数学物理方法考试试题3
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设cos z i =，则（ ）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（ ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（ ）A ． 3阶极点B ．4阶极点C ．5阶极点D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)u x y =（ ）A.(cos sin )ye y y x y -) B.(cos sin )xe x y x y - C.(cos sin )x e y y y y -D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n n z )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（ ）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
数学物理方法
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
数学物理法练习题含答案及解析
数学物理法练习题含答案及解析一、数学物理法1．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】 【分析】 【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③ 由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得2cos m gB q R θ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min 2cos m gB q R θ=⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得sin cos gRv θθ=⑨2．如右图所示，一位重600N 的演员，悬挂在绳上．若AO 绳与水平方向的夹角为37︒，BO 绳水平，则AO 、BO 两绳受到的力各为多大？若B 点位置往上移动，则BO 绳的拉力如何变化？(孩子：你可能需要用到的三角函数有：3375sin ︒=，4cos375︒=，3374tan ︒=，4373cot ︒=)【答案】AO 绳的拉力为1000N ，BO 绳的拉力为800N ，OB 绳的拉力先减小后增大. 【解析】试题分析：把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力，AO 绳上受到的拉力等于沿着AO 绳方向的分力，BO 绳上受到的拉力等于沿着BO 绳方向的分力．根据平衡条件进行分析即可求解．把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图甲所示由平衡条件得：AO 绳上受到的拉力为21000sin 37OA GF F N ===oBO 绳上受到的拉力为1cot 37800OB F F G N ===o若B 点上移，人的拉力大小和方向一定不变，利用力的分解方法作出力的平行四边形，如图乙所示：由上图可判断出AO 绳上的拉力一直在减小、BO 绳上的拉力先减小后增大．3．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1sin 42mg θ 【解析】 【分析】（1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解．（2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：Fcos mgsin f αθ＝＋N Fsin F mgcos αθ＋＝N f F μ＝联立解得：()2mgsin F cos θθα=-则当＝αθ时，F 有最小值，2min F mgsin ＝θ(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F 的水平分力，即()f Fcos αθ='+当＝αθ时，12242f mgsin cos mgsin θθθ='=【点睛】木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含动摩擦因数的值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，求出外力F的表达式，讨论F取最小值的条件．4．如图所示，长为3l的不可伸长的轻绳，穿过一长为l的竖直轻质细管，两端拴着质量分别为m、2m的小球A和小物块B，开始时B先放在细管正下方的水平地面上．手握细管轻轻摇动一段时间后，B对地面的压力恰好为零，A在水平面内做匀速圆周运动．已知重力加速度为g，不计一切阻力．（1）求A做匀速圆周运动时绳与竖直方向夹角θ；（2）求摇动细管过程中手所做的功；（3）轻摇细管可使B在管口下的任意位置处于平衡，当B在某一位置平衡时，管内一触发装置使绳断开，求A做平抛运动的最大水平距离．【答案】（1）θ=45°；（2）2(1)4mgl-；(3) 2l。
《数学物理方法》课程考试试题
《数学物理方法》课程考试试题- 学年 第 学期 班级时量： 100分钟，总分 100 分，考试形式： 闭卷1．求矢量场222A xy x yj zy k =++的矢量线方程并计算▽×A （5分) 2．求数量场22223326U x y z xy x y z =++++--在点O(o,o,o)与A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上的梯度为0.？（5分)3．证明矢量场(2)(42)(26)A x y i y x z j y z k =+++++-为调和场，并求其调和函数（10分)4．已知332cos sin (,,),r A r e e divA r r θθθθϕ=+求 （10分) 5．计算i i (5分)6．计算积分24221,,,12i i f z dz x t y t t ++==≤≤积分路径沿抛物线其中（10分) 7．在010()sin,1z f z z ==-的邻域上,把函数展开为泰勒级数,并指出它的收敛半径（10分) 8、用留数定理计算积分中2331,1(1)l z z dz l z z -+=-⎰其中是包围的任意简单闭曲线（10分)9．求矩形脉冲 0(/2)()()220()2t f t H t t ττττ⎧⎪<-⎪⎪=-<<⎨⎪⎪>⎪⎩ 的频谱（10分) 10．两端固定的长为l 的弦，用细棒敲击弦上00,x x x x ==点亦即在点施加冲力，设其冲量为I ，写出定解条件（10分)11．用分离变数法求解定解问题20(0)(0,)(,)0(,0)0,(,0)()(0)tt tt x t a U x l t U l t U x U x x x l ϕ-=<<====<<U U（15分)。
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题1. 求解方程(1) 求解方程$3x^2 + 4x - 7 = 0$；(2) 求解方程$\sin x + \cos x = 1$。
2. 矢量运算已知矢量$\boldsymbol{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$，$\boldsymbol{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$，求$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。
3. 微积分计算积分$\int_0^1 x^2\mathrm{d}x$。
4. 偏微分方程求解偏微分方程$u_t = \alpha^2 u_{xx}$，其中$\alpha$为常数。
5. 线性代数设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
6. 复变函数计算函数$f(z) = \text{Re}(z^2)$的柯西黎曼方程，并判断$f(z)$在何种条件下解析。
7. 量子力学利用定态薛定谔方程，求一维谐振子的能量本征值和本征函数。
8. 物理学基础推导光的双缝干涉公式$I = I_0 \cos^2$$\left(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\right)$，并解释各符号的含义。
9. 统计力学计算理想气体的内能$U$与温度$T$的关系式，并讨论其在高温极限下的行为。
通过以上试题，考生可以全面复习数学物理方法的基础知识和解题技巧，提高应试水平，取得优异成绩。
祝各位考生考试顺利！。
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课程试卷库测试试题（编号：3 ）
一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”，共5题，每题4分） 1、在复数领域，函数Z a -是一个多值函数。
√
2、若函数()f z 在闭单通区域B 内存在奇点，则一般来讲，()f z 沿B 境界线的积分不等于零。
√
3、若()f x 的傅里叶变换像函数是()F ω，则0()
i x
e
f x ω的像函数是0()F ωω-。
√
4、复变函数
2
1
()(2)f z Z =
+在上半平面的二阶极点是2。
×
5、一端固定，另一端自由的均匀细杆的纵振动，其边界条件属于第一类齐次边界条件。
× 二、填空题（共5题，每题4分）
1、c osix 的模为
2
x
x
e e
chx
--=
2、在
00
Z =，s inZ
Z 的洛朗级数为
2
4
1113!5!
z z -
+
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3、c t
e os t ω-的拉普拉斯变换函数为(
)2
2
1
1p p ω
+++
4、三维扩散方程可写为
2
t u a u -∆=
5、扩散流强度q 的物理意义是单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数。
三、选择题（共5题，每题4分）
1、复变函数的回路积分2
1
cos Z Z dZ
Z
=⎰
的积分值为3
⑴ i ， ⑵ i -， ⑶ 0， ⑷ 2i π。
2、复变函数
2
()(1)(2)Z
f z Z Z =
--的极点和留数问题，正确的说法是：1
⑴ 单极点1，留数1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑵ 二阶极点1，留数为1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑶ 一阶极点1，留数为1- ；二阶极点2，留数为1-；，
⑷ 一阶极点1，留数为1-；二阶极点2，留数为1；
3、函数s t
e h t λω的拉普拉斯像函数为：2
⑴ 22()p ωλω-+， ⑵ 22
()p ω
λω--，
⑶ 2
2
()p p λλω
--+， ⑷ 22
()p p λ
λω---。
4、求解二维拉普拉斯方程2
2
2
22
110
u
u
u
ρ
ρρ
ρϕ
∂∂∂+
+
=∂∂∂，令(.)()()u R ρϕρϕ
=Φ，要求()(2)()()R R ρϕπρϕΦ+=Φ，则此条件属于4
⑴ 第一类边界条件， ⑵ 第二类边界条件， ⑶ 第三类边界条件， ⑷ 自然周期条件。
5、
00
x =是常微分方程
2
y y ω''+=的1
⑴ 常点 ， ⑵ 正则奇点，⑶ 即非常点也非正则奇点，⑷ 说不清。
四、计算题（共2题，每题10分）
1、计算回路积分
2
1
1s 2Z ZdZ in Z
=-⎰
解：首先求函数的奇点 2
21
c 2s 2
z z os z
in z
=
-，令c 20
os z
=，220i z i z e e -+=
41i z
z
=
-，()421z k π=+，214
k z π+=
，
()0,1,2k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
但只有04
z π
=±在积分回路之内：
4
4
22Re 44c 22s 24
z z z z
sf z os z in z
im im π
ππππ
→-
→-
⎡⎤
⎛
⎫
⎛⎫-
=
+=
=-
⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭
⎝
⎭⎣⎦
同理：R e 44sf ππ
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
2
2
1
2
1z z
d z i
S i n z
π=∴
=--⎰
2、求2
()1E j p Lp Rp C
=
++
的原函数
解：2
2
2211
()1122E E
j p R L L p p R R L L
p L L Lc =
=
⎡⎤
⎛
⎫+
+
⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪+
--
⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
有（1） 2
102R L LC ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
， 2()R
t L E j t te L -= （2）2
1
02R L LC ⎛⎫->
⎪
⎝⎭
， 222
1()s 212R t
L
E
R j t e
h t L LC R L L LC -
⎛⎫⎛⎫
⎪=-
⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎝⎭
- ⎪
⎝⎭
（3）2
1
02R L LC ⎛⎫-< ⎪
⎝⎭
， 2
22
2
21
1
()s 414R t
L
E R
j t e
in t L LC L R L LC L -
⎛⎫=-
⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
五、综合题（共1题，20分）
研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为0U ，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求细杆上的温度的变化。
解：定解问题为：200000,
/t xx x
x x t u a u u u u
u x ===⎧-=⎪
==⎨⎪=⎩
令(),()()u x t X x T t =代入上述方程并利用边界条件有
()X X 0,(0)
0,X ()01X
λ'''+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
()2
02T a T λ'+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
公式（1）构成本征值问题，本征值和本征函数为：
()()2
2
2
21,0,1,2,4k k πλ+=
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
， ()121X ()s 2k x C in
x π
+=
，
公式（2）的解为：2
22212t
2()k a
T t C e
π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭-=
这样一般解为：()2
222
120
12,s k a
t
k k k u x t C e
in
x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∞
=⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
=
∑
应用初始条件有：
00
1u 2s k
k kt C in x x π∞
=⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
=∑ 则
00
122u k x
u C xSin dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=
⎰
()
2
2
2112k
u k π
=-⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
()
2
22
2
120
2
2
1212(,)1s 12kt a
t
k
k k u u x t e
in x k πππ
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∞
-
=⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
∴=
-⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭∑。