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人教新课标版数学高一人教版必修2 模块综合检测

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高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案

高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，P A 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若P A长度的最小值为2，则k的值是()【导学号：09960153】A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3D.a 36【解析】 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【导学号：09960155】【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。

人教新课标版数学高一A版必修2模块综合测评二

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模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D.答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π.答案：C4.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.3060倍 C.120倍 D.30120倍解析:设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意,得302403231rr,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=rrrrrr答案：C5.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形. 答案：A6.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题.答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案：D8.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA与BD所成角为60°.答案：C9.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l∥α,l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的.答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( )A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125 解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然AO=BO=CO=DO ，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S . 答案：π425 14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0.答案：3x+6y-2=0 15.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9.答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π. 答案：433QQ π 17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________.解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形（如图乙），过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ，则PE=AB=21·2πR=πR ，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP ⊥AP ，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1).答案：(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l的方程.解：设直线l方程为4x+3y+b=0，则l 与x轴、y轴的交点为A(4b-,0),B(0,3b-).∴｜AB｜=b125.由｜OA｜+｜OB｜+｜AB｜=10,得12||53||4||bbb++=10.∴b=±10.∴l方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm，高为2cm，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图，设正方体棱长为x，则CC1=x,C1D1=2x.作SO⊥EF于O，则SO=2,OE=1,∵△ECC1∽△ESO,∴EOECSOCC11=.∴12212xx-=.∴x=22(cm).∴正方体棱长为22cm.21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图4解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1．∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33．这就是动点P 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5（1）求二面角B 1MNB 的正切值；（2）求证：PB ⊥平面MNB 1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.（1）解：连结BD 交MN 于F ，连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ，AC ⊥BD,∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ，∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ，∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN.∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角.在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan ∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连结BE.又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M.又BE ⊥B 1M ，∴B 1M ⊥平面PEB.∴PB ⊥MB 1.由（1）中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1.（3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。

(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(一)(有答案)AKKPMK

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模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内. 答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.23-B.32-C.52D.2思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-. 答案:A3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面. 答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1 思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4. 答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍. 答案:C6下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线. ②在平面内射影是直线的图形一定是直线. ③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面. 答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173C.17173D.17179思路解析:AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-172)2+179=179, ∴AB min =17173179=. 答案:C8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( ) A.AC ⊥BDB.△ADC 为正三角形C.AB 、CD 所成角为60°D.AB 与面BCD 所成角为60°思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°. 答案:D9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.π B.2π C.4π D.6π 思路解析:将圆的方程配方得: x 2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,Rt △PAO 中,OP=6=2PA,图1从而得到∠AOP=30°, 即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°. ∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的31,可求得劣弧长为2π. 答案:B10a 、b ∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于3 思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为by a x +=1, 于是ba 31+=1, 故3a=b(a-1).若b=3m,m ∈N *,则a=m(a-1),于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6; 若b≠3m,则必有a-1=3n,n ∈N *,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4, 故满足条件的直线最多有2条. 答案:B11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB,EF=23,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )图2A.29 B.5 C.6 D.215 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG ,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为215.答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10 思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1).圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________.思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=014已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:916π15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:325π16如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为21(a+b).所求体积为它的一半. 答案:21πr 2(a+b) 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.图4求证:P 是MN 的中点.思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解. 证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,∵b ∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线, ∴b ∥OQ.同理PQ ∥a.在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ ∥BN, ∴Q 是AN 的中点.又∵PQ ∥a,∴P 是MN 的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S. 思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式. 解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD ⊥BC,EH ⊥BC,FG ⊥BC, D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算. 解:设圆锥的高为h,底面半径为r, 则圆柱的高为2h ,底面半径为2r . 所以,85312)2(1122=••-=-=-h r hr VV VV V ππ柱柱. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP ⊥OQ,求F 的值.思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解. 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+--+.23,0622xy F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+.5274,522121F x x x x根据题意,有PO ⊥OQ 2211x y x y •⇒=-1⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+⇒=-•-0232321x x 5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0⇒5×52109)52(35274=⇒=+-⨯--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE中,AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE 的中点.图7(1)求证:BF ⊥面CDE.(2)求多面体ABCDE 的体积.(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G ,DE 的中点H,连接FG ,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF ⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF ⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF ⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF ⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解. 解:(1)证明:∵AB ⊥平面ACD,∴AB ⊥AC, 由AB=a,AC=2a,得BC=5a.同理,在直角梯形ABDE 中,AB ⊥AD,DE ⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a. 又F 是CE 的中点,∴BF ⊥CE.∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高, ∴BF ⊥CD.∴BF ⊥平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE.V B —ACD =31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=33a 3.∵CE=22a,CF=2a, 而BC=5a,∴BF=3a,∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3323a .故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ. ∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,∴cosθ=2232221)2(432=••=∆∆a a a s S BCE CDA , ∴θ=4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. 解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m,由⎩⎨⎧=-+-++=,0442,22y x y x m x y 得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2442-+m m .∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2. ∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0, ∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.。

(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(五)(有答案)

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(人教a 版)高一数学必修2模块综合测评试卷(五)(有答案)综合测试(时间120分，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.空间4点A ，B ，C ，D 共面但不共线，下列结论中正确的是( ) A.4点中必有3点共线 B.4点中必有3点不共线C.AB ，BC ，CD ，DA 中必有两条平行D.AB 与CD 必相交解析：A 显然不正确，对于B ，若每三点都共线，则A ，B ，C 和B ，C ，D 都在直线BC 上，与条件矛盾.作图可知C ，D 不正确，故选B. 答案：B2.水平放置的△ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A 1B 1C 1，则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都可能 解析：设AB 在水平线上，在斜二测图中，作C 1D 1交A 1B 1于D 1，使∠B 1D 1C 1=45°.∵∠C 1A 1B 1延长线上，从而△ABC 是钝角三角形. 答案：C3.互不重合的三个平面将空间分成n 个部分，则n 的可能值是( )A.4，6，8B.4，7，8C.4，5，7，8D.4，6，7，8解析：当三个平面互相平行时，n=4；当两平面平行，另一平面与其相交时，n=6；当三平面交于一条直线时，n=6，当三个平面两两相交于三条直线时，若三交线平行，则n=7，若三交线共点，n=8.故选D. 答案：D4.(2006广东高考，5) 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行. ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1解析：①②正确，③中这两条直线没有任何关系，可平行、相交、异面，所以不正确，④正确.故选B. 答案：B5.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列结论不成立的是( ) A.AC ⊥BD B.△ADC 为正三角形 C.AB 、CD 所成角为60° D.AB 与面BCD 所成角为60° 解析：∠ABD 即为AB 与面BCD 所成角为45°. 答案：D6.已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m)，则|AB|的最小值是( ) A.179 B.173 C.17173 D.17179 解析：92417)22()32()21(||2222+-=-+-+-=m m m m m AB 配方得|AB|的最小值为17173. 答案：C7.已知平行四边形ABCD 的顶点A(3，-1)、C(2，-3)，点D 在直线3x-y+1=0上移动，则点B 的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0(x≠3)B.3x -y-10=0(x≠3)C.3x-y-9=0(x≠2)D.3x -y-12=0(x≠5) 答案：A8.与圆(x-8)2+(y-7)2=1相切且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：先画出圆的图，根据图象可知，与圆相切且在x 轴、y 轴上截距相等的直线有4条，所以答案为D. 答案：D9.已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是( ) A.x 2+y 2-2x-3=0 B.x 2+y 2+4x=0 C.x 2+y 2+2x-3=0 D.x 2+y 2-4x=0解析：设圆心坐标为(a,0)(a>0)，由直线3x+4y+4=0与圆相切，可得圆心得直线3x+4y+4=0的距离25|43|43|43|22=+=++=a a d .解得a=2或a=314- (舍去)，故所求的圆的方程为(x-2)2+y 2=4，即x 2+y 2-4x=0.故应选D.答案：D10.过圆x 2+y 2=4外一点P(-4，-2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程为( ) A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=5 C.x 2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5解析：OP 就是△ABP 的外接圆O 1的直径，所以O 1坐标为(-2，-1).故选B. 答案：B11.如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分.这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体积V 1和V 2之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶2D.1∶3 解析：△ABO 旋转成圆锥，扇形OAB 旋转成半球，设AB=R. V 半球=32πR 3,V 锥=3π·R·R 2=3πR 3， ∴(V 半球-V 锥)∶V 锥=1∶1. 答案：A12.如图所示，密闭圆锥内水深为圆锥高的一半，若将其倒放，圆锥内水深应为高的()A.21(372-) B.)17(313- C.31 D.41 解析：利用锥体平行底的截面性质及相关的比例关系. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在横线上.)13.在经过点A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__________. 解析：过A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的是与OA 垂直的直线.k OA =31-, ∴k=3,∴所求直线方程为y-1=3(x+3), 即 3x-y+10=0. 答案：3x-y+10=014.若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线.则k 的范围_____________. 解析：设y x t +=，则t 2-6t+3k=0仅有相等正根或有一正解与一负①Δ=0时k=3,这时t=3>0②⎪⎩⎪⎨⎧<<=<⇒>=+>∆0.03.00602121t t k k k t t 或故 答案：k=3或k<015.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为_________.解析：如图所示∠PPO=30°，设P(x,y)，∵sin ∠APO=22121||||y x PO AO +=⇒,∴x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=416.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m,n)重合，则m+n 的值是_____________.解析：折叠线为A(0，2)、B(4，0)的垂直平分线y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.由k CD =k AB ,且CD 的中点)23,27(nm ++在对称轴y-1=2(x-2)上，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+--=--).227(2123,042073m n m n 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.531,53n m 所以m+n=534. 答案：534三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)李林发现家庭作业中的几何体图形不清楚，他打电话给同学张明请求帮助，张明面对如本题图的几何体应如何描述.解析：本题需要对上述几何体作出语言上的描述，有一个语言组织的问题，这里给出如下两种描述： (1)有一个长方体，它的底面为8×8的正方形，高为4，以上底面的对角线交点为圆心，2为半径画一个圆.这个圆的上面有一个高为8的圆柱.也就是说，这个圆柱的下底面恰好与所画的圆重合. (2)这个几何体由两部分组成，上面为圆柱体，下面为长方体.长方体的大小为4×8×8,8×8的那一面水平放置.圆柱下底面的圆心与8×8那一面的正方形中心重合.圆柱底面圆的直径为4，圆柱的高为8.说明：对几何体的语言描述的次序可以不一致，繁简也不同，但一定要根据对方的理解水平作出合理的描述.18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠ABC=60°,PC ⊥平面ABCD ，PC=a ，E 为PA 的中点.(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ； (2)求点E 到平面PBC 的距离.解析：(1)设AC∩BD=0，连结EO ，则∵PC ⊥平面ABCD ∴EO ⊥平面ABCD 又EO ⊆平面EDB故有平面EDB ⊥平面ABCD(2)在底面作OH ⊥BC ，垂足为H ， ∵平面PCB ⊥平面ABCD ， ∴OH ⊥平面PBC又∵OE ∥PC ，∴OE ∥平面PBC ，∴点E 到平面PBC 的距离就是点O 到平面PBC 的距离OH ，如图所示，易得OH=a 43. 19.(本小题满分12分)设P 在正三角形ABC 所在平面外，且AP ，BP ，CP 两两垂直；又G 是△PBO 的重心；E 为BC 上一点，BE=31BC ；F 为PB 上一点，PF=31PB ；AP=BP=CP(如图)(1)求证：GF ⊥平面PBC ；(2)求证：EF ⊥BC.解析：(1)连结BG 并延长交PA 于M ，G 为△ABP 的重心.//3131PBC GF PBC AP PC AP BP AP AP GF PB PF BM MG 平面平面⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⇒ (2)取CQ=31BC ，又已知PF=31PB ，故FQ ∥PC ⇒PB FQ PB PC PC PQ 3232=⎪⎭⎪⎬⎫== BC EF BC EQ BE FB FQ ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫===⇒31.20.(本小题满分12分)已知圆x 2+y 2+4x+10y+4=0.求证：(1)点A(1，-2)在圆内.若过A 作直线l ，并且被圆所截得的弦被点A 平分，求此直线的方程. (2)点B(1，-1)在圆上，并求出过点B 的圆的切线方程. (3)点C(1，0)在圆外，并求出过点C 的圆的切线方程. 解析：圆心M(-2，-5)，半径r=5.(1)∵r AM =<=+-++=533)52()21(||22，∴点A 在圆内.若直线l 垂直于x 轴，弦不被点A 平分，不合题意，故直线l 的斜率存在.设其方程为:y+2=k(x-1)，交点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则⎩⎨⎧=++++-=+,04104)1(222y x y x x k y ∴(1+k 2)x 2-2(k 2-3k-2)x+k 2-6k-12=0,∴x 1+x 2=221)23(2k k k +--, ∴112322=+--=k k k x , ∴k=-1.∴直线l 的方程为:x+y+1=0. (2)∵12+(-1)2+4×1+10×(-1)+4=0, ∴点B(1，-1)在圆上， ∴k BM =34)2(1)5(1=-----,∴过B(1，-1)的圆的切线： y+1=43-(x-1), ∴3x+4y+1=0. (3)∵r CM =>=++=5345)21(||22,∴点C(1，0)在圆外，设过点C 与圆相切的直线方程为： y=k(x-1), ∴kx-y-k=0,∵圆与直线相切， ∴21|52|5k k k +-+-=,∴k=0或k=815-,∴切线方程为： y=0或15x+8y-15=0.21.(本小题满分12分)一束光通过M(25，18)射入被x 轴反射到圆C ：x 2+(y-7)2=25上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围.解析：(1)M(25，18)关于x 轴的对称点为M′(25，-18)依题意，反射线所在直线过(25，-18)，即2502518718--=++x y .即x+y-7=0.(2)设反射线所在直线为y+18=k(x-25). 即kx-y-25k-18=0.依题意：5)1(|182570|22≤-+---∙k k k ,解得:4343-≤≤-k .在①式中令y=0,得x A =2518+k. ∵4334-≤≤-k ,∴43134-≤≤-k .1≤x A ≤223.即在x 轴上反射点A 的活动范围是从点(1，0)到点(223，0)的线段. 22.(本小题满分14分)ABCD —EFGH 表示以AB=4 cm ，BC=3 cm 的长方形ABCD 为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH 是它的截面，当AE=5 cm,BF=8 cm,CG=12 cm 时，试回答下列问题： (1)求DH 的长；(2)求这个几何体的体积；(3)截面四边形EFGH 是什么图形？并证明你的结论.解析：(1)过E 作EB 1⊥BF ，由BB 1=AE=5，所以B 1F=8-5=3.∵平面ABEF ∥平面DCGH ，EF 和HG 是它们分别与截面的交线， ∴EF ∥HG .过H 作HC 1⊥CG,垂足为C 1，则 GC 1=FB 1=3 cm, DH=12-3=9 cm.(2)用一个与该几何体完全相同的几何体，倒置其上，使它们拼接组合成一个以ABCD 为底，高为17 cm 的长方体，设原几何体的体积为V ，则 2V=3×4×17=204 cm 3，即V=102 cm 3.(3)已知EF ∥HG ，同理EH ∥FG ，于是EFGH 是平行四边形. ∵52121=+=F B EB EF ，过E 作ED 1⊥DH ， 则DD 1=AE=5，ED 1=AD=3，HD 1=9-5=4， ∴52121=+=H D ED EH .∴EF=EH ，故EFGH 是菱形.。

【人教A版】高一数学必修2模块综合测评(二)(Word版,含解析)

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模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D.答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π.答案：C4.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.3060倍 C.120倍 D.30120倍解析:设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意,得302403231rr,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=rrrrrr答案：C5.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形. 答案：A6.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题.答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案：D8.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:将图形补成一个正方体如图，则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA与BD所成角为60°.答案：C9.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l∥α,l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的. 答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然AO=BO=CO=DO ，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S . 答案：π42514.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0.答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9. 答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案：433QQ π17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________.解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形 （如图乙），过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ， 则PE=AB=21·2πR=πR ，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP ⊥AP ，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1).答案：(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l的方程.解：设直线l方程为4x+3y+b=0，则l与x 轴、y轴的交点为A(4b-,0),B(0,3b-).∴｜AB｜=b125.由｜OA｜+｜OB｜+｜AB｜=10,得12||53||4||bbb++=10.∴b=±10.∴l方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm，高为2cm，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图，设正方体棱长为x，则CC1=x,C1D1=2x.作SO⊥EF于O，则SO=2,OE=1,∵△ECC1∽△ESO,∴EOECSOCC11=.∴12212xx-=.∴x=22(cm).∴正方体棱长为22cm.21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图4解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1． ∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33．这就是动点P 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5（1）求二面角B 1MNB 的正切值； （2）求证：PB ⊥平面MNB 1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.（1）解：连结BD 交MN 于F ，连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ，AC ⊥BD, ∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ， ∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ， ∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan ∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连结BE. 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M. 又BE ⊥B 1M ，∴B 1M ⊥平面PEB. ∴PB ⊥MB 1.由（1）中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1. （3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。

人教课标版必修2高中数学必修二模块综合测试卷(7)

人教课标版必修2高中数学必修二模块综合测试卷(7)

高一数学必修2质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S h 下台体上＝（＋；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A 、 一定平行B 、一定相交C 、平行或相交D 、一定重合 2. 两圆229x y +=和22430x y x +-+=的位置关系是Ａ、相离 Ｂ、相交 Ｃ、内切 Ｄ、外切 3. 从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，则它的体积为A 、6B 、36CD 、4．若点P (4,2,3)--关于坐标平面xoy 及y 轴的对称点的坐标分别是（a,b,c ）、（e,f,d ）, 则c 与e 的和为A 、7B 、－7C 、－1D 、1 5．下列命题正确的是A 、过一点作一条直线的平行平面有无数多个B 、过一点作一直线的平行直线有无数条C 、过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D 、过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行6. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是 A 、平行 B 、在平面内 C 、相交 D 、平行或在平面内7. 若直线2314y x k =-++与直线432x y k -=--的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是A 、62k -<<-B 、53k -<<-C 、6k <-D 、2k >- 8. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法： ①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β.其中正确命题的个数是 A 、3个 B 、2个 C 、 1个 D 、 0个9. 已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是 A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AC ⊥β D. AB ∥β 10. 对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得A 、,a b αα⊂⊂B 、,//a b αα⊂C 、,a b αα⊥⊥D 、,a b αα⊂⊥ 11. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y --= D 、10x y -+= 12. 若直线1x ya b +=与圆221x y +=有公共点，则 A ． 2211a b +≥1 B ．22111a b +≤C ． 221a b +≥ D ．221a b +≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

高一数学人教版必修2单元质量评估(二)含解析.doc

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单元质量评估（二）（第二章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 •下列叙述中，正确的是（）A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D. A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A,B,C不正确，D正确.2. （2015 •台州高二检测）给出四个说法：（1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；⑵a , 0为两个不同平面，直线aC a ,直线bu a ,且a〃B , b〃B , 则a 〃B ；⑶a , B为两个不同平面，直线m± a ,m± 3 ,则a 〃 B ;（4） a , B为两个不同平面，直线m〃 a , m〃 B ,贝！I a 〃B・其中正确的是（）A.仃）B. （2）C. （3）D. （4）【解析】选C. （1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故错误.⑵当a 〃 B ,b〃 B ,不能判定a 〃0 , a , B还有可能相交，故错误.（3）正确；⑷直线m〃a,m〃0,不能判定a 〃0, a, 0还有可能相交，故错误.3. （2015 •邯郸高一检测）如图，在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA丄平面AC, .ft PAp则直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为（）A. B. C.— D.—2 2【解析】选A.设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为a ,则由等体积可得X X V2a. • a • h= X a • a. • a,所以h=—a,又因为PB二说a,所以sin a=.【补偿训练】（2014 •瑞安高二检测）如图，正方体ABCD -ABCD中,直线BG与平面A.ACC.所成的角为（）【解析】选D.如图，连接BD交AC于0,连接G0,则ZBG0为直线BG 与平面A]ACG所成的角,BO=BC b故ZBG0二二54. （2015 • 口照高一检测）已知平面a , B ,直线/, m,且有/± a , mC 3 , 则下列四个命题正确的个数为（）①若a 〃B，则/丄m; ②若/〃m,则/〃 3 ；③若a丄B ,则/〃m; ④若/±m,则/丄B .A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】选A.正确的命题只有①，当a 〃0时，由/丄a可知，/丄0 , 而mu 0 ,所以/±m,故①为真命题；对于②，当/〃m且mu 0时，/有可能在平面3内，故②不正确；对于③，当/± a,mc p且a丄B时，/与m 可能平行，也可能相交，还有可能异面，故③不正确；对于④，当/丄a,mc 0且/丄m时，/与0可能平行，可能垂直，也可能既不平行也不垂直，故④错误;综上可知，选A.5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，下列结论不正确的是（）A.CD 丄DCB. BDi 丄ACC・BDi〃BC D. ZACB F60°【解析】选C.因为CD丄平面BQ, BQu平面BQ,所以CD丄B£,所以A选项正确；由于AC丄平面BDD b所以BU丄AC, B选项正确；因为三角形ABQ为等边三角形，所以ZACB F60°，即D选项正确.由于BD与BQ是异面直线，C错.6. （2015 •台州高二检测）如图所示是正方体的平面展开图•在这个正方体中，①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角；④DM 与BN是异面直线，以上四个结论中，正确的是（）【解析】选C.由题可知，将正方体的平面展开图还原，①BM 与 ED 是异面直线，故错误；②CN 与BE 平行，故错误；③因为三角形 BEM 是等边三角形，BM 与BE 成60°角，又因为BE 〃CN,所以CN 与BM 成60°角，故正确；④从图中显然得到DM 与BN 是异面直 线，故正确.7. （2015 •厦门高二检测）已知/, m 表示两条不同的直线，a 表示平面, 下列说法正确的是（）A.若 /丄 a , m 〃/,则 m 丄 aB •若 /±m,mC a ,则 /丄 a C.若 /# a ,mC a ,则 /〃m D.若 /〃 a , n ）U a ,则 /±m ND \ C A 4 / / A \ B FB.②④C.③④A.①②③ D.②③④【解析】选A•对于A,若/丄则根据直线与平面垂直的性质定理知：m丄a ,故A正确；对于B,若/±m, mC a ,则根据直线与平面垂直的判定定理知/丄a 不正确，故B不正确；对于C,因为/〃a,n）u a,所以由直线与平面平行的性质定理知：/与m平行或异面，故C不正确; 对于D,若/〃 a , m〃 a ,则/与m平行或异面，故D不正确.8•如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,线段BD上有两个动点E, F, 且EF二,则下列结论中错误的是（）BxD}BAA.AC±BEB.EF 〃平ffiABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AAEF的面积与ABEF的面积相等【解析】选D. A.由题意及图形知，AC丄面DDBB,故可得出AC丄BE,此命题正确，不是正确选项；B.EF〃平面ABCD,由正方体ABCD-ARCD的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF〃平面ABCD,此命题正确，不是正确选项；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值,A点到面DDRB的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与ABEF的面积相等不正确，故D是错误的.9. （2015 •吉林高一检测）如图，长方体ABCD-A.B.C.D.中，AA尸AB二2, AD 二1, 点E, F, G分别是DD b AB, CG的中点，则异面直线A】E与GF 所成的角【解析】选D.连接GBjBREG,因为E,G 分别是DD^CG 的中点，所以 EG#AiBi JL EG=AiB b所以四边形ABGE 为平行四边形，所以所以ZFGBi 或其补角为异面直线AE 与GF 所成的角.由已知可得B£二迈,FB F VS, FG 二疵，所以 B £+FG J FB ；,所以ZkFGBi 为直角三角形且ZFGB 尸90。

高中数学 模块综合测评 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,则a=()A.1B.-1C.2D.-2解析:∵2×3+a-7=0,∴a=1.答案:A2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1,而△BCB1为等腰直角三角形,所以∠BCB1=45°.答案:B3.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A.8B.7C.6D.5解析:由正视图和侧视图可知,该几何体由两层小正方体拼接成;由俯视图可知,最下层有5个小正方体;由侧视图可知,上层仅有一个小正方体,则共有6个小正方体.答案:C4.若球的半径扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的()A.64倍B.16倍C.8倍D.4倍解析:设球原来的半径为r,体积为V,则V=πr3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.答案:C5.已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,则下列情形中可能出现的是()A.l∥m,l⊥αB.l⊥m,l⊥αC.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α答案:C6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为()A.7B.4C.9D.3解析:设圆台较小底面的半径为r,则S圆台侧=π(r+3r)l=84π.∵l=7,∴r=3.答案:D7.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离解析:圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),圆心到直线x-y+1=0的距离d==0.∴直线x-y+1=0过圆心.答案:B8.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相离C.内切D.外切解析:设圆x2+y2=16的圆心为O,则O(0,0),r1=4.设圆x2+y2-8x+6y+16=0的圆心为C,半径为r2,则C(4,-3),r2=3.∴|OC|==5,∴|r1-r2|<|OC|<r1+r2,∴两圆相交.答案:A9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,则该几何体的侧视图的面积是()A.2B.C.4D.2解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样是正三角形,面积S=×22=.答案:B10.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面解析:连接A1B,∵E是AB1的中点,∴E∈A1B,∴EF是△A1BC1的中位线,∴EF∥A1C1,故D不成立.答案:D11.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为()A.x2+(y+1)2=18B.x2+(y-1)2=3C.(x-1)2+y2=18D.(x-1)2+y2=3解析:直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点为(0,-1),所以圆C的圆心为(0,-1),设半径为r,由题意可得+32=r2,解得r2=18,所以圆C的方程为x2+(y+1)2=18.答案:A12.(2016某某某某天全中学月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+11=0平行,则实数m的值是.解析:由条件可知,,解得m=8.答案:814.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的直径为d,则V圆柱=π·d=,V圆锥=·d=,V球=.∴V圆柱∶V圆锥∶V球=3∶1∶2.答案:3∶1∶215.圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.解析:∵圆心在直线x-2y=0上,∴可设圆心为(2a,a).∵圆C与y轴正半轴相切,∴a>0,半径r=2a.又圆C截x轴的弦长为2,∴a2+()2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).∴圆C的圆心为(2,1),半径r=2.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.答案:(x-2)2+(y-1)2=416P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:.解析:①因为PH⊥底面ABC,所以PH⊥BC,又PA⊥BC,所以BC⊥平面PAH,所以AH⊥BC.同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.②若PA,PB,PC两两互相垂直,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC,由此推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.③若∠ABC=90°,H是AC的中点,可推出△PHA≌△PHB≌△PHC,则PA=PB=PC,正确.④若PA=PB=PC,由此推出AH=BH=CH,则H是△ABC的外心,正确.答案:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)四面体的一条棱长为x,余下的棱长均为1.(1)把四面体的体积V表示为x的函数f(x),并求出定义域;(2)求体积V的最大值.解:如图,在四面体ABCD中,设AD=x,其余各棱为1.取AD的中点E,BC的中点F.在△ABC中,∵△ABC为正三角形,F点是BC的中点,∴AF⊥BC.同理FD⊥BC.∴⇒BC⊥平面AFD.(1)V=BC·S△AFD=·BC·AD·EF=BC·AD·EF=·1·x·=,即f(x)=,其中定义域为x∈(0,).(2)V=,当x=时,V max=.18.(本小题满分12分)已知圆M的半径为3,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M相切,(1)求圆M的标准方程;(2)过点N(0,-3)的直线l与圆M交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),而且满足x1x2,求直线l的方程.解:(1)设圆心为M(a,0)(a>0),=3,解得a=2或-8.因为a>0,所以a=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,),B(0,-).此时x1=x2=0,满足x1x2,所以x=0符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3.由消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理,得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,①所以x1+x2=,x1x2=.由已知x1x2,得(x1+x2)2=x1x2,即,整理,得7k2-24k+17=0,解得k=1或.把k值代入到方程①中的判别式Δ=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,判别式的值都为正数,所以k=1或,所以直线l的方程为y=x-3或y=x-3,即x-y-3=0或17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.19.(本小题满分12分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l经过点Q,且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解:(1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,则直线l是此圆的切线,连接CQ,则|QM|=.当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,∴|QM|min=4.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.(1)证明:BC⊥平面AMN;(2)求三棱锥N-AMC的体积;(3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC.又∠ABC=60°,∴AB=BC=AC.又M为BC的中点,∴BC⊥AM,而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN.(2)解:∵S△AMC=AM·CM=×1=,又PA⊥底面ABCD,PA=2,∴AN=1,∴三棱锥N-AMC的体积V=S△AMC·AN=×1=.(3)解:存在点E.取PD的中点E,连接NE,EC,AE.∵N,E分别为PA,PD的中点,∴NE AD.又在菱形ABCD中,CM AD,∴NE MC,即四边形MCEN是平行四边形,∴NM∥EC.又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,∴MN∥平面ACE,即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,此时PE=PD=.21.(本小题满分12分)(2016某某襄阳枣阳白水中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-1)2+y2=25和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16.(1)若直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,求直线l1的方程;(2)若点P(2,-1)为圆C1的弦AB的中点,求直线AB的方程;(3)若直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为4,求直线l的方程.解:(1)圆C1:(x-1)2+y2=25的圆心坐标(1,0),直线l1经过点P(2,-1)和圆C1的圆心,所以直线l1的方程为,即x+y-1=0.(2)因为点P(2,-1)和圆心C1的连线的斜率为k==-1,所以直线AB的斜率为1,所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.(3)因为直线l过点A(6,0),且被圆C2截得的弦长为4,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=16的圆心坐标(4,5),半径为4,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-6),则弦心距为.由于圆C2的半径、半弦长以及圆心到直线的距离满足勾股定理,故16=(2)2+,解得k=-,则直线l的方程为21x+20y-126=0.当直线l的斜率不存在时,方程为x=6,此时也满足题意.故直线l的方程为x=6或21x+20y-126=0.22.导学号96640141(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.。

人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测1(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。

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(时间：120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线y ＝3x ＋1与直线x ＋By ＋C ＝0垂直，则( ) A ．B ＝－3 B ．B ＝3 C ．B ＝－1 D ．B ＝1 解析：选B.y ＝3x ＋1即3x －y ＋1＝0 ∴3×1＋(－1)×B ＝0，∴B ＝3.2．棱长都为1的三棱锥的表面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3解析：选A.棱长都为1的三棱锥的三个侧面与底面都是全等的正三角形，∴表面积S ＝4×34×12＝ 3. 3．空间五点最多可确定的平面个数是( ) A ．1个 B ．5个 C ．10个 D ．20个解析：选C.最多的情况是任意三点不共线，此时任意三点可确定一个平面，故共10个． 4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4 解析：选B.由两直线垂直，得2m －20＝0，∴m ＝10.将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，再将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12.∴m －n ＋p ＝10－(－12)＋(－2)＝20.5．表面积为36π的一个球，有一个表面积为Q 的外切多面体，则这个多面体的体积是( )A ．QB ．2Q C.13Q D.43Q 解析：选A.易知球半径为3，将多面体分割成若干个锥体，每个锥体的高为3.∴V ＝13Q ·3＝Q .6．如图所示，在一个封闭的立方体的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F ，现摆成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 的对面的字母分别是( )A ．D 、E 、FB ．F 、D 、EC ．E 、F 、DD ．E 、D 、F解析：选D.结合3个图可分析得出．7．将圆x 2＋y 2＝1沿x 轴正方向平移1个单位后得到圆C ，若过点(3,0)的直线l 与圆C 相切，则直线l 的斜率为( )A. 3 B ．±3C.33 D ．±33解析：选D.圆心C (1,0)，设l ：y －0＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，∵l 与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径1，∴|k －3k |k 2＋1＝1，∴k ＝±33.8．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点关于y 轴对称，则k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．任何实数解析：选B.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y －9＝0，(1＋k 2)x 2＋2kx －9＝0，设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，由于A 、B 关于y 轴对称，则x 1＋x 2＝0，∴k ＝0.9．两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A ．－15<a <1B ．－15≤a <1C ．a >1或a <－15D ．a ≥1或a ≤－15解析：选A.由题意可得交点为P (a,3a )，∴(a －1)2＋(3a －1)2<4.解得－15<a <1.10．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．(－125，－25) B ．(0,2)C ．(－125，－25)∪(0,2)D ．(－125，2)解析：选C.圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m )，r 2＝3.由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m <－25或0<m <2.11．已知Rt △ABO 的三个顶点A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，则其内切圆方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －12)2＋(y －1)2＝1C ．(x －52)2＋(y －52)2＝54D ．(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝(3－5)24解析：选D. 设内切圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，如图所示，则有a ＝b ＝r .又∵|OA |＝1，|OB |＝2，|AB |＝5， ∴r ＝|OA |＋|OB |－52＝1＋2－52＝3－52，a ＝b ＝3－52.故内切圆的方程为(x －3－52)2＋(y －3－52)2＝(3－5)24.12．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现在用一个竖直的平面去截这个几何体，所得的截面的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5)解析：选D.这是圆柱和圆锥构成的组合体．当竖直的平面经过圆柱的轴时得到图(1)，当竖直的平面不经过轴时，得到的是图(5)．故选D.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 上的射影，连接PA ，PB ，PC . (1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的________心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则O 是△ABC 的 ________心； (3)若P 点到三边AB ，BC ，CA 的距离相等且O 在△ABC 内，则O 是△ABC 的________心；(4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则O 是AB 边的______点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则O 点在________上．解析：结合三角形的外心、内心、垂心的知识判断，外心到各顶点的距离相等，内心到各边的距离相等，垂心是高线的交点．(1)由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心．(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得O 是△ABC 的垂心． (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得O 是△ABC 的内心． (4)由三角形全等可证得O 是AB 边的中点．(5)由(1)知，O 在BC 边的高线上，或者说在∠BAC 的平分线上，或者说在BC 边的中线上．答案：(1)外 (2)垂 (3)内 (4)中 (5)BC 边的高线或∠BAC 的平分线或BC 边的中线 14．如图(1)直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图(2)、(3)所示，则其左视图的面积为________．解析：其左视图是底为32×2＝3，高为2的矩形．所以面积S＝2×3＝2 3.答案：2 315．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为52，圆半径为3 2.由图形可分析出，半径最小的圆的半径是2，圆心为(2,2)，所以圆方程为(x－2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2.16．过定点M(1,2)的两直线l1与l2，l1与x轴交于点A，l2与y轴交于点B，且l1⊥l2，则线段AB中点的轨迹方程是____________．答案：2x＋4y－5＝0三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．自点M(1,3)向圆O：x2＋y2＝1引切线，求切线方程及切线的长．解：点M(1,3)在圆O：x2＋y2＝1外，因此过点M向圆引切线有两条．①当直线的斜率不存在时，切线为x＝1；②当直线的斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－1)，根据切线垂直于过切点的半径，得d＝|k－3|1＋k2＝1，解得k＝43，直线为4x－3y＋5＝0.综上可知，切线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.由于半径、切线段和OM组成直角三角形，故切线长为d′＝(1－0)2＋(3－0)2－12＝3.18．正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平面APE⊥平面APF.证明：(1)∵∠APE＝∠APF＝90°，PE∩PF＝P，∴PA⊥平面PEF.∵EF⊂平面PEF，∴PA⊥EF.(2)∵∠APE ＝∠EPF ＝90°， AP ∩PF ＝P ， ∴PE ⊥平面APF . 又PE ⊂平面APE . ∴平面APE ⊥平面APF .19．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点O ？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：法一：假设存在且令l 为y ＝x ＋m .圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点，即N (－m ＋12，m －12)．以AB 为直径的圆过原点，|AN |＝|ON |.又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2， 所以|AN |＝CA 2－CN 2＝9－(3＋m )22.又|ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2，由|AN |＝|ON |，得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二：假设存在，令y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y ，得2x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2＋4m －4＝0.① 因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.由方程①，得x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m 2＋4m －42.②y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 把②代入，m 2＋3m －4＝0.解得m ＝1或m ＝－4. 将m ＝1和m ＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0， 所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.20．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD4，H 为C 1G 的中点， 求：(1)FH 的长；(2)三角形FHB 的周长．解：如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，B (1，1,0)，G (0，34，0)，C 1(0,1，1)．(1)因为F 和H 分别为BD 和C 1G 的中点，所以F (12，12，0)，H (0，78，12)．所以FH ＝ (12－0)2＋(12－78)2＋(0－12)2＝418.(2)由(1)可知FH ＝418，又BH ＝ (1－0)2＋(1－78)2＋(0－12)2`＝98，BF ＝22，所以三角形FHB 的周长等于42＋41＋98.21．如图所示几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少．(π＝3.14)解：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm.故正方体的表面积为16×6＝96 cm 2， 一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28 cm 2， 几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68 cm 2.22．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋．如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？解：半球形的冰淇淋的体积与圆锥的体积大小，决定着融化了的冰淇淋是否会溢出杯子．由图形可知半球形的冰淇淋的半径为4 cm，圆锥的高为12 cm，圆锥的底面圆的半径为4 cm，∴冰淇淋的体积V1＝23πR3＝1283π(cm3)．圆锥的体积V2＝13πR2·h＝1923π(cm3)．由于V1<V2，所以冰淇淋融化后不会溢出杯子．。

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