现代控制理论习题解答
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得当时，解得：令得当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。
现代控制理论试习题(详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。
…..233118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分）2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-8181881C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）1分） 解（3分） 3分）2分）（81分）11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………...…………....…….…….（1分）1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………....…….…….（1分） 111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分 又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= ----- 2分1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- 1分 方法 2λ⋅分 分分分10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九 分） 1200A tAt A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭………..……….（1分）(){}2112220t A t t t t e e L sI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()112200000t At tt tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 222001000001t t tt t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..……….（2分）一、（（ × （ × （ √ （ √二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。
《现代控制理论》课后习题答案1.pdf
《现代控制理论》第一章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：xAx Bu y Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵D A ，B ，C 和中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
D 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:传递函数模型（经典控制理论）状态空间模型（现代控制理论） 仅适用于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述 用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于阶传递函数n 1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a −−−−−−++++=+++++""，分别有[]012101210100000100000101n n n xx ua a a a yb b b b x du−−−⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥=+⎪⎢⎥⎨⎢⎥⎪⎢⎥⎪−−−−⎣⎦⎪=+⎪⎩"" ###%##"""⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑴ 能控标准型：[]0011221100010********001n n n b a b a xa x ub a b y xdu −−−⎧−⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥−⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=−+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪−⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩"" "######""⑵ 能观标准型：[]1212001001001n n p p x x up y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩"" ##%##""⑶ 对角线标准型： 式中的和可由下式给出，12,,,n p p p "12,,,n c c c "12121012111012()n n n n n n n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p −−−−−−++++=+=++++++−−−"""++能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论试题与答案现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对⼀个线性定常系统,可⽤常微分⽅程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输⼊联系起来;现代控制理论⽤状态空间法分析系统,系统的动态特性⽤状态变量构成的⼀阶微分⽅程组描述,不再局限于输⼊量,输出量,误差量,为提⾼系统性能提供了有⼒的⼯具.可以应⽤于⾮线性,时变系统,多输⼊-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输⼊-输出动态关系的运动⽅程式或传递函数,建⽴系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是⾮唯⼀的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观⼦系统为渐近稳定第⼀章控制系统的状态空间表达式1.状态⽅程:由系统状态变量构成的⼀阶微分⽅程组2.输出⽅程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态⽅程和输出⽅程总合,构成对⼀个系统完整动态描述4.友矩阵:主对⾓线上⽅元素均为1:最后⼀⾏元素可取任意值;其余元素均为05.⾮奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意⾮奇异阵(变换矩阵),空间表达式⾮唯⼀6.同⼀系统,经⾮奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第⼆章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常⾮齐次⽅程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某⼀初始状态x(t0),转移到指定的任⼀终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态⽅程中系统矩阵A和控制矩阵b3.⼀般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后⼀⾏相对应的⼀⾏元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各⾏元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的⼀列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析⽅便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最⼩实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解⽆穷多,但其中维数最⼩的那个状态空间表达式是最常⽤的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每⼀个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输⼊端与参考输⼊相加形成控制律,作为受控系统的控制输⼊.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采⽤输出⽮量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态⽮量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引⼊⼀个动态⼦系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平⾯上所期望的位置,以获得所希望的动态性能 (1)采⽤状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输⼊-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统⽤从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输⼊-单输出系统,不能采⽤输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常⼯作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定 (1)对系统采⽤状态反馈能镇定的充要条件是其不能控⼦系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观⼦系统是输出反馈能镇定的,其余⼦系统是渐近稳定的(3)对系统采⽤输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观⼦系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输⼊输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的⼀个输⼊所控制,每个输⼊也仅能控制相应的⼀个输出11.系统解耦⽅法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最⼩实现。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
现代控制理论习题及答案
现代控制理论习题及答案现代控制理论习题及答案现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。
在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。
本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。
1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。
解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。
代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。
稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。
由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。
2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。
解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。
首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。
通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。
然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。
接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。
代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。
因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =(s+1)^(-1) + 2(s+3)^(-1)。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
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《现代控制理论》第1章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：x Ax Buy Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于n 阶传递函数1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++，分别有⑴ 能控标准型： []012101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du---⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩⑵ 能观标准型： []00112211000100010001001n n n b a b a x a x u b a b y x du ---⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212001001001n n p px x u p y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,,,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，12121012111012()n n n n nn n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++++++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。
对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。
1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。
1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零，其参数如何确定？答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。
转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数1110111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n nn n n n ++++++++=---- 可得：d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----01110111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。
1.6 在例1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？答: 将图1.12中的两个环节调换后的系统方块图为：图中，3221011()a s s a s a s a =+++，2210()b s b s b s b =++。
由于3s y -相当于对y 作3次积分，故1()y m a s =可用如下的状态变量图表示：因为2s b 相当于对b 作2次微分，故()mb s u=可用如下的状态变量图表示:因此，两个环节调换后的系统状态变量图为进一步简化，可得系统状态变量图为u取3y x =，2y x =，1y x =，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为001122001001[001]a b x a x b ua b y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=两个环节调换前的状态空间模型是：012012010000101[]x x u a a a y b b b x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦=显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。
1.7 已知系统的传递函数2()6()56Y s s U s s s +=++ 试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。
答： 系统的能控标准形为:[]01065161x x u y x⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎨⎪=⎩系统的能观标准形为:[]06615101x x u y x⎧-⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎨⎪=⎩1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，图1.18二阶水槽装置图该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：图1.19 二阶水槽系统的方块图试确定其状态空间模型。
答：图1.19中两个环节的状态空间模型分别为:⎩⎨⎧=+-=2222222x y u b x a x和 ⎩⎨⎧=+-=11111x y u b x a x又因为21x u u +=，所以1121111u b x b x a x++-= 22222u b x a x+-= 1x y =进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121121000u u b b x x a b a x x []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y1.9 考虑以下单输入单输出系统:61166+++=y y y y u试求该系统状态空间模型的对角线标准形。
答： 由微分方程可得:321)3)(2)(1(661166)(32123+++++=+++=+++=s c s c s c s s s s s s s G 其中，3)3)(2(6lim11=++=-→s s c s6)3)(1(6lim22-=++=-→s s c s3)2)(1(6lim 33=++=-→s s c s故该系统状态空间模型的对角线标准形为:u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111300020001321321 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321363x x x y1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:()4()3()()6()8()++=++y t y t y t u t u t u t试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。
答: （1）由微分方程可得:345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G记12122525()(1)(3)1343c c s s G s s s s s s s ++===+++++++， 其中，23352lim11=++=-→s s c s ，21152lim 32=++=-→s s c s 。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数1=d ，由此可得:u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1130012121 u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212123 （2） 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123C ，1=D ，因此 1()()3011311011(1)(2)221.50.5113G s C sI A B Ds s s s s s -=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++++ 1.11 已知系统的传递函数为25()(3)(5)+=++s G s s s（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。
答:（1）将()G s 重新写成下述形式：125()35s G s s s +=⋅++ 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x和 ⎩⎨⎧+-=+-=12122255u x y u x x又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧-=+-=2121153x x x u x x2152x x y -=因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0151032121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2152x x y对应的状态变量图为：（2）将()G s 重新写成下述形式：0.5 2.5()35S G s s -=+++ 每一个环节的状态空间模型分别为：111130.5x x uy x =--⎧⎨=⎩ ⎩⎨⎧=+-=22225.25x y u x x又由于⎩⎨⎧+-=--=u x x u x x5.255.032211 1212y y y x x =+=+⎰52x x -1x ⎰31x -因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.25.050032121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y对应的状态变量图为：1.12 已知系统的状态空间模型为,x Ax Bu y Cx =+=，写出该系统的特征多项式和传递函数矩阵。
答: 系统的特征多项式为det()sI A -， 传递函数为1()()G s C sI A B -=-。
1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。
1.14 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x=+=, ，写出其对偶状态空间模型。
答: 其对偶状态空间模型为:⎩⎨⎧=+=xB y uC x A x T T T ~~~ 1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？答: 对于互为对偶的 ⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x与⎩⎨⎧=+=xB y uC x A x T T T ~~~ ，它们对应的特征多项式分别为det()sI A -和det()T sI A -。
由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两个状态空间模型具有相同的特征多项式。
它们对应的传递函数分别为--5⎰1x ⎰2x x11()()()det()C sI A BG s C sI A B sI A *--=-=-12()()()det()T T TTT TT B sI A C G s B sI A C sI A *--=-=-由于det()det()TsI A sI A -=-，()()()TT T T C sI A BB sI AC **-=-，故对偶状态空间模型之间的传递函数关系为12()()TG s G s =，即互为转置。