考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题

考点12：旋转圆法--带电粒子在磁场中运动的临界问题当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”.另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，如图. ①适用条件a.速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v 0，由q v 0B ＝m v 20R 得圆周运动半径为R ＝m v 0qB .b.轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O 为圆心、半径R ＝m v 0qB 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上. ②界定方法将半径为R ＝m v 0qB 的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”移动，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆法”.1.如图所示，平行边界MN 、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，两边界间距为d ，MN 上有一粒子源A ，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m 、电荷量均为q 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v ＝2qBd3m ，不计粒子的重力，则粒子能从PQ 边界射出的区域长度为( ) A ．d B.23dC.233dD.32d答案 C解析 粒子在磁场中运动的半径R ＝m v qB ＝23d ，粒子从PQ 边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：由几何关系可知，从PQ 边射出粒子的区域长度为s ＝2⎝⎛⎭⎫23d 2－⎝⎛⎭⎫13d 2＝233d ，C 项正确．2.如图所示，在边长ab ＝1.5L 、bc ＝3L 的矩形区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O 处有一粒子源，可以垂直磁场向区域内各个方向发射速度大小相等的同种带电粒子.若沿Od 方向射入的粒子从磁场边界cd 离开磁场，该粒子在磁场中运动的时间为t 0，圆周运动半径为L ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是( )A.粒子带负电C.粒子的比荷为πBt 0D.粒子在磁场中运动的最长时间为2t 0 2.D[由题设条件作出以O 1为圆心的轨迹圆弧，如图所示，由左手定则可知该粒子带正电，选项A 错误；由图中几何关系可得sin θ＝32L L ＝32，解得θ＝π3，可得T ＝6t 0，选项B 错误；根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律可得T ＝2πm qB ，解得m q ＝3t 0Bπ，选项C 错误；根据周期公式，粒子在磁场中运动时间t ＝mαqB ，在同一圆中，半径一定时，弦越长，其对应的圆心角α越大，则粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O 2为圆心的圆弧，如图所示，由图中几何关系可知α＝2π3，解得t ＝2t 0，选项D 正确.]3.如图所示，平行边界MN 、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，两边界间距为d ，MN 上有一粒子源A ，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m 、电荷量均为q 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v ＝2qBd3m ，不计粒子的重力，则粒子能从PQ 边界射出的区域长度为( ) A ．d B.23dC.233dD.32d答案 C解析 粒子在磁场中运动的半径R ＝m v qB ＝23d ，粒子从PQ 边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：由几何关系可知，从PQ 边射出粒子的区域长度为s ＝2⎝⎛⎭⎫23d 2－⎝⎛⎭⎫13d 2＝233d ，C 项正确．4.如图所示，在0≤x ≤3a 的区域内存在与xOy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B .在t ＝0时刻，从原点O 发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y 轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y 轴正方向发射的粒子在t ＝t 0时刻刚好从磁场右边界上P (3a ，3a )点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )A ．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3aB ．粒子的发射速度大小为4πa t 0C ．带电粒子的比荷为4π3Bt答案 D解析 根据题意作出沿y 轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示， 圆心为O ′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r ＝2a ，故A 错误；沿y 轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为2π3 ，运动时间t 0＝2π3×2a v 0，解得：v 0＝4πa3t 0，选项B 错误；沿y 轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为2π3，对应运动时间为t 0，所以粒子运动的周期为T ＝3t 0，由Bq v 0＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，则q m ＝2π3Bt 0，故C 错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为4π3，在磁场中的运动时间为2t 0，故D 正确．5．如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k ，速度大小为2kBr 。

则粒子在磁场中运动的最长时间为( ) A.πkB B.π2kBC.π3kBD.π4kB答案 C解析 粒子在磁场中运动的半径为R ＝m v qB ＝2kBrBk ＝2r ；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r ，故t ＝T 6＝πm 3qB ＝π3kB，故选C 正确。

6．如图所示，在直角坐标系xOy 中，x 轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向外。

许多质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿纸面内，由x 轴负方向与y 轴正方向之间各个方向从原点O 射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用。

下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R ＝m vqB，正确的图是( )答案 D解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则和R ＝m vqB 知沿x 轴 负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y 轴进入的刚好转半个圆周，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D 正确。

7．(多选)如图，一粒子发射源P 位于足够长绝缘板AB 的上方d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v 、比荷为k 的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。

已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d ，则( ) A ．磁感应强度的大小为dk vB ．磁感应强度的大小为vkdC ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为7πd6vD ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为πkd6v答案 BC解析 根据q v B ＝m v 2R 和R ＝d 、qm ＝k 得B ＝v kd ，选项A 错误，B 正确；能打到板上的粒子中，在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图所示，由几何关系，最长时间t 1＝34T ，最短时间t 2＝16T ，T ＝2πRv ，所以最大时间差Δt ＝t 1－t 2＝712T ＝7πd6v，选项C 正确，D 错误。

8.(2017·全国卷Ⅱ·18)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v 1 为( ) A.3∶2 B.2∶1 C.3∶1 D ．3∶ 2答案 C解析 设圆形磁场半径为R ，若粒子射入的速率为v 1，轨迹如图甲所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r 1＝R cos 60°＝12R ；若粒子射入的速率为v 2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r 2＝R cos 30°＝32R ；根据轨道半径公式r ＝m v qB可知，v 2∶v 1＝r 2∶r 1＝3∶1，故选项C 正确．甲 乙9.如图所示，在坐标系xOy 平面的x >0区域内，存在电场强度大小E ＝2×105N/C 、方向垂直于x 轴的匀强电场和磁感应强度大小B ＝0.2 T 、方向与xOy 平面垂直向外的匀强磁场.在y 轴上有一足够长的荧光屏PQ ，在x 轴上的M (10,0)点处有一粒子发射枪向x 轴正方向连续不断地发射大量质量m ＝6.4×10－27kg 、电荷量q ＝3.2×10－19C 的带正电粒子(重力不计)，粒子恰能沿x 轴做匀速直线运动.若撤去电场，并使粒子发射枪以M 点为轴在xOy 平面内以角速度ω＝2π rad/s 顺时针匀速转动(整个装置都处在真空中).(1)判断电场方向，求粒子离开发射枪时的速度； (2)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (3)荧光屏上闪光点的范围距离；(4)荧光屏上闪光点从最低点移动到最高点所用的时间. 答案 见解析解析 (1)带正电粒子(重力不计)在复合场中沿x 轴做匀速直线运动，据左手定则判定洛伦兹力方向向下，所以电场力方向向上，电场方向向上，有qE ＝q v B ，速度v ＝E B ＝2×1050.2m /s ＝106 m/s(2)撤去电场后，有q v B ＝m v 2R ，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径，R ＝m v qB ＝6.4×10－27×1063.2×10－19×0.2m ＝0.1 m(3)粒子运动轨迹如图所示，若粒子在荧光屏上能最上端打在B 点，最下端打在A 点由图可知：d OA ＝R tan 60°＝3R ，d OB ＝R所以荧光屏上闪光点的范围距离为d AB ＝(3＋1)R ≈0.273 m(4)因为粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB ≈6.28×10－7 s ，所以粒子在磁场中运动的时间可以忽略不计，闪光点从最低点移到最高点的过程中，粒子发射枪转过的圆心角φ＝5π6。

所用的时间t ＝φω＝5π62π s ＝512s ≈0.42 s10．在xOy 平面内有一个半径为R 的圆形区域与x 轴相切于O 点，在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，如图11所示。

发射源从坐标原点O 以与x 轴正方向成θ角的方向向第一象限发射一个比荷为k 的带正电的粒子(不计重力)，该粒子恰好沿平行于x 轴的方向进入圆形区域。