离散数学图论练习题
离散数学测验题--图论部分(优选.)

离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1、在图G =<V ,E >中,结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图,则图D 的边数为( )(A) n (n -1) (B) n (n +1) (C) n (n -1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G =<V ,E >为无向简单图,∣V ∣=n ,∆(G )为G 的最大度数,则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系,是G ≌G '(同构)的( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =,则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中,行元素之和是对应结点的( ),列元素之和是对应结点的() (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( ).A .5B .6C .3D .48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面,则r =( )(A) m -n +2 (B) n -m -2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中,若有4条边,则有 ( )片树叶。
应用离散数学图论欧拉图与哈密尔顿图题库试卷习题及答案

§5.5 欧拉图与哈密尔顿图习题5.51.判断图5.31中哪些图是欧拉图那些图不是。
对不是欧拉图的至少要加多少条新边才能成为欧拉图?对是欧拉图的,用Fleury算法求出欧拉回路。
图5.31 习题1的图解:(a)是欧拉图。
如下图为顶点号和边的标记,则欧拉回路为(e1,e2,e6,e10,e12,e11,e7,e8,e9,e5,e4,e3)e645e106 e117 e12 8。
(b)不是欧拉图。
需要加4条新边才能成欧拉回路。
(c)是欧拉图。
如下图为顶点号和边的标记,则欧拉回路为(1,2,3,4,5,6,1,8,7,10,11,7,9,1)236 5 4(d)不是欧拉图。
需要加2条新边才能成欧拉回路。
2.画一个欧拉图,使它具有:(1)偶数个顶点,偶数条边。
(2)奇数个顶点,奇数条边。
(3)偶数个顶点,奇数条边。
(4)奇数个顶点,偶数条边。
解 四个图按顺序分别如下:3.在k (k ≥2)个长度大于或等于3的无公共点的环型图之间至少加多少条边才能使它们组成一个简单欧拉图。
解:环形图中每个点的度是2,要形成欧拉回路,就要使新图是一个连通图,并且每个点的度仍保度偶数,因此,要让新图是欧拉图,则至少要加k 条边。
4.证明:可以从连通图中任意一点出发,经过这个图中每条边恰好两次,回到出发点。
解 将每条边都增加一条平行边,则得到一个多重图,此多重图的每个顶点的度数都是偶数,所以存在欧拉闭迹。
在欧拉闭迹中,将经过平行边改成第二次经过原来的边,定理即得证。
5.完全图p K 是欧拉图吗?是哈密尔顿图吗?完全二部图n m K ,是欧拉图吗?是哈密尔顿图吗?解 (1)K p ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为偶数时当为奇数时当p p K p (p ≥3)为哈密尔顿图((v 1,v 2,v 3,……,v p )即是一个哈密尔顿回路)。
(2)因为K m,n 中顶点的度数要么为m ,要么为n ,所以K m,n ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为奇数时或当为偶数时和当n m n m因为K m,n 的顶点数为m+n ,而任意两点的度数之和为2m 或2n 或m+n 。
应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案

§5.2 图的连通性习题5.21.证明或否定:(1)简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路,则G 中有基本回路。
(2)简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路,则G 中有基本回路。
解:(1)简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道,则G 中有回路。
(2)简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路,则G 中有回路。
解 (1)不一定:如下图,点1与点3之间有两条通道:(1、2、3)和(1、2、1、2、3),但图中没有回路。
(2)一定:设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。
若对m i ≤≤1,n j ≤≤1有j i y x ≠,则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。
否则假设l k y x =且是离u 最近的一对(即对k i ≤≤1,l j ≤≤1,不存在j i y x =),则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。
2.设G 是简单图,)(G δ≥2,证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。
证:以图G 中一点v 1出发,与之相邻的点设为v 2,由于)(G δ≥2,则v 2至少还有一个邻接点,设为v 3,若v 3与v 1邻接,则形成长度为1)(+G δ的基本回路,则若v 3不与v 1邻接,则至少还有一个邻接点,设为v 4,若v 4与v 1或v 2邻接,则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路,若v 4与v 1和v 2都不邻接,至少还有一个邻接点,设为v 5,…,依次类推,一定可以到达最后一个顶点v i ,由于)(G δ≥2,则除了v i -1外,一定会与前面的某个顶点邻接,就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。
3.证明:若连通图G 不是完全图,则G 中存在三个点w v u ,,,使E v u ∈)(,,E w v ∈)(,,E w u ∉)(,。
离散数学图论习题

1 第4章 图论综合练习一、 单项选择题1.设L 是n 阶无向图G 上的一条通路,则下面命题为假的是( ). (A) L 可以不是简单路径,而是基本路径可以不是简单路径,而是基本路径 (B) L 可以既是简单路径,又是基本路径又是基本路径 (C) L 可以既不是简单路径,又不是基本路径可以既不是简单路径,又不是基本路径 (D) L 可以是简单路径,而不是基本路径可以是简单路径,而不是基本路径 答案:A 2.下列定义正确的是( ). (A) 含平行边或环的图称为多重图含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图不含平行边或环的图称为简单图 (C) 含平行边和环的图称为多重图含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图不含平行边和环的图称为简单图 答案:D 3.以下结论正确是.以下结论正确是 ( ).(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图仅有一个孤立结点构成的图是零图 (B) 无向完全图K n 每个结点的度数是n (C) 有n (n >1)个孤立结点构成的图是平凡图个孤立结点构成的图是平凡图 (D) 图中的基本回路都是简单回路图中的基本回路都是简单回路 答案:D 4.下列数组中,不能构成无向图的度数列的数组是( ). (A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3) 答案:B 5.下列数组能构成简单图的是( ). (A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3) 答案:C 6.无向完全图K 3的不同构的生成子图的个数为(的不同构的生成子图的个数为( ).). (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 答案:C 7.n 阶无向完全图K n 中的边数为(中的边数为().). (A) 2)1(+n n (B) 2)1(-n n (C) n (D)n (n +1) 答案:B 8.以下命题正确的是( ).(A) n (n ³1)阶完全图K n 都是欧拉图都是欧拉图 (B) n (n ³1)阶完全图K n 都是哈密顿图都是哈密顿图(C) 连通且满足m =n -1的图<V ,E >(½V ½=n ,½E ½=m )是树是树(D) n (n ³5)阶完全图K n 都是平面图都是平面图 答案:C 10.下列结论不正确是( ).(A) 无向连通图G 是欧拉图的充分必要条件是G 不含奇数度结点不含奇数度结点(B) 无向连通图G 有欧拉路的充分必要条件是G 最多有两个奇数度结点最多有两个奇数度结点 (C) 有向连通图D 是欧拉图的充分必要条件是D 的每个结点的入度等于出度的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D 有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外,每个结点的入度等2 于出度于出度 答案:D 11.无向完全图K 4是(是().). (A )欧拉图)欧拉图 (B )哈密顿图)哈密顿图 (C )树)树 答案:B 12.有4个结点的非同构的无向树有个结点的非同构的无向树有 ( )个.个. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案:A 13.设G 是有n 个结点,m 条边的连通图,必须删去G 的( )条边,才能确定G 的一棵生成树.一棵生成树.(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案:A 14.设G 是有6个结点的完全图,从G 中删去( )条边,则得到树.条边,则得到树. (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案:C 二、 填空题1.数组{1,2,3,4,4}是一个能构成无向简单图的度数序列,是一个能构成无向简单图的度数序列, 此命题的真值是此命题的真值是 . 答案:0 2.无向完全图K 3的所有非同构生成子图有的所有非同构生成子图有个.个. 答案:4 3.设图G =<V ,E >,其中|V |=n ,|E |=m .则图G 是树当且仅当G 是连通的,且m = . 答案:n -1 4.连通图G 是欧拉图的充分必要条件是是欧拉图的充分必要条件是 . 答案:图G 无奇数度结点无奇数度结点5.连通无向图G 有6个顶点9条边,从G 中删去中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T . 答案:4 6.无向图G 为欧拉图,当且仅当G 是连通的,且G 中无中无 结点.结点. 答案:奇数度答案:奇数度7.设图>=<E V G ,是简单图,若图中每对结点的度数之和是简单图,若图中每对结点的度数之和 ,则G 一定是哈密顿图.一定是哈密顿图. 答案:V ³8.如图1所示带权图中最小生成树的权是所示带权图中最小生成树的权是 .答案:12三、化简解答题1.设无向图G =<V ,E >,V ={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6}, E ={( v 1,v 2), ( v 2,v 2), ( v 4,v 5), ( v 3,v 4), ( v 1,v 3), ( v 3,v 1), ( v 2,v 4)}. (1) 画出图G 的图形;的图形;v 1 v 2v 6 v 5v 3v 4图2 ·2 2 3 · 1 · 7 9 2 · 8 · 6 图1 3 (2) 写出结点v 2, v 4,v 6的度数;的度数; (3) 判断图G 是简单图还是多重图.是简单图还是多重图. 解:(1) 图G 的图形如图5所示.所示. (2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v .(3) 图G 是多重图.作图如图2. 2.设图G =<V ,E >,其中,其中V ={a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )} 试作出图G 的图形,并指出图G 是简单图还是多是简单图还是多重图?是连通图吗?说明理由. 解:图G 如图8所示.. 图G 中既无环,也无平行边,是简单图.中既无环,也无平行边,是简单图. 图G 是连通图.G 中任意两点都连通.所以,图G 有9个结点.作图如图3.四、计算题1.设简单连通无向图G 有12条边,G 中有2个1度结点,2个2度结点,3个4度结点,其余结点度数为3.求G 中有多少个结点.试作一个满足该条件的简单无向图.中有多少个结点.试作一个满足该条件的简单无向图.解:设图G 有x 个结点,由握手定理个结点,由握手定理2´1+2´2+3´4+3´(x -2-2-3)=12´2 271821243=-+=xx =9 故图G 有9个结点.个结点. 满足该条件的简单无向图如图4所示所示2.设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图,试求,图G 的最小生成树,并计算它的权.的最小生成树,并计算它的权.解:构造连通无圈的图,即最小生成树,用解:构造连通无圈的图,即最小生成树,用克鲁斯克尔算法:克鲁斯克尔算法: 第一步:第一步: 取ab =1;第二步:;第二步: 取af =4 第三步:第三步: 取fe =3;第四步:;第四步: 取ad =9 第五步:第五步: 取bc =23 如图6.权为1+4+3+9+23=40 3.一棵树T 有两个2度顶点,1个3度顶点;3个4度顶点,度顶点, 问它有几片树叶?问它有几片树叶?解:设T 有n 顶点,则有n -1条边.T 中有2个 2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,度顶点, 其余n -2-1-3个1度顶度顶点.点.由握手定理:由握手定理: 2·2+12+1··3+3·4+ (n -2-1-3)=2(n -1) 解得解得 n =15.于是T 有15-6=9片树叶片树叶五、证明题1.若无向图G 中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定是连通的.中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定是连通的.证:用反证法.设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v .假若u 和v 不连通.不连通.即它们之间无任何通路,则G 至少有两个连通分支G 1,G 2,且u 和v 分别属于G 1和G 2,于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点.各含有一个奇数度结点.这与握手定理的推论矛盾.这与握手定理的推论矛盾.这与握手定理的推论矛盾.因而因而u 和v 一定是连通的.通的.a hb h h ec h hd 图3 图4 b · 23 1 c · · a 4 · f 9 3 d · ·e 图6 b · 23 1 15 c · 25 ·a 4 · f 28 9 16 3 d · 15 ·e 图5 。
离散数学图论部分经典试题及答案

离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1.设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( ).A .6B .5C .4D .32.已知图G 的邻接矩阵为, 则G 有( ).A .5点,8边B .6点,7边C .6点,8边D .5点,7边3.设图G =<V , E >,则下列结论成立的是 ( ).A .deg(V )=2∣E ∣B .deg(V )=∣E ∣C .E v Vv 2)deg(=∑∈ D .E v Vv =∑∈)deg(4.图G 如图一所示,以下说法正确的是 ( ) . A .{(a , d )}是割边 B .{(a , d )}是边割集 C .{(d , e )}是边割集 D .{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5.如图二所示,以下说法正确的是 ( ). A .e 是割点 B .{a, e }是点割集 C .{b , e }是点割集 D .{d }是点割集6.如图三所示,以下说法正确的是 ( ) .A .{(a, e )}是割边B .{(a, e )}是边割集C .{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D .{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7.设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图四所示,则下列结论成立的是 ( ).图四A .(a )是强连通的B .(b )是强连通的C .(c )是强连通的D .(d )是强连通的 应该填写:D8.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当( )时,K n 中存在欧拉回路.A .m 为奇数B .n 为偶数C .n 为奇数D .m 为偶数 9.设G 是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ).A .e -v +2B .v +e -2C .e -v -2D .e +v +2 10.无向图G 存在欧拉通路,当且仅当( ). A .G 中所有结点的度数全为偶数 B .G 中至多有两个奇数度结点 C .G 连通且所有结点的度数全为偶数 D .G 连通且至多有两个奇数度结点11.设G 是有n 个结点,m 条边的连通图,必须删去G 的( )条边,才能确定G 的一棵生成树.A .1m n -+B .m n -C .1m n ++D .1n m -+ 12.无向简单图G 是棵树,当且仅当( ).A .G 连通且边数比结点数少1B .G 连通且结点数比边数少1C .G 的边数比结点数少1D .G 中没有回路.二、填空题1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数是 . 2.设给定图G (如图四所示),则图G 的点割ο οο οc a b f集是 .3.若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路, 则对于结点集V 的每个非空子集S ,在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ,则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 .4.无向图G 存在欧拉回路,当且仅当G 连通 且 .5.设有向图D 为欧拉图,则图D 中每个结点的入度 . 应该填写:等于出度6.设完全图K n 有n 个结点(n 2),m 条边,当 时,K n 中存在欧拉回路.7.设G 是连通平面图,v , e , r 分别表示G 的结点数,边数和面数,则v ,e 和r 满足的关系式 .8.设连通平面图G 的结点数为5,边数为6,则面数为 . 9.结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树.10.设图G 是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G 中删去 条边后使之变成树.11.已知一棵无向树T 中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T 的树叶数为 .12.设G =<V , E >是有6个结点,8条边的连通图,则从G 中删去 条边,可以确定图G 的一棵生成树.13.给定一个序列集合{000,001,01,10,0},若去掉其中的元素 ,则该序列集合构成前缀码.三、判断说明题1.如图六所示的图G 存在一条欧拉回路.2.给定两个图G 1,G 2(如图七所示):(1)试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图?并说明理由. (2)若是欧拉图,请写出一条欧拉回路.v 123图六图七3.判别图G (如图八所示)是不是平面图, 并说明理由.4.设G 是一个有6个结点14条边的连 通图,则G 为平面图.四、计算题1.设图G =<V ,E >,其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>,<a 2, a 4>,<a 3, a 1>,<a 4, a 5>,<a 5, a 2>}(1)试给出G 的图形表示; (2)求G 的邻接矩阵;(3)判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图?2.设图G =<V ,E >,V ={ v 1,v 2,v 3,v 4,v 5},E ={ (v 1, v 2),(v 1, v 3),(v 2, v 3),(v 2, v 4),(v 3, v 4),(v 3, v 5),(v 4, v 5) },试(1)画出G 的图形表示; (2)写出其邻接矩阵;(2)求出每个结点的度数; (4)画出图G 的补图的图形. 3.设G =<V ,E >,V ={ v 1,v 2,v 3,v 4,v 5},E ={ (v 1,v 3),(v 2,v 3),(v 2,v 4),(v 3,v 4),(v 3,v 5),(v 4,v 5) },试(1)给出G 的图形表示; (2)写出其邻接矩阵; (3)求出每个结点的度数; (4)画出其补图的图形. 4.图G =<V , E >,其中V ={ a , b , c , d , e },E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) },对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试(1)画出G 的图形; (2)写出G 的邻接矩阵;(3)求出G 权最小的生成树及其权值.5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。
离散数学图论答案

离散数学图论答案【篇一:离散数学图论习题】综合练习一、单项选择题1.设l是n阶无向图g上的一条通路,则下面命题为假的是( ). (a) l可以不是简单路径,而是基本路径 (b) l可以既是简单路径,又是基本路径 (c) l可以既不是简单路径,又不是基本路径 (d) l可以是简单路径,而不是基本路径答案:a2.下列定义正确的是( ).(a) 含平行边或环的图称为多重图(b) 不含平行边或环的图称为简单图 (c) 含平行边和环的图称为多重图(d) 不含平行边和环的图称为简单图答案:d3.以下结论正确是 ( ).(a) 仅有一个孤立结点构成的图是零图 (b) 无向完全图kn每个结点的度数是n (c) 有n(n1)个孤立结点构成的图是平凡图(d) 图中的基本回路都是简单回路答案:d4.下列数组中,不能构成无向图的度数列的数组是( ). (a)(1,1,1,2,3) (b) (1,2,3,4,5) (c) (2,2,2,2,2) (d) (1,3,3,3) 答案:b5.下列数组能构成简单图的是( ). (a) (0,1,2,3)(b) (2,3,3,3)(c) (3,3,3,3)(d) (4,2,3,3) 答案:c6.无向完全图k3的不同构的生成子图的个数为(). (a) 6 (b)5(c) 4 (d) 3 答案:c7.n阶无向完全图kn中的边数为().(a)n(n?1)n(n?1)(b) (c) n (d)n(n+1) 22答案:b8.以下命题正确的是( ).(a) n(n?1)阶完全图kn都是欧拉图(b) n(n?1)阶完全图kn都是哈密顿图(c) 连通且满足m=n-1的图v,e(?v?=n,?e?=m)是树 (d) n(n?5)阶完全图kn都是平面图答案:c10.下列结论不正确是( ).(a) 无向连通图g是欧拉图的充分必要条件是g不含奇数度结点(b) 无向连通图g有欧拉路的充分必要条件是g最多有两个奇数度结点 (c) 有向连通图d是欧拉图的充分必要条件是d的每个结点的入度等于出度(d) 有向连通图d有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外,每个结点的入度等1于出度答案:d11.无向完全图k4是().(a)欧拉图(b)哈密顿图(c)树答案:b12.有4个结点的非同构的无向树有 ( )个.(a) 2 (b) 3(c) 4(d) 5 答案:a13.设g是有n个结点,m条边的连通图,必须删去g的( )条边,才能确定g的一棵生成树.(a) m?n?1 (b) n?m (c) m?n?1 (d) n?m?1 答案:a14.设g是有6个结点的完全图,从g中删去( )条边,则得到树. (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 15 答案:c二、填空题1.数组{1,2,3,4,4}是一个能构成无向简单图的度数序列,此命题的真值是 . 答案:02.无向完全图k3的所有非同构生成子图有个.答案:43.设图g??v,e?,其中?v??n,?e??m.则图g是树当且仅当g是连通的,且m?.答案:n-14.连通图g是欧拉图的充分必要条件是答案:图g无奇数度结点 5.连通无向图g有6个顶点9条边,从g中删去g的一棵生成树t.答案:46.无向图g为欧拉图,当且仅当g是连通的,且g中无答案:奇数度7.设图g??v,e?是简单图,若图中每对结点的度数之和,则g一定是哈密顿图.答案:?8.如图1所示带权图中最小生成树的权是.答案:12三、化简解答题1.设无向图g=v,e,v={v1,v2,v3,v4,v5,v6}, e={( v1,v2), ( v2,v2), ( v4,v5), ( v3,v4), ( v1,v3),( v3,v1), ( v2,v4)}. (1) 画出图g的图形;2图15图22(2) 写出结点v2, v4,v6的度数; (3) 判断图g是简单图还是多重图.解:(1) 图g的图形如图5所示.(2) deg(v2)?4,deg(v4)?3,deg(v6)?0.(3) 图g是多重图.作图如图2. 2.设图g=v,e,其中v={a,b,c,d,e}, e={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图g的图形,并指出图g是简单图还是多重图?是连通图吗?说明理由.b e解:图g如图8所示.. 图g中既无环,也无平行边,是简单图. cd 图g是连通图.g中任意两点都连通.图3所以,图g有9个结点.作图如图3.四、计算题1.设简单连通无向图g有12条边,g中有2个1度结点,2个2度结点,3个4度结点,其余结点度数为3.求g中有多少个结点.试作一个满足该条件的简单无向图.解:设图g有x个结点,由握手定理2?1+2?2+3?4+3?(x?2?2?3)=12?23x?24?21?18?27x=9 故图g有9个结点.图4满足该条件的简单无向图如图4所示2.设图g(如图5表示)是6个结点a,b,c, d,e,f的图,试求,图g的最小生成树,并计算它的权.c 解:构造连通无圈的图,即最小生成树,用克鲁斯克尔算法:第一步:取ab=1;第二步:取af=4第三步:取fe=3;第四步:取ad=9图5 第五步:取bc=23如图6.权为1+4+3+9+23=403.一棵树t有两个2度顶点,1个3度顶点;3个4问它有几片树叶?解:设t有n顶点,则有n-1条边.t中有2个 2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,其余n-2-1-3个1度顶点.五、证明题1.若无向图g中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定是连通的.证:用反证法.设g中的两个奇数度结点分别为u和v.假若u和v不连通.即它们之间无任何通路,则g至少有两个连通分支g1,g2,且u和v分别属于g1和g2,于是g1和g2各含有一个奇数度结点.这与握手定理的推论矛盾.因而u和v一定是连通的.3【篇二:离散数学图论练习题】题1、设g是一个哈密尔顿图,则g一定是()。
离散数学特殊图练习题

离散数学特殊图练习题一、基本概念与性质1. 判断下列说法是否正确:(1)完全图是连通图。
(2)树是一个无环的连通图。
(3)平面图一定可以画在一个平面上,使得任意两边都不相交。
2. 填空题:(1)一个有n个顶点的完全图的边数为______。
(2)一个有n个顶点的连通图至少有______条边。
(3)一个有n个顶点的树有______条边。
二、特殊图的判定1. 判断下列图是否为特殊图,并说明理由:(1)一个有5个顶点的图,其中每个顶点的度数分别为4, 4, 3, 3, 2。
(2)一个有6个顶点的图,其中每个顶点的度数都为3。
2. 下列图是否为平面图?请给出证明或反例:(1)K5(完全图K5)。
(2)K3,3(完全二部图K3,3)。
三、特殊图的性质与应用1. 计算下列图的色数:(1)一个有5个顶点的完全图。
(2)一个有6个顶点的环形图。
2. 下列图是否存在哈密顿回路?请给出证明或反例:(1)一个有5个顶点的环形图。
(2)一个有6个顶点的完全二部图。
四、综合题(1)若G为连通图,则G至少有n1条边。
(2)若G为平面图,则G的边数e ≤ 3n 6。
(1)完全图K6。
(2)完全二部图K3,3。
(3)一个有5个顶点的树。
3. 设G是一个有8个顶点的连通图,其中每个顶点的度数都为3。
证明:G至少有一个哈密顿回路。
五、图的同构与子图(1)图G1:顶点集{A, B, C, D},边集{AB, AC, BC, BD, CD};图G2:顶点集{P, Q, R, S},边集{PQ, PR, QR, QS, RS}。
(1)一个有4个顶点的完全图。
(2)一个有5个顶点的星形图。
六、路径与距离(1)一个有6个顶点的环形图。
(2)一个有5个顶点的完全图。
(1)一个有6个顶点的路径图,顶点A和顶点B分别位于路径的两端。
(2)一个有7个顶点的图,顶点A和B不相邻,但通过其他顶点可以到达。
七、欧拉图与哈密顿图(1)一个有5个顶点的环形图。
离散图论部分习题

图的着色问题习题解答
01
图的着色问题:给定一个图,使 用最少的颜色对图中顶点进行着 色,使得相邻的顶点颜色不同。
02
图的着色问题是一个经典的NP难 问题,其求解方法包括贪心算法 、回溯算法等。
最小生成树问题习题解答
习题解答与解析
欧拉路径与回路习题解答
欧拉路径
一个路径是欧拉路径,如果它通过图 中的每条边恰好一次。
欧拉回路
一个路径是欧拉回路,如果它通过图 中的每条边恰好一次,并从某一条边 开始,最后回到这条边结束。
哈密顿路径与回路习题解答
哈密顿路径
一个路径是哈密顿路径,如果它通过图中的每个顶点恰好一 次。
哈密顿回路
02
基础问题解析
欧拉路径与回路
定义
一个遍历图中的所有边且每条边只遍历一 次的路径称为欧拉路径。如果这个路径的 起点和终点是同一点,则称为欧拉回路。
求解方法
应用
在计算机科学中,欧拉回路可用于解 决一些优化问题,如旅行商问题。
通过穷举法或动态规划法寻找是否存 在欧拉回路,并确定回路的长度。
哈密顿路径与回路
应用场景
最短路径问题在路由选择、 物流配送、旅行规划等领 域有广泛应用。
图的连通性问题
连通性定义
一个无向图是连通的,如果任意两个顶点之间都存在一条路径。
连通性判定
常用的连通性判定算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
应用场景
图的连通性问题在社交网络分析、交通网络分析、通信网络分析 等领域有广泛应用。
04
离散图论部分习
目录
• 基础知识回顾 • 基础问题解析 • 高级问题解析 • 习题解答与解析
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图论练习题
一.选择题
1、设G是一个哈密尔顿图,则G一定是( )。
(1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图
2、下面给出的集合中,哪一个是前缀码?()
(1) {0,10,110,101111}(2) {01,001,000,1}
(3) {b,c,aa,ab,aba}(4) {1,11,101,001,0011}
3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。
4、设G是一棵树,则G 的生成树有( )棵。
(1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定
5、n阶无向完全图Kn 的边数是( ),每个结点的度数是( )。
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
8、有n个结点的树,其结点度数之和是()。
9、下面给出的集合中,哪一个不是前缀码( )。
(1) {a,ab,110,a1b11} (2) {01,001,000,1}
(3) {1,2,00,01,0210} (4) {12,11,101,002,0011}
10、n个结点的有向完全图边数是( ),每个结点的度数是( )。
11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
12、设G是一棵树,n,m分别表示顶点数和边数,则
(1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。
13、设T=〈V,E〉是一棵树,若|V|>1,则T中至少存在( )片树叶。
14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树,当且仅当G 是( ),G的生成树只有一棵。
15、设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于:
(1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
16、设T是一棵树,则T是一个连通且( )图。
17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2,则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16
18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12
19、任一有向图中,度数为奇数的结点有( )个。
20、具有6 个顶点,12条边的连通简单平面图中,每个面都是由( )条边围成? (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 5
21、在有n 个顶点的连通图中,其边数( )。
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条 (3) 最多有n 条 (4) 至少有n 条
22、一棵树有2个2度顶点,1 个3度顶点,3个4度顶点,则其1度顶点为( )。
(1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 9
23、若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点,则它( )片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1 (4) 2 24、下列哪一种图不一定是树( )。
(1) 无简单回路的连通图 (2) 有n 个顶点n-1条边的连通图 (3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图 25、连通图G 是一棵树当且仅当G 中( )。
(1) 有些边是割边 (2) 每条边都是割边
(3) 所有边都不是割边 (4) 图中存在一条欧拉路径 26.对于无向图,下列说法中( )是正确的. A .不含平行边及环的图称为完全图
B .任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图
C .具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图
D .具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图
27.设图G 的邻接矩阵为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100
则G 的边数为( ).
A .5
B .6
C .3
D .4 28.设图G =<V ,
E >,则下列结论成立的是 ( ).
A .deg(V )=2∣E ∣
B .deg(V )=∣E ∣
C .
E v V
v 2)deg(=∑∈ D .E v V
v =∑∈)deg(
29.图G 如右图所示,以下说法正确的是 ( ) .
A .{(a , d )}是割边
B .{(a , d )}是边割集
C .{(d , e )}是边割集
D .{(a, d ) ,(a, c )}是边割集
30.设G 是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ).
A .e -v +2
B .v +e -2
C .e -v -2
D .e +v +2 31.无向图G 存在欧拉通路,当且仅当( ).
A .G 中所有结点的度数全为偶数
B .G 中至多有两个奇数度结点
C .G 连通且所有结点的度数全为偶数
D .G 连通且至多有两个奇数度结点
二、填空题
1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数是 .
2.设给定图G (如右图所示),则图G 的点割集是 .
3.设无向图G =<V , E >是汉密尔顿图,则V 的任意非空子集V 1,都有 ≤∣V 1∣.
4.设有向图D 为欧拉图,则图D 中每个结点的入度 .
5.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当 时,K n 中存在欧拉回路.
6.给定一个序列集合{1,01,10,11,001,000},若去掉其中的元素 ,则该序列集合构成前缀码.
ο
ο
ο ο ο
c
a
b e
d ο f
ο
ο
ο
ο ο
c
a b e d
ο f
三、计算题
1.设图G =<V ,E >,其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},
E ={<a 1, a 2>,<a 2, a 4>,<a 3, a 1>,<a 4, a 5>,<a 5, a 2>}
(1)试给出G 的图形表示; (2)求G 的邻接矩阵;
(3)判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图?
2.图G =<V , E >,其中V ={a , b , c , d , e , f },E ={(a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ), (d , f ), (e , f )},对应边的权值依次为5,2,1,2,6,1,9,3及8.
(1)画出G 的图形;
(2)写出G 的邻接矩阵;
(3)求出G 权最小的生成树及其权值.
问:如果结点集是V ={a , b , c , d , e },边集E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ) },对应边的权值依次为5,2,1,2,6,1,9,那么会求吗?
3.设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试 (1)画出相应的最优二叉树; (2)计算它们的权值.
解:(1)最优二叉树如右图所示:
问:如果一组权为2,3,6,9,13,15,能否画出最优二叉树?
ο ο ο ο ο
c a b e
d
ο f
1
5 2 2 6
1
9
3 8
ο ο ο ο
ο
ο ο ο ο 3
2 7 1
3 5 5
11 17 34 ο ο 160 29 10 ο ο ο 23 19
42 ο ο 17 ο 24 ο 53 31
ο ο
ο 95
65。