高等数学复习提纲：线性代数与空间解析几何(一)

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线性代数与空间解析几何01-第4节利用性质计算行列式_4

3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2

《线性代数与空间解析几何》复习大纲

=
200 + 1 100 + 2 - 100 + 1 100 - 2 2 1 1 -2
2 4 2 1 1 2 1 2 1 1 -1 1 1 -1 1 -2
= 100
= LL
1 0 = −100 0 0
2 -6 0 0
1 -3 3 2
-2 7 3 2 1 2
= −1800
0
1 + a1 1
L
1 1 M 1 + an
α1 , α 2 , α 3 , α 4
生成的向量空间的基和维数
7、设 R n 中的任一向量、
α
在基
α1 , α 2 ,L , α n 下的坐标为 {x1 , x2 ,L, xn }
在基
β1 , β 2 ,L , β n 下的坐标为
且有 {y1 , y2 ,L, y2 − x1 , y3 = x3 − x2 , LL , yn = xn − xn −1
1 0 0 2 2 1 2 2 1 ( A B ) → 0 1 0 2 3 1 = ( E A−1 B) 知过渡矩阵为 P = A−1 B = 2 3 1 0 0 1 − 1 − 1 0 − 1 − 1 0 (2)
1 x α = (e1 , e2 , e3 ) 3 = (α1 , α 2 , α 3 ) y = 0 z x A y z
齐次齐次非齐次
基础解系特解
1
1、计算行列式、
16 96
2 7
24 384 72 3
解:
1 16 2 24 384 72 = 24× 1 16 3 3 96 7 3 96 7

大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件

• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次型为标准形
直角坐标变换化二次曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
方阵
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E

线性代数与空间解析几何总复习

矩阵的三种初等列变换： (1)交换两列的位置(交换第 i，j 两列，记作 ci ↔ cj )； (2)以非零数 k 乘某一列(以 k 乘第 i 列，记作 k ci )； (3)把某一列的 k 倍加到另一列上(把第 j 列的 k 倍加到第 i 列上，记作 ci+ k cj )。三种初等列变换也是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化为矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A～B 6 初等矩阵由单位矩阵 I 经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。（1）交换两行（或列）的位置：把单位矩阵 I 中的第 i，j 行的位置交换(ri↔rj)；（2）以非零数 k 乘某一行（或列）：以非零数 k 乘单位矩阵 I 的第 i 行(k ri)；（3）把某一行（或列）的 k 倍加到另一行（或列）上。把单位矩阵 I 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上(ri+k rj)。用 m 阶初等矩阵 Em(i, j)左乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换：把 A 的第 i，j 行交换位置 (ri↔rj)；相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：用 n 阶初等矩阵 En(i, j)右乘矩阵 A=(a)m×n，把 A 的第 i，j 列交换位置 (ci↔cj)；相当于对矩阵 A 施行第二种初等行变用 m 阶初等矩阵 Em(i(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n，换：以非零数 k 乘 A 的第 i 行 (kri)；用 n 阶初等矩阵 En(i(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第二种初等列变换：以非零数 k 乘 A 的第 i 列 (kci)；用 m 阶初等矩阵 Em(i, j(k ))左乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第三种初等行变换：把 j 行的 k 倍加到第 i 行 (ri+ krj)；用 n 阶初等矩阵 En(i, j(k ))右乘矩阵 A=(a)m×n，相当于对矩阵 A 施行第三种初等列变换：把 i 列的 k 倍加到第 j 列 (cj+ kci)；定理 2 设 A 是一个 m×n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。初等矩阵是可逆的。定理 3（逆矩阵定理）设 A 是 n 阶矩阵，那么下列各命题等价：（1）A 是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组 Ax＝0 只有零解；（3）A 可以经过有限次初等行变换化为 In；（4）A 可表示为有限个初等矩阵的乘积。 7 利用矩阵初等变换求矩阵的逆设 n 阶矩阵 A 可逆，由定理 3 可知，存在初等矩阵 P1、P2、…、Ps，使得 In ＝ Ps … P2 P1 A

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高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。

解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。

分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。

解：。

考研数学一高数知识点复习之向量代数与空间解析几何

2018考研数学一高数知识点复习之向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何这一部分内容是数一考生专享的，感觉学习起来很难，摸不清头绪，总是杂乱无章。

这一部分要是直接考题的话，一般不难，考生只需要根据基本概念和基本方法进行求解即可。

但是这一部分有时是和其他知识点综合在一起进行考查的，比如会和我们学习学习过的多元函数微分学的几何应用结合起来一起考，或是会和曲面积分的计算结合在一起进行考查，出一些难度较大的综合题。

在前期的基础阶段，希望大家做到以下几点。

第一，清楚这一章中涉及的基本概念。

第二，记住这一章中的基本公式。

第三，清楚直线与平面之间的联系，会进行相应的分析和转化。

常考考点常考题型考试要求向量 1. 用坐标表达式进行向量运算2.计算向量的数量积、向量积和混合积3.利用向量运算证明或确定向量的关系1.理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.平面方程或直线方程1.已知某些条件，求平面方程2.已知某些条件，求直线方程3.讨论平面与直线之间的关系4.求点到直线的距离5.求点到平面的距离1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.二次曲面方程和空间曲线在坐标面上投影方程1.求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面的方程2.求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程1.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.2.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.3.了解空间曲线的参数方程和一般方程、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.大家在自学的过程中，一定有一股劲儿进行钻研，只有自己在钻研的过程中，才会更清楚自己的问题所在。

空间解析几何和线性代数资料

（4）单叶双曲面（5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a

b

(a ybz
azby )i

(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k

a

b

i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2

a
2 y

az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a

b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b

有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点

线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
19
直线与平面
直线与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
20
第四章 n维向量
31
特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值全不为零
16
距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
17
位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
28
非齐次增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组），求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解

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高等数学
复习提纲 2：线性代数与空间解析几何（一）
YY 2014-1
目录
1 矩阵和线性方程组................................................................................................................... 1 1.1 向量与矩阵................................................................................................................... 1 • 向量........................................................................................................................... 1 • 矩阵........................................................................................................................... 1 • 矩阵的运算............................................................................................................... 1 • 分块矩阵的运算 ....................................................................................................... 1 1.2 行列式........................................................................................................................... 1 • n 阶行列式的定义 ................................................................................................... 1 • 行列式的性质 ........................................................................................................... 2 1.3 逆矩阵........................................................................................................................... 2 • 逆矩阵的概念和性质 ............................................................................................... 2 • 用初等变换求逆阵 ................................................................................................... 3 • Cramer 法则 .............................................................................................................. 3 1.4 向量的线性关系........................................................................................................... 4 • 线性相关与线性无关 ............................................................................................... 4 • 与线性关系有关的性质 ........................................................................................... 4 1.5 秩............ห้องสมุดไป่ตู้...................................................................................................................... 4 • 向量组的秩............................................................................................................... 4 • 矩阵的秩................................................................................................................... 4 1.6 线性方程组................................................................................................................... 5 • 齐次线性方程组 ....................................................................................................... 5 • 非齐次线性方程组 ................................................................................................... 5 • Causs 消去法 ............................................................................................................ 5 • Jacobi 迭代法 ........................................................................................................... 5 线性空间和线性变换（1） ..................................................................................................... 6 2.1 线性空间....................................................................................................................... 6 • 线性空间................................................................................................................... 6 • 线性空间的基与坐标 ............................................................................................... 6 • 基变换与坐标变换 ................................................................................................... 6 2.2 线性变换及其矩阵表示 ............................................................................................... 6 • 几个简单的几何变换 ............................................................................................... 6 • 线性变换及其矩阵表示 ........................................................................................... 6 • 不同基下表示矩阵的关系 ....................................................................................... 7 2.3 特征值问题................................................................................................................... 7 • 特征值和特征向量 ................................................................................................... 7 • 特征值和特征向量的性质 ....................................................................................... 7 • 可对角化的矩阵 ....................................................................................................... 8 • Jordan 标准型简介 ................................................................................................... 8 2.4 内积和正交变换........................................................................................................... 8 • Euclid 空间 ............................................................................................................... 8 • 正交基....................................................................................................................... 9 • 正交矩阵和正交变换 ............................................................................................... 9