机械设计基础7第七章其他齿轮传动
机械设计基础习题答案第7章
7-1何谓蜗杆传动的主平面？在主平面内，蜗杆传动的参数有何意义？答：通过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的中间平面称为主平面。
在主平面内，蜗杆蜗轮的啮合关系相当于齿条与齿轮的传动。
在蜗杆传动的设计计算中，均取主平面的参数和几何尺寸为基准，并沿用齿轮传动的计算关系。
主平面内蜗杆的参数为轴面参数，蜗轮的参数为端面参数。
7-2 何谓蜗杆传动的滑动速度？它对效率有何影响？答：蜗杆传动时，蜗杆齿面啮合点相对蜗轮齿面的啮合点间的相对速度称为蜗杆传动的滑动速度。
滑动速度越大，传动的效率越低。
7-3 蜗杆热平衡计算的前提条件是什么？但热平衡不满足要求时，可采取什么措施？答：热平衡计算的前提条件是：使蜗杆传动单位时间内产生的热量与散发热量相等。
当热平衡条件不满足时，可采取以下措施：1.在箱体外表面铸出或焊上散热片，以增加散热面积；2.在蜗杆轴端安装风扇，加速空气流动，提高散热能力；3.在箱体油池中安装蛇形冷却水管，利用循环水冷却；4.用压力喷油的方法进行循环润滑，并达到散热目的。
7-4答案略。
7-5图示为一提升机构传动简图，已知电动机轴的转向（图中n1）及重物的运行方向（图中v）。
试确定：（1）蜗杆的旋向；（2）各啮合点上的受力方向。
习题7-5图答：（1）蜗杆为右旋。
（2）各传动件的转动方向如图所示。
锥齿轮啮合处，圆周力的方向垂直向外；蜗轮处，根据所需蜗轮到转动方向，圆周力的方向与转向相同，如图；蜗轮所受圆周力的方向为蜗杆轴向力的反向，利用“左右手定则”，判断出蜗杆旋向为右旋。
7-6 图示为蜗杆－斜齿轮传动，为使轴Ⅱ上的轴向力抵消一部分，斜齿轮3的旋向应如何？画出蜗轮及斜齿轮3上轴向力的方向。
答：斜齿轮3的旋向应为左旋。
蜗轮轴向力水平向左，齿轮3的轴向力水平向右习题7-6答案本资料由百万课件网收集。
机械设计基础第七章
不完全齿轮机构
不完全齿轮机构：结构简单、匀速传动(始末除外)
锁止弧
外啮式
类型、特点和应用
不完全齿轮机构
齿轮齿条式 内啮式
类型、特点和应用
凸轮式间歇运动机构
构成:带曲线槽的圆柱凸轮1(主动), 带滚子3 的转盘2(从动),机架。 工作原理 : 当凸轮转动时，通过 其曲线沟槽拨动从动转盘上的 滚子 → 转盘作间歇运动，每次 转动角为2π/Z (Z为滚子数)→传 递交错轴间的分度运动 。
类型、特点和应用
槽轮机构
电影机的送片机构
六角车床刀架转位机构
冰激淋灌装
类型、特点和应用
是由普通齿轮机构转化而成的一种间歇运动机构。它与普
通齿轮的不同之处是轮齿不布满整个圆周，其主动轮上只有 一个或几个轮齿，并根据运动时间与停歇时间的要求，在从 动轮上有与主动轮轮齿相啮合的齿间。两轮轮缘上各有锁止 弧，在从动轮停歇期间，用来防止从动轮游动，并起定位作 用。
槽轮机构
内槽轮机构
槽轮上径向槽的开口是向着圆心的，主动构 件与从动槽轮转向相同。 与外槽轮机构相比，内槽轮机构传动较平稳 、停歇时间较短、所占空间小。
球面槽轮机构
是一种典型的空间槽轮机构，用于传递两垂直相 交轴的间歇运动机构。其从动槽轮是半球形，主 动构件的轴线与销的轴线都通过球心。当主动构 件连续转动时，球面槽轮得到间歇运动。 空间槽轮机构结构比较复杂，设计和制造难度较 大。
圆柱凸轮间歇运动机构
类型、特点和应用
凸轮式间歇运动机构
凸轮间歇运动机构的特点和应用
结构简单，运转可靠，无需专门定位装置； 通过选择合适的运动规律，减小动载荷，适于 高速运转； 精度要求高，加工复杂，安装调整困难； 主要用于高速分度机构中。
朱明zhubob机械设计基础第7.8.9章轮系习题答案
第七章1．轮系的分类依据是什么？轮系在运转过程中各轮几何轴线在空间的相对位置关系是否变动2．怎样计算定轴轮系的传动比？如何确定从动轮的转向？定轴轮系的传动比等于组成轮系的各对齿轮传动比的连乘积，也等于从动轮齿数的连乘积与主动轮齿数的连乘积之比。
对于首末两轮的轴线相平行的轮系，其转向关系用正、负号表示。
还可用画箭头的方法来确定齿轮的转向3．定轴轮系和周转轮系的区别有哪些?定轴轮系是指在轮系运转过程中，各个齿轮的轴线相对于机架的位置都是固定的。
周转轮系是指在轮系运转过程中，其中至少有1个齿轮轴线的位置不固定，而是绕着其他齿轮的固定轴线回转4．怎样求混合轮系的传动比？分解混合轮系的关键是什么？如何划分？在计算复合轮系时，首要的问题是必须正确地将轮系中的各组成部分加以划分。
而正确划分的关键是要把其中的周转轮系部分找出来。
周转轮系的特点是具有行星轮和行星架，所以要找到轮系中的行星轮，然后找出行星架（行星架往往是由轮系中具有其他功用的构件所兼任）。
每一行星架，连同行星架上的行星轮和行星轮相啮合的太阳轮就组成一个基本的周转轮系，当周转轮系一一找出之后，剩下的便是定轴轮系部分了5．轮系的设计应从哪些方面考虑?考虑机构的外廓尺寸、效率、重量、成本等。
根据工作要求和使用场合合理地设计对应的轮系。
6．如图7-32所示为一蜗杆传动的定轴轮系，已知蜗杆转速n 1 = 750 r/min ，z 1 = 3，z 2 = 60，z 3 = 18，z 4 = 27，z 5 = 20，z 6 = 50。
试用画箭头的方法确定z 6的转向，并计算其转速。
答：齿轮方向向左，n6=75r/min7．如图7-33示为一大传动比的减速器，z 1 = 100，z 2 = 101，z 2 = 100，z 3 = 99。
求：输入件H 对输出件1的传动比i H1。
图7-32 蜗杆传动的定轴轮系 图7-33 减速器 答：100001 H i8．如图7-34所示为卷扬机传动示意图，悬挂重物G 的钢丝绳绕在鼓轮5上，鼓轮5与蜗轮4连接在一起。
机械设计基础(机电类第三版)习题参考答案
机械设计基础（第3版）复习题参考答案第2章平面机构运动简图及自由度2-1 答：两构件之间直接接触并能保证一定形式的相对运动的连接称为运动副。
平面高副是点或线相接触，其接触部分的压强较高，易磨损。
平面低副是面接触，受载时压强较低，磨损较轻，也便于润滑。
2-2 答：机构具有确定相对运动的条件是：机构中的原动件数等于机构的自由度数。
2-3 答：计算机构的自由度时要处理好复合铰链、局部自由度、虚约束。
2-4 答：1. 虚约束是指机构中与其它约束重复而对机构运动不起新的限制作用的约束。
2. 局部自由度是指机构中某些构件的局部运动不影响其它构件的运动，对整个机构的自由度不产生影响，这种局部运动的自由度称为局部自由度。
3. 说虚约束是不存在的约束，局部自由度是不存在的自由度是不正确的，它们都是实实在在存在的。
2-5 答：机构中常出现虚约束，是因为能够改善机构中零件的受力，运动等状况。
为使虚约束不成为有害约束，必须要保证一定的几何条件，如同轴、平行、轨迹重合、对称等。
在制造和安装过程中，要保证构件具有足够的制造和安装精度。
2-6 答：1.在分析和研究机构的运动件性时，机构运动简图是必不可少的；2. 绘制机构运动简图时，应用规定的线条和符号表示构件和运动副，按比例绘图。
具体可按教材P14步骤（1）~（4）进行。
2-7 解：运动简图如下：2-8 答：1. F=3n－2P L－P H=3×3－2×4－0=1。
该机构的自由度数为1。
2.机构的运动简图如下：2-9答：（a）1.图（a）运动简图如下图；2.F=3n－2P L－P H=3×3－2×4－0=1，该机构的自由度数为1CB4（b）1.图（b）运动简图如下图；2. F=3n－2P L－P H =3×3－2×4－0=1。
该机构的自由度数为1。
2-10 答：（a）n=9 P L=13 P H=0F=3n－2P L－P H=3×9－2×13－0=1该机构需要一个原动件。
机械设计基础第七章齿轮传动
§7-7 直齿圆锥齿轮传动的强度计
算 方向： Ft——主反从同
Fr——指向各自的轴线
一、直F齿a—圆—锥指齿向轮大传端 动的受力分析
Fr1 Fa2
Fa1 Fr 2
Ft1=-Ft2
二、强度计算
1、齿面接触强度的计算 2、齿根弯曲强度的计算
P120
§7-8 蜗杆传动强度计算
一、蜗杆传动的失效形式、设计准则及常用材料
2T1 d1
Fa2
பைடு நூலகம்Ft 2
2T2 d2
Fa1
Fr1 Fr2 Ft2tg
力的方向和蜗轮转向的判别
蜗轮转向的判别 ： Fa1的反向即为蜗轮的角速度w2方向
圆周力
Ft——主反从 同
径向力
Fr——指向各自 的轴线
轴向力 Fa1——蜗杆左右
手螺旋定则
三、蜗杆传动强度计算
1、蜗轮齿面接触强度的计算 2、蜗轮齿根弯曲强度的计算
（2）铸钢 用于尺寸较大齿轮，需正火和退火以消除 铸造应力。 强度稍低 。
2、铸铁 脆、机械强度，抗冲击和耐磨性较差， 但抗胶合和点蚀能力较强，用于工作平 稳、低速和小功率场合。
常用铸铁：灰铸铁；球墨铸铁（有较好
的机械性能和耐磨性 ）
3、非金属材料——工程塑料（ABS、尼 龙）、夹布胶木
适于高速、轻载和精度不高的传动中， 特点是噪音较低，无需润滑；
四、蜗杆传动热平衡计算
1、原因 效率低，发热大，温升高，润滑油粘度 下降润滑油在齿面间被稀释，加剧磨损 和胶合。
2、冷却措施 加散热片以增大散热面积；风扇；
冷却水管；循环油冷却
§7-9 齿轮、蜗杆和蜗轮的构造 一、结构
1、齿轮轴 2、实体式 3、辐板式(孔板式) 4、轮辐式 5、镶圈齿轮
机械设计基础讲义第七章齿轮传动
机械设计基础讲义第七章齿轮传动第7章齿轮传动基本要求：了解齿轮机构的类型和应⽤、齿廓啮合基本定律；掌握渐开线直齿圆柱齿轮的啮特性、正确啮合条件、连续传动条件等；熟悉渐开线齿轮各部分的名称、基本参数及⼏何尺⼨计算；重点：难点: 学时：§ 7-1 121 ⼈字齿轮传动斜齿圆柱齿轮传动齿轮与齿条传动内啮合齿轮传动外啮合齿轮传动）直齿圆柱齿轮2、空间齿轮机构蜗杆传动齿轮传动）交错轴齿轮传动（螺旋曲齿圆锥齿轮传动斜齿圆锥齿轮传动直齿圆锥齿轮传动传动）圆锥齿轮传动（伞齿轮§7-2 齿廓实现定传动⽐的条件∵ 21p p v v =⼜∴ C O v p 111ω= C O v p 222ω=∴ i 12=ω1/ω2=C O C O 12/上式表明，互相啮合的⼀对齿轮，在任⼀位置时的传动⽐，都与其连⼼线O 1O 2被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反⽐。
这⼀定律称为齿廓啮合的基本定律。
过两齿廓啮合点所作的齿廓公法线与两轮连⼼线O 1O 2的交点C 称为啮合节点（简称节点）。
上式还表明，要使两齿轮作定传动⽐传动，则两齿廓必须满⾜的条件是：不论两齿廓在何位置接触，过接触点所作的两齿廓公法线必须与两齿轮的连⼼线相交于⼀定点。
当两齿轮作定传动⽐传动时，节点C 在轮1和轮2的运动平⾯上的轨迹分别是以O 1、O 2为圆⼼，以O 1 C 、O 2 C 为半径的两个圆，此圆称为节圆。
并且两节圆作纯滚动。
若两齿轮作变传动⽐传动时，节点C 在轮1和轮2的运动平⾯上的轨迹分别是两条⾮圆曲线，此曲线称为节线。
§7-3 渐开线的形成及其特性⼀、渐开线的形成1）基圆，半径⽤r b 表⽰2）展⾓，⽤θk 表⽰⼆、渐开线的特性1）?=AB BK2）渐开线上任⼀点的法线恒与基圆相切。
切点B 是点K 的曲率中⼼，⽽线段BK 是渐开线在点K 的曲率半径。
3）kb K r r OK OB ==αcos 4）渐开线的形状取决于基圆⼤⼩。
机械设计基础齿轮传动
材料与热处理对齿轮性能的影响
对齿轮的承载能力的影响
不同材料和热处理方法会影响齿轮的 硬度、韧性等力学性能，从而影响其 承载能力。
对齿轮的耐磨性的影响
材料和热处理方法会影响齿轮表面的 硬度、粗糙度等物理性能，从而影响 其耐磨性。
对齿轮的抗疲劳性能的影响
材料和热处理方法会影响齿轮的内部 组织结构和残余应力分布，从而影响 其抗疲劳性能。
采用先进的测量技术
采用先进的测量仪器和测量方法，提高齿轮 各项公差的检测精度和效率。
05
齿轮的润滑与密封
齿轮润滑的作用与要求
01
02
03
04
减摩抗磨
降低齿轮传动过程中的摩擦系 数，减少磨损，提高传动效率
。
冷却降温
将齿轮传动过程中产生的热量 带走，防止齿轮过热变形。
清洗清洁
将齿轮表面的杂质和氧化物清 洗干净，保持齿轮表面光洁。
封等。
06
齿轮传动的失效形式与设计准则
齿轮传动的失效形式及其原因
轮齿折断
由于过载、冲击或材料疲劳等原因，导 致轮齿在应力作用下发生断裂。
齿面点蚀
由于交变应力作用，齿面出现疲劳裂 纹并扩展，最终导致小块金属剥落形
成点蚀。
齿面磨损
由于润滑不良、颗粒污染或接触应力 过大等原因，导致齿面材料逐渐损失 。
对齿轮的耐蚀性的影响
不同材料和热处理方法会影响齿轮的 化学稳定性和耐蚀性，从而影响其在 腐蚀环境下的使用寿命。
04
齿轮的精度与公差
齿轮精度的基本概念
齿轮精度
是指齿轮实际参数与理论参数相符合的程度，包括齿轮的尺寸精度、形状精度和位置精 度。
齿轮精度等级
根据齿轮使用要求的不同，将齿轮的各项公差分为不同的等级，以满足不同传动性能的 要求。
机械设计基础第7章 轮系
a,b齿轮选择原则
1. 2.
3.
4.
已知转速的齿轮 固定的齿轮（n=0） 需要求该齿轮转速的齿轮 轮系之间有关联的齿轮（复合轮系） a,b,H轴线平行（周转轮系）
17
例题 在图所示的差动轮系中，已知各轮的齿数为：z1 =30，z2 =25， z2’=20， z3=75。齿轮1的转速为210r/min(蓝箭头向上)，齿轮3的转速为 54r/min(蓝箭头向下)，求系杆转速 的大小和方向。 解：将系杆视为固定，画出转化轮系中各轮的转向，如图中红 线箭头所示(红线箭头不是齿轮真实转向，只表示假想的转 化轮系中的齿轮转向，二者不可混淆)。因1、3两轮红线箭 头相反，因此 应取符号“-”，根据公式得：
§7-3 周转轮系传动比计算 19
§7-4 复合轮系传动比计算
除了前面介绍的定轴轮系和周转轮系 以外，机械中还经常用到复合轮系。复合轮系常以两 种方式构成： ① 将定轴轮系与基本周转轮系组合； ② 由几个基本周转轮系经串联或并联而成。 由于整个复合轮系不可能转化成为一个 定轴轮系，所以不能只用一个公式来求解。计算复合 轮系时，首先必须将各个基本周转轮系和定轴轮系区 分开来，然后分别列出计算这些轮系的方程式，最后 联立解出所要求的传动比。 正确区分各个轮系的关键在于找出各个基本周转 轮系。找基本周转轮系的一般方法是：先找出行星轮， 即找出那些几何轴线绕另一齿轮的几何轴线转动的齿 轮；支持行星轮运动的那个构件就是行星架；几何轴 线与行星架的回转轴线相重合，且直接与行星轮相啮 合的定轴齿轮就是中心轮。这组行星轮、行星架、中 心轮构成一个基本周转轮系。
根据题意，齿轮1、3的转向相反，若假设n1为正，则应 将n3以负值带入上式，
解得nH =10r/min。因nH 为正号，可知nH 的转向和n1 相同。 在已知n1、nH或n3、nH的情况下，利用公式还可容易地算 出行星齿轮2的转速 。
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O2
球面渐开线
发生面
公共锥顶 O1
基圆锥
3.背锥及当量齿轮
r
过大端作母线与分度圆锥母线垂直 的圆锥，将球面齿往该圆锥上投影，
R
δ1
则球面齿形与锥面上的投影非常接 近。锥面可以展开，故用锥面上的
e e’
p
齿形代替球面齿。该圆锥称为背锥。
f δ1
f’
演示纸片模型。
rv
将背锥展开得扇形齿轮，补全，得
O1
阿基米德螺线 渐开线
基圆
γ
阿基米德蜗杆
渐开线蜗杆
圆弧齿圆柱蜗杆
环面蜗杆 蜗杆
3. 正确啮合条件
中间平面：过蜗杆轴线垂直于蜗轮轴线。
在此平面内，蜗轮蜗杆相当于齿轮齿条啮合。
正确啮合条件是中间平面内参数分别相等：
mt2=mx1=m ，αt1 =αx1=α
蜗轮蜗杆轮齿旋向相同，
γ1
∴γ1＝β2
β1
∵∑＝β1+β2
当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的
球面齿形相当，两者m和α相同。
当量齿轮的参数：
rv=O1 P = r /cosδ=zm/2 cosδ
rv
又 rv=zvm/2
得：zv＝z/cosδ
因球面不能展开，给锥齿轮的设计和制造带来困难，不 得已用近似方法研究其齿廓曲线。
引入当量齿轮的概念后，一对锥齿轮的啮合传动问题就转化为 一对圆柱直齿轮啮合传动。故可直接引用直齿轮的结论：
… 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3
3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…
R－锥距 δ－分度圆锥角。
δa－齿顶圆锥角。 B－齿宽
d－分度圆 da－齿顶圆 df－齿根圆
分度圆直径：
r2=Rsinδ2 , r1=Rsinδ1 ,
正确啮合条件： m1=m2 , α1=α2 重合度：ε =[Zv1(tgαa1-tgα’)+Zv2(tgαa2-tgα’)]/2π 不根切最少齿数：zvmin=17, z=17cosδ ：
δ= 45° z=12
4. 几何参数和尺寸计算
大端参数m取标准值(P326) 、α=20 °
锥齿轮模数（GB12368-90） mm
16, 20, 25, 31.5, 40 1.5, 3, 3.5, 4.5, 5.5 6, 7, 12, 14
3)导程角(螺旋升角)： 将分度圆柱展开得：
tgγ1=l/πd1
= z1 px1/πd1 = mz1/d1
β1 γ1
d
γ1
πd1
px
1
l
4)蜗杆直径系数q 加工时滚刀直径等参数与蜗杆分度圆直径等参数相同，为了 限制滚刀的数量，国标规定分度圆直径只能取标准值，并与 模数相配。
螺旋升角
＝90°γ1+β1
＝90°
中间平面
4. 主要参数及几何尺寸
1)压力角:α=20° 动力传动，推荐：α=25° 分度传动，推荐用α=15°。
2)模数。取标准值，与齿轮模数系列不同。见P346表10－6。
表10－6 蜗杆模数m值 GB10088-88
第一系列 第二系列
1, 1.25, 1.6, 2, 2.5 , 3.15, 4, 5, 6.3 8 10, 12.5,
第二节 蜗杆传动
作用：传递两交错轴之间的运动和动力，∑＝90°。
形成：在交错轴斜齿轮中，当小齿轮的齿数很少（如z1=1） 而且β1很大时，轮齿在圆柱体上构成多圈完整的螺旋，
小齿轮称为蜗杆，而啮合件称为蜗轮。
蜗杆与螺旋相似有左旋右旋之分，常 用为右旋。
蜗轮
蜗杆头数：螺旋数z1（从端面数）。
ω2
改进措施：将刀具做成蜗杆状，用范成
d1=2Rsinδ1 , d2=2Rsinδ2
R B
δa2
传动比： i12＝ω1 /ω2 ＝z2 /z1
＝d2 /d1 ＝sinδ2 /sinδ1 当∑＝90°时， δ2 +δ1 ＝90°
i12 ＝tgδ2 ＝ctgδ1
θf δ2 δ1
δa1
d1
df 2
hhf a
d2 da2
δ1
r1
R δ2
∑=90°
增速用： 1/5≤i21≤1/15 4)当γ1<φv 时，反行程具有自锁性〔起重机用〕
缺点：
相对滑动速度大，摩擦损耗大，易发热， 效率低。蜗轮用耐磨材料做，成本高。
vp 1 vp1 p2
P vp2
2. 类型
阿基米德蜗杆－端面齿形为阿基米德螺线
圆柱形蜗杆 渐开线蜗杆－端面齿形为渐开线。
蜗杆 类型
环面蜗杆马上链接 圆弧齿圆柱蜗杆－轴剖面内的齿廓为凹圆弧。 锥蜗杆
r2
设计时，如果给定i12，据此可确定δ。
GB12369-90规定，多采用等顶隙圆锥齿轮传动。
5. 变位修正 为了改善传动性能，也可以采用变位修正的方法加工圆锥齿轮。 工程上多采用等变位修正，其计算按照当量齿轮进行。采用等 变位修正时 的齿数条件如下：
Zv1+Zv2=2Zvmin
不根切最少齿数：zvmin=17, zv=17cosδ ：
第七章 其他齿轮传动
第一节 直齿锥齿轮传动
1.应用、特点和分类 作用：传递两相交轴之间的运动和动力。 结构特点：轮齿分布在圆锥外表面上，轮齿大小逐渐由大变小。
为了计算和测量的方便，取大端参数(如m)为标准值。 名称变化：圆柱→圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。
δ2 =90° 冠轮
∑
δ1
分度圆锥角δ。 轴交角∑：根据需要确定
相当于齿轮齿条啮合
轴交角∑：根据需要确定 ，常用∑=90°
∑=90°
圆锥齿 轮类型
按齿形分有：直齿、斜齿、曲齿(圆弧齿、螺旋齿)
直齿
斜齿
曲齿
圆锥齿 轮类型
按齿形分有：直齿、斜齿、曲齿(圆弧齿、螺旋齿) 按啮合方式分有：外啮合、内啮合、平面啮合 按轮齿高度分有：渐缩齿、等高齿、等顶隙齿
外啮合
内啮合
法切制蜗轮，所得蜗轮蜗杆为线接触。
2 蜗杆
点接触
ω1 1
优点： 1) 传动平稳，振动、冲击和噪音很小。蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
2) 线接触，可传递较大的动力。蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿
3) 单级可获得较大的传动比，结构紧凑。因为蜗杆齿数通常为1～4 减速用： 5≤i12≤70，常用：15≤i12≤50。
定义： q=d1/mq为蜗杆特性系数。匹配系列见表10－7 P346
渐缩齿
等高齿
平面啮合 等顶隙齿
2. 理论齿廓
由于两锥齿轮作定点运动，只有到定点距离相等的点 （球面上的点）才能啮合，故共轭齿廓分布在球面上。
球面渐开线：
一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时，平面上任一点的轨迹，到
锥顶距离相等，形成一条球面渐开线。圆平面称发生面，圆锥
称基圆锥。
齿廓曲面： 圆平面上某一条半径上所有点的轨迹。演示模型