初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线
最新华师版初中数学九年级下册第9讲 平面直角坐标系与函数
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：
①关于轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；
③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．
（5）点M（,y）平移的坐标特征：
M（,y）M1(+a,y)
M2(+a,y+b)
平行于轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等
知识点二：函数
4函数的相关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量和y，对于的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称是自变量，y是的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法
读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于轴的线段
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为），找因变量与t(或)之间存在的函数关系，用含t(或)的式子表示，再找相应的函数图象要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围
第9讲平面直角坐标系与函数
一、知识清单梳理
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．
2020年初中数学竞赛讲义：第09讲-坐标平面上的直线
2020年初中数学竞赛讲义 第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bc x ba y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S(n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加．油油箱．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式； (3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由． 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
坐标平面上的直线的知识点及部分例题
坐标平面上的直线的知识点及部分例题1、已知直线上一点()00,y x P ，方向向量()v u d ,=→，法向量()b a n ,=→则直线的点方向式方程为vy y u x x 00-=- 0,0≠≠v u ； 直线的点法向式方程为 ()()000=-+-y y b x x a ； 直线的点斜式方程为 (00x x bay y --=- 0≠b ； 直线的斜截式方程为 00y x bax b a y ++-= 0≠b ； 直线的一般式方程为 ()000=+-+by ax by ax ；2、直线的倾斜角的定义是 设直线l 与x 轴交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小正角α叫做直线l 的倾斜角。
； 直线的倾斜角的范围是 [)π,0 ； 直线的斜率的定义是 2πα≠时，αtan =k 叫做直线l 的斜率 ；已知直线的斜率k ，则直线的倾斜角α为 ⎩⎨⎧+=<=≥k k k k a r c t an ,0a r c t an ,0παα ；3、已知直线1l ：0111=++c y b x a ；直线2l ：0222=++c y b x a （1）如何判定两条直线位置关系？ 判定方程组⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a 解的情况 ；（2）1l //2l ⇔ 1221b a b a =，12211221c b c b c a c a ≠≠或 ； （3）求1l 与2l 的夹角α的公式：222221212121cos b a b a b b a a +++=α；角α的范围： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（4）⇔⊥21l l 02121=+b b a a ；4、已知直线l ：0=++c by ax ，点()00,y x P 是直线l 外一点，则点P 到直线l 的距离公式为d =5、已知直线1l ：01=++c by ax ；直线2l ：02=++c by ax ，则1l // 或重合 2l ，且1l 与2l 之间的距离公式为d =6、如何判定点与直线的位置关系： 有向距离 ； 习题1、已知ABC ∆中，90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为()2,4，()8,2，向量()2,3=→d 且→d 与AC 边平行，求ABC ∆的两条直角边所在直线的方程。
人教版七年级数学下册第七章《平面直角坐标系》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第9讲有答案
第9讲平面直角坐标系1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
（1）记作（a ，b）；（2）注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
a,）（3）、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b 一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；（4）、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；2、平面直角坐标系平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
构成坐标系的各种名称：水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）横坐标轴上的点：（x ，0）纵坐标轴上的点：（0，y ）1、平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；2、平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
3、第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；4、第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
（1）在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ；（2）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ；（3）各象限的角平分线上的点的坐标特点：若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
泉州五中初二下奥数讲座(8) —— 坐标平面上的直线提高
泉州五中初二下奥数讲座（8）——坐标平面上的直线提高班 号 姓名 供稿人：李锦扬例题与求解 【例1】（1）如图，已知A 点坐标为(5,0)，直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，75α∠=︒，则b = . （2）一次函数y ax b =+的图象l 1关于直线y x =-轴对称的图象l 2的函数解析式是 .（太原市竞赛试题） 【例2】已知0abc ≠，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过（ ）A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限 （全国初中数学竞赛试题）解题思路：求出p 的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.【例3】如图，△AOB 为正三角形，点B 的坐标为(2,0)，过点C (2,0)-作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等，求直线l 的函数解析式.（太原市竞赛试题）【例4】已知长方形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8,6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC m =，已知点D 在第一象限且是直线26y x =+上的一点，若△APD 是等腰直角三角形. （1）求点D 的坐标；（2）直线26y x =+向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D ，使△APD 是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.例4颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例5】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：乙甲（1）图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”）， 点B 的纵坐标表示的实际意义是 ； （2）注水多久，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）αB A yxO能力训练B 级1．如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点(3,0)A 、(2,7)B ，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111y k x b =+，过A 、P 两点的直线为222y k x b =+，且BP AP ⊥，则1212()k k k k += ．2．设直线(1)1(kx k y k ++=为自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为(1k S k =，2，3，⋯，2000)． 则1232000S S S S +++⋯+= ． 3．如图所示，直线210y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把ABO ∆沿直线AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是 ．4．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6)，直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b = ．5．在平面直角坐标系中，已知(0,4)A ，(4,2)B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB +的长度最短，求出点P 的坐标及PA PB +的最短长度 ．6．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量()x kg 与其运费y （元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量( )A ．20kgB ．25kgC ．28kgD ．30kg 7．一个一次函数图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(1,20)--，则在线段AB 上（包括端点A 、)B ，横、纵坐标都是整数的点有 个．8．设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( )A B C D9．求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点．10．给出四条直线：3y kx =-、1y =-、3y =和1x =，已知它们围成的四边形的面积为12，求k 的值．11．在直角坐标系中，一次函数2(0)y kx b k =++≠的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得OAB ∆的面积值等于||||3OA OB ++． （1）用b 表示k ；（2）求OAB ∆面积的最小值．。
第九讲坐标平面上的直线(初中数学培优提高)
第九讲坐标平面上的直线(初中数学培优提高)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第九讲坐标平面上的直线一般地,若 (,是常数,>,则叫做的一次函数,它的图象是一条直线,函数解读式 6中的系数符号,决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况>.如图所示:一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系,任意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程。
任意一个关于、的二元一次方程,可化为形如 (>的函数形式.坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解读式联立的方程组.b5E2RGbCAP【例题求解】【例1】如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0>.B(2,7>,P为线段OC上一点,若过B、P两点的直线为,过A、P 两点的直线为,且BP⊥AP,则=.p1EanqFDPw思路点拨解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立OP的等式即可.【例2】设直线 (为自然数>与两坐标轴围成的三角形面积为(＝1,2,…2000>,则S1+S2+…+S2000的值为( > DXDiTa9E3dA.1B.C.D.思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标,从一般形式入手,把用含的代数式表示.【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为分钟,Q1、Q2与之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:RTCrpUDGiT(1>加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2>求加油过程中,运输飞机的余油量Q1 (吨>与时间 (分钟>的函数关系式。
(3>运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由.思路点拨对于(3>,解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量.注:(1>当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.5PCzVD7HxA(2>当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.jLBHrnAILg【例4】如图,直线与轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC＝90°,如果在第二象限内有一点P(,>,且△ABP的面积与△A ABC的面积相等,求的值.xHAQX74J0X思路点拨利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程,解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差.LDAYtRyKfE注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.Zzz6ZB2Ltk【例5】在直角坐标系中,有以A(一1,一1>,B(1,一1>,C(1,1>,D(一1,1>为顶点的正方形,设它在折线上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式,并画出它们的图象.dvzfvkwMI1思路点拨先画出符合题意的图形,然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类讨论,的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状.rqyn14ZNXI注:我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路.EmxvxOtOco学历训练1.一次函数的自变量的取值范围是-3≤≤6,相应函数值的取值范围是-5≤≤-2,则这个函数的解读式为.SixE2yXPq52.已知,且,则关于自变量的一次函数的图象一定经过第象限.3.一家小型放影厅的盈利额(元>与售票数之间的关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:6ewMyirQFL(1>当售票数满足0<≤150时,盈利额 (元>与之间的函数关系式是.(2>当售票数满足150<x≤200时,盈利额(元>与之间的函数关系式是.(3>当售票数为时,不赔不赚。
坐标平面上的直线知识点归纳
坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范oo（2）直线的斜率：倾斜角不是o90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：`设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；②k x x y y =--0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； #注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
【北师大】七年级上册数学 第09讲 线段、射线和直线的概念及其性质 讲义(含答案)
教师讲义 年 级： 辅导科目： 课时数：
课 题 线段、射线和直线的概念及其性质
教学目的
1、 理解并掌握线段、射线、直线的定义和表示方法
2、 灵活运用直线、线段的性质，掌握相关概念
教学内容
一、日校回忆
二、上节课知识点回忆
三、知识梳理
1、线段、射线、直线的定义
〔1〕线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
〔2〕射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。
射线无法量出长度。
〔3〕直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。
直线无法量出长度。
2、线段、射线、直线的表示方法
〔1〕线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
〔2〕射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
〔3〕直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
4、线段的比拟
〔1〕叠合比拟法；
〔2〕度量比拟法。
5、线段公理：“两点之间，线段最短〞。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
假设M 是线段AB 的中点，那么：AM=BM=2
1AB 或AB=2AM=2BM 。
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第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bcx b a y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。
（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础。
【例4】 如图，直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ABP 的面积与△A ABC 的面积相等，求a 的值．思路点拨 利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，解题的关键是把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差。
注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面 积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．【例5】 在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线a a x y +-=上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象。
思路点拨 先画出符合题意的图形，然后对不确定折线a a x y +-=及其中的字母a 的取值范围进行分类讨论，a 的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状。
注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路。
学历训练1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 ． 2．已知acb a bc b a c c b a k ++-=+-=-+=，且n n m 6952=++-，则关于自变量x 的一次函数b kx y +=的图象一定经过第 象限．3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数x 之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：(1)当售票数满足0<x ≤150时，盈利额y (元)与之间的函数关系式是 。
(2)当售票数满足150<x ≤200时，盈利额y (元)与x 之间的函数关系式是 。
(3)当售票数为 时，不赔不赚；当售票数x 满足 时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数x 应为 (4)当售票数x 满足 时，此时利润比x ＝150时多．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝4，BD ＝6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ，设BP=x ，EF=，则能反映y 与x 之间关系的图象是( )5．下列图象中，不可能是关于x的一次函数)3pxy的图象是( )-=p(-6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了( )A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元7．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量 (微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后。
(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?8．如图，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系x O y 中，使AB 在x 轴的正半轴上，A 点的坐标是(1，0)(1)经过C 点的直线3834-=x y 与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积；(2)若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程，并在坐标系中画出直线l ． 9．如图，已知点A 与B 的坐标分别为(4，0)，(0，2) (1)求直线AB 的解析式。
(2)过点C(2，0)的直线(与x 轴不重合)与△AOB 的另一边相交于点P ，若截得的三角形与△AOB 相似，求点P 的坐标．10．如图，直线62+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是 ．11．在直角坐标系x O y 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为MP 和MQ ，那么，当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标为 。
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15，6)，直线b x y +=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b ＝ 。
13．如果—条直线l 经过不同的三点A(a ，b)，B(b ，a)，C(a-b ，b-a)，那么，直线l 经过( )象限。
A ．二、四B ．—、三C ．二、三、四D ．一、三、四 14．一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(一l ，—25)，则在线段AB(包括端点A 、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（ ） A ．4个 B ．5个 C ． 6个 D ．7个15．点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C 是221+-=x y 的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出( )A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．4个16．有—个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如下图．若20分钟后只出水不进水，求这时(即x ≥20)y 与x 之间的函数关系式。
17．如图，△AOB为正三角形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线l的函数解析式。
18．在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，n)，D(m，0)，当四边形m的值．ABCD的周长最短时，求n19．转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关．现经过试验得到下列数据：通过电流强度（单位A）1 1.7 1.9 2.1 2.4氧化铁回收率（%）7579888778如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。
（1）将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）；（2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时的表达式；（3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A）。
20．如图，直线OC、BC的函数关系式分别为xy=和6=xy，动点P(x，0)在OB上移动-2+(0<x<3)，过点P作直线l与x轴垂直。
(1)求点C的坐标；(2)设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与x之间的函数关系式；(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象；(4)当x为何值时，直线l平分△OBC的面积?参考答案精品文档实用文档。