数列求和—裂项相消专题

裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111

(1)1n a n n n n ==-

++ 1111

()(2)22n a n n n n =

=-++

┈┈ 1111

()

()n a n n k k n n k

=-++

n p a An Bn C

++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111

()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+

1111

()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++

1111

()(65)(61)66561

n a n n n n =

=--+-+

3. 1111

(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++??

4. 111211

(21)(21)2121

n n n n n n a ---==-

++++

+1+1211(21)(21)2121

n n n n n n a ==-++++

122(1)111

(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-=

=?=-

++?+

┈┈

= 1

k =

1.在数列{}n a 中，11211++

???++++=n n

n n a n ，且1

2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和.

2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，2

n n n b a a +=

?，n S 为{}n b 的前n 项

和，证明：1334

n S ≤<.

3.等比数列{}n a 各项均为正数，且2

12326231,9a a a a a +==，

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设31323log log log n n b a a a =++???+，求1n b ??

????

的前n 项和.

4. 设数列{}n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a ，

（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n

a b n n 1

1+-=，记∑==

k k

n b

S 1

，证明：1

5. （安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列{}n a 满足

214()n n n a a a n N *+++=-∈,且121,4a a ==,

（1）

证明：数列是等差数列 ;

（2）设1

n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <.

6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,64,035+=≠a S d 且931,,a a a 成等比数列，

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列?

???n S 1的前n 项和n T .

7.等差数列{}n a 中，21,61131==+a a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设)

3(1+=n n a n b ，求n n b b b S +????++=21.

8.(2010山东)已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S ，（1）求n a 及n S ；（2）令2

1()1

n n b n N a *

=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

9.（2013全国1）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足350,5S S ==-，（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列21211

n n a a -+??????

的前n 项和.

10.(2013江西)正项数列{}n a 满足：2

(21)20n n a n a n ---=，

（1）求{}n a 的通项公式；（2）令1

(1)n n

b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

11.(2017全国3)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++???+-=，（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ??

??+??

的前n 项和.

12.（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==，（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和.

13.（2014贵州适应性训练）已知数列{}n a 是等差数列，12342,,,1a a a a =+成等比数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2

(2)

n n b n a =?+，求数列{}n b 的前n 项和n S .

14.（2013大连育明高中模拟）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n

S 为其前n 项和，且满足221()n n a S n N *

-=∈，数列{}n b 满足1

11n n n b a a +=

-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，

（1）求1,a d 和n T ；

（2）是否存在实数λ，使对任意的()n N *

∈，不等式8n T n λ<+恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，说明理由.

15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知2

0,243n n n n a a a S >+=+，

（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.

16.已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a 和4a

的等比中项为2a 和3a 的等差中项为

6，数列{}n b 满足54

3log (3

)()n n n b a n N -*=?∈，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设13,n n n n c T b b +=

?是数列{}n c 的前n 项和，求使的20

n m T <对所有n N *

∈恒成立的

最小整数m 的值.