（2） 连接DC ，EC ；

（3） 分别作DC 和EC 的垂直平分线，

两垂直平分线的交点为点O.

（4） 以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，

所以⊙O 即为所求作的

所在的圆..

请回答：该尺规作图的

依

据

是 ．

答案： 不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 25、（2018北京丰台区第一学期期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

请回答以下问题：

（1）连接OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是；

（2）直线PA，PB是⊙O的切线，依据是．

答案：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

26、（2018年北京海淀区第一学期期末）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是

．

答案：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；

或：直径所对的圆周角为直角，

1

sin

2

A=，A

∠为锐角，30

A

∠=?.

27、（2018北京怀柔区第一学期期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图

请回答：这样做的依据是．

答案：圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

28、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规

作图过程 .

请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________.

答案：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；两点确定一条直线；互相垂直的直径将圆四等分；（圆内接正多边形定义）

29、（2018北京密云区初三（上）期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

为O外一点

求作：经过P点的O的切线

作法：如图，

）连结OP；

为直径作圆，与O交于C、

就是所求作经过P点的O的切线

________________________.

以上作图的依据是:__________________________________________________________.

答案：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角。（其它情况酌情给分）

30、（2018北京平谷区第一学期期末）下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．

作法：如图，

（1）作射线AD ；

（2）在射线AD 上任意取一点O （点O 不与点A 重合）； （3）以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，交射线AD 于点B ；

（4）以点B 为圆心，OB 为半径作弧，交⊙O 于点C ； （5）作射线AC ．

∠DAC 即为所求作的30°角．

请回答：该尺规作图的依据是 ． 答案：答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．

31、（2018北京通州区第一学期期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：

小霞的作法如下： A

尺规作图：作已知角的角平分线． 已知：如图，已知BAC ∠.

求作： BAC ∠的角平分线AP .

（1） 如图，在平面内任取一点O ；

（2） 以点O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3） 连接DE ，过点O 作射线OP 垂直线段DE ，交⊙O 于点P ； （4） 连接AP .

所以射线AP 为所求.

老师说：“小霞的作法正确．”

请回答：小霞的作图依据是 ． 答案：

32、（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：∠ ACB 是△ ABC 的一个内角． 求作：∠ APB= ∠ ACB ．

如图，

①作线段 AB 的垂直平分线 m ；

②作线段 BC 的垂直平分线 n ，与直线 m 交于点 O ；

O

n

③以点 O 为圆心，OA 为半径作△ ABC 的外接圆； A B ④在弧 ACB 上取一点 P ，连结 AP ，BP ．

m

所以∠ APB= ∠ ACB ．

老师说：“小路的作法正确．” 请回答：（1）点 O 为△ ABC 外接圆圆心（即 OA=OB=OC ）的依据是

；

（2）∠ APB= ∠ ACB 的依据是 ．

答案 ：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）同弧所对的圆周角相等．

33．（2018北京延庆区初三统一练习）已知：∠AOB 及边OB 求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．

要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；

（说明：作出一个．．

即可） 2．请你写出作图的依据．

解：（1）作图（略） ……2分

（3）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分 34、（2018北京东城第一学期期末）如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠C=30°.将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A BC '', 其中点A ', C '分别是点A ，C 的对应点. (1) 作出△A BC '

'(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连接AA ',求∠C A A ''的度数.

答案：22．解：（1）

则△A BC ''为所求作的三角形． -------------------3分

（2）由作图可知，△ABA '为等边三角形，∴60AA B '∠=?． ∵90BA C ''∠=?，

∴150AA C '∠=?． -------------------5分

35、（2018北京怀柔区第一学期期末）数学课上老师提出了下面的问题： 在正方形ABCD 对角线BD 上取一点F ，使5

1

=D B DF . 小明的做法如下：如图

① 应用尺规作图作出边AD 的中点M ; ② 应用尺规作图作出MD 的中点E ; ③ 连接EC ，交BD 于点F . 所以F 点就是所求作的点.

请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.

答案：23.解：正确

理由如下： 由做法可知M 为AD 的中点，E 为MD 的中点，

∴AD DE =4

1

. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=BC ，ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴

BC DE =BF

DF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC

∴

BF DF =BC DE =4

1

∴

BD DF =5

1

………………………………………………………………………………………5分 36、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）尺规作图：如图，AC 为⊙O 的直径． （1）求作：⊙O 的内接正方形ABCD ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．

答案：（1）如图所示…………………… 2分

（2）解：

∵ 直径AC =4，

∴OA =OB =2. ……………………… 3分

∵正方形ABCD 为⊙O 的内接正方形， ∴∠AOB=90°，……………………… 4分

∴AB == 5分.

37.（2018北京市怀柔区初二期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.

C

A

请回答：这样作一个角等于已知角的理由

是 .

答案：全等三角形的对应角相等；有三边分别相等的两个三角形全等；同圆（等圆）的半径相等.

38.（2018北京市顺义区八年级期末）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以B ，C 为圆心，以大于1

2BC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ；

②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD .

请回答：若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为 .

答案：105

39．（2018北京市平谷区初二期末）阅读下面材料： 数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l 和直线l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q .”

小艾的做法如下：

（1）在直线l 上任取点A ，以A 为圆心，AP 长为半径画弧.

（2）在直线l 上任取点B ，以B 为圆心，BP 长为半径画弧.

（3）两弧分别交于点P 和点M

（4）连接PM ，与直线l 交于点Q ，直线PQ 即为所求. 老师表扬了小艾的作法是对的． 请回答：小艾这样作图的依据是____________________________________________________________． 解： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线；（或sss ；全等三角形对应角相等；等腰三角形的三线合一）

40．（2018北京市西城区八年级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°． （1）作出∠BAC 的平分线AM ；

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若∠BAC 的平分线AM 与BC 交于点D ，且BD =3，

AC =10，则△DAC 的面积为 ．

答案：（1）如图所示；（2分）

（2）15

三、解答题

41.（

2018北京昌平区初二年级期末）如图，已知△ABC. （1）画出△ABC 的高AD ；

（2）尺规作出△ABC 的角平分线BE （要求保留作图痕迹，不用证明）. 解:（1）画出△ABC 的高AD. ………………………… 2分 （2）尺规作出△ABC 的角平分线BE. ………………………… 5分

42．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）请按要求完成下面三道小题．

（1）如图1，AB AC ．这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴a （尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．

（2）如图2，已知线段AB 和点C ．

求作线段CD （不要求尺规作图），使它与AB 成轴对称，且A 与C 是对称点，标明对称轴b ，并简述画图过程．

A

C B

D

E

B

C A