2020年中考数学专题复习《路径最短问题》教学设计精编版
最短路径问题中考复习学习教案
第十七页，共24页。
中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
巩固练习
中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
最短路径问题
1.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知知新新一 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
P
探拓究展（探二索） 范中例考学链习接 课课堂堂小结结
P●
B
M
C
巩固练习
几何画板
第7页/共24页
上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
第八页，共24页。
随堂练习(liànxí)四
中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
最短路径问题
2.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知新知一新 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
随温堂故练而习知一新 试确定点P的位置。
温探故究而（知一新）二
D
●
随探堂究练（习二二）
探拓究展（探二索）
PP
A
●
C
范中例考学链习接MN课课堂堂小小结结B
巩固练习
几何画板
第8页/共24页
上次更新(gēngxīn): 十月 07, 2021
第九页，共24页。
中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
中考(zhōnɡ kǎo)链接
最短路径问题
温温故故而而知知新新 一
2. 如 图 ， 以 矩 形OABC的 顶 点 ， OA所在的直线为x轴 ，OC所 在的 直线为 y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4, OC=2,点 E、 F分 别是边 AB、 BC的中 点， 在 x轴、 y轴 上 是否分 别存在 点N、M，使得四边形MNEF的 周长 最小？ 如果存 在，请 在图中 确定点 M、N的 位置 ，若不 存在， 请说明 理由。
《最短路径问题》教学设计
《最短路径问题》教学设计课题学习《最短路径问题》教学设计⼀、教学⽬标让学⽣能够利⽤轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作⽤，感悟转化思想．⼆、教学重点及难点重点：利⽤轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利⽤轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学⽤具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图⽚.五、教学过程（⼀）引⾔导⼊前⾯我们研究过⼀些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实⽣活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利⽤数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引⾔导⼊新课，让学⽣明确本节课所要探究的内容和⽅向．（⼆）探究新知本图⽚是微课的⾸页截图，本微课资源由将军饮马的问题引出最短路径问题，并通过具体实例来巩固最短路径问题，有利于启发教师教学或学⽣预习或复习使⽤.若需使⽤，请插⼊微课【知识点解析】最短路径问题.问题1如图，牧马⼈从A地出发，到⼀条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马⼈到河边的什么地⽅饮马，可使所⾛的路径最短？1．将实际问题抽象为数学问题学⽣尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成⼀条直线，C为直线l上的⼀个动点，那么，上⾯的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最⼩．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下⾯的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到⼀个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利⽤已经学过的知识，可以很容易地解决上⾯的问题，即：连接AB，与直线l相交于⼀点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到⼀个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另⼀侧B′处，同时对直线l上的任⼀点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从⽽使问题得到解决．（4）你能利⽤轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学⽣独⽴思考后，尝试画图，完成问题．⼩组交流，师⽣共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师⽣共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取⼀点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取⼀点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这⾥“C′”的作⽤是什么？学⽣相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意⼀点（与点C不重合）与A，B两点的距离都⼤于AC＋BC，就说明AC ＋BC最⼩．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在⼀条河的两岸，现要在河上造⼀座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直．）1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平⾏线a和b（下图），N为直线b上的⼀个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上⾯的问题可以转化为下⾯的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最⼩？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最⼩时，AM＋MN＋NB最⼩．这样，问题就进⼀步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最⼩？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的⽅向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最⼩？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最⼩”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取⼀点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂⾜为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最⼩．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学⽣探究问题的信⼼，让学⽣通过轴对称、平移变换把复杂问题进⾏转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂⼩结1．运⽤轴对称解决距离最短问题运⽤轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为⼀条线段的长，是解决距离之和最⼩问题的基本思路，不论题⽬如何变化，运⽤时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最⼩这个核⼼，所有作法都相同．2．利⽤平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的⽅法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上⼀点所连线段的和最⼩的问题．设计意图：通过⼩结，使学⽣梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作⽤，感悟转化思想的重要价值．七、板书设计13.4 最短路径问题运⽤轴对称解决距离最短问题利⽤平移确定最短路径选址。
初三数学中考专题复习最短路径问题探究教学设计
中考专题复习《路径最短问题》教学设计【教学目标】教学知识点：利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究现实生活中两个村庄如何建设候车厅和供水站的问题引入.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两村抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2: 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 连接B ，与河有交点，交点处就是所要求做的点；(2)作A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与河有交点，交点处就是所要求做的点；强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决，尝试解决数学问题问题1 :寒流来袭,气温骤降，由于A、B两小区供暖温度达不到,紧急决定在供暖主管道L 上新修建一个换热站P，分别向A、B两个小区供暖，换热站P修在管道的什么地方可以最大限度地节省原材料和时间？追问1:你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点P吗?问题2: 已知：如图,A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充如果学生有困难,教师可作如下提示作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点P,则点P 即为所求.如图所示:问题3：你能用所学的知识证明AP +BP最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点P'(与点P 不重合),连接AP',BP',B'P'.由轴对称的性质知,BC =B'P,BP'=B'P'.∴AP +BP= AP +B'P = AP',AP'+BP'= AP'+B'P'.在△AP'B'中,AP'+B'P'>AB',∴当只有在P点位置时,AP+BP最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.进一步巩固：如果刚才的问题中，我们以供暖主管道所在直线为X 轴建立如图的坐标系，测得A 小区的坐标为（0，100），B 小区的坐标为（400，200)米我们最短需铺设管道______米。
中考复习专题----最短路径 教案
中考专题复习——最短路径教学设计学习目标：1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。
2.借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换、平移变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。
3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想。
学习重点：利用轴对称、平移等数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”及“垂线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。
学习难点：综合运用轴对称、平移等数学知识，将不在同一直线上的线段转化在同一直线上，从而解决线段和（周长）最小值问题。
教学过程：问题1：如图1所示，Ａ植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管最短？图1 图2 图3问题2：如图2所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？问题3：如图3所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？设计意图：通过对已有知识的复习，提炼最短路径的对称模型，从而解决更多不同背景下的题目。
跟踪训练：1.如图4，等边△ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，P 为AD 上一点，则BP+PE 的最小值等于 ．2.如图5所示，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A.2B.4C.6D.83.如图6，已知菱形ABCD 的周长为20，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值=______．设计意图：通过等边三角形、正方形、菱形等基础图形为背景，通过找和做对称点总结遇到不同类型题的不同做法。
4.如右图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B.（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在对称轴上是否存在点P ，使PA+PC 最小？若存在，求出PA+PC 的最小值；若不存在，请说明理由.变式1：在对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小？若存在，求出△PAC 周长的最小值；若不存在，请说明理由.变式2：在抛物线的对称轴x=1上求一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点P 的坐标；设计意图：抛物线是中考题中比较易考的图形，其本身也具有对称性，所以回归到中考题目，抓模型、练分析，分解难点。
最短路径问题第2课时教学设计教师用
如图，河边有两个村庄A、B，要在河边建一个供水站Q，先把水引 到中转站P，再从P处将水分别供应到A、B两村，问：Q、P两站分别建在 何处？可使得供水线路（QP+PA+PB）最短？
设计意图：此题是今年中考24题中第3问的改编（去掉平面直角坐标系 背景），与变式一进行比较，处理方法是否一致？先确定点P还是点Q的 位置？平移点A还是平移点B？帮助学生辨析解题的思路.
3.如图所示，点P、Q在∠AOB的内部，定长CD、EF分别在射线OA 、OB上 移动，试确定CD、EF的位置，使得六边形PCDEFQ的周长最短.
设计意图：给予学生更广阔的思考空间，供学有余力、有兴趣的学生课 后探究.
分 的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会
析 感到陌生,无从下手.本班学生基础比较扎实、思维比较活跃，为
与 了提高学生的思维水平,拓展视野,特别设计了较复杂最短路径问
设 题的研究,进一步巩固丰富“将军饮马”基本模型.本节课教师引
计 导学生利用折纸的方式寻找最短路径，它是可通过动手操作实现
例题中消除PQ这个障碍，是解决问题的关键，先与“将军饮马”模
型进行对比，再通过折纸等操作消灭PQ，转化为“将军饮马”模型，体 会利用平移、轴对称化折为直的转化思想.
二、变式训练
变式一：为了使太阳能电池板板吸收到更充足的太阳光，供应站需要与 河边成一定的角度（如图所示，点Q在河边上，PQ＝300米），试确定PQ 的位置，使得供水线路（AP＋PQ对课本内容进行整合,为尖子生
初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。
2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。
3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。
过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。
情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。
重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。
掌握解决问题的方法和技巧。
难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。
活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。
使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。
生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。
师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。
2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。
4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题
专题十一：最短路径——造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【方法指引】（1）如图，在直线l 上找M 、N 两点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小，且MN=d 。
方法：将点A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于直线l 的对称点A"，连接A"B 交直线l 于点N ，将点N 向左平移d 个单位到M ，点M 、N 即为所求，此时AM+MN+NB 最小为A"B 。
（2）如图，1l ∥2l ，1l ，2l 之间距离为d ，在1l ，2l 分别找M 、N 两点，使得MN ⊥1l ，且AM+MN+NB 最小。
方法：将点A 向下平移d 个单位到A ′，连接A ′B 交直线2l 于点N ，将点N 向上平移d 个单位到M ，点M ，N 即为所求，AM+MN+NB 的最小值为A ′B+d 。
（3）如图，点P ，Q 在∠AOB ，分别在OA ，OB 上找点C ，点D ，使四边形PCDQ 的周长最小.方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小本质为转化思想：（1）化同侧为异侧（对称变换），（2）平移定距离（平移变换），（3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【例题精讲】类型一：两定点两动点形成最短路径型例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a，0)，F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由．【分析】四边ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A′，连接A′M，可得点E的位置，从而问题得解．类型二：两定点一定角形成最短路径型例2．如图，在∠POQ部有两点M，N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．【分析】分别作M关于射线OP的对称点M′,点N关于射线OQ的对称点N′，连接N′M，连接M′N，即可得到答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .2, 2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=2连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′，则当A′B+BE′取最小值时，点E′的坐标为.4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.5．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．6.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的解析式为；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标．7．矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0）、C （O ，3），直线y=x 与与BC 边相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P ，使四边形ABDP 的周长最小，并求出最小值；8. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，连接AM 交OC 于点R ，连接AC ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．10. 已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠的图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称. （1）求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M ，N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM ，MK ，求HN+NM+MK 和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．备用图答案：例1 .在四边形ABEF 中，AB ，EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．例2．(1)图略，点A ，B 即为所求．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M ′；②连接M ′N 交OP 于点A ；③作点N 关于射线OQ 的对称点N ′；④连接N ′M 交OQ 于点B.(2)AM ＋AN ＝BM ＋BN.【专题过关】1.80°.2.2254 .3.（，1）. 4．18 .5． 4 ．作PE ⊥l 1于E 交l 2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l 2于B ，作BA ⊥l 1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18， ∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===4 ．6.(1)y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如图①，图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)| . 由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是25 4；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．图②设直线H1M 1的函数解析式为y＝mx ＋n ，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133.∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)；当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0) .故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．7．（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．把y=3代入y=x中得，x=4，∴D（4，3）；（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的解析式为y=﹣x+. 当x=3时，y=﹣×3+，即P（3，）．四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+A E=3+2+=3+2+5=10.8. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：解得∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0) .∵AO＝1，CO＝3，在Rt△AOC中，AC＝＝.∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴FM＝BF＝1.∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF.∴，即＝.解得RO＝.∴CR＝OC－OR＝3－＝,AR＝＝＝，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP′.图①则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，∵A′为OF中点，∴A′坐标为(1，0) . 设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入,得解得∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋.令x＝2，得y＝－＋＝－，∴点H的坐标为(2，－) .∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．9. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）证明：∵直线l：333y x=+，当x=﹣3时，3-33y=⨯+（3）＝0，∴点A在直线l上.（2）∵点H、B关于过A点的直线l：333y x=+对称，∴AH=AB=4.过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=AB=2，HC＝2. ∴顶点H(－1，2)，代入二次函数解析式，解得a=-.∴二次函数解析式为2-3333-+22y x x =； （3）直线AH 的解析式为=333y x +.直线BK 的解析式为=33y x -，由3=33= 33y x y x ⎧+⎪⎨⎪-⎩ ，解得=3=23 x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即()323K ，，则BK =4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，()323K ，，∴HN +MN 的最小值是MB .过K 作KD ⊥x 轴于点D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于点E ，==23KD KE ，则QM =MK ，==23QE EK ，AE ⊥QK ， ∴根据两点之间线段最短得出BM +MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN +NM +MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ =∠HEQ =90°.由勾股定理得()2222423238QB BK QK =+=++=，∴HN +NM +MK 的最小值为8.(备用)9.(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得，解得 ∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ，∴四边形BDPQ 是平行四边形.∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2.∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD .由勾股定理，得AD ＝＝＝，BC ＝＝＝. ∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC ＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD＝＋2＋＝2＋2.设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. 当x ＝－1时，y ＝，即P (－1，) .由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，)，故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，)，点Q 的坐标为(－1，)，四边形CBQP 周长的最小值是2＋2.。
中考专题复习―最短路径问题教案
AB L中考专题复习——路径最短问题课题：中考中的最短路径问题教学目标：1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径 二教学重点与难点重点：1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 2、 把立体图形转化平面图形之后确定最短路径 3、构建“对称模型”确定最短路径难点：把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径 三、教学过程知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。
利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形例题1： 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为_____________ 2、立体图形（展开成平面图形）例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB 的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？二、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 1：立体图形（展开成平面图形）例题3：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
练习（1）已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm ，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A 点爬到B 点觅食， 问它爬过的最短距离应是____________（2） 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 ___________ .2：平面图形（建立“对称模型”）要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建 在什么地方,才能使从A,B 到它的距离和最短?ABCDABABBCA图(2)EB D ACP图(3)DBAOCP例题4:如图，正方形的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BD 上一动点．连结AP 、EP ，则AP+EP 的最小值是_______； 。
中考复习总结突破--最短路径问题教学设计
中考复习突破-最短路径问题一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。
三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。
四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。
作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。
原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。
问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。
作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为 P 。
原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。
问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。
作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。
原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。
问题4、如图，在直线 L1 、L2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小。
作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。
原理：两点之间线段最短，四边形 PQMN 周长的最小值为线段 QP + Q'P' 的长。
问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使 MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。
作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作 NM⊥m 于点 M 。
134《最短路径问题》教案
学科：数学授课教师：年级：八总第课时课题13.4：最短路径问题课时利用轴对称解决两点之间最短路径问题知识与技能通过问题解决培养学生转化问题能力教学目标过程与方法情感价值观数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣教学重点利用轴对称解决两点之间最短路径问题教学难点如何把问题转化为“两点之间，线段最短”教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程学生设计教学教学活动流程活动意图创设1、在平面内连接两点的所有线中线段最短。
思考引入情境2、什么是两点之间的距离？回答课题直线思考异侧异侧已知点 A 、B 分别是直线 l 异侧的两点，如何在 l分析两点两点上找到一个点，使得这个点到 A、B 两点的距离和最短？最短最短路径路径直线如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分直线同侧别为 AC 和 BD ，且 AC=BD ，若点 A 到河岸 CD 的中点的距离探究同侧两点为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，最短距离合作两点最短是多少米交流最短路径路径变式练习如图，∠ XOY内有一点 P，在射线 OX上找出一点 M，在射探究线 OY上找出一点 N，使 PM+MN+NP最短．合作巩固交流深化如图，正方形ABCD，AB边上有一点 E，AE=3，EB=1，在 AC上有一点 P，使 EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．合作交流应用练习应用提高提高提高如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？课堂利用轴对称解决两点之间最短路径问题小结作业P93 页：第 15 题布置教学反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《中考专题复习路径最短问题》教学设计
复习目标：
1、进一步复习勾股定理，轴对称、立体图形的侧面展开图的相关知识，形成形成知识网络。
2、针对最短路径的习题，能够举一反三，多题归一，形成解决最短路径问题的思考模型。
3、体会分类讨论、数形结合、转化的数学思想的应用。
一、问题引入，知识回顾（约3分钟）
教师：最短路径的问题是近几年的中考热点，我希望通过今天的复习，同学们能有方法
可以遵循。
1、展示课件1：2013东营中考
教师：会做的同学请举手，（数目不多），我相信通过今天的复习，同学们一定能解决
这个问题。
设计意图：通过中考真题，让学生感知中考，同时为本节课的平面图形、立体图形最短路径和做好铺垫。
2、展示课件2：要在河边修建一个水泵站分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可
使所用的水管最短？学生展示做法，其余学生补充。
设计意图：通过对村庄与河流问题的解决模型进行回顾，为解决问题做好铺垫。
二、跟踪训练一
展示课件3：，如图②，正方形边长为8，DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的
最小值为多少？
学生思考1分钟，学生上台展示、板书。
教师：为什么点B 、D 关于AC 对称？这利用了正方形的什么性质？根据学生的回答，
得出结论：对角线互相垂直平分的四边形都可以存在对称点。
变式训练，举一反三
1、如图①，菱形边长为4，E 是中点，P 为AC 上动点，∠DAB=60°,求PB+PE 的最
小值.
E
B D
A
C P
2、如图,若条件不变，BE 为1呢？
3、若E 、P 均为AB 、AC 上的动点，位置不确定呢？
设计意图：通过对村庄与河流问题模型的变式运用，让学生发现变化中的不变量，进一
步体会模型的应用方法及转化思想。
其中变式训练中问题1巩固了等边三角形的三线合一，直接转化为直角三角形。
问题2则在难度上又有了进一步的增强，突出了解决三角形中的计算问题需将一般三角形转化为直角三角形的思考方法，突出了数学中的转化思想。
而问题3则是变化最大之处，将做轴对称图形的思想与“垂线段最短”巧妙的融合，达到了学法的灵魂之巅。
由最短路径中“一动点两直线”延伸变化为“两动点一直线”的路径和最短问题。
出示变式训练、补偿提高求⊙O 中的最短路径
学生思考1分钟后上台展示。
教师引导总结：圆中常用的辅助线？求线段的长度一般
要转化为什么三角形？
展示课件跟踪训练二、链接中考
求抛物线对称轴上点P ，使△PBC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标 教师提问：除了联立函数表达式求交点坐标，还有什么方法？引导学生补充出相似三角形的做法
设计意图：跟踪训练二是在总结基础上的补偿提高，主要是最短路径在函数图像中的应
用，求三角形周长最短问题，是在路径和最短基础上又有新的变化，即运动路径中有一段是恒定不变的。
这需要学生能去伪存真，把定长去掉，进而转化村庄和河流的问题，也就是由问题模型延伸到有固定不变的量的问题，突出了模型中的变化以及变化中的不变的模型本质。
同时求点的坐标有两种方法，除了常用的函数解析式法，还强调了相似的运用，这是学生易疏忽的，借助还有不同的求法吗？借此突出函数与几何图形的关系以及一题多解的思想渗透。
该环节处理之后进行知识回顾一，主要是对平面图形中的最短路径进行总结，将知识点
系统总结，提升方法规律，强化注意点。
立体图形中的路径最短是本课的第二个问题，这为开头的情景问题做好铺垫，同时起到承上启下的作用。
出示知识回顾二
教师:立体图形中的路径最短问题,又该如何解决呢？
出示圆柱中A 点相对的B 点的路径最短问题爬行的最短路程是多少？(π的值取3).
教师：你能用手中的教具演示最短路径吗？学生展示后课件展出。
设计意图：立体图形中的最短路径，可能会出现找的位置不对的情形。
所以解决立体图
B A A
C x y B O
形的最短路径时我先让学生用手中的教具演示最短路径，目的是让学生会利用身边的教具进
行直观的运用，然后用幻灯片11将动画展开，目的是更加直观形象，加深学生的印象。
归
纳得出“立体图形必须要表面展开转化为平面图形”的方法思路。
平面图形路径和最短和立体图形表面展开完成后，就“问题解决”了。
解决壁虎爬行最短路径的问题就水到渠成。
出示开头问题
问题解决：（2013东营中考）如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短路径是什么？（容器厚度不计）。
处理方法：由学生画出出壁虎爬行最短路线，达成共识，然后解决。
让学生回顾总结本节课的内容，谈收获，训练学生的总结归纳能力。
从而完成本节课的
学习。
最后布置作业环节主要分：1、长方体中最短路径、2、圆锥中最短路径。
长方体中最短
路径需要学生分别计算出三种路线的长度，在具体的数据中比较最短路线。
通过学生汇总计
算数据变化下不同的路线及最短路线的长度，体会不同数据下最短路线的不同。
目的是让学
生课余巩固所学知识，并达到灵活运用的效果。
结束插入乐曲歌曲《雨的印记》，让听课学
生感受大自然的有大美而不言的意境！身心放松！
临沂第十一中学
任光红
2015年4月20日
2、圆锥中的最短路径.
7、如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是
3.长方体中的最短路径
长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体(如下图) ，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
总结分享二（分享收获、方法总结）
1、知识层面……
2、题型层面……
3、思想方法层面……
4、需要注意层面……。