数学建模 最省力的走法
数学建模-无向图最短路径
参赛队编号： 244 赛题类型代码： B无向图最优路径摘要：在实际生活中，我们经常会遇到“最优路径”问题，例如，城市之间的最短线路，或者城市之间最节省的交通费用等问题都属于该类问题。
同样，在自然界也存在着“最优路径”。
在复杂多变的蚁巢中，蚂蚁总是能以最快、最高效的方式游历在各个储藏间，今天，蚁后让小蚁同学按照自己特定的要求寻找食物，针对蚁后的要求，我们采用了大量科学分析方法，并进行了反复验证，我们建立如下的模型：首先对问题进行分析，对约束条件逐一列举、分析实质，必须经过N7、N12两个点，必须经过两条直线，实质是经过四个点N2、N4、N13、N14，但这四个点又与前边两个点有所不同，N2和N4要相邻，N13和N14要相邻，必须经过起始和终止点（针对此处的歧义，在假设中解决）深入分析可知，若最多经过9个点是无法完成的，因此求次优解。
其次遍历所有路径找到符合约束条件的，遍历时使用穷举法，走遍每一条可以走的路，在过走点数超过限制的最多点数或者已经走到了终点，是，则停止，判断这条是否满足约束条件，满足则记录这条路的信息，不满足什么都不做；否，则继续向前走。
最后可以找到所有经过不超过限制点数、满足约束条件的路径。
再计算每一条符合要求的费用（事实上可以集成到上一步中，但为了模块独立化，利用分而治之思想，在这里将其分开），按照费用排序，在所走点数的基础上，在费用上再做分析，选出最优路径。
最后对模型进行分析与评价，以及改进与退关，模型的适用性较强，只要对数据稍加改动就可以成为求有向图最佳路径的模型。
关键字：无向图最优路径，C语言，图论，算法目录一、问题重述 (1)二、模型假设与符号说明 (2)2.1 模型假设 (2)2.2 符号说明 (2)三、问题分析 (2)3.1整体分析 (2)3.2约束条件分析 (2)3.3可行性分析 (2)四、模型建立与求解 (3)4.1模型准备 (3)4.2模型建立与求解 (3)4.2.1确定所有路线表达式 (3)4.2.2 对路径的筛选 (4)4.2.3费用分析 (5)4.2.4算法设计 (6)4.2.5模型求解 (7)4.3 对模型的检验 (7)五、模型评价 (9)5.1模型优缺点 (9)5.1.1模型优点 (10)5.1.2模型缺点 (10)5.2 模型改进 (10)参考文献 (10)附录 (11)无向图最优路径模型一、问题重述最强大脑中的收官蜂巢迷宫变态级挑战，相信大家都叹为观止！最强大脑收官战打响后，收视率节节攀升，就连蚁后也不时出题难为一下她的子民们。
数学建模(人行走最省劲模型)
人走路最省劲的模型摘要：人行在行走一段距离后就会觉得体力不支，两腿酸疼。
走的省力与否取决于抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
本模型就是研究正常情况下每秒走几步消耗体力最小这个问题。
关键词：人 行走 势能 动能 步速1.问题的重述（1） 人行走消耗的体力主要用以克服人体重心的升高的重力势能和两腿运动的动能。
那么，人行走的速度为多大时在相同时间里消耗体力最小呢？也就是说，人每秒走多少步最省劲设腿长l ，步长s ，证明人体重心在行走时升高2/8()s l s l δ≈<。
（2） 将腿看成均匀直杆，行走看作腿绕腰部。
设腿的质量为m ，行走速度为v ，证明单位时间所需的动能为2/6mv s 。
（3） 设人体质量为M ，证明在速度v 一定时每秒行走ml Mg n 43=步做功最小。
实际上，4,1M l m m≈≈，分析这个结果合理吗？ （4） 将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。
证明结果应为n =。
分析这个结果合理吗？2.问题的假设与符号说明2.1问题假设（1）匀速行走（2）将腿视为均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动（3）人的腿长应大于行走时的步长。
2.2符号说明（1） 设腿长l ，步长s (s<l ）：（2）人行走时人体重心升高δ，腿的质量m ，行走速度v;（3）人体质量M ，每秒行走步n 。
3.模型的建立与求解如图，通过近似图形分析和直角三角形性质易知人重心在行走时升高。
所以，动能增加的同时也重力势能会增加。
以下对此求解：3.1.人行走时的动能将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动设腿的质量为m行走速度为v则脚部角速度w /v l =单位时间的步数w /v l =腿的转动惯量为： 22013l m I x dx ml l ==⎰ 则单位时间行走所需的动能 32126e v mv W Iw s s== 3.2单位时间内使身体重心升高所作的功即重力势能为设人体重心升高δ，则()212241cos l sl l l l --=-=θδ当/s l 较小时δ28s l≈ 所以重心升高做的功为v W Mg sδδ==8Mgsv l 所以单位时间内所走的总功为 将v n s=，得 )186(2nl Mg n m v W ⨯+⨯=于是当v 一定时,有不等式最值定理得mlMg n 43= 可使W 最小 设M m≈4，1l =m 代入上式得n =5～6一般情况下，人的步行速度不可能每秒五步，所以这个结果不合理。
行走问题数学建模
对人行走问题的探究摘要本论文主要讨论人在行走时在做功最小的准则下，每秒钟走几步最合适的问题。
为了简化对问题的分析过程，我们将人走路时的状态单纯的看做重心不断上下移动的过程，而且走路的整个过程看作是匀速的，也就是说，人走路作的功为太高人体重心所需势能与两腿运动所需动能的和，而忽略人体外部和内部消耗的其他形式的能。
在计算人体重心升高的过程中，我们运用物理模型分析人体走路的分解动作，人行走分为双腿重合和双腿分开两种情况，在知道步长和腿长的前提下，运用勾股定理，用双腿重合时的重心高度减去双腿分开时的重心高度即为人在行走过程中重心的升高。
在知道重心的升高后，又知道行走的速度，这样我们很容易就可以求出单位时间行走需要的动能。
在计算频率的时候，我们分别两种不同假设的前提下建立两种模型，一种是假设将腿看做均匀直杆，行走看做时腿绕腰部的转动，另外一种是将腿的质量集中在脚部，行走看做是脚的直线运动。
这两种模型建立后，在速度一定时，求出在做工最小的准则下，每秒应该走的步数，即行走的频率，结果发现，在假设二，也就是将腿的质量集中在脚部时，所得的频率更加符合实际情况。
在解决题中的问题后，我们又对模型进行了进一步的分析，找出缺点和不足，分析模型的实际性，并且对模型进行了进一步的推广，希望能在实际中有更加广泛的应用。
关键词：行走转动惯量作功最小转动动能一、问题的重述在如此快节奏的社会中，无论是生活，工作还是学习都追求高效率，走路也不例外，我们也力求最优方式。
走的太快就会气喘吁吁，可是走得越慢就越省力吗？现实中的经验告诉我们并非如此。
那我们每秒钟应该迈几步更为合适呢？对于不同的人走路方式是否应该有所区别呢？那么接下来我们就对走路这个过程做一些探究与分析。
（1）计算人体重心在行走时升高多少。
（2）将腿看做均匀直杆时，行走腿绕腰部的转动，求单位时间所需动能。
（3）求在速度一定时，每秒行走几步作功最小，分析题中答案是否合理。
（4）将（2）中的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明题中给出结果是否合理。
数学建模之方法(五步法)ppt课件
数模方法之五步法
※2018/11/25※
11/25
⑸回答问题：回答第一步提问“何时售猪可以达到 最大净收益. 由第四步我们得到的答案是在8天之后，可以获 得净收益133.20美元。只要第一步假设成立，这一 结果就是正确的。 相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步 中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问 题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第 一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研 究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我 们将在下一节进行讨论。 本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归 纳成如下图表, 以便以后参考.
图1-4 售 猪问题中 最佳售猪 时间x关 于价格的 下降速率 r 的曲线
14 12 10 8 6 40.008 2 0.008
14 12 10 8 6
0.009
0.011
01 0.012 r(美元/天)
我们可以看到售猪的最优时间 x 对参数 r 是很敏感的. ⑶x对价格下降速率r灵敏性的系统分析 将r作为未知的参数,仍按前面的步骤求解(见下页):
变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式 等构成完整的问题。
数模方法之五步法 ※2018/11/25※
5/25
①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)， 从现在到出售猪期间经历的时间t(天), t天饲养猪的花费C(美元), 猪的市场价格 p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元), 我们最终获得的净收益P(美元)。 其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。 ②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型 中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有
5 磅 ( w 磅 ) ( 200 磅 ) ( )( t 天 ). 天
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
2020数学建模竞赛定向越野比赛路线设计
2020数学建模竞赛定向越野比赛路线设计
针对2020数学建模竞赛定向越野比赛的路线设计，可以考虑以下几个方面：
1. 起点和终点的选择：根据比赛的要求和实际情况选择合适的起点和终点位置，使比赛具有一定的难度和挑战性。
2. 地形条件的考虑：根据比赛场地的地形条件，设计适合该地形的路线。
可以利用山地、河流、沼泽等自然地形作为比赛路线的要素。
3. 难度控制：根据比赛的要求和参赛选手的水平，设计不同难度级别的比赛路线，包括技术难度、体力难度等。
可以设置一些技术点和险要点，增加比赛的挑战性。
4. 路线标示：在路线上设置必要的标识，如控制点、方向指示牌等，以便参赛选手能够顺利找到正确的路线。
5. 安全考虑：在路线设计中要考虑到比赛的安全问题，避免设置过于危险的路线和障碍物，确保参赛选手的安全。
6. 时间控制：根据比赛的要求，设计合理的比赛时间，在比赛路线中设置检查点，控制比赛的时间。
7. 创新性：在设计比赛路线时，可以根据具体情况增加一些创新元素，如隐蔽控制点、暗号解谜等，增加比赛的趣味性。
综合考虑以上因素，可以设计出一条具有挑战性、安全性和趣味性的数学建模竞赛定向越野比赛路线。
具体的设计需要根据比赛的要求和场地条件综合考虑，确保比赛的公正性和秩序性。
人单位时间走几步最省力模型
人单位时间走几步最省力模型摘要本文通过简单的图例建立了人在匀速行走时每秒走几步最省力的模型。
通过对人的行走的两种不同的假设，分别给出了单位时间（每秒）所走步数的两个公式（n=及n=。
并通过对实际情况的考查，对两种假设的合理性作出了一些简单的评价。
关键词：匀速，最省力，合理性一、问题的提出今天人们无论做什么都讲求高效率，即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。
人的行走也如此，每秒走几步最省力，走快了会气踹吁吁浪费体力，哪么是不是走得越慢就越省力呢？生活经验告诉我们并非如此。
那么对于不同的人应该选择多快的走路方式呢？二、问题的分析这是一个有关物理的最优化问题。
我们可以应用物理中对物体质量的抽象为质点的思路将问题简化，从而应用物理知识计算出人在单位时间做功的表达式。
最后在通过数学手段结合表达式求出人在单位时间里怎么走路最省力（单位时间里走几步最省力）。
基本假设：假设一、人的行走可看作是匀速的，这基本符合常理。
假设二、人在行走过程中所需的功是太高人体重心的势能与两腿运动所需的动能之和。
（忽略空气阻力）三、符号的说明l：腿长；s：步长；δ：人体重心伸高；v：行走速度（行速）；m：腿的质量；M：人体质量;g：重力加速度；p：两腿运动动能；n：单位时间走的步数四、模型的建立一、人在行走时人体重心的升高等于腿根部位置A升高。
（如右图）两腿分开时，点A离地面的高度为cos@l;两腿合拢时，点A 离地的高度为l 。
所以，人在行走时重心的升高12222cos@(1)84s s h l l l l ll =−=−−≈二、计算人行走时两腿运动的功率，下面根据对人行走的两种不同的假设来求人行走时运动的动能。
模型一：将行走看作腿绕髋部的转动（假设腿是均匀的直杆）。
由物理知识可以知道，两腿的转动动能e W 等于转动惯量I 与转动角速度ω平方乘积的一半。
由假设转动惯量23ml I =角速度v lω=由于人的行走速度为v ，步长为s 。
数学建模最省力的走法
数学建模最省力的走法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和.试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走). (1)设腿长l ,步长s ,证明人体重心在行走时升高).(8/2l s l s <≈δ .(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,证明单位时间所需动能为.6/2s mv .(3)设人体质量M ,证明在速度v 一定时每秒行走mlMgn 43=步作功最小.实际上,m l mM1,4≈≈ ,分析这个结果合理吗. (4)将(2)的假设修改为:腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动.证明结果应为mlMgn 4=步.分析这个结果是否合理. 解：符号说明l ：腿长； s ：步长； δ：人体重心升高； v ：行走速度(行速)；m ：腿的质量； M ：人体质量； g ：重力加速度；p ：两腿运动功能1.计算人在行走时人体重心的升高重心的升高等于腿根部A 位置的升高。
如右图：两腿分开时，点A 到地面的距离为,222⎪⎭⎫⎝⎛-s l两腿重合时，点A 到地面的距离为l .所以，重心的升高为)2(4222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--=s l s s l l δ.22,22l s l l l s ≈⎪⎭⎫⎝⎛-+<.82ls ≈∴δ2. 证明：将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v , 由物理学知识可以知道，两腿的转动动能u 等于转动惯量J 与转动角速度ω平方乘积的一半。
即：.,312lvml J ==ω所以转动动能：.612122mv J u ==ω由于人在每行走一步所花时间为：vst =, 所以单位时间内所需的动能为：smv v s mv t u W 66132=⨯==3. 假设人行走做功最小的行走频率（每秒的步数）为n ，又每秒行走了ns 的路程，速度v = ns .所以，两腿的运动动能为66)(62333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82n ls Mg n Mg =δ因而人行走所做的功为：lMgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 862)86(863232223⋅⋅≥+=+所以：当mlMgn l Mgn mn 43,863==即时所做的功最小。
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一、人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和.试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适(匀速行走).
(1)设腿长l ,步长s ,证明人体重心在行走时升高).(8/2
l s l s <≈δ .
(2)将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,证明单位时间所需动能为.6/2
s mv .
(3)设人体质量M ,证明在速度v 一定时每秒行走ml
Mg
n 43=
步作功最小.实际上,
m l m
M
1,4≈≈ ,分析这个结果合理吗. (4)将(2)的假设修改为:腿的质量集中在脚部,行走看作脚的直线运动.证明结果应为
ml
Mg
n 4=
步.分析这个结果是否合理. 解：
符号说明l ：腿长； s ：步长； δ：人体重心升高； v ：行走速度(行速)； m ：腿的质量； M ：人体质量； g ：重力加速度；p ：两腿运动功能
1.计算人在行走时人体重心的升高
重心的升高等于腿根部A 位置的升高。
如右图：
两腿分开时，点A 到地面的距离为,22
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-s l
两腿重合时，点A 到地面的距离为l . 所以，重心的升高为)
2(422
22
2
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=s l s
s l l δ
.22,2
2l s l l l s ≈⎪⎭⎫
⎝⎛-+<Θ
.82
l
s ≈∴δ
2. 证明：
将腿看作均匀直杆,行走看作腿绕腰部的转动.设腿的质量m ,行走速度v ,
由物理学知识可以知道，两腿的转动动能u 等于转动惯量J 与转动角速度ω平方乘积 的一半。
即：.,312l
v ml J ==
ω 所以转动动能：.6
1212
2mv J u ==ω
由于人在每行走一步所花时间为：v
s t =, 所以单位时间内所需的动能为：
s
mv v s mv t u W 6613
2=⨯==
3. 假设人行走做功最小的行走频率（每秒的步数）为n ，又每秒行走了ns 的路程，速度v =
ns .
所以，两腿的运动动能为66)(62
333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82
n l
s Mg n Mg =δ 因而人行走所做的功为：l
Mgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 862)86(8632
3
2223⋅
⋅≥+=+
所以：当ml
Mg
n l Mgn mn 43,863==即时所做的功最小。
当：
m l m
M
1,4≈≈ ,时6~530≈=n ，显然太大，不是很合理。
4. 将行走看作脚的直线运动，而腿的质量集中在脚上。
在此模型下，两腿的运动动能为：2
2
1mv u =
； 所以转动功率s mv s v mv t u W 2213
2=⨯== ，
两腿的运动动能为.22)(22
333s mn s ns m s mv == 人体重心抬高所需的势能为.82
n l
s Mg n Mg =δ 因而人行走所做的功为：l
Mgn mn s l Mgn mn s n l s Mg s mn 822)82(8632
3
2223⋅
⋅≥+=+ 当ml
Mg
n l
Mgn
mn 4,823==即时所做的功最小。
此时：当：
m l m
M
1,4≈≈时，310≈=n 这样就更合理些。