2020年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题答案
2020学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 0x ∀>，30x ≤； 14. 1；15. 2(,)3+∞；16. −四、解答题(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. （111111712222442331(1)1444()aa a a a a a a a a+++−−−⋅⋅====⋅ ---------------------------4分（2）()3722327322812271827414344131=−+−+=⨯−−⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+−e -------8分 18.解：(1)4321x x −+> ，4322x x −+∴>，403x x −∴>+，34x x ∴<−>或()()+∞−∞−=∴,43, A --------------------------------------------------2分 [][]4,3,5,1,2−=−==AC B m R 又[]4,1)(−=∴B A C R ---------------------------------------------------- 5分(2)x B ∈是x A ∈的充分不必要条件 BA ∴（1）当B =∅时，则321m m −>+，即4m <−.（2）当B ≠∅时，32134m m m −≤+⎧⎨−>⎩或321213m m m −≤+⎧⎨+<−⎩ 742m m ∴>−≤<−或综上所述，27m m <−>或.---------------------------------------------10分 19.解：（1）当1a =时，()2931x x f x =⋅−−，29310x x ∴⋅−−≥，(231)(31)0x x ∴⋅+−≥，0x ∴≥，∴不等式的解集为{0}x x ≥.-------------- 5分（2）法一：()(1)931[(1)31](31)0x x x x f x a a a =+⋅−⋅−=+⋅+−=，31x ∴=或(1)310xa +⋅+=，()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根，111101a a ⎧−≠⎪⎪+∴⎨⎪−>⎪+⎩，1a ∴<−且2a ≠−.------10分法二：令3(0)x t t =>，则2(1)10a t at +−−=在(0,)+∞上有两个不等的实根，210124(1)0a a aa a ⎧+<⎪+⎪∴>⎨⎪⎪∆=++>⎩，12a a <−⎧∴⎨≠−⎩.-------------------------------------------10分 20.（1）函数()f x 为奇函数，(0)0f ∴=，1a ∴=.2112()()2112x x x xf x f x −−−−∴−===−++，()f x ∴为奇函数成立，1a ∴=.----------------3分 此时212()12121x xxf x −==−++在R 上单调递增，()20,x ∈+∞，()211,x ∴+∈+∞()10,121x ∴∈+，()20,221x ∴∈+，()22,021x ∴−∈−+ ()()1,1f x ∴∈−------------------------------------------------------------5分（2）2+111()12112x x xa a f x −−+==−++.①当10a +≤时，()f x 恒大于等于1，故不成立.②当10a +>即1a >−时，()f x 在R 上为增函数，且值域为(,1)a − （ⅰ）当1(0)02a f −=<即1a >时，只要1(0)0f −<<即可，1102a −∴−<<，13a ∴<<.（ⅱ）当1(0)02a f −=≥即11a −<≤时，只需要1(0)2a f a −=<，113a ∴<≤.综上所述，133a <<.---------------------------12分。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}29,NA x x x =<∈∣，{}3,1,1,2,5,7B =--，则A B = （）A.{}1 B.{}1,1,2- C.{}1,2 D.{}3,1,0,1,2,5,7--【答案】C 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，再由集合交集的运算法则得到结果.【详解】∵29x <，∴33x -<<，∴{}0,1,2A =∴{}1,2A B = .故选：C2.若函数()11f x x =-，则其定义域为（）A.(],4∞- B.(),4-∞ C.()(),11,4∞-⋃ D.()(],11,4-∞⋃【答案】D 【解析】【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠，则其定义域为()(],11,4-∞⋃.故选：D.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.11y x =+ B.2y x = C.y x= D.22,0,0x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质和二次函数的性质逐一判断即可；【详解】对于A ，()()11y x y x x -=≠--+，所以不是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()22y x xx y x -=-==，为偶函数，故B 错误；对于C ，()()y x x x y x -=-==，为偶函数，故C 错误对于D ，定义域为R ，关于原点对称，当0x >时，2y x =；0x -<，2y x =-；所以()()y x y x =--，且由二次函数图像的性质可得函数y 为增函数，故D 正确；故选：D.4.已知命题p ：R x ∃∈，()210x -≤，命题q ：0x ∀>，2x x >，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】代入0x =或1并结合全称命题的否定判断即可；【详解】当 海f 时，()210x -≤成立，所以命题p 为真命题；当0x =或1时，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题；故选：C.5.已知)12fx +=+，则()f x 的解析式为（）A.223x x -+B.()2231x x x -+≥C.223x x -- D.()2231x x x --≥【答案】B 【解析】【分析】利用换元法即可得到答案.1t+=，则1t≥，且()21x t=-，则()()221223f t t t t=-+=-+，1t≥，则()()2231f x x x x=-+≥.故选：B.6.“0a b>>”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当0a b>>时，11a b>>，即0a b>>能推出11a b>，取1,2a b==，满足11a b>，而a b<，即11a b>不能推出0a b>>，所以“0a b>>”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A7.函数()()212,11,1a x a xf xx ax x⎧-+<=⎨++≥⎩，满足：对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，则a 的取值范围是（）A.11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,22⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】A【解析】【分析】利用函数为增函数且1x<的函数值不大于1x≥时的函数值列不等式组求解即可；【详解】因为对任意12x x≠都有()()()()1212x x f x f x-->成立，所以()f x在定义域上为递增函数，所以120121112a a a a a ⎧⎪->⎪-+≤++⎨⎪⎪-≤⎩，解得1122a -<≤，所以a 的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A.8.已知()f x 是二次函数，且对于任意的实数x 、y ，函数()f x 满足函数方程()()()2f x f y f x y xy +=+++，如果()512f =.下列选项错误的是（）A.()02f = B.()y f x x =+在()0,∞+上单调递增C.()y f x x =-为偶函数 D.()1y f x =+为偶函数【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B ，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C 、D ，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案.【详解】对于A ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令0x y ==，则()()()00002f f f +=++，解得()02f =，故A 正确；对于B ，由()()()2f x f y f x y xy +=+++，令y x =-，则()()()202f x f x f x +-=-+，化简可得()()24f x f x x +-=-，设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则2224ax bx c ax bx c x +++-+=-，化简可得22224ax c x +=-，可得2124a c =-⎧⎨=⎩，所以()2122f x x bx =-++，由()151222f b =-++=，解得1b =，所以()2122f x x x =-++，由函数()21222y f x x x x =+=-++，则其对称轴为直线22122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =+在 ‸㐶上单调递增，在()2,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，由B 可知()2122y f x x x =-=-+，则其对称轴为00122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x x =-是偶函数，故C 正确；对于D ，由B 可知()()()221151112222y f x x x x =+=-++++=-+，则其对称轴为122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以函数()1y f x =+为偶函数，故D 正确.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列计算正确的是（）A.11313-= B.()()2350a a a =>C.4π=-D.()0a a =>【答案】CD 【解析】【分析】根据指数幂的运算法则即可判断.【详解】对A ，11113331030-+=+=，故A 错误；对B ，()()2360a a a =>，故B 错误；对C ，4π=-，故C 正确；对D()1112360a a a ++==>，故D 正确.故选：CD.10.已知正数a ，b 满足22a b +=，下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为12B.21a b +的最小值为92C.224a b +的最小值为4D.4aa b+的最小值为4+【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.【详解】正数a ，b 满足22a b +=，对于A ，22a b =+≥12≤ab ，当且仅当21b a ==时取等号，A 正确；对于B ，2112112219(2)()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23b a ==时取等号，B 正确；对于C ，2222224(2)(2)(2)22a ab a b a b b ++-+=+≥=，当且仅当21b a ==时取等号，C 错误；对于D ，42(2)2444a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥++当且仅当2b aa b =，即a ==时取等号，D 正确.故选：ABD11.已知20ax bx c ++<的解集为{0}xx αβ<<<∣，则()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭的解可以是（）A.1,∞β⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,βα⎛⎫⎪⎝⎭ C.1,0α⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集得到,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可；【详解】由题意可得0a >，0c >，且,αβ为方程20ax bx c ++=的两个根，因为0αβ<<，所以110ab>>，则,b c a aαβαβ+=-=，又()()210g x a cx bx a x ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭等价于()21110ax c bg x x x a x a a 骣骣-琪琪=++<琪琪桫桫，等价于()()21110ax g x x x a xab a b 骣-轾琪=-++<琪臌桫，等价于()()()11110ax g x x x a xa b 骣-琪=--<琪桫，等价于()()()()11110g x x ax x x a a b =---<，所以不等式的解为11x βα<<或10x a<<，故选：BD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数()()21mf x m m x =--在第一象限单调递增，则m =__________.【答案】2【解析】【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出2m =或1-，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案.【详解】因为()()21mf x m m x =--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1-，当2m =时，()2f x x =，在(0,)+∞上单调递增，满足题意，当1m =-时，()1f x x -=，在(0,)+∞上单调递减，不合要求，舍去；故答案为：213.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x =__________.【答案】32x x -+【解析】【分析】根据偶函数特点()()f x f x =-即可得到答案.【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()3322f x f x x x x x =-=---=-+.故答案为：32x x -+.14.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =，一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有()()()()card =card +card -card A B A B A B .例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合A 表示田径运动会参赛的学生，用集合B 表示球类运动会参赛的学生，就有A ={xx ∣是田径运动会参赛的学生}，B ={x x ∣是球类运动会参赛的学生}，那么A B = {x x ∣是两次运动会都参赛的学生}，A B = {x x ∣是所有参赛的学生}，则()()()()card card card card 812317A B A B A B =+-=+-= ，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合{}1,2,3,,300A = ，集合{},3,N B xx A x k k =∈=∈∣，集合{},4,N C x x A x k k =∈=∈∣，集合{},5,N D x x A x k k =∈=∈∣，则()card B C D = __________.【答案】180【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】依题意，card()100,card()75,card()60B C d ===，而card()25,card()20,card()15B C B D C D === ，card()5B C D = ，所以card()card()card()card()card()card()card()B C B C d B D D C B D C ++--=- card()10075602520155180B C D +=++---+= .故答案为：180四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{12}A xx =-<<∣，{22}B x a x a =-<<+∣.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -<<；（2）3a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用并集的定义直接求解.（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系求出a 的范围.【小问1详解】当1a =时，{13}B xx ∣=<<，而{12}A x x =-<<∣，所以{|13}A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，因此2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥.16.已知函数()2x b f x x a +=+是定义在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数且()113f =-.（1）求()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在2,2b a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t 的不等式()()1340f t f t -+-->.【答案】（1）2()4xf x x =-（2）答案及解析（3）41{|}34t t -<<-【解析】【分析】（1）对于奇函数，有(0)0f =，再结合1(1)3f =-，可以求出函数中的参数a 和b ，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量1x ，2x ，然后作差12()()f x f x -，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式(1)(34)0f t f t -+-->即可.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，定义域为(2,2b a--，所以(0)0f =，即0b a =，所以0b =.又因为1(1)3f =-，1(1)1b f a+=+，把0b =代入得1113a =-+，解得4a =-.所以2()4xf x x =-，经验证此时为奇函数.【小问2详解】()f x 在(2,2)-上单调递减.理由如下：设1222x x -<<<.221212211222221212(4)(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----2212121212212122221212(4)(4)()4()(4)(4)(4)(4)x x x x x x x x x x x x x x x x ----+-==----21122212()(4)(4)(4)x x x x x x -+=--因为1222x x -<<<，所以210x x ->，214x <，224x <，1240x x +>，2212(4)(4)0x x -->.所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减.【小问3详解】解关于t 的不等式(1)(34)0f t f t -+-->，因为()f x 是奇函数，所以(1)(34)0f t f t -+-->可化为(1)(34)(34)f t f t f t ->---=+.又因为()f x 在(2,2)-上单调递减，所以2122342134t t t t -<-<⎧⎪-<+<⎨⎪-<+⎩，解212t -<-<得13t -<<.解2342t -<+<得5144t -<<-.解134t t -<+得43t >-.综上，取交集得1{|1}4t t -<<-.17.已知函数()2122a f x x x ab a -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，0a ≠，0b ≠.（1）当1b =，且0a <时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）若2a >，2b >，若()10f =，求a b +的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】【分析】解含参数的一元二次不等式，分102a -<<和102a -<<和12a =-求解即可；代入 f 海 ，再变形为()()223a b --=，结合基本不等式求解即可；【小问1详解】当1b =，且0a <时，不等式()0f x <即21220a x x a a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，等价于()21220ax a x +-->，等价于()()120ax x +->当12a ->即102a -<<时，12x a <<-；当12a -<即12a <-时，12x a -<<；当12a =-时，12a -=，解集为∅；所以不等式的解集为：当102a -<<时，1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当12a <-时，1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当12a =-时，解集为∅；【小问2详解】()122101a f ab a -==+-，即1220ab a b +--=，即()()223a b --=因为2a >，2b >，所以322b a =+-，所以332244422a b a a a a +=++=-++≥+=+--，当且仅当322a a -=-即2a b ==+所以最小值为4+.18.已知函数()2425a f x x x=-+-，()2g x x ax a =-+.（1）当1a =时，若[]1,2x ∈，求()f x 的最大值；（2）若[]1,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若[]1,2x ∀∈，使得()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5-；（2）()2min 1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；（3）[)5,+∞【解析】【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质计算即可；（2）分类讨论a 的范围结合二次函数的性质计算即可；（3）令2t x x =+并分离参数将不等式转化为2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，利用对勾函数的性质计算即可.【小问1详解】当()224221191524a f x x x x ⎛⎫=⇒=-+-=--- ⎪⎝⎭，令2t x =，即()211924f x t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由[][]1,21,2x t ∈⇒∈，则()2max1191524f x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】易知()2224a a g x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，对称轴为2a x =，若12a <，即2a <时，()g x 在[]1,2上单调递增，则()()min 11g x g ==；若22a >，即4a >时，()g x 在[]1,2上单调递减，则()()min 24g x g a ==-；若212a ≥≥，即42a ≥≥时，()g x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()2min 24a a g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；综上()2min1,2,4244,4a a g x a a a a <⎧⎪⎪=-≥≥⎨⎪->⎪⎩；【小问3详解】由()()224250f x g x x a x a x x ⎛⎫≥⇒+-+++≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上恒成立，令2t x x=+，由对勾函数的性质知t在⎡⎣时单调递减，2⎤⎦上单调递增，易得t ⎡⎤∈⎣⎦，则222242225110x a x a x a x a t at a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++=+-+++=-++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分离参数得211t a t +≥-在t ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即2max11t a t ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令2121211t y y t t t +=⇒=-++--，t ⎡⎤∈⎣⎦，由对勾函数的性质知y在t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，即2max 31531y +==-，所以5a ≥，即a 的取值范围[)5,+∞.【点睛】方法点睛：对于复杂结构的函数形式，需多注意式子结构，常用换元法及整体思想转化为常见函数进行计算，换元需注意所换元的范围即可.19.对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点；若()()00ff x x =，则称0x 为()f x 的稳定点；若0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠则称0x 为()f x 的周期点.已知函数()21f x x a =+-，()()221g x x a x =++-.（1）若2a =，求()f x 的不动点；（2）若2a =，求()g x 的稳定点；（3）若()()y g x f x =-存在周期点，求a 的取值范围.【答案】（1）-1（2）3132x -=，1x =-，4x =-（3）3a <-或1a >【解析】【分析】（1）由函数新定义求出即可；（2）由函数新定义先求不动点，再求稳定点即可；（3）由函数新定义，先求不动点，再由不动点一定是稳定点得到方程()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，然后再由存在周期点的情况得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零，再分类讨论即可；【小问1详解】2a =时，()21f x x =+，由题意可得21x x +=，即1x =-，所以()f x 的不动点为-1；【小问2详解】2a =时，()241g x x x =+-，先求不动点()241g x x x x =+-=，因为不动点一定是稳定点，故2310x x +-=，3132x -±∴=，则()()()()222414411g g x x x x x x =+-++--=()()222314311x x x x x x x ⇒+-+++-+-=；()()()222223123143141x x x x x x x x x x ∴+-+++-++-+-=，化简可得()()2231540x x x x +-++=，由于2310x x +-=的解是不动点，故2540x x ++=的解，即1x =-或4x =-为周期点，32x -±∴=，1x =-，4x =-为稳定点.【小问3详解】()()()()222121y g x f x x a x x a x ax a =-=++--+-=+-，令2x ax a x +-=，则()210x a x a +--=的解1x =和x a =为不动点，同时不动点一定是稳定点，则()()222x ax aa x ax a a x +-++--=，()()22211x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤∴+--+++--+-=⎣⎦⎣⎦，化简可得()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，由于()210x a x a +--=的解是不动点，故()()y g x f x =-存在周期点的情况为：()2110x a x +++=有解，且至少有一个解不是()210x a x a +--=的解，故()22Δ14230a a a =+-=+-≥，解得3a ≤-或1a ≥，同时，当1x =是()2110x a x +++=的解时，3a =-，此时()2110x a x +++=的解只有1x =，与题意不符合，故舍去；当x a =-是()2110x a x +++=的解时，1a =，此时()2110x a x +++=的解只有1x a =-=-，与题意不符合，故舍去；综上，3a <-或1a >.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于求稳定点的时候先求不动点；第三问关键在于由不动点一定是稳定点得到方程()()221110x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--+++=⎣⎦⎣⎦，再由周期点的定义得到()2110x a x +++=的判别式大于等于零.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题 PDF版含答案
2.给定下列函数，其中在区间 (0,1) 上单调递增的函数是（ ）
A. y = −x2
B. y =| x2 − 2x |
C. y = ( 1 )x+1 2
3.设函数 f (x) =
x2 −1, x 2
，则 f ( f (2)) 的值为（
）
f (x − 2), x 2
A.0
B.3
C. −1
）
A. a c b B. a b c
C. b a c
D. b c a
6．已知函数 f (x) 是奇函数， f (x) 在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a, b](a b 0) 上的值域
为[－3，4]，则在区间[−b, −a] 上( )
A．有最大值 4 B．有最小值－4
D. f x1 + x2 f (x1)+ f (x2 )
2
2
高一数学学科 试题 第1页（共 4 页）
8．设函数
g(x)
=
x2
−
2
，
f
(x)
=
g(x) g(x)
x g(x) g(x)
，则
f
(x)
的值域是（
）
A．[− 9 , 0] (1, +) B．[0, +) 4
C．[− 9 , +) 4
D．[− 9 , 0] (2, +) 4
9.设
a
=
102016 102017
+1 +1
，
b
=
102017 102018
+1 +1
，
c
2022-2023学年浙江省杭州市七彩阳光联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市七彩阳光联盟高一（上）期中数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤4}，集合B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．[﹣2，2]C ．（2，4]D ．[﹣2，+∞）2．函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（ ） A ．[2，4] B ．（2，4]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，2）∪（2，4]3．命题“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定为（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+1＜0 B ．∃x ∈R ，x 2+1＜0 C ．∃x ∈R ，x 2+1≥0D ．∃x ∈R ，x 2+1≤04．已知a ，b ∈R +，那么“a +b ≥1”是“ab ≥14”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function ”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A 到B 的函数的是（ ）A ．①④B ．①②C ．①②④D ．①③④6．已知f （2x ﹣1）＝3x 2+2，若f （x ）＝5，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．1或﹣37．函数f(x)=3x|x|+2，则下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）在定义域R 上为奇函数B ．函数f （x ）在区间（﹣3，3）上单调递增C ．函数f （x ）的值域为（﹣3，3）D ．函数f （x ）的图像与直线y =34x 有且只有两个交点8．关于x 的不等式ax 2﹣（b +4）x +16≤0的解集为[m ，16m ](m ＞0)，且不等式b a +4b＞t 2−4t 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2−2√2≤t ≤2+2√2 B ．﹣1≤t ≤5 C ．2−2√2＜t ＜2+2√2 D ．﹣1＜t ＜5二、多选题9．下列四组函数中，表示同一函数的有（ ） A ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 33B ．f （x ）={1，x ≠±10，x =±1，g （x ）＝（x 2﹣1）0C ．f(x)=x +1x，g(t)=t +1tD ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−110．集合X ＝{x |﹣2＜x ＜2}，集合Y ＝{y |y ≤2}则集合Z ＝{z ||z |≥2}可表示为（ ） A ．（∁R X ）∪（∁R Y ） B ．∁R XC ．∁R （X ∩Y ）D ．∁R （X ∪Y ）11．函数y ＝f （x ）是定义在[﹣2，2]的偶函数，当x ≥0时，f （x ）={x ，0≤x ＜12−x 2，1≤x ≤2，下列说法正确的有（ ）A ．函数y ＝f （x ）的图像与x 轴有三个不同的交点B ．当x ＜0时，f （x ）={−x ，−1＜x ＜02−x 2，−2≤x ≤−1C ．不等式f （x ）＞0的解集为{x|−√2＜x ＜√2}D ．对于任意的x 1，x 2∈[﹣2，2]，若|x 1﹣x 2|＝2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤212．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet .1805﹣1859）对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．以其名字命名的函数“狄利克雷函数D （x ）”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识．已知狄利克雷函数D （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q，其中R 为实数集，Q 为有理数集．则下列关于“狄利克雷函数D （x ）”的命题中，属于真命题的有（ ） A ．D （D （x ））＝0B ．狄利克雷函数D （x ）的值域为{0，1}C ．狄利克雷函数D （x ）为偶函数D ．对于任意的x 1，x 2∈∁R Q ，D （x 1+x 2）＝D （x 1）+D （x 2）恒成立 三、填空题13．集合A ＝{a 2+a ﹣2，1﹣a ，2}，若4∈A ，则a ＝ ． 14．设2a ＝3b ＝m ，且1a +1b=2，则m ＝ ．15．实数x ，y 满足﹣1＜x ﹣y ＜2，1＜3x +y ＜4，那么x ﹣2y 的取值范围是 ， 16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f （x ）＝ ． ①定义域为R②y ＝f （x ）在定义域内是偶函数 ③y ＝f （x ）的图像与x 轴有三个公共点 四、解答题17．（10分）（1）计算：(13)−1+(6427)13+√(0.064)−13+20220； （2）化简：√√a 4b 23⋅ab(a 13b)2⋅√b3，（a ＞0，b ＞0）．18．（12分）已知a ，b 为正实数且a +b ＝1，求下列式子的最值： （1）求√a +√b 的最大值； （2）求1a +12b+1的最小值；（3）求(1−a 2)(1−b 2)a 2b 2的最小值．19．（12分）已知命题p ：“∃x ∈R ，关于x 的方程x 2+ax +a ＝0有解”是假命题． （1）求实数a 的取值所构成的集合M ；（2）在（1）的条件下，设不等式|1−x3|＜b 的解集为N ，若x ∈M 是x ∈N 的必要条件，求b 的取值范围．20．（12分）已知幂函数f(x)=x −3n2+9(n ∈N)为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）设函数g(x)=√f(x)3+2tx +3，求函数y ＝g （x ）在区间[2，6]上的最小值G （t ）． 21．（12分）已知函数y ＝f （x ）的定义域是（0，+∞），对任意的正实数m ，n 满足：f （m ）+f （n ）＝f （mn ）+1且当x ＞1时，f （x ）＞1．（1）判断函数y ＝f （x ）的单调性并加以证明；（2）若当x ∈[13，3]时，关于x 的不等式f （kx +3）+f （x +1）＞2恒成立，求实数k 的取值范围． 22．（12分）改革开放不断深化．在重要领域和关键环节推出一批重大改革举措，供给侧结构性改革深入推进．“放管服”改革取得新进展．市场主体总量超过5亿户．高质量共建“一带一路”稳步推进．推动区域全面经济伙伴关系协定生效实施．货物进出口总额增长21.4%，实际使用外资保持增长．生态文明建设持续推进．污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物（PM2.5）平均浓度下降9.1%．第一批国家公园正式设立．生态环境质量明显改善．﹣﹣﹣摘自李克强总理2022年3月5日《政府工作报告》某汽车企业为了响应号召，打开国际市场，决定从甲乙两款新能源车型中，选择一款新能源车型进行投资生产．已知投资生产这两款新能源汽车的有关数据如表（单位：万元）其中月固定成本与月生产量无关；m为待定常数，其值由生产甲车型的配件价格决定，预计m∈[6，8]，另每月销售x辆乙车时需缴纳0.05x2万元的特别关税（假设生产出来的车辆都能在当月销售出去）．（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种车型的月利润y1，y2与生产相应车辆数x之间的函数关系，并指明其定义域；（2）如何投资才能获得最大月利润？请你做出规划．2022-2023学年浙江省杭州市七彩阳光联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤4}，集合B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．[﹣2，2]C ．（2，4]D ．[﹣2，+∞）解：集合A ＝{x |﹣2≤x ≤4}，集合B ＝{x |x ＞2}， 则A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：C ．2．函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（ ） A ．[2，4] B ．（2，4]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，2）∪（2，4]解：要使原函数有意义，则{4−x ≥0x −2≠0，解得x ≤4且x ≠2，∴函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（﹣∞，2）∪（2，4]． 故选：D ．3．命题“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定为（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+1＜0 B ．∃x ∈R ，x 2+1＜0 C ．∃x ∈R ，x 2+1≥0D ．∃x ∈R ，x 2+1≤0解：命题为全称命题，则命题的否定是：∃x ∈R ，x 2+1＜0． 故选：B ．4．已知a ，b ∈R +，那么“a +b ≥1”是“ab ≥14”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：已知a ，b ∈R +，“a +b ≥1”，可取a ＝1，b =18，此时ab =18，不满足ab ≥14， 当ab ≥14，∵a +b ≥2√ab ，则a +b ≥2√ab ≥1成立， 所以“a +b ≥1”是“ab ≥14”的必要不充分条件． 故选：B ．5．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function ”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A 到B 的函数的是（ ）A．①④B．①②C．①②④D．①③④解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数．故选：A．6．已知f（2x﹣1）＝3x2+2，若f（x）＝5，则x＝（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或﹣3解：由题意：f（2x﹣1）＝3x2+2，令2x﹣1＝t，则x=12(t+1)，则f(t)=34(t+1)2+2=34t2+32t+114，所以f(x)=34x2+32x+114．令f(x)=34x2+32x+114=5，解得x＝1或﹣3．故选：D．7．函数f(x)=3x|x|+2，则下列结论错误的是（）A．函数f（x）在定义域R上为奇函数B．函数f（x）在区间（﹣3，3）上单调递增C．函数f（x）的值域为（﹣3，3）D．函数f（x）的图像与直线y=34x有且只有两个交点解：函数定义域为R，且f(−x)=−3x|x|+2=−f(x)，故函数为奇函数；当x≥0时，f(x)=3xx+2=3−6x+2，该函数在[0，+∞）上为增函数，易知f（0）＝0，再结合奇函数的性质，可知函数在R上为增函数，故函数f（x）在区间（﹣3，3）上单调递增，当x≥0时，f(x)=3−6x+2＜3，f（x）在[0，3）上递增，且f（0）＝0，结合奇函数性质，可得函数f（x）的值域为（﹣3，3），x≥0时，令3xx+2=3x4，解得x＝0或2，由y=3x4，y＝f（x）都是奇函数，故﹣2也是两函数图象交点的横坐标，故共有三个交点，D 错误． 综上可知，ABC 正确，D 错误． 故选：D ．8．关于x 的不等式ax 2﹣（b +4）x +16≤0的解集为[m ，16m ](m ＞0)，且不等式b a +4b＞t 2−4t 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2−2√2≤t ≤2+2√2 B ．﹣1≤t ≤5 C ．2−2√2＜t ＜2+2√2D ．﹣1＜t ＜5解：由题意知方程ax 2﹣（b +4）x +16＝0（a ＞0）的两根为m ，16m，（m ≠4）可得m +16m =b+4a ，且m •16m =16a，解得a ＝1，b ＝m +16m −4，由m ＞0，m +16m −4≥2×4﹣4＝4（当且仅当m ＝4时，等号成立），即b ＞4． 由ba +4b=b +4b在[4，+∞）递增，可得b a+4b＞4+1＝5，因为不等式ba+4b＞t 2−4t 恒成立，可得t 2﹣4t ≤5，解得﹣1≤t ≤5， 故选：B ． 二、多选题9．下列四组函数中，表示同一函数的有（ ） A ．f （x ）＝x ，g(x)=√x 33B ．f （x ）={1，x ≠±10，x =±1，g （x ）＝（x 2﹣1）0C ．f(x)=x +1x，g(t)=t +1tD ．f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1解：对于A ：f （x ）＝x ，g(x)=√x 33=x ，所以两函数为同一函数； 对于B ：f （x ）={1，x ≠±10，x =±1，的定义域为R ，g （x ）＝（x 2﹣1）0的定义域为x ≠±1，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数；对于C ：f(x)=x +1x 和g(t)=t +1t ，两函数定义域相同，对应关系相同，所以两函数为同一函数； 对于D ：f(x)=√x +1⋅√x −1的定义域为x ≥1，g(x)=√x 2−1的定义域为x ≤﹣1或x ≥1，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数．故选：AC ．10．集合X ＝{x |﹣2＜x ＜2}，集合Y ＝{y |y ≤2}则集合Z ＝{z ||z |≥2}可表示为（ ） A ．（∁R X ）∪（∁R Y ） B ．∁R XC ．∁R （X ∩Y ）D ．∁R （X ∪Y ）解：因为X ＝{x |﹣2＜x ＜2}，集合Y ＝{y |y ≤2}， 则集合Z ＝{z ||z |≥2}＝{z |z ≥2或z ≤﹣2}， ∁R X ＝{x |X ≤﹣2或x ≥2}，B 成立，∁R Y ＝{y |y ＞2}，则（∁R X ）∪（∁R Y ）＝{x |x ≥2或x ≤﹣2}，A 成立， 又∁R （X ∩Y ）＝（∁R X ）∪（∁R Y ），C 正确， ∁R （X ∪Y ）＝（∁R X ）∩（∁R Y ），D 错误． 故选：ABC ．11．函数y ＝f （x ）是定义在[﹣2，2]的偶函数，当x ≥0时，f （x ）={x ，0≤x ＜12−x 2，1≤x ≤2，下列说法正确的有（ ）A ．函数y ＝f （x ）的图像与x 轴有三个不同的交点B ．当x ＜0时，f （x ）={−x ，−1＜x ＜02−x 2，−2≤x ≤−1C ．不等式f （x ）＞0的解集为{x|−√2＜x ＜√2}D ．对于任意的x 1，x 2∈[﹣2，2]，若|x 1﹣x 2|＝2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2 解：对于A ：当x ≥0时，令f （x ）＝0，则x ＝0或x =√2，由函数y ＝f （x ）是定义在[﹣2，2]的偶函数可得，f(−√2)=0，故函数y ＝f （x ）的图像与x 轴有三个不同的交点，A 正确；对于B ：设﹣1＜x ＜1，则0＜﹣x ＜1，f （﹣x ）＝﹣x ＝f （x ），设﹣2≤x ≤﹣1，则1≤x ≤2，f （﹣x ）＝2﹣（﹣x ）2＝2﹣x 2＝f （x ），所以当x ＜0时，f(x)={−x ，−1＜x ＜02−x 2，−2≤x ≤−1，B 正确； 对于C ：当x ≥0时，令f （x ）＞0，则x ∈(0，√2)，由函数y ＝f （x ）是定义在[﹣2，2]的偶函数可得，当x ∈(−√2，0)时，f （x ）＞0， 综上：不等式f （x ）＞0的解集为(−√2，0)∪（0，√2），C 错误； 对于D ：不妨设x 1＞x 2，则x 1＝x 2+2，①当x 1∈[0，1）时，x 2∈[﹣2，﹣1），f （x 1）﹣f （x 2）=x 1−2+x 22=x 2+2−2+x 22=x 2+x 22∈（0，2]，②当x 1＝1时，x 2＝﹣1，f （x 1）﹣f （x 2）＝0；③当x 1∈（1，2）时，x 2∈（﹣1，0），f （x 1）﹣f （x 2）=2−x 12−（﹣x 2）=−x 12+x 1∈（﹣2，0）， ④当x 1＝2时，x 2＝0，f （x 1）﹣f （x 2）＝﹣2；综上：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2，2]，若|x 1﹣x 2|＝2，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤2，D 正确． 故选：ABD ．12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet .1805﹣1859）对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．以其名字命名的函数“狄利克雷函数D （x ）”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识．已知狄利克雷函数D （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q，其中R 为实数集，Q 为有理数集．则下列关于“狄利克雷函数D （x ）”的命题中，属于真命题的有（ ） A ．D （D （x ））＝0B ．狄利克雷函数D （x ）的值域为{0，1}C ．狄利克雷函数D （x ）为偶函数D ．对于任意的x 1，x 2∈∁R Q ，D （x 1+x 2）＝D （x 1）+D （x 2）恒成立解：因为D(x)={1，x ∈Q 0，x ∈C R Q ，可得D （x ）＝0或1∈Q ，则D （D （x ））＝1，故A 错误；故D （x ）的值域为{0，1}，B 正确；又当x ∈Q 时，﹣x ∈Q ，当x ∈∁R Q 时，﹣x ∈∁R Q ，可知对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）＝f （x ），函数为偶函数，故C 正确；取x 1=√3，x 2=−√3，则D （x 1+x 2）＝D （0）＝1，D(x 1)+D(x 2)=D(√3)+D(−√3)=0，故D 错误． 故选：BC ． 三、填空题13．集合A ＝{a 2+a ﹣2，1﹣a ，2}，若4∈A ，则a ＝ 2 ． 解：若4∈A ，则a 2+a ﹣2＝4或1﹣a ＝4，当a 2+a ﹣2＝4时，a 2+a ﹣6＝0，解得：a ＝﹣3或2， 若a ＝﹣3，则1﹣a ＝4，与互异性矛盾，舍去； 若a ＝2，则1﹣a ＝﹣1，满足题意；当1﹣a ＝4时，即a ＝﹣3，此时a 2+a ﹣2＝4，与互异性矛盾，舍去； 综上a ＝2．故答案为：2． 14．设2a ＝3b ＝m ，且1a +1b=2，则m ＝ √6解：由2a ＝m ，3b ＝m ，（m ＞0） 可得log 2m ＝a ，log 3m ＝b ， ∴1a =log m 2，1b=log m 3．∵1a+1b=2，即log m 2+log m 3＝2，∴log m 6＝2． 那么m 2＝6． ∴m =√6 故答案为：√6．15．实数x ，y 满足﹣1＜x ﹣y ＜2，1＜3x +y ＜4，那么x ﹣2y 的取值范围是 (−114，134) ． 解：令m ＝x ﹣y ，n ＝3x +y ，故﹣1＜m ＜2，1＜n ＜4， 则x −2y =74m −14n ，−74＜74m ＜72，−1＜−14n ＜−14， ∴74m −14n ∈(−114，134)．故答案为：(−114，134)．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f （x ）＝ x 2﹣2|x |（满足条件即可） ． ①定义域为R②y ＝f （x ）在定义域内是偶函数 ③y ＝f （x ）的图像与x 轴有三个公共点解：根据题意f （x ）＝x 2﹣2|x |定义域为R ，且为偶函数，与x 轴分别有（﹣2，0），（0，0），（2，0）三个公共点，满足题意．故答案为：x 2﹣2|x |（满足条件即可）． 四、解答题17．（10分）（1）计算：(13)−1+(6427)13+√(0.064)−13+20220；（2）化简：√√a 4b 23⋅ab(a 13b)2⋅√b3，（a ＞0，b ＞0）．解：（1）：(13)−1+(6427)13+√(0.064)−13+20220=3+43+52+1=476；（2）原式=a 53b 43a 23b 73=a b ． 18．（12分）已知a ，b 为正实数且a +b ＝1，求下列式子的最值：（1）求√a +√b 的最大值；（2）求1a +12b+1的最小值； （3）求(1−a 2)(1−b 2)a 2b 2的最小值． 解：（1）因为a ，b 为正实数且a +b ＝1，所以√a +√b ≤√2(a +b)=√2，当且仅当a =b =12取到最大值√2； （2）1a +12b+1=13（22a +12b+1）（2a +2b +1）=13（3+2a 2b+1+4b+22a ）≥3+2√23， 当且仅当a =3−3√22，b =3√22−2时取到最小值3+2√23； (3)(1−a 2)(1−b 2)a 2b 2=(1+a)b(1+b)aa 2b 2=(1+a)(1+b)ab =ab+a+b+1ab =1+2ab ≥1+2(a+b 2)2=9， 当且仅当a ＝b 时取到最小值9．19．（12分）已知命题p ：“∃x ∈R ，关于x 的方程x 2+ax +a ＝0有解”是假命题．（1）求实数a 的取值所构成的集合M ；（2）在（1）的条件下，设不等式|1−x 3|＜b 的解集为N ，若x ∈M 是x ∈N 的必要条件，求b 的取值范围．解：（1）因为命题p 是假命题，则命题p 的否定即为真命题，即：∀x ∈R ，x 2+ax +a ≠0，所以Δ＝a 2﹣4a ＜0，解得0＜a ＜4，即M ＝{a |0＜a ＜4}．（2）∵|1−x 3|＜b ，∴﹣b ＜1−x 3＜b ，解得3﹣3b ＜x ＜3b +3，即N ＝{x |3﹣3b ＜x ＜3+3b }，∵x ∈M 是x ∈N 的必要条件，∴N ⊆M ，当N ＝∅时，b ≤0，符合题意，当N ≠∅时，{b ＞03−3b ≥03+3b ≤4，解得0＜b ≤13，综上，实数b 的取值范围是（﹣∞，13]． 20．（12分）已知幂函数f(x)=x −3n 2+9(n ∈N)为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）设函数g(x)=√f(x)3+2tx +3，求函数y ＝g （x ）在区间[2，6]上的最小值G （t ）． 解：（1）因为幂函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，所以﹣3n 2+9＞0（n ∈N ）可得n ＝0或n ＝1，又因为幂函数f （x ）为偶函数，故n ＝1，即f （x ）＝x 6；（2）g （x ）＝x 2+2tx +3，对称轴为x ＝﹣t ，当﹣t ≤2即t ≥﹣2时，函数y ＝g （x ）在区间[2，6]上单调递增，所以G （t ）＝g （2）＝4t +7，当2＜﹣t ＜6即﹣6＜t ＜﹣2时，函数y ＝g （x ）在区间[2，﹣t ]上单调递减，在区间[﹣t ，6]上单调递增，所以G （t ）＝g （﹣t ）＝﹣t 2+3，当﹣t ≥6即t ≤﹣6时，函数y ＝g （x ）在区间[2，6]上单调递减，所以G （t ）＝g （6）＝12t +39．综上所述：G （t ）={4t +7，t ≥−23−t 2，−6＜t ＜−212t +39，t ≤−6．21．（12分）已知函数y ＝f （x ）的定义域是（0，+∞），对任意的正实数m ，n 满足：f （m ）+f （n ）＝f （mn ）+1且当x ＞1时，f （x ）＞1．（1）判断函数y ＝f （x ）的单调性并加以证明；（2）若当x ∈[13，3]时，关于x 的不等式f （kx +3）+f （x +1）＞2恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）单调递增；证明：设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，所以f （x 1x 2）＞1， ∵f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1x 2•x 2）﹣f （x 2）＝f （x 1x 2）+f （x 2）﹣1﹣f （x 2）＝f （x 1x 2）﹣1＞0∴函数y ＝f （x ）在定义域内单调递增；（2）要使不等式有意义f （kx +3）+f （x +1）＞2，∵f （1）+f （1）＝f （1）+1⇒f （1）＝1，∴f （kx +3）+f （x +1）＝f [（kx +3）（x +1）]+1＞2⇒f （（kx +3）（x +1））＞1，即f[（kx+3）（x+1）]＞f（1），所以原不等式恒成立可转化为kx2+（3+k）x+2＞0在[13，3]上恒成立，显然，当k≥0时，不等式kx2+（3+k）x+2＞0，当﹣1＜k＜0时，{k⋅(13)2+(k+3)⋅13+2＞0k⋅32+(k+3)⋅3+2＞0，⇒k＞−1112⇒−1112＜k＜0综上所述：实数k的取值范围为（−1112，+∞）．22．（12分）改革开放不断深化．在重要领域和关键环节推出一批重大改革举措，供给侧结构性改革深入推进．“放管服”改革取得新进展．市场主体总量超过5亿户．高质量共建“一带一路”稳步推进．推动区域全面经济伙伴关系协定生效实施．货物进出口总额增长21.4%，实际使用外资保持增长．生态文明建设持续推进．污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物（PM2.5）平均浓度下降9.1%．第一批国家公园正式设立．生态环境质量明显改善．﹣﹣﹣摘自李克强总理2022年3月5日《政府工作报告》某汽车企业为了响应号召，打开国际市场，决定从甲乙两款新能源车型中，选择一款新能源车型进行投资生产．已知投资生产这两款新能源汽车的有关数据如表（单位：万元）其中月固定成本与月生产量无关；m为待定常数，其值由生产甲车型的配件价格决定，预计m∈[6，8]，另每月销售x辆乙车时需缴纳0.05x2万元的特别关税（假设生产出来的车辆都能在当月销售出去）．（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种车型的月利润y1，y2与生产相应车辆数x之间的函数关系，并指明其定义域；（2）如何投资才能获得最大月利润？请你做出规划．解：（1）根据表格中数据可知：投资甲车型y1＝（10﹣m）x﹣20，定义域为{x|0≤x≤200，x∈N}，投资乙车型y2=18x−48−0.05x2，定义域为{x|0≤x≤120，x∈N}；（2）投资甲车型的最大月利润为y1max＝（10﹣m）⋅200﹣20＝﹣200m+1980，投资乙车型的最大月利润为y2=−120(x−100)2+460≤460，当且仅当x＝100，y2max＝460，综上，当﹣200m+1980＞460，即m∈[6，385)时，选择投资甲车型；当﹣200m+1980＝460，即m=385，甲乙两种车型获利相当；当﹣200m+1980＜460，即m∈(385，8]时，选择投资乙车型．。
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试卷及答案
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)满分：120分； 考试世界100分钟；一、单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知全集},4,3{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===N M U 则N M C U )(= ( )A.}4{B.}54{，C.}543{，，D.}54321{，，，，2.已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+=1,210,21)(2x x x x x x f 则=）（)21(f f ( ) A.9 B.7 C.319 D.41 3.三个数553.0)51(,3.0,5===c b a 大小的顺序是 ( ) A.c b a >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>4.幂函数a x a a x f )22()(2--=在),0(+∞上单调递增,则)1(1)(>+=+b b x g a x 过定点 ( )A.)1,1(B.)2,1(C.)1,3(-D.)2,3(-5.已知函数)(x f 的图象如图所示,则)(x f 的解析式可能是 ( ) A.212)(x x f x -⋅= B.||2)(x x f x ⋅=C.)1|(|)(-=x x x fD.212)(x x x f -⋅=6.已知,11c b a >->>>则下列不等式恒成立的是 ( )A.b c a 2<-B.bc ab >C.b bc a ac -<-D.cb a b > 7.若,4)4)(1(,0,0=-->>y x y x 则y x +的最小值为 ( )A.1B.9C.10D.168.已知)(),(x g x f 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足x x g x f 2)()(=+,若对于任意的 ]2,1[∈x ,都有0])([])(2[≤-•-a a g a x f 恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A.]417,43[ B.]25,815[ C.]2,815[ D.]417,2[二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.9.下列各组函数中是同一函数的是 ( ) A.2)(,2)(33+=+=x x g x x f B.3)()(,39)(22+=--=x x g x x x f C.2)(,)1(2)(202+=-+=x x g x x x f D.tt x g x x x f 1)(,1)(+=+= 10.命题“函数12)(2++=ax ax x f 的定义域为R ”为真命题的一个必要不充分条件是 ( )A.10≤<aB.10≤≤aC.1≤aD.21<≤-a11.若函数)(x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ,恒有0)()(=-+x f x f ；②对于定义域上的任意21,x x ,当21x x ≠时,恒有0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ,则称该函数为“七彩函数”. 下列函数中是“七彩函数”的有 ( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,20,2)(22x x x x x f B.51)(x x f -= C.x x x f -=1)( D.||)(2x x x f +=12.函数)|(|2)(c b x x f x +-=,若1)(≥x f 在),0[+∞上恒成立,则c b ,满足的条件可能是 ( )A.⎩⎨⎧≤-≤10b c bB.⎩⎨⎧≥-≤10b c bC.⎩⎨⎧≤>120c b bD.⎩⎨⎧≥≤120b b c。
浙江省2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
________
【答案】
1 (1). 3
4 (2). 3
【解析】
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案.
【详解】
42 3
27 3
2 3
2
32 3 1 3 3 2 33
3 1
32 1 3 3，
2 2 2 4 2log2 3
log2 4log2 3
log
2
4 3
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2019-2020 学年高一数学上学期 期中联考试题（含解析）
考生须知: 1.本卷共 4 页满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
f (x) log1 (x 1)
3.设函数
2
，则（ ）
A. f (x) 在 (0, ) 单调递增
B. f (x) 在 (0, ) 单调递减
C. f (x) 在 (1, ) 单调递增
D. f (x) 在 (1, ) 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 f (x) 定义域，根据对数函数的单调性即可求解.
所以 3 2a 1 ，解得 a 1 ，故 0 a 1，
若 a 1，则 f x为增函数，由 f x的值域为1, ，
当
x
1 时，
f
x
ax
3
2a
3
a
，即函数
f
x
在区间
1,
上的值域为
C. y 轴对称
【答案】B
B. 原点对称
D. 直线 y x 对称
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题
○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：○…………内…………○…………装…绝密★启用前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{}10x x -<<C ．{}0x x >D ．{}1x x >-2．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是（ ）A ．B ．…………○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装※…………○…………装…………C ．2y x =D ．()()0x y x y +-=3．设函数12()log (1)f x x =-，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(1,)+∞单调递增D ．()f x 在(1,)+∞单调递减4．下列函数中，值域是[)0,+∞的是（ ） A ．2x y = B ．y =C ．()2ln 1y x =+D ．21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．函数()()2ln 1x f x x-=的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称6．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11221log ,log log ,log 2a aa a ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的大小关系是（ ） A ．11221log log log log 2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．11221log log log log 2a aa a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．111log log log log a a a a ⎛⎫>> ⎪D ．111log log log log a a a a ⎛⎫>> ⎪8．设函数()()2ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UD ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[]1,2x ∈与函数2y x =，[]2,1x ∈--即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y x =B ．1y x x=+C ．22x x y -=-D ．0.5log y x =10．已知函数()41f x t x =--在区间[]2,5的最大值为2，则t 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2或3D ．1-或6第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知()f x 为幂函数，且图象过⎛ ⎝⎭，则()4f =________ 12+=________；22log 32-=________13．函数()f x =________，值域为________14．函数()13,03,0x xa x f xbc x +-⎧+≥=⎨⋅+<⎩为奇函数，则a =________，9b c +=________ 15．已知函数()lg 1,0132,1x x x f x a a x -+<≤⎧=⎨+->⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是________16．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A B I ，A B U （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()24xf x x =-. （1）判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性并证明；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]6,3--上的最大值与最小值.19．已知函数()2121x xa f x ⋅+=-. （1）当1a =时，解方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-.（2）当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 20．设函数()22f x ax x a =--.（1）当12a =时，求函数()f x 的值域； （2）若对任意[]1,2x ∈，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据题意直接求出B R ð，进而可得R A B I ð的答案. 【详解】由集合{}|1B x x =≤-，得{}|1R B x x =>-ð，又{}0A x x =>， 所以{}|0R A B x x =>I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知A 、B 、C 选项都能表示“y 是x 的函数”， D 选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】求出()f x 定义域，根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】12()log (1)f x x =-定义域为(1,)+∞，所以()f x 的递减区间是(1,)+∞.【点睛】本题考查函数的性质，研究函数要注意定义域优先原则，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】对于A ：2xy =，因x ∈R ，所以函数的值域为()0,∞+，故A 不正确；对于B：y 因x ∈R ，则211x +≥，所以函数的值域为[)1,+∞，故B 不正确；对于C ：()2ln 1y x =+，因x ∈R ，则211x +≥，所以()2ln 10x +≥，即函数的值域为[)0,+∞，故C 正确；对于D ：21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因0x ≠，则210x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数的值域为()0,∞+，故D 不正确.故选：C. 【点睛】本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，判断函数为奇函数，即可得到答案. 【详解】由题意得210x x ⎧->⎨≠⎩，解得11x -<<且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()()1,00,1-U ，()()()()()22ln 1ln 1x x f x f x xx---∴-==-=--，即()f x 为奇函数，其图象关于原点对称.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性判断函数图象的问题，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案. 【详解】当01a <<时，函数2xy a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以221551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性和a 的范围，可判断出12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a <<，12log 1a >，从而得选项. 【详解】 令112log y x =，则112log y x =在()0,+?上单调递减，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12121log log 12a >=，即12log 1a >， 因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令2log a y x =，则2log a y x =在()0,+?上单调递减，所以121log log log 10log 2a a a a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1log log 12a a a <=，所以12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a<<，12log 1a >，所以11221log log log log ,2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性可得21x x >-，由此求得取值范围. 【详解】由函数()()2ln 1f x x x =++知，定义域为R ，又()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，即()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()f x 是增函数， 由()()21f x f x >-，即()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得113x <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中等题. 9．B 【解析】【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确； 对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据绝对值函数的特性对t 进行讨论即可得到答案. 【详解】 由函数()41f x t x =--，令()0f x =，得41x t=+， 当412t+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数， ∴函数()f x 的最大值()45251f t =-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍）， 当415t+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()42221f t =-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍）， 当4215t<+<，即14t <<，()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =-=-或()45251f t =-=-， 解得3t =或2t =.综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题. 11．12【解析】 【分析】根据幂函数的概念设()af x x =（a 为常数），将点的坐标代入即可求得a 值，从而求得函数解析式，即可得到答案. 【详解】由题意，设()af x x =（a 为常数），则1233a-==，所以12a =-，即()12f x x -=，所以()121442f -==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题. 12．13- 43【解析】 【分析】化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案. 【详解】221133333=+==-，22224log 2log 3log 4log 3342223⎛⎫ ⎪--⎝⎭===. 故答案为：13-；43. 【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，属于基础题．13．(],3-∞ 0,⎡⎣【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域. 【详解】由820x -≥，得3x ≤，所以()f x 的定义域为(],3-∞，因3x ≤，则30228x <≤=，所以0828x ≤-<，即0<所以()f x 的值域为0,⎡⎣.故答案为：(],3-∞；0,⎡⎣. 【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题． 14．3- 24- 【解析】 【分析】直接利用奇函数的定义可求得a 的值，观察知9b c +为()2f -的函数值，即可得到答案.【详解】由()f x 为R 奇函数，则()00f =，即()1030f a =+=，所以3a =-，所以()323324f =-=，当2x =-时，()29f b c -=+，又()f x 为R 奇函数，则()()22f f -=-， 所以924b c +=-. 故答案为：3-；24-.【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用()00f =为关键，属于基础题. 15．()(]0,11,2U 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可. 【详解】当01x <≤时，()lg 1f x x =-+，()[)1,f x ∈+∞， 当1x >时，()32xf x a a =+-，若01a <<，则()f x 为减函数，又1x >，()f x 的值域为()32,3a a --， 所以321a -≥，解得1a ≤，故01a <<，若1a >，则()f x 为增函数，由()f x 的值域为[)1,+∞，当1x >时，()323xf x a a a =+->-，即函数()f x 在区间()1,+∞上的值域为()3,a -+∞.所以31a -≥，解得2a ≤，故12a <≤. 综上所述：实数a 的取值范围为()(]0,11,2U . 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题. 16．2 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-， 当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数，∴()228M f a b ==++，()0m f b ==，∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>. 综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．17．（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞U 【解析】 【分析】（1）由题意和交集、并集运算求出A B I ，A B U ；（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，对集合B 讨论即可得到答案. 【详解】（1）若1a =-，则{}{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤， 所以{}|43A B x x =-≤≤-I ，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集， 当B =∅时，即43a a >+，解得1a >； 当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，又{3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥， 解得6a ≤-或1a =.综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题. 18．（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，理由见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性； （2）利用奇函数的定义判断()f x 为奇函数，由单调性即可得最值. 【详解】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下： 任取122x x >>，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444=444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-=------， 122x x >>Q ，2212211240,40,0,0x x x x x x ∴->->-<>，()()()()()()21121222124=44x x x x f x f x x x -+∴-<--，即()()12f x f x <，∴()f x 在()2,+∞上为减函数.（2）由题意得()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞U ，()()()2244xxf x f x x x -∴-==-=----，∴()f x 为奇函数，由（1）知，函数()f x 在[]6,3--为减函数， 故当6x =-时，函数()f x 取得最大值为()()24663166f ---==--， 当3x =-时，函数()f x 取得最小值为()()2335343f -==----. 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．19．（1）1x =；（2）52a ≤-或12a ≥. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则化简原方程得()()22215921x x+=+，再令2xt =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；（2）由()()21f x f x -≥化简不等式为()222121x xx a --⋅≥-，令2x t =，当(]0,1x ∈时，得(]1,2t ∈，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，再令()211t g t t t t-==-，证明函数()g t 在(]1,2上单调递增，并得出在(]1,2上的最值，建立关于a 的不等式312a +≥，可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21212121xxxx a f x ⋅++==--，()()()2222212122121x xx x f x ++==--， 所以方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-化为()()210lglg 18f x f x =且()()20,0f x f x >>，即()()25 9f x f x =且()()2221021x x +>-，21021x x +>-，所以()()2221215 21921x x xx +-=+-，即()()22215 921x x+=+， 令2x t =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=， 解得2t =或12t =，即22x =或122x =，解得1x =或1x =-，当1x =-时，()()2221021x x +<-，21021x x+<-，故舍去， 故原方程的解为：1x =；（2）由()()21f x f x -≥得()()222121 12121x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()222 121x xxa --⋅≥-， 令2x t =，当(]0,1x ∈时，(]1,2t ∈，所以210t ->，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于当(]1,2t ∈时，()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，令()211t g t t t t-==-，设112112220,10,012,t t t t t t t t <<<-><->，()()()()121212********* 0t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12 g t g t <，所以()g t 在(]1,2上单调递增，所以()()()13322 ,1110 ,0<222g g g t =-==-=≤，所以()30<2g t ≤，所以3 12a +≥， 解得52a ≤-或12a ≥；所以实数a 的取值范围是52a ≤-或12a ≥.【点睛】本题考查指数、对数运算法则，参变分离的思想，证明函数的单调性，以及不等式恒成立的条件，属于难度题。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷
A.
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B.
C. 푦 = 푥2
3. 设函数푓(푥) = 푙표푔12(푥−1)，则( )
D. (푥 + 푦)(푥−푦) = 0
A. 푓(푥)在(0, + ∞)单调递增 C. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递增
B. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减 D. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减
综合考查函数性质的应用
9.【答案】B
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【解析】解：对于 B，函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (12,1)与函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (1,2)满足解析式和 值域相同，定义域不同，是同族函数； 对于 ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同， 故不是同族函数； 故选：B． 根据定义，逐项判断即可． 本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据函数的定义，每个 x 都有唯一的 y 对应，从而判断选项 A，B，C 都 表示 y 是 x 的函数； ∵ (푥 + 푦)(푥−푦) = 푥2−푦2 = 0， ∴ 푦2 = 푥2， ∴ 任一 x 都有两个 y 与之对应，(푥 + 푦)(푥−푦) = 0不能表示“y 是 x 的函数”． 故选：D． 可根据函数的定义可知，任意的 x 有唯一的 y 与之对应，从而可判断出选项 A，B，C 都表示”y 是 x 的函数“，从而只能选 D． 本题考查了函数的定义，清楚函数关系中，x 与 y 的对应关系，考查了推理能力，属于 基础题．
{ 15.
已知函数푓(푥) =
2020年浙江省高一(上)期中数学试卷解析版
1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：∵A={x|x＞0}，B={x|x≤-1}， ∴∁RB={x|x＞-1}，A∩∁RB={x|x＞0}． 故选：C． 进行交集和补集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据函数的定义，每个 x 都有唯一的 y 对应，从而判断选项 A，B，C 都 表示 y 是 x 的函数； ∵（x+y）（x-y）=x2-y2=0， ∴y2=x2， ∴任一 x 都有两个 y 与之对应，（x+y）（x-y）=0 不能表示“y 是 x 的函数”． 故选：D． 可根据函数的定义可知，任意的 x 有唯一的 y 与之对应，从而可判断出选项 A，B，C 都表示”y 是 x 的函数“，从而只能选 D． 本题考查了函数的定义，清楚函数关系中，x 与 y 的对应关系，考查了推理能力，属于 基础题．
f（0）=1+a-a2=-（a- ）2+ ，
∵0＜a＜1，∴1＜f（0）＜ ，
有可能，满足图象中的 f（0）＞1， D．由单调性知，0＜a＜1，
f（0）=1+a-a2=-（a- ）2+ ，
∵0＜a＜1，∴1＜f（0）＜ ，
不满足图象中的 0＜f（0）＜1， 故不可能的是图象 D， 故选：D． 根据指数函数的单调性求出 a 的范围，然后分别验证 f（0）的取值范围是否对应即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数的单调性，以及一元二次函数求出 f（0）的取值范围是否对应是解决本题的关键．难度中等．
C. y=2x-2-x
D. y=log0.5x
10. 已知函数
在区间[2，5]的最大值为 2，则 t 的值为（ ）
2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1＜x ≤2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣1，3} B ．{﹣1}C ．{3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=1√x−2(x −4)0的定义域是（ ） A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．（2，4）∪（4，+∞）D ．（2，4）∩（4，+∞）3．设p ：x ＞2或x ＜23，q ：x ＞2或x ＜﹣1，则p 是q 的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知a ＞b ＞c ，则（ ） A ．ab ＞bcB ．ac ＞bcC ．1b−c＞1a−cD ．a 2＞b 2＞c 25．若函数f （x ）＝x 2﹣2ax +2a ，x ∈（﹣∞，4）无最值，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ≤4D ．a ≥46．已知函数f(√x −2)=x −4√x +5，则f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝x 2+1（x ≥0） B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2） C ．f （x ）＝x 2（x ≥0）D ．f （x ）＝x 2（x ≥﹣2）7．若关于x 的不等式3x 2﹣（a +2）x ﹣3＞0在区间[13，2]内有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(−10，52)B ．（﹣∞，﹣10）C ．（﹣∞，﹣2）D ．(−∞，52)8．已知函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }，若f （2﹣a ）＞f （2a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1，23)B ．(−2，23)C ．(−∞，23)D ．(23，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)={x +2，x ≤−1x 2，−1＜x ＜2，则关于函数f （x ）的结论正确的是（ ）A ．f （f （1））＝3B ．若f （x ）＝1，则x 的值为±1C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，4）10．若f （x ）为R 上的奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）﹣f （﹣x ）＝2f （x ）B ．g （x ）＝f （x ）•|f （x ）|是偶函数C．f（|x|）是偶函数D．若f（1﹣x）＝f（1+x），则f（2）＝011．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（）A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间C．方程f（f（x））＝0有5个解D．∀x1，x2∈[0，2]，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)212．已知正实数a，b满足a+4b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥16B．若m＝1，n＝0，则a+b≥16C．若m＝0，n＝1，则ba +a+3b≥16D．若m＝﹣1，n＝1，则a+b＜16三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．命题“∀x＞1，x2﹣x﹣5≤0”的否定是．14．计算：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=．15．若函数f(x)={(a−3)x+4，x≤a2ax，x＞a是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为．16．已知实数x，y，z满足x2+y2+2z2＝1，则2xy+z的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣b）＝0}，其中a、b为常数．（1）用列举法表示集合A；（2）若A∪B＝A，写出以ab的值组成的集合．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（2k2﹣k+1）x k（k∈R）在区间（0，+∞）单调递增．（1）求实数k的值；（2）若f(a)+f(1a)=3，求f(a2)+f(1a2)的值．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1．（1）若f（1）＝0，f（2）＞2b+1，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若0≤f（1）≤1，1≤f（2）≤2，求f（﹣1）的取值范围．20．（12分）f（x）是定义在R上的函数，满足以下性质：①∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），②当x＜0时，f（x）＜0．（1）判断f（x）的单调性并加以证明；（2）不等式f(x 2+3xx 2+3)+f(a)＞0恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）用不等式知识解决下列问题：（1）已知p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；（2）某超市进货A ，B ，C 三种水果糖，进货价格分别为a 元/千克，b 元/千克，c 元/千克，然后把所有糖混合成什锦糖，进货方案有两种，方案一：每种糖进货1500元，方案二：每种糖进货100千克；问哪种方案混合成的什锦糖每千克的价格更低？ 22．（12分）已知函数f(x)=4x−ax 2+1，x ∈R ，a 为常数． （1）若f （x ）是奇函数，设x 1，x 2∈R ，实数m 满足f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，求m 的取值范围； （2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立，求a 的取值范围．2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣1}C．{3}D．{0，1，2}解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∁U A＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁U A）∩B＝{﹣1，3}．故选：A．2．函数f(x)=1x−2(x−4)0的定义域是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（2，4）∪（4，+∞）D．（2，4）∩（4，+∞）解：由{x−2＞0x−4≠0，解得x＞2且x≠4，∴定义域为（2，4）∪（4，+∞）．故选：C．3．设p：x＞2或x＜23，q：x＞2或x＜﹣1，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要解：令A＝{x|x＞2或x＜23}，B＝{x|x＞2或x＜﹣1}，因为B⫋A，故p是q的必要不充分条件．故选：B．4．已知a＞b＞c，则（）A．ab＞bc B．ac＞bc C．1b−c ＞1a−cD．a2＞b2＞c2解：当b＝0时，A、D选项错误；当c＝0时，B选项错误；因为a﹣c＞b﹣c＞0，1b−c ＞1a−c，C选项正确．故选：C．5．若函数f（x）＝x2﹣2ax+2a，x∈（﹣∞，4）无最值，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a≤4D．a≥4解：函数f（x）的开口向上，对称轴为x＝a，在（﹣∞，a）内单调递减，若在区间（﹣∞，4）内无最值， 则需满足对称轴x ＝a ≥4． 所以a 的取值范围是[4，+∞）． 故选：D ．6．已知函数f(√x −2)=x −4√x +5，则f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝x 2+1（x ≥0） B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2） C ．f （x ）＝x 2（x ≥0）D ．f （x ）＝x 2（x ≥﹣2）解：令√x −2=t ，则t ≥﹣2，所以f （t ）＝（t +2）2﹣4（t +2）+5＝t 2+1（t ≥﹣2）， 则f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2）． 故选：B ．7．若关于x 的不等式3x 2﹣（a +2）x ﹣3＞0在区间[13，2]内有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(−10，52)B ．（﹣∞，﹣10）C ．（﹣∞，﹣2）D ．(−∞，52)解：当x ∈[13，2]时，3x 2﹣3＞（a +2）x 有解， ∴3x −3x ＞a +2在x ∈[13，2]时有解， 又−8≤3x −3x ≤92， 由题意，a +2＜92， ∴a ＜52． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }，若f （2﹣a ）＞f （2a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1，23)B ．(−2，23)C ．(−∞，23)D ．(23，+∞)解：由函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }可知，f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }是偶函数，在（0，+∞）上单调递增， 则由f （2﹣a ）＞f （2a ），可得|2﹣a |＞|2a |，解得−2＜a ＜23， 所以实数a 的取值范围是(−2，23)． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)={x +2，x ≤−1x 2，−1＜x ＜2，则关于函数f （x ）的结论正确的是（ ）A．f（f（1））＝3B．若f（x）＝1，则x的值为±1 C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）的值域为（﹣∞，4）解：函数f(x)={x+2，x≤−1x2，−1＜x＜2，当x＝1时，f（1）＝12＝1，f（f（1））＝12＝1，故A错误；当x≤﹣1时，f（x）＝x+2＝1，解得x＝﹣1；当﹣1＜x＜2时，f（x）＝x2＝1，解得x＝1，故B正确；由图象可知，f（x）不关于y轴对称，故C错误．当x≤﹣1时，f（x）的取值范围是（﹣∞，1]，当﹣1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（﹣∞，4），故D正确．故选：BD．10．若f（x）为R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）﹣f（﹣x）＝2f（x）B．g（x）＝f（x）•|f（x）|是偶函数C．f（|x|）是偶函数D．若f（1﹣x）＝f（1+x），则f（2）＝0解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）为奇函数，则对任意x∈R，f（x）﹣f（﹣x）＝f（x）+f（x）＝2f（x），故A正确；对于B，对任意x∈R，g（﹣x）＝f（﹣x）|f（﹣x）|＝﹣g（x），g（x）奇函数，故B错误；对于C，对任意x∈R，g（x）＝f（|x|），g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|），故C正确；对于D，令x＝1，f（0）＝f（2）＝0，故D正确．故选：ACD．11．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（）A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间C．方程f（f（x））＝0有5个解D．∀x1，x2∈[0，2]，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2解：设﹣x+2＞1，则x＜1，由于当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，f（﹣x+2）＝（﹣x+2）2﹣4（﹣x+2）+3＝x2﹣1，故当x∈（﹣∞，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣x2+1．作出函数f（x）的图象，由图可知不等式f（x）＜0的解为{x|x＜﹣1或1＜x＜3}，A错误；由图观察，B正确；f（f（x））＝0，得f（x）＝﹣1或f（x）＝1或f（x）＝3，对应的解的个数分别为2，2，1，故共有5个解，C正确．举反例，f(1+02)=34＞f(1)+f(0)2=12，D错误．故选：BC．12．已知正实数a，b满足a+4b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥16B．若m＝1，n＝0，则a+b≥16C．若m＝0，n＝1，则ba +a+3b≥16D．若m＝﹣1，n＝1，则a+b＜16解：对于A，若m＝1，n＝0，则a+4b=ab≥4√ab，当且仅当a＝8，b＝2时取等号，解得ab≥16，故A正确；对于B，若m＝1，n＝0，则ab＝a+4b≥16，b＞0，无法推出a+b≥16，故B错误；对于C，当m＝0，n＝1时，a+4b＝1，则ba +a+3b=ba+a+3a+12bb=ba+4ab+12≥16，a=19，b=29时取等号，C正确；对于D，当m＝﹣1，n＝1时，（a+4）（b+1）＝5，∵a＞0，b＞0∴{5b+1−4＞05 a+4−1＞0，解得{b＜14a＜1，∴a+b＜54＜16，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．命题“∀x ＞1，x 2﹣x ﹣5≤0”的否定是 ∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0 ． 解：命题“∀x ＞1，x 2﹣x ﹣5≤0”的否定是“∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0”． 故答案为：∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0． 14．计算：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=4748．解：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=[(32)2]0.5−(34)2+136×[(23)3]−13=(32)2×0.5−(34)2+136×(23)3×(−13)=32−916+136×32=4748． 故答案为：4748．15．若函数f(x)={(a −3)x +4，x ≤a 2ax ，x ＞a是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 [﹣4，0） ．解：根据题意，若函数f(x)={(a −3)x +4，x ≤a 2ax ，x ＞a是定义在R 上的减函数，则有{a −3＜02a ＜0(a −3)a +4≥2a 2，解可得﹣4≤a ＜0，即a 的取值范围为[﹣4，0）．故答案为：[﹣4，0）．16．已知实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+2z 2＝1，则2xy +z 的最大值为 98．解：因为x 2+y 2+2z 2＝1，则x 2+y 2＝1﹣2z 2， 由x 2+y 2＝1﹣2z 2≥0，可得−√22≤z ≤√22，所以2xy +z ≤x 2+y 2+z ＝﹣2z 2+z +1， 因为−2z 2+z +1=−2(z −14)2+98≤98， 当且仅当{z =14x =y ，即当{x =y =√74z =14或{x =y =−√74z =14时，等号成立， 因此，2xy +z 的最大值为98．故答案为：98．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，集合B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0}，其中a 、b 为常数． （1）用列举法表示集合A ；（2）若A ∪B ＝A ，写出以ab 的值组成的集合．解：（1）A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}＝{1，2}； （2）因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，①当a ＝b 时，B ＝{a }⊆A ，则a ＝1或2，此时ab ＝1或4； ②当a ≠b 时，B ＝{a ，b }＝A ，则{a =1b =2或{a =2b =1，此时ab ＝2，综上所述，以ab 的值组成的集合为{1，2，4}．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2k 2﹣k +1）x k （k ∈R ）在区间（0，+∞）单调递增． （1）求实数k 的值；（2）若f(a)+f(1a )=3，求f(a 2)+f(1a2)的值． 解：（1）f （x ）＝（2k 2﹣k +1）x k 为幂函数， 则2k 2﹣k +1＝1，解得k ＝0（舍）或k =12， 故实数k 的值为12．(2)f(a)+f(1a )=a 12+(1a)12=a 12+a −12=3， f(a 2)+f(1a2)=(a 2)12+(1a2)12=a +a −1 =(a 12+a−12)2−2=7．19．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +1．（1）若f （1）＝0，f （2）＞2b +1，解关于x 的不等式f （x ）≤0； （2）若0≤f （1）≤1，1≤f （2）≤2，求f （﹣1）的取值范围． 解：（1）∵f （1）＝0，a +b +1＝0，∴b ＝﹣a ﹣1，∵f （2）＝4a +2b +1＞2b +1，∴a ＞0，所以不等式可化ax 2+bx +1≤0， 即ax 2﹣（a +1）x +1≤0，即（x ﹣1）（ax ﹣1）≤0， 所以方程（x ﹣1）（ax ﹣1）＝0的两个根分别为1a 和1，当1a ＞1，即0＜a ＜1，不等式解为{x|1＜x ＜1a}；当1a ＜1，即a ＞1，不等式解为x|1a＜x ＜1}； 当1a=1，即a ＝1，不等式解为{x |x ＝1}． （2）可得{−1≤a +b ≤00≤4a +2b ≤1，令{a +b =x 2a +b =y ，则{a =y −x b =2x −y ．f （﹣1）＝a ﹣b +1＝（y ﹣x ）﹣（2x ﹣y ）+1＝2y ﹣3x +1， 0≤2y ≤1，0≤﹣3x ≤3，1≤2y ﹣3x +1≤5，所以1≤f （﹣1）≤5，即f （﹣1）的取值范围是[1，5]．20．（12分）f （x ）是定义在R 上的函数，满足以下性质：①∀x ，y ∈R ，都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），②当x ＜0时，f （x ）＜0． （1）判断f （x ）的单调性并加以证明； （2）不等式f(x 2+3xx 2+3)+f(a)＞0恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上增函数，证明如下：f （x ）的定义域为R ，令x ＝y ＝0，得f （0）＝0，令x ＝﹣y ，得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即函数为奇函数， ∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1﹣x 2）， ∵x ＜0，f （x ）＜0，∴x 1﹣x 2＜0时，f （x 1﹣x 2）＜0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2）＜0，∴f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）是R 上增函数．（2）由f(x 2+3x x 2+3)+f(a)＞0，可得f(x 2+3x x 2+3)＞−f(a)=f(−a)，所以−a ＜x 2+3xx 2+3，整理可得（a +1）x 2+3x +3a ＞0对任意的x ∈R 恒成立， 当a +1＝0时，即a ＝﹣1，则有3x ﹣3＞0，解得x ＞1，不合乎题意； 当a +1≠0时，则有{a +1＞0Δ=9−12a(a +1)＜0，解得a ＞12，因此，实数a 的取值范围是(12，+∞)． 21．（12分）用不等式知识解决下列问题：（1）已知p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；（2）某超市进货A ，B ，C 三种水果糖，进货价格分别为a 元/千克，b 元/千克，c 元/千克，然后把所有糖混合成什锦糖，进货方案有两种，方案一：每种糖进货1500元，方案二：每种糖进货100千克；问哪种方案混合成的什锦糖每千克的价格更低？解：（1）p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，则这个事实可用qp ＜q+m p+m表示；（2）第一种方案，平均价格为45001500a+1500b +1500c=31a +1b +1c；第11页（共11页） 第二种方案，平均价格为100a+100b+100c 300=a+b+c 3； a+b+c 3−31a +1b +1c =(a+b+c)(1a +1b +1c )−93(1a +1b +1c )=(b a +a b +a c +c a +c b +b c )−63(1a +1b +1c ) ≥(2+2+2)−63(1a +1b +1c )=0，（当a ＝b ＝c 时，取到等号）， 当a ＝b ＝c 时，方案一和方案二价格一样；当a ，b ，c 不全相等时，方案一价格更低．22．（12分）已知函数f(x)=4x−a x 2+1，x ∈R ，a 为常数． （1）若f （x ）是奇函数，设x 1，x 2∈R ，实数m 满足f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，求m 的取值范围；（2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立，求a 的取值范围．解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）＝﹣f （x ），即4(−x)−a(−x)2+1=−4x−a x 2+1，即﹣4x ﹣a ＝﹣4x +a ，因此a ＝0； f(x)=4x x 2+1，可得f （x ）∈[﹣2，2]，由f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2得﹣m 2≥f （x ）max •f （x ）min ＝﹣4，即﹣2≤m ≤2，即m 的取值范围是[﹣2，2]．（2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立， ∴f(0)−0a−2=−a a−2≥−1，∴a ＜2，不等式可化为f(x)≤a 2x −a +2，x ≥﹣4恒成立，则4x−ax 2+1−(a 2x −a +2)=4x−a−(a 2x−a+2)(x 2+1)x 2+1=−12(x 2+1)[ax(x 2−2x +1)+4(x 2−2x +1)] =−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2≤0， ∴ax +4≥0在[﹣4，+∞）上恒成立，∴{a ≥0−4a +4≥0，∴0≤a ≤1， 即a 的取值范围是[0，1]．。