辽宁省抚顺二中、沈阳二中2020~2021学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-， 又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件， 所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ， 故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -， 所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<， 且4λ= 解得λ=，故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（ ） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误； 对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=， 即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________． 【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种． 【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-， 故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =， 得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】（1）0.75；（2）0.0345． 【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -， 设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=， 解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭， 故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。
辽宁省2021版高二上学期数学期末考试试卷(II)卷(精编)
辽宁省 2021 版高二上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018 高二上·鹤岗期中) 直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2018 高二上·重庆期中) 已知球的表面积为，则该球的体积为A.B. C. D. 3. （2 分） 若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1，AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为（ ）A. B.1 C.第 1 页 共 13 页D.4. （2 分） (2020 高二上·佛山期末) 圆 A . 外离 B . 相切 C . 相交 D . 内含 5. （2 分） 已知不重合的直线 m、l 和平面 ，且与圆的位置关系为（ ）， ．给出下列命题：①若 ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46. （2 分） (2019 高二下·丽水期末) 如图，在矩形将沿翻折．在翻折过程中，记二面角中，M 在线段 上，且，的平面角为 ，则的最大值为（ ）第 2 页 共 13 页A.B.C.D.7. （2 分） (2019 高二上·南阳月考) 已知直线N 两点，F 为抛物线的焦点，若，则 m 等于（ ）与抛物线 C：A.及其准线分别交于 M，B.C.D. 8. （2 分） 下列命题中正确的是（ ） A . 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B . 棱锥的高线可能在几何体之外 C . 仅有一组对面平行的六面体是棱台 D . 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 9. （2 分） 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离是（ ）A. B. C.第 3 页 共 13 页D.10. （2 分） (2019 高二上·靖安月考) 已知椭圆方程为，和分别是椭圆的左右焦点.①若 P 是椭圆上的动点，延长到 M，使，则 M 的轨迹是圆；②若是椭圆上的动点，则；③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；④点 P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为以上说法中，正确的有（ ）A . ①③④B . ①③ C . ②③④ D . ③④二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11.（1 分） (2020 高一下·深圳月考) 平面向量满足，，，则________．12. （1 分） 已知高为 3 的棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形（如图），则三棱锥 B1﹣ABC 的体 积为________．13. （1 分） 已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是 y= x，它的一个焦点在抛物线 y2=48x 的准线上，则双曲线的方程是________14. （1 分） (2019 高二上·丽水月考) 在 则它到棱的距离是________.的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是 10，第 4 页 共 13 页三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)15.（1 分）(2020 高二上·如东月考) 过作圆的切线，则其切线方程为________.16. （1 分） (2019 高一下·包头期中) 设，，，则的最小值为________．17. （1 分） 在边长为 a 的等边三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面角 B﹣AD﹣C 后，BC= ， 这时 二面角 B﹣AD﹣C 的大小为________ ．四、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18. （10 分） (2018 高三上·河北月考) 已知圆 经过原点且与直线相切于点（Ⅰ）求圆 的方程；（Ⅱ）在圆 在,写出直线上是否存在两点关于直线的方程；若不存在，请说明理由对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存19. （10 分） (2020·昆山模拟) 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝AA1 ， M ， N 分 别是 AC ， B1C1 的中点．求证：（1） MN∥平面 ABB1A1； （2） AN⊥A1B ．第 5 页 共 13 页20. （10 分） (2019·湖北模拟) 已知椭圆焦点的最小值为.的离心率为 ，椭圆上的点到左（1） 求椭圆 的方程；（2） 已知直线与 轴交于点 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，点 为直线上任意一点，设直线 与直线交于点 ，记，，的斜率分别为 ， ， ，则是否存在实数 ，使得恒成立？若是，请求出 的值；若不是，请说明理由.21.（10 分）(2018·辽宁模拟) 如图，四棱柱为中点.的底面为菱形，，，（1） 求证：平面；（2） 若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为 ，求的长.22.（10 分）(2020·德州模拟) 已知抛物线的焦点为 F，圆 M 的方程为：，若直线与 轴交于点 ，与抛物线交于点 Q，且.（1） 求出抛物线 E 和圆 M 的方程.（2） 过焦点 F 的直线 与抛物线 E 交于 A、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧），求证：第 6 页 共 13 页是定值.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)参考答案第 8 页 共 13 页15-1、16-1、17-1、四、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18-1、19-1、第 9 页 共 13 页19-2、20-1、第 10 页 共 13 页20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
辽宁省沈阳市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题
【分析】
画出不等式组表示的可行域，由目标函数求出最优解，再计算目标函数的最大、最小值．
【详解】
不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
由z＝3x﹣2y得y x ，
平移直线y x，经过A时， 最大，
由 ，求得A（0，1），
此时z最小，z最小值为3×0﹣2×1＝﹣2；
同理，在B点时， 最小，
由 ，求得B（3，﹣2），
由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝﹣4，
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，涉及其准线方程的求法，注意分析抛物线的开口方向，属于基础题.
3．B
【分析】
由特称命题的否定为全称命题即可得解.
【详解】
命题p：∃a，b∈R，a2+b2≤0，
则￢p为：∀a，b∈R，a2+b2＞0．
故选B．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 的纵坐标为 ，求直线 截椭圆 所得的弦长；
（3）若直线 交直线 于 ， 为直线 上一点，且 为原点），证明： 为线段 的中点．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用特值可进行排除，由不等式性质可证明C正确.
【详解】
若a＝1，b＝﹣1，则A，B错误，若c＝0，则D错误，
∵a＞b，
10．已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为 ，且圆 与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是
A． B． C． D．
11．设等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 ， ，则数列 的最小项是
A．第6项B．第7项C．第12项D．第13项
12．已知 为抛物线 的焦点， 为原点，点 是抛物线准线上一动点，若点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为
辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题
沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量()1,1,0a =，则与a 同向共线的单位向量e =（ ）A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎫⎪⎪⎝⎭D ．()1,1,0--2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（ ） A ．10B ．30C ．15D ．53．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ） A ．y ＝1B ．4x －3y －5＝0C ．y ＝1或4x －3y －5＝0D ．y ＝1或3x －4y －5＝04．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（ ） A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（ ）A ．228aB ．28aC ．24aD ．224a6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB ＝BC ，22AC =12AA ，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．127．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.058．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 3的直线l '与抛物线C交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则NQQF=（ ） A 3B ．2C ．3D 2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B 3C ．3D ．23310．在二项式8(14)x -的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．第5项的二项式系数最大 B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为7211．若圆1C ：()2212x y ++=与圆2C ：22(1)(1)1x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（ ）A ．MN 所在直线的方程为2x ＋y －1＝0B ．MN 的中垂线的方程为x －2y ＋1＝0C ．2MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于42B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线E 上的点到原点距离的最小值为2D ．曲线E 上的点到直线x ＋y ＝4距离的最小值为728三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．抛物线24x y =-的准线方程为______．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．16．圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2，高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于1F ，2F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回． 求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．（1）证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；（2）求1A 到平面BDE 的距离． 19．（本小题满分12分）相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站晚4秒．该爆炸声速是1千米/秒，现以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点（如图）建立直角坐标系．（1）判断爆炸点P 分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程； （2）求直线373y x =与曲线C 的交点坐标． 20．（本小题满分12分）如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，BC ＝6，3AB =ABC ＝30°．（1）求证：AC BD ⊥．（2）若二面角B －AC －D 为45°，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值． 21．（本小题满分12分）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益＝售价－成本）的大小； （2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5()P X n n ≤≤∈N ，求n 的所有可能取值．22．（本小题满分12分）已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．当直线l 过C 的下顶点时，l 3；当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN △的面积为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题参考答案一、单选题1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 二、多选题9．AD 10．ABD 11．AB 12．ABD 三、填空题 13．y ＝1 14．123515．4950 163四、解答题17．解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则13153()5C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为113211543()10C C P AB C C ==． （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()3()1103()25P AB P A P B A ===．18．（1）证明：当12AA =时，12B E =2BE =所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，所以BE ⊥平面11A B E ， 又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ， 所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE =，()11,0,2DA =， 设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE 的距离1333n DA d n⋅===19．（1）由已知得4PB PA -=，又64AB =>，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上．由2a ＝4，2c ＝6，得a ＝2，c ＝3，2225b c a =-=，故双曲线C 的方程为：221(2)45x y x -=≥； （2）联立221(2)4537333x y x y x -=≥=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=，解得：x ＝8或3211x =-（舍去），当x ＝8时，53y =(8,53．20．（1）因为BC ＝6，3AB =ABC ＝30°，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠+-=222CB AC AB +=， 所以AC BC ⊥，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥．（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC BC ⊥，故∠BCD 即为二面角B －AC －D 的平面角，所以∠BCD ＝45°，又因为BD DC ⊥，所以BCD △为等腰直角三角形，因为BC ＝6，所以sin 324BD BC π=⋅=，因为BD DC ⊥，AC BD ⊥，DC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB与平面ACD 所成的角，设为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 43BD AB θ===． 21．（1）ξ200 170 120 P0.3 0.5 0.2η300 255180 P0.20.40.4设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-， ()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元）， ()()12E X E X <，故B 类服装单件收益的期望大；（2）由题意可知，2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()14152110321343P C X ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，23252140(2)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32352180(3)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5()P X n n <≤∈N 时，n 可取的值为0，1，2．22．（1）由题设：3bc=232b c a =，解得a ＝2，3b =C 的方程为22143x y +=． （2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=， 有122634t y y t -+=+①，122934y y t -=+②．由2MF FN =，得122y y =-③， 联立①②③得()22227293434t t t--=++，解得25t =． ∴直线l 5250x y ±-=．（3）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，∵点P 在椭圆外，∴02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x -=-+，解得052x =． 当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，∵2101P tM y =+-，2201P t N y y =+-，201y PF t +=，∵点P 在椭圆外，∴10y y -，20y y -同号， 由2PM PN PF ⋅=，得()()102200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即229603434t y t t ---=++， 解得032y t =，代入直线l 方程x ＝ty ＋1，得052x =，∴点P 在定直线52x =上。
辽宁省沈阳市高二上期末数学测试卷(理)(含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若4≤a ≤8，0≤b ≤2，则a+b 的取值范围是（ ） A ．（4，10） B ．[4，10]C ．（6，8）D ．[6，8]2．命题p ：“∀x ∈N +，2x ≥2”的否定为（ ） A ．∀x ∈N +，2x ＜2 B ．∀x ∉N +，2x ＜2C ．∃x ∉N +，2x ＜2D ．∃x ∈N +，2x ＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．315．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．6．若点（x ，y ）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，﹣1]B ．[﹣2，1]C ．[﹣1，2]D ．[1，2]7．已知抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5，则点P 的纵坐标为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 59．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为 ．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为 ．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10）B．[4，10] C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解 （法二）利用迭代可得a 5=2a 4+1=2（a 3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n +1=2（a n ﹣1+1），从而可得数列{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n +1，进而可求a n ，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n =2a n ﹣1+1，a 1=1 a 2=2a 1+1=3 a 3=2a 2+1=7 a 4=2a 3+1=15 a 5=2a 4+1=31（法二）∵a n =2a n ﹣1+1∴a 5=2a 4+1=4a 3+3=8a 2+7=16a 1+15=31 （法三）∴a n +1=2（a n ﹣1+1） ∵a 1+1=2∴{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列 ∴a n +1=2•2n ﹣1=2n ∴a n =2n ﹣1 ∴a 5=25﹣1=31 故选：D5．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a 2+b 2﹣c 2=ab ，然后利用余弦定理表示出cosC 的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC 的值，然后根据角C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数． 【解答】解：由a 2+b 2﹣ab=c 2，可得：a 2+b 2﹣c 2=ab ，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x 2=8y 的焦点坐标（0，2），抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5， 可得P 的纵坐标为：3， 故选：B ．8．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d ，公比为q ，作差比较，运用因式分解，即可得出结论． 【解答】解：设公差为d ，公比为q ，则 ∵a 2=b 2，a 8=b 8，∴a 2+6d=a 2q 6，∴d=a 2（q 6﹣1）∴a 5﹣b 5=a 2+3d ﹣a 2q 3=a 2（1﹣q 3）+a 2（q 6﹣1）=a 2（q 3﹣1）2， ∵a 2＞0，（q 3﹣1）2≥0，∴a 2（q 3﹣1）2≥0， 即有a 5≥b 5， 故选：A ．9．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．∴“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n 项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n 项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=1，S 6=9，∴，解得a 1=，q=2，∴===2．故选：C ．11．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x ，y ，z 的值．【解答】解：如图，根据条件， ====；又；∴．故选A ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n 项的和，结合单调递减，解不等式可得k 的范围，再讨论n 为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n =sin﹣kn ，可得a 1=1﹣k ，a 2=﹣2k ，a 3=﹣1﹣3k ，a 4=﹣4k ， a 5=1﹣5k ，a 6=﹣6k ，a 7=﹣1﹣7k ，a 8=﹣8k ， 即有S 1=1﹣k ，S 2=1﹣3k ，S 3=﹣6k ，S 4=﹣10k ， S 5=1﹣15k ，S 6=1﹣21k ，S 7=﹣28k ，S 8=﹣36k ，由{S n }为递减数列，可得S 1＞S 2＞S 3＞S 4＞S 5＞S 6＞S 7＞S 8，即为1﹣k ＞1﹣3k ＞﹣6k ＞﹣10k ＞1﹣15k ＞1﹣21k ＞﹣28k ＞﹣36k ，解得k ＞，当n 为4的倍数时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ，解得k ＞，显然≤；当n 为4的倍数加1时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加2时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加3时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0．综上可得k 的范围是k ＞． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a ，c ，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ． 【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac 2＞bc 2，则c ≠0，∴a ＞b 成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题． 逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．当c=0时，ac 2＞bc 2．不成立， ∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题． 故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个． 故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （0，0，0），E （1，0，2），A 1（0，0，2），D （0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与A 1D 所成的角为θ，则cosθ=|cos ＜，＞|===．∴异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M（，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），考查函数y 1=3ax ﹣2，令y=0，得M （，0），∴a ＞0；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M （，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，即可得解△ABC 为等腰三角形． （Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB ，在△ABD 中，利用余弦定理可求AD 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB ． ∴利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，∴△ABC 为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC ，B=30°，BC=2， ∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD 中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x 2﹣2x ﹣3＞0，由此能求出关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集． （Ⅱ）由当2a ＞4，即a ＞2，2a ＜4，即a ＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）的解集． 【解答】解：（Ⅰ）∵x （x ﹣2）﹣3＞0， ∴x 2﹣2x ﹣3＞0，解方程x 2﹣2x ﹣3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，∴关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞3}． （Ⅱ）∵（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）， ∴（x ﹣4）（x ﹣2a ）=0的解为x 1=4，x 2=2a ， ∴当2a ＞4，即a ＞2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|4＜x ＜2a}； 当2a ＜4，即a ＜2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|2a ＜x ＜4}； 当2a=4，即a=2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p ，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y 2=2px （p ＞0）， 代入点（1，2），可得p=2， ∴抛物线的标准方程y 2=4x ； （Ⅱ）抛物线焦点坐标为F （1，0）， ∴直线l ：y=k （x ﹣1）． 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l ：y=k （x ﹣1）与y 2=4x ，得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，则由韦达定理有：x 1+x 2=2+，x 1x 2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k ∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=3，a 5=9，可得a 1+d=3，a 1+4d=9， 解得a 1=1，d=2，则a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1；前n 项和S n =n （1+2n ﹣1）=n 2；（Ⅱ）证明： ==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE ⊥平面A 1BD ．（Ⅱ）求出平面A 1DF 的法向量和平面A 1BD 的法向量，利用向量法能求出二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4， 点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A （2，0，0），E （0，2，1），A 1（2，0，4），B （2，2，0），D （0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE ⊥DA 1，AE ⊥DB ，又DA 1∩DB=D，∴AE ⊥平面A 1BD ．解：（Ⅱ）F （0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD 的法向量=（a ，b ，c ）， 则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F ﹣A 1D ﹣B 的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值为．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，运用韦达定理，求得P 的坐标，同理可得Q 的坐标，运用向量AP ，AQ 的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A 与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， •2a•2b=12，a 2﹣b 2=c 2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得（32+m 2）x 2+6m 2x+9m 2﹣288=0，由﹣3x P =，解得x P =，y P =，m ≠0，BM 的方程为y=（x ﹣3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得x 2﹣6m 2x+9m 2﹣1152=0，由3x Q =，解得x Q =，y Q =，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．。
辽宁省2020版高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
辽宁省2020版高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分）有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则|x|+|y|=0”的逆命题；③“若a>b，则a+c>b+c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）(2020·吉林模拟) 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A .B .C .D .3. （2分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)4. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .5. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·宁波期末) 正方体中，则异面直线与所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°7. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A .B .C .D .8. （2分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分）设A（a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A . 4a-5b＝3B . 5a-4b＝3C . 4a+5b＝14D . 5a+4b＝1410. （2分）(2018·辽宁模拟) 设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为A .B . 2C .D .11. （2分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点H是棱B1C1中点，则四边形BDD1H是（）A . 平行四边形B . 矩形C . 空间四边形D . 菱形12. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 ，则双曲线的渐近线方程为（）A . y＝± xB . y＝±2xC . y＝± xD . y＝± x二、填空题：. (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．14. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知是椭圆的一个焦点，为上一点为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为________.15. （1分）(2017·上高模拟) 已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为________．16. （1分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数c＞0，对∀x∈R都有f（x+c）＞f（x﹣c），则称f（x）具有性质P，给定三个函数①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x3﹣x．其中具有性质P的函数的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分)17. （10分） (2019高二上·鹤岗期末) 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足 .（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. （10分）(2016·柳州模拟) 在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. （5分）在平面直角坐标系中，已知，，P（x，y），M（x，﹣2），N（x，1），若实数λ使得（O为坐标原点），求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．20. （15分） (2020高三上·天津期末) 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，， .（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知为棱上的点，若，求线段的长度.参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、。
辽宁省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试题2套(含答案)
辽宁省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ）A ．3y x =B ．13y x =± C ．3y x =± D ．3y x =2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）A ．命题PB ．命题Q ⌝C ．命题P Q ∨D ．命题P Q ⌝∨ 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，12，2ab 中最大的数为（ ） A ．a B ．2ab C ．12D ．无法确定 4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要 D ．既不充分也不必要条件5.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，2010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，5642a a a =+，则6a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C.22．47.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．1122a b c ++8.已知抛物线214y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(35)A ，，则PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．89.已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ⇔∥∥；②1212v v l l ⊥⇔⊥；③12n n αβ⇔∥∥；④12n n αβ⊥⇔⊥，其中正确的有（ ）个A ．1B ．2 C.3 D ．410.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x +=B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=11.设x ，y 满足约束条件1x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3 C.5-或3 D ．5或3- 12.函数1y x=的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）A ．0r <<B ．02r <<C.0r <<．0r < 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 ．14.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒，1AB =，2AC =，3AP =，则AB AP AC ++= ．15.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是 ．16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =，221132n n n n S a S a ++-=，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，26a =，420S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(12)n n b n a =-（*n N ∈），12n n T b b b =+++（*n N ∈），求n T 18. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF ∥平面GHD ； （2）求直线EF 与BD '所成的角.19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点. （1）求证：“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.20. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===.直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AAC C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.（1）求证：AC AB ⊥；（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （3）是否存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP ？请说明理由. 21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB .A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆M ：22143x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD .C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程. 22.已知抛物线2C ：22x py =（0p >）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，且过抛物线2C 的焦点.（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；（2）过定点3(1)2M -，引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为D .①求点D 的轨迹方程；②设点1(0)4E ，，求EPQ △的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标.参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC二、填空题13.12 14.5 15.4 16.21122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，由题意得1164620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得182a d =⎧⎨=-⎩得82(1)102n a n n =--=- （2）∵2111(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++ 123n n T b b b b =++++=11111(1)()()22311nn n n -+-++-=++ 18.（1）证明：以D 为原点O ，建立空间直角坐标系[;]O DA DC DD '，， 由已知条件可得(000)D ，，，1(10)2G ，，，1(01)2H ，，，1(10)2E ，，，1(01)2F ，，11(1)22EF =-，，，1(10)2DG =，，，1(01)2DH =，，EF DH DG =-，又有EF ⊄平面GHD所以EF ∥平面GHD（其它证法酌情给分，但要注意“EF ⊄平面GHD ”） （2）如（1）问建系，(110)B ，，，(001)D '，， (111)BD '=--，，，11(1)22EF =-，，cos EF BD EF BD EF BD '⋅'=='，11(1)(1)(1)1-⨯-+⨯-+⨯= 所以3EF BD '=，即求直线EF 与BD '所成的角19.证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线24y x =于点11()A x y ，，22()B x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3A ，、(3B -，，∴3OA OB ⋅=- 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠ 由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =- 又∵21114x y =，22214x y =，∴2121212121()316OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=- 综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题. （2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点， 如果3OA OB ⋅=-，那么直线l 过点(30)T ，， 该命题是假命题.例如：取抛物线上的点(12)A ，，(12)B -，.此时3OA OB ⋅=- 直线AB 的方程为1x =，而(30)T ，不在直线AB 上.20.解：（1）由已知190A AC ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AAB B AC ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =所以AC ⊥平面11ABB A 又AB ⊂平面11ACC A 所以AC AB ⊥（2）由（1）可知AC ，AB ，1AA 两两垂直.分别以AC ，AB ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知1112AB AC AA A B ===1122AC ==所以(000)A ，，，(020)B ，，，(200)C ，，，1(012)B ，，，1(002)A ，， 因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点. 所以(110)M ，，，3(01)2P ，，易知平面ABM 的一个法向量(001)m =，， 设平面APM 的一个法向量为()n x y z =，， 由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(223)n =--，，由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角， 所以317cos 17m n m n m n⋅===⋅， 所以二面角P AM B --317（3）存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP设111()P x y z ，，，且1BP BB λ=，[01]λ∈，，则111(2)(012)x y z λ-=-，，，， 所以10x =，12y λ=-，12z λ=.所以(022)AP λλ=-，， 设平面AMP 的一个法向量为0000()n x y z =，，，由0000n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(11)2n λλ-=-，，（0λ=不符合题意） 又1(202)A C =-，，若1A C ∥平面AMP ，则10A C n ⊥ 所以10220AC n λλ-⋅=--=，所以23λ= 所以存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP21.解：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形 所以点P 在以O 为圆心，OP长为半径的圆上，且OP == 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）动点Q 的轨迹是一个圆 设两切线1l ，2l①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00()Q x y ，，则02x ≠± 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22143x y += 得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--= 因为直线与椭圆相切，所以0=△，得2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++= 进而2200()(34)0y kx k --+=所以222000(4)230x k x y k y --+-=所以k 是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的一个根. 同理1k-是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根. 所以202031()4y k k x -⋅-=-，得2207x y +=，其中02x ≠± ②当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知(2P ±±，，满足上式， 综上知：点P 的轨迹方程为227x y += 22.解：（1）∵抛物线2C 的通径长为4 ∴24p =，得2p =∴抛物线2C 的方程为24x y = ∵抛物线2C 的焦点(01)，在椭圆1C 上 ∴211b=，得21b = ∵椭圆1C的离心率为c e a ===∴24a =∴椭圆1C 的方程为2214x y +=（2）设211()4x A x ，，200()4x B x ，其中A B x x ≠，0A x <，0B x > ∵点A 、M 、B 三点共线∴2233424211A B A B x x x x --=++∴60A B A B x x x x +++=（*）设切线1l 的方程为2()4AA x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ，得22440A A x kx kx x -+-=，由0=△，可得2A x k =即224A Ax x y x =-同理可得，切线2l 的方程为224B Bx x y x =-联立两方程解得，点D 坐标为()24A B A Bx x x x +，①设点()D x y ，，则2A B x x x +=，4A B x x y = 代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++= ②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：22344(1)4160A A A x x x x x +-+-=∴321AP Q A x x x x +=+，42164(1)A P Q A x x x x -=+∴PQ ==∵点E 到切线1l的距离为2d =∴EPQ △的面积为212S ==∴当28Ax =，A x =-S此时，由（*）可得B x = ∴点D坐标为辽宁省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,3}A =，2={|30}B x x x -=，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{0,1,3}2.“2x >”是“2280x x +->”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数43y x x =---的最大值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．6 D ．74.已知双曲线的中心为原点，(3,0)F 是双曲线的一个焦点，520x y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A ．2214536x y -= B ．2213645x y -= C.22154x y -= D ．22145x y -= 5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ）A ．(1,0,0),(2,0,0)a n ==-B ．(1,3,5),(1,0,1)a n ==C.(0,2,1),(1,0,1)a n ==-- D ．(1,1,3),(0,3,1)a n =-=6.已知(2,1)A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为（ ）A ．32B ．122+ C.2 D ．21+ 7.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 值为3，则输入a 的值可以是（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．238.为得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数cos2()4y x π=-的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9.若(0,)2πα∈，cos()22cos24παα-=，则sin2α等于（ ）A ．1516B ．78 C.3116 D ．153210.若,x y 满足约束条件201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值是（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．3 11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．172πB ．9π C.192π D ．10π 12.函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())=0g f x 有n 个实数根，则m n +=（ ）A ．6B ．8 C.10 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b +的最小值是 ． 14.已知向量(2,1,3)a =-，(4,,2)b y =-，且()a a b ⊥+，则y 的值为 ．15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 ．16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点12,B B 的连线交x 轴于点M 和N ，则|||ON |OM +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数22y x x a =-+在区间(1,2)上有1个零点；:q 函数2(23)1y x a x =+-+图象与x 轴交于不同的两点.若“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.18.在数列{}n a 中，112a =，112n n n a a n ++=，n N *∈. （1）求证：数列{}n a n为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.19.已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3，且过点2(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22.如下图，在三棱锥A BCD -中，CD BD ⊥，AB AD =，E 为BC 的中点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2AD CD ==，4BC =，求二面角B AC D --的正弦值.试卷答案一、选择题1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC二、填空题13.4 14.12 15.2a三、解答题17.解：对于:p 设2()2f x x x a =-+.该二次函数图象开向上，对称轴为直线1x =，所以(1)10(2)0f a f a =-+<⎧⎨=>⎩，所以01a <<； 对于:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，所以2(23)40a -->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <. 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，所以,p q 一真一假.①当p 真q 假时，有011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以112a ≤<； ②当p 假q 真时，有101522a a a a ≥≤⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，所以52a >或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞+∞. 18.证明：（1）由112n n n a a n ++=⋅，知1112n n a a n n +=⋅+，又112a =， ∴则数列{}n a n是以12为首项，公比为12的等比数列. 解：（2）由（1）知数列{}n a n是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1()22n n a =，∴2n n n a =.∴1212222n nn S =+++，① 则2311122222n n n S +=+++，② ①-②，得2311112222n S =++1122n n n +++-=111211222n n n n n +++--=-， ∴222n n n S +=-. 19.解：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+，所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+，所以2sin cos sin()A A B C ⋅=+.因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，所以2sin cos sin A A A ⋅=.因为0A π<<，所以sin 0A ≠.所以2cos 1A =，所以1cos 2A =.（2）据（1）求解知1cos 2A =，又(0,)A π∈，∴sin A =又据题设知2sin a A=，得2sin a A ==. 因为由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，所以222431bc b c a =+-=-=.所以11sin 22ABC S bc A ∆=== 20.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=；第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=；第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=；第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=；第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为12,a a ，第3组的记为123,,b b b ，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是121112131(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a c ，212223212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c b b ，1312323(,),(,),(,),(,),(,)b b b c b b b c b c ，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，12122232(,),(,),(,),(,),(,)a c a b a b a b a c ， 故所求概率为93=155. 21.解：（1）依题意，得2222221b c a a b c=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （2）当k 变化时，2m 为定值.证明如下： 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(m 1)0k x kmx +++-=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，（*） 因为直线OP ，直线OQ 的斜率分别为12,k k ，且124k k k =+， 所以111212124y y kx m kx m k x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入解得212m =，经检验知212m =成立. 故当k 变化时，2m 为定值12. 22.证明：（1）设BD 的中点为O ，分别连接,AO EO .又因为AB AD =，所以AO BD ⊥.因为E 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以//EO CD .又因为CD BD ⊥，所以EO BD ⊥.又因为OA OE O =，,OA OE ⊂平面AOE ，所以BD ⊥平面AOE .又因为AE ⊂平面AOE ，所以BD AE ⊥，即AE BD ⊥.解：（2）由（1）求解知AO BD ⊥，EO BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又因为EO ⊂平面BCD ，所以AO EO ⊥.所以,,OE OD OA 两两相互垂直.因为CD BD ⊥，4BC =，2CD =，所以2223BD BC CD =-=. 因为O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =，所以3BO OD ==，221OA AD OD =-=. 以O 为坐标原点，,,OE OD OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(0,0,1)A ，(0,3,0)B -，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，所以(0,31)AB =--，(2,3,1)AC =-，(0,3,1)AD -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则n AB ⊥，n AC ⊥.所以30230y z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，取3y =-，解得33x z =⎧⎨=⎩. 所以(3,3,3)n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量(0,3,3)m =.设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||||||m n m n θ⋅==. 因为0θπ<<，所以242sin 1cos 7θθ=-=，所以二面角B AC D --的正弦值为427.。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。