bernstein基函数
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》范文
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》篇一一、引言随着科学技术的发展，变分数阶微分方程在物理、工程、生物等领域的应用越来越广泛。
然而，由于变分数阶微分方程的复杂性，其求解变得非常困难。
近年来，Bernstein多项式作为一种有效的数值逼近方法，被广泛应用于各类微分方程的求解。
本文旨在利用Bernstein多项式求解五类变分数阶微分方程的数值解，以期为相关领域的研究提供参考。
二、Bernstein多项式简介Bernstein多项式是一种以Bernstein基函数为基底的多项式，具有许多优良的性质，如局部支撑性、非负性等。
由于其具有良好的逼近性能，被广泛应用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域。
三、变分数阶微分方程的描述变分数阶微分方程是一类具有分数阶导数的微分方程，其阶数可以是变量。
这类方程在描述复杂系统时具有很高的精度和灵活性。
然而，由于分数阶导数的非局部性质，使得这类方程的求解变得十分困难。
四、基于Bernstein多项式的变分数阶微分方程数值解法针对五类变分数阶微分方程，我们采用Bernstein多项式进行数值求解。
具体步骤如下：1. 将变分数阶微分方程转化为等价的积分方程；2. 利用Bernstein基函数的性质，将积分方程转化为关于Bernstein系数的线性方程组；3. 通过求解线性方程组，得到Bernstein系数的值；4. 利用得到的Bernstein系数，通过Bernstein反演公式，求得原函数的近似解。
五、五类变分数阶微分方程的数值解法实例以五类典型的变分数阶微分方程为例，我们分别采用上述方法进行求解。
通过比较数值解与真实解的误差，验证了该方法的有效性和准确性。
实验结果表明，基于Bernstein多项式的数值解法能够有效地求解变分数阶微分方程，且具有较高的精度。
六、结论本文提出了基于Bernstein多项式的变分数阶微分方程的数值解法。
通过五类典型方程的求解实例，验证了该方法的有效性和准确性。
基于Bernstein基函数的石油价格预测
图4
真实值与拟合值的残差比图
图5
残差与平均数比图
图2
原始数据走势图
根据以上分析， 设 m = 27 ， γ1 = 97． 5% ， γ2 = 2． 5% 。 按照 以上模型进行移动模拟预测 ， 计算 ζ= X（ t） － X（ t） × 100 % X（ t）
∧
由于以上模型是在等间隔时间的基础上建立的 ， 所以令 并以此为依据对原始数据进行筛选 。 在 时间间隔为一个月， 预测中， 取控制点个数为 27 个， 即令 m = 27 ， 得到拟合曲线Байду номын сангаас 如图 3 所示。
m j B j， 其中， m （ t） = C j t （ 1 － t ） m－j ∧ m
X （ t ） = ∑ b j B j， m （ t ） （ t ） bj ， j = 0， 1 …， m 为控制点； （ t） 为干扰项。 其中， X ， 首先对 参数化 设所选用的数据资料的时间间隔是 相等的 。 设 △ t = μ i + 1 － μ i = C（ C 为常数 ） 且 μ i 为整数序列 ， 再将其参数化序列规范化后 ， 得 t i = μ i / n， i = 0， 1 …， n
→ →
t， j = 0， 1， …， m
X （ t ） = ∑ b j B j， 0 ≤t≤1 ， m＜n 即， m （ t） ， 由此， 可建立 Bernstein 基函数模型为
·79·
图1
预测拟合函数走势示意图
→
1 / n 个单位为垂 如图 1 所示， 我们可以得出以 λ 为方向， 直投影长度的点为下一个预测值 。 四、 实例分析 根据上述模型， 使用纽约商品交易所 WTI 从 2000 年 5 月到 2011 年 3 月的数据， 用以检验模型的预测效果 。数据分 布如图 2 所示。
南通大学计科院胡彬老师论文
计算机图形学课程报告作者：专业：学号：完成日期：目录一Bezier简介 (3)1.1历史演变 (3)1.2研究背景和意义 (3)二Bezier知识概论 (4)2.1Bezier曲线 (4)2.1.1Bezier曲线的定义和性质 (4)2.1.2Bernstein基函数的性质 (5)2.2.3Bezier曲线的性质 (7)2.1.4 Bezier曲线的几何作图法及其应用 (8)2.2Bezier曲线算法 (8)2.2.1Bezier曲线的递归分割算法 (8)2.3Bezier曲线的拼接 (9)2.3.1Bezier曲线的升阶与降阶 (11)2.4Bezier曲线中的等周问题 (14)2.4.1等周问题的概述 (14)2.4.2等周问题的一些总结 (14)三Bezier应用和发展 (14)3.1应用 (14)3.2发展 (15)3.2.1求解最优化问题的常用方法 (16)3.2.2全局最优化方面的发展 (16)四总结与致谢 (16)本文总结 (16)致谢 (17)参考文献 (17)一Bezier简介1.1历史演变曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。
1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD 系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。
B样条基础解析
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边 形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形 状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点 处的切线方向。
一、 Bé zier曲线的定义和性质
1. 定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,…,n )，则Bé zier曲线可定 义为： n P(t) Pi B i,n (t), t 0,1
i 0
其中，Pi(i=0,1, …,n)构成该Bé zier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数： n! i i B i,n (t) Cn t (1 t)n i t i (1 t)n i , (i 0,1,..., n) (n i )!i ! 其中，00=1，0！=1。 控制顶点 特征多边形
1 ti t ti 1 N i ,1 (t ) 0 Otherwise
t ti ti k t N i ,k (t ) N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k 1 ti ti k ti 1
and t0 , t1 ,, tk 1 , tk ,, tn , tn1 ,, tn k 1 , tn k
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
(2) 端点性质
1, i=0 Bi,n(0)= 1, i=n Bi,n(1)=
0, i≠0
0, i≠n
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
B
i 0
n
bernstein基函数
bernstein基函数Bernstein基函数是一种用于表示多项式曲线的基函数系列。
它由Sergei Natanovich Bernstein在20世纪提出，并在数值分析中得到广泛应用。
Bernstein基函数由二项式系数和Bernstein多项式组成。
对于给定的度数n，Bernstein基函数包括n+1个多项式，并且对于每个多项式，其值在[0,1]之间变化。
基函数的数学表示形式如下所示：B_{i,n}(t)=C(n,i)t^i(1-t)^{n-i}其中，C(n,i)为二项式系数，表示为：C(n,i)=\frac{n!}{i!(n-i)!}Bernstein基函数的主要特点是非负性、局部性和分界性。
非负性指的是基函数始终大于等于零，即B_{i,n}(t) \geq 0。
局部性指的是Bernstein基函数只在一小段区间上有显著的非零值。
分界性是指基函数在[0,1]的定义域上形成一个分界，每个基函数在不同的区间上起到作用。
Bernstein基函数的优点在于它们构成了一个完备的基函数系列，即任何n次多项式曲线都可以被这些基函数线性组合表示。
此外，它们具有简单的计算形式和可控的形状。
通过改变系数，可以调整曲线的形状和弯曲程度，实现对曲线的精细控制。
Bernstein基函数在计算机图形学、数值逼近和曲线拟合等领域中得到广泛应用。
在计算机图形学中，Bernstein基函数被用于表示和渲染三次和高阶贝塞尔曲线。
在数值逼近中，它们可以用于近似函数和数据，提供一种灵活的拟合方法。
在曲线拟合中，Bernstein基函数可以通过最小二乘法来拟合曲线，并找到最佳的逼近多项式。
然而，Bernstein基函数也有一些限制。
由于基函数在整个定义域上的正态分布，高阶基函数可能在一些区间上振荡，导致曲线的不稳定性。
此外，当需要表示复杂的曲线形状时，需要更多的基函数，从而增加了计算的复杂性和存储需求。
为了解决这些问题，研究人员提出了改进和扩展的Bernstein基函数方法。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用一、导言- 简述等距逼近理论以及带权Bernstein基在其中的应用- 阐述对偶基函数的概念及其在等距逼近中的重要性二、带权Bernstein基- 理论与定义- 带权Bernstein基的性质- 与传统Bernstein基的对比三、对偶基函数- 定义与性质- 对偶基函数的求解方法- 与带权Bernstein基的关系四、带权等距逼近中的应用- 带权等距逼近的问题描述- 基于带权Bernstein基的等距逼近方法- 对偶基函数的应用五、实验结果与分析- 数值模拟实验设计及数据分析- 对比实验结果，展示带权Bernstein基与传统方法之间的差异- 对偶基函数的效果分析六、结论与展望- 总结带权Bernstein基在等距逼近中的应用- 对对偶基函数的优化提出展望- 探讨带权Bernstein基在其他领域的应用前景导言数学和计算机科学中，等距逼近是一种研究函数逼近过程的重要方法。
其思想是通过将一个连续函数逼近为一组给定基函数的线性组合，这些基函数通常是由多项式形成的。
Bernstein基是广泛应用于多项式逼近和拟合问题的一种基函数形式，其通过给定区间上的多项式系数来逼近任何连续函数。
带权Bernstein基在此基础上扩展，通过对每个基函数引入权重来更加精确地逼近函数。
本文主要研究带权Bernstein基在等距逼近中的应用，并引入对偶基函数的概念，探索其在等距逼近中的重要性。
在本文中，我们将首先讨论带权Bernstein基的理论和定义，然后探究对偶基函数的概念及其在等距逼近中的作用。
接着我们将详细介绍在带权等距逼近问题中使用带权Bernstein基和对偶基函数的方法，最后通过数值模拟实验来展示带权Bernstein基与传统方法在等距逼近过程中的差异。
通过这些研究，我们希望能够为多项式逼近和拟合问题提供更加准确、高效的解决方案。
这些方法越来越广泛地应用于计算机图形学、信号处理、信息检索、神经网络等领域，具有重要的理论和现实意义。
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用
带 权 Ｂ ｒ ｓ ｉ 的对 偶基 函数在 等 距 逼 近 中的应 用 ｅｎｔ ｎ基 ｅ
张 莉” 檀结庆 ， 军” 董致远” ， 时 ，
”（ 合肥 工 业 大 学 数学 学 院 合肥 ２００ ） ３ ０ ９ 。（ 合肥 工 业 大 学 计算 机 学 院 合肥 ２０ ０ ） ３ ０ ９
Ｂｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｉ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｈ ｅ ｓ — ｑ ａ ｅ ｐ ｒ ｘ ｍ ａ ｉｎ ｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ａ ｉｆ ｉ ｇ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｇ ｒ ｓ ｅ ｎ ｂ ｓｓ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ａ ｔｓ ｕ ｒ ｓ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏ ｙ ｏ ａｓ ｓ ｔｓ ｙ ｎ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ｏ ｎ
第 ２ ３卷 第 １ 期 ２
２１ ０ １年 １ ２月
计算 机辅 助设 计与 图形 学学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｏ ｕ ｅ— ｄ ｄＤｅ ｉｎ ＆ Ｃ ｍｐ ｔｒＧｒ ｐ ｉｓ ｏ ｒ ａ ｍｐ ｔｒ Ａｉｅ ｓｇ ｏ ｏ ｕｅ ａ ｈｃ
Ｖｏ Ｉ ３ Ｎｏ １ Ｉ２ ． ２
（ ｇ ｚｉ １ ． ｏ ） ｈ ｄ ｌ＠ ２６ ｃ ｒ ｎ
摘 要 ：利 用 带 权 Ｂ ｒｓｅｎ基 的 对 偶 基 函 数 ， 出 了 Ｂ ｒｓｅ ｅｎｔｉ 给 ｅｎ ｔｉ 的 对 偶 泛 函 和 平 方 可 积 函数 的 最 小 二 乘 逼 近 算 ｎ基 法 ， 考 虑 了满 足 端 点 高 阶 约 束 条 件 时 的 情 形 ． 该 算 法 应 用 于 Ｂ ｚ ｒ曲 线 等 距 曲 线 多 项 式 逼 近 算 法 中 ， 仅 可 以 并 将 ６ｉ ｅ 不
Hale Waihona Puke 。 （ ｏ ｌｇ ｏ ｕ ｅ ｎ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｃ ｌ ｅ ｆ Ｃ ｍｐ ｔｒａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔ ，ＨＰ ｅ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｅ ｏ ｏ ｆ ｉ ｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ，Ｈ ｔ
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Bernstein基函数是一类二次卷积样条，它们能够很好地近似多元函数。它们可以用来建立一个样条曲线或曲面，并提供一种简单、有效的方法来表示这些曲线或曲面。
Ber得到。它们的形式如下：
B_{i,n}(t) = {n \choose i}t^i(1-t)^{n-i}
其中，i = 0, 1, 2, …, n，t∈[0,1]。
Bernstein基函数的一个重要性质是它们在t=0和t=1处取得值1，而在其它地方取值为0。这使得它们能够很好地插入数据点，并使插值后的曲线在数据点处具有C1连续性。