一次函数综合类问题四大类

y
B
O
A
x
5. 如图，直线 y 1 x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 的坐标为 2
(-3，0)，P(x，y)是直线 y 1 x 2 上的一个动点 2
（点 P 不与点 A 重合）． （1）在点 P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积 S 与 x 之间的函数关系式．
（2）当点 P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为 27 ？求出此时点 P 的坐 8
轴交点的纵坐标．
A
2. 设直线 l1：y1=k1x+b1，直线 l2：y2=k2x+b2，其中
k1，k2≠0． ①若 k1=k2，且 b1≠b2，则直线 l1∥l2；
B M
②若 k1·k2=-1，则直线 l1⊥l2．
3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交
y
P
B
F
O
E
A
x
5. 如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，平 行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度 的速度运动，它与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，设运动时间为 t 秒（0< t <4）． （1）求 A，B 两点的坐标； （2）用含 t 的代数式表示△MON 的面积 S1； （3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN，记△MPN 和△OAB 重叠部分的面积 为 S2，试探究 S2 与 t 之间的函数关系式．
A
O
x
线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 B，C 两点的距
离之和最小，则此时点 Q 的坐标为
____________．
5. 如图，已知直线 l： y 3 x 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将△ 3
AOB 沿 直 线 l 折 叠 ， 点 O 落 在 点 C 处 ， 则 直 线 CA 的 表 达 式 为 __________________．
y
QO B P
A x
M
大类二、一次函数之存在性问题
班级：__________ 姓名：__________
【知识点睛】
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否 存在的题目，主要考查运动的结果. 一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形； 3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来
1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向： ①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；
②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；
③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．
2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点： ①路程即线段长，可根据 s=vt 直接表达已走路程或未走路程； ②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基
（2）若设直线 PQ 为 y=kx+2（k≠0），则此时 k 的取值范围是____________
8. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A(1，1)，B(3，1)，直线 y=2x+b 交边 AB 于点 E，交边 CD 于点 F，则直线 y=2x+b 在 y 轴上的截距 b 的变化范围是
____________．
y B
A O
C x
3. 如图，在直角梯形 COAB 中，OC∥AB，以 O 为原点建立平面直角坐标系， A，B，C 三点的坐标分别为 A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点 D 为线段 BC 的中点．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OA—AB—BD 的路线运动，至点 D 停止，设运动时间为 t 秒． （1）求直线 BC 的解析式． （2）若动点 P 在线段 OA 上运动，当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是
1 梯形 COAB 面积的 4 ？
（3）在动点 P 的运动过程中，设△OPD 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数 关系式，并写出自变量 t 的取值范围．
y B
D
C
OP
Ax
y B
D
C
O
Ax
4. 如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴交于点 A，与直线 y 3 x 交于点 P． 3
（1）求点 P 的坐标． （2）求△OPA 的面积． （3）动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 OA 方向向终点 A 运 动，过点 E 作 EF⊥x 轴交线段 OP 或线段 PA 于点 F，FB⊥y 轴于点 B．设 运动时间为 t 秒，矩形 OEFB 与△OPA 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之 间的函数关系式．
（3）若点 P 是（2）中直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P，使以 O，D，
P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B
A
D
C
O
x
4. 如图，直线 y=kx+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点， OB 3 ，点 C 是直 OA 4
线 y=kx+3 上与 A，B 不重合的动点．过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 点 D，是否存在点 C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点 C 的坐标； 若不存在，请说明理由．
若直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1·k2=_________．
3. 如图，直线 y 4 x 8 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线 3
交 x 轴于点 C，交 AB 于点 D，则点 C 的坐标为____________．
4. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线
y
C l
B
y F
A (O)
E
D x
y Q
D
C
P
O
Ax
B
C
AO
B
x
第 5 题图
第 6 题图
第 7 题图
6. 如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，E 是 AB 上的一点，且 BE:EA=5:3，
EC=15 5 ，把△BCE 沿折痕 EC 向上翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 F
处．若以点 A 为原点，以直线 AD 为 x 轴，以直线 BA 为 y 轴建立平面直角
本图形信息．
【精讲精练】
1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 y 3 x 3 与 x 轴、 4
y 轴分别交于 A，B 两点．点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒． （1）求 OA，OB 的长． （2）过点 P 与直线 AB 垂直的直线与 y 轴交于点 E，在点 P 的运动过程中， 是否存在这样的点 P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出 t 的值；若不 存在，请说明理由．
标．
（3）过 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于 E，F 两点，是否存在这样的 点 P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由．
y
B
A
CO
x
大类三、一次函数之动点问题
班级：__________ 姓名：__________ 【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．
y B
A
O
x
2. 如图，直线 y= 3x+4 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，直线 BC 与 x 轴
交于点 C，∠ABC=60°． （1）求直线 BC 的解析式． （2）若动点 P 从点 A 出发沿 AC 方向向点 C 运动（点 P 不与点 A，C 重 合），同时动点 Q 从点 C 出发沿折线 CB—BA 向点 A 运动（点 Q 不与点 A，C 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度 是每秒 2 个单位长度．设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之 间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围． （3）当 t=4 时，y 轴上是否存在一点 M，使得以 A，Q，M 为顶点的三角形 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
y l
B
m
N
P
OM A
x
大类四、一次函数之面积问题 班级：_________ 姓名：__________
【知识点睛】
y=kx
B
C
y l1 B
E l2 C
y B
D
OA
Dx
D
O Ax
CO
Ax
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
2. 如图，直线 l1 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，OA=m，OB=n，将△AOB 绕点 O
逆时针旋转 90°得到△COD．CD 所在直线 l2 与直线 l1 交于点 E，则 l1____l2；
．
探索：若点 A 的坐标为(3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A'的坐标为
____________； 猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m，n)
y A' l
， 则 它 关 于 直 线 l 的 对 称 点 P′ 的 坐 标 为 ____________； 应用：已知两点 B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直
点 F，G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合，那么 S 矩形 DEFG:S△ABC =_________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A(4，0)，B(0，-4)，P 为 y 轴上 B 点下方一点，PB=m （m>0），以点 P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内 作等腰 Rt△APM． （1）求直线 AB 的解析式； （2）用含 m 的代数式表示点 M 的坐标； （3）若直线 MB 与 x 轴交于点 Q，求点 Q 的坐标．