第四章 弯曲时空中的物理定律
相对论简介：时空的弯曲
相对论简介：时空的弯曲相对论是现代物理学的重要分支，由爱因斯坦于20世纪初提出。
它是描述物质和能量在时空中运动的理论，引领了人类对宇宙本质的认识。
本文将介绍相对论的基本概念和原理，重点探讨时空的弯曲效应。
1. 狭义相对论狭义相对论是相对论的基础，主要研究非加速参考系下的物理现象。
其核心思想是：物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。
狭义相对论引入了两个重要概念：相对性原理和光速不变原理。
1.1 相对性原理相对性原理指出物理定律在所有惯性参考系中都具有相同的形式。
这意味着无论我们处于何种运动状态，物理规律都不会改变。
这一原理颠覆了牛顿力学中绝对时间和绝对空间的观念，提出了一种新的时空观念。
1.2 光速不变原理光速不变原理是狭义相对论的核心之一。
它指出光在真空中的速度是一个恒定值，与光源和观察者的运动状态无关。
这一原理对于描述光的传播和测量提供了基础，也为后续的相对论发展奠定了基础。
2. 广义相对论广义相对论是相对论的拓展，主要研究引力和时空的弯曲效应。
它在狭义相对论的基础上引入了引力场概念，并提出了著名的爱因斯坦场方程。
2.1 引力场和时空弯曲广义相对论认为引力是由物质和能量所产生的时空弯曲效应。
物质和能量使时空发生弯曲，而其他物体则沿着这个弯曲的时空路径运动。
这种时空弯曲被称为引力场，它决定了物体在引力作用下的运动轨迹。
2.2 爱因斯坦场方程爱因斯坦场方程是广义相对论的核心方程，描述了时空的几何结构和物质能量分布之间的关系。
它将时空的弯曲与物质能量的分布联系起来，形式简洁而优美。
爱因斯坦场方程的解决方法为我们研究引力现象提供了重要的工具。
3. 时空弯曲的实验证据相对论的理论预言在实验和观测中得到了广泛的验证。
以下是一些重要的实验证据：3.1 光的偏折爱因斯坦预言了光线在引力场中会发生偏折的现象。
1919年，英国天文学家艾登顿领导的观测团队通过观测日食期间恒星光线的偏折，验证了相对论的预言。
3.2 时间膨胀相对论预言物体在引力场中时间会变慢，这被称为时间膨胀效应。
弯曲的时空
8现代物理知识弯曲的时空宫自强在牛顿时代给出的绝对时空观中,时间与空间都是绝对的,彼此无关。
即时间与空间都是彼此独立的,互不相关,并且不受物质和运动的影响。
1905年爱因斯坦建立的狭义相对论时空观中,时间、空间和运动三者相互关联,它们都伴随着物质的存在而存在。
但未能说明引力与时空的关系。
1915年爱因斯坦建立了广义相对论。
它揭示了空间、时间、物质、运动的统一性,几何学和物理学的统一性,解释了引力的本质,也为现代物理学和宇宙学的发展打下了重要的基础。
广义相对论的一个重要结论,是我们的时空是弯曲的。
广义相对论告诉我们,在引力物体的近旁,空间和时间要被扭曲。
利用这种种观点,我们还可以对统治我们宇宙的万有引力给出一个全新的描述:即引力来源于时空弯曲。
行星的轨道运动并不是由于什么引力的作用,而是由于这种时空的扭曲。
引力就是弯曲时空的表现。
我们的空间是三维的,我们很难想象出一个弯曲的三维空间是什么样的图像,但是我们能够检测到三维空间的弯曲。
例如,对一个球体而言,我们可以通过测量它的表面上的圆的周长来测定这个球体空间是否为弯曲的,若测量出的周长不等于半径的2 倍,则空间就是弯曲的。
下面我们以地球为例证明如下:设地球是半径为r 的球体,自转角速度为 ,以地球自转轴为参考系S,在与地球自转轴垂直的半径为r 的圆平面上,每一点都取一个瞬时与该平面一起运动的参考系S ',设在S 系中测量距离自转轴为r 处的圆弧弧长为d l,在S '系中测量该圆弧的弧长为d l',由洛伦兹变换式,我们可以得出:这里l=2 r 是S 系中观察者测量的半径为r 的圆周周长,l '是圆平面上的观察者测量到的累积周长。
由于运动的物体其长度收缩只出现在运动方向,故有r=r '成立。
那么,l '与r '的比值为所以,运动圆平面上的观察者经测量得出这样的结论 空间是弯曲的;而且r 越大,空间弯曲越严重。
弯曲时空与引力场方程
弯曲时空与引力场方程在现代物理学中，弯曲时空与引力场方程是研究引力和时空结构的重要工具。
引力场方程描述了物质和能量如何塑造时空的曲率，并由此产生引力的作用力。
本文将介绍弯曲时空的背景和引力场方程的基础知识。
一、弯曲时空根据相对论的观点，时空是一个统一的四维结构，其中包含了时间和三维空间。
根据爱因斯坦的广义相对论，物质和能量会塑造时空的曲率，而曲率又会影响物质运动的轨迹。
弯曲时空可以用曲线的几何学来描述，其中最著名的是黎曼几何学。
曲率是描述时空弯曲程度的一个关键概念，它可以通过测量时空度量张量来计算。
弯曲的时空会导致自由物体的直线运动变成弯曲轨迹，这就是引力的来源。
二、引力场方程引力场方程是描述引力场如何与时空的几何结构相互作用的方程。
广义相对论中最著名的引力场方程是爱因斯坦场方程，它可以写为：R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}其中，R_{\mu\nu} 是时空的黎曼曲率张量，g_{\mu\nu} 是时空的度量张量，R 是标量曲率，\Lambda 是宇宙学常数，G 是引力常数，c 是光速，T_{\mu\nu} 是能量动量张量。
引力场方程是一个关于时空度量和物质分布的方程组，它描述了时空的曲率如何与能量和动量的分布相互关联。
通过求解引力场方程，我们可以确定时空的曲率和物质分布，从而了解引力如何影响物体的运动和时空的演化。
三、解析度及应用由于引力场方程的复杂性，它通常不容易求得解析解。
对于简单的情况，我们可以使用对称性或近似方法来求解方程。
而对于复杂的情况，需要利用数值计算和计算机模拟来研究。
引力场方程不仅适用于描述地球或太阳系的引力场，还可以应用于更大尺度的宇宙结构，如星系、星系团甚至整个宇宙的演化。
通过研究引力场方程，我们可以探索黑洞、宇宙膨胀以及宇宙的起源和结构等重要问题。
物理世界奇遇记4：教授那篇关于弯曲空间的演讲稿(下)
物理世界奇遇记4：教授那篇关于弯曲空间的演讲稿（下）现在我们就要接触到最重要的问题了。
我们刚才已经看到，在一个加速的参考系中，可以观察到许多在一般万有引力场中未曾观察到的现象。
那么，像光线弯曲或钟表走慢这样的新现象，在由可测质量所产生的引力场中，是不是同样存在呢？要量度光线在引力场中的曲率，利用前面提到的宇宙飞船那个例子比较方便。
如果l是船舱的跨距，那么，光线走过这段距离所需的时间就是在这段时间内，以加速度g运动的飞船所飞过的距离为L，从初等力学的公式，我们知道因此，表示光线方向改变的角度具有如下的数量级光在引力场中走过的距离越大，Φ的值也越大。
当然，现在应该把宇宙飞船的加速度解释成重力加速度。
如果我现在让一束光线穿过这个演讲厅，我可以粗略地取L＝10米。
地面上的重力加速度g=米／秒2，c=3×108米／秒，所以这样，你们可以看出，在这种条件下，光线的曲率是肯定无法观察到的。
但是，在太阳表面附近，g＝270米／秒2，并且光线在太阳的引力场中走过的路程是非常长的。
有一些精确的计算表明，一束光线从太阳表面附近经过时的偏转值应该等于弧秒。
天文学家在日全蚀时观察到的。
太阳旁边的恒星视位置的位移值就正好是这样大。
现在由于天文学家利用了从类星体发出的强射电辐射，就不必再等到日全蚀时再进行测量了。
从类星体发出并从太阳旁边穿过来的射电波，就是在大白天也可以毫无困难地探测到。
正是这些测量使我们能够最精确地测出光线的弯曲。
因此，我们可以作出结论说，我们在加速系统中发现的光线弯曲，实际上是和它在引力场中的弯曲相同的。
那么，观察者B在旋转舞台上发现的另一个奇怪的现象——放在舞台外围的钟表走得比较慢，会不会也是这样呢？在地球重力场中，放在地面上空某个地方的钟表，会不会有类似的表现？换句话说，加速度所产生的效果与重力所产生的效果是否不仅非常相似，而且完全等同呢？这个问题只能靠直接的实验来解答。
事实上，这样的实验已经证明，时间是可以受到普通重力场的影响的。
引力场的弯曲效应
引力场的弯曲效应引力场的弯曲效应是爱因斯坦广义相对论的一个基本概念。
按照广义相对论的观点，物质和能量会产生引力场，这个引力场会弯曲周围的时空。
在弯曲的时空中，物体的运动轨迹会发生改变，这就是引力场的弯曲效应。
爱因斯坦的广义相对论是对牛顿力学的一种修正和推广。
在牛顿力学中，引力被描述为物体之间的相互吸引，用万有引力定律进行描述。
然而，爱因斯坦认为引力并不是物体之间的相互作用，而是物质和能量导致时空弯曲的结果。
根据爱因斯坦的理论，物体在引力场中运动的轨迹并不是直线，而是沿着弯曲的时空线运动。
这是因为物体在弯曲的空间中会受到引力的作用，被迫沿着这个弯曲的路径运动。
这种弯曲效应可以用一个简单的比喻来理解：在平坦的纸面上放置一个重物，会使纸面产生弯曲，其他的物体在纸面上运动时会受到这个弯曲纸面的影响。
同样地，物体在引力场中运动时会受到弯曲的时空的影响。
引力场的弯曲效应在科学实验中已经得到了验证。
其中最早的一次验证是1919年的日全食观测。
爱因斯坦预言，太阳会弯曲光线，当观察日全食时，太阳背后的恒星光线经过太阳的引力场时会弯曲。
英国皇家学会组织了一次跨大西洋的日全食观测，结果确实观察到了太阳光线的弯曲，这也验证了爱因斯坦广义相对论的正确性。
引力场的弯曲效应还可以解释一些其他现象，比如黑洞和宇宙膨胀。
根据爱因斯坦的理论，如果一个物体的质量足够大，就会形成一个引力场极强的区域，这就是黑洞。
黑洞的引力非常强大，它会弯曲周围的时空，甚至连光线也无法逃脱它的引力。
另外，宇宙的膨胀也可以用引力场的弯曲效应来解释。
据观测，宇宙中的星系相互远离，并且远离的速度越大，距离越远。
这个现象被称为宇宙膨胀。
根据广义相对论，宇宙的膨胀可以通过引力场的弯曲效应来解释：物质和能量导致时空弯曲，在弯曲的时空中，星系之间的距离会不断增加，从而导致宇宙的膨胀。
引力场的弯曲效应不仅在理论物理学中起着重要作用，还在实际应用中有着广泛的应用。
例如，全球定位系统（GPS）的正常运行就依赖于引力场的弯曲效应。
扭曲时空的知识点总结
扭曲时空的知识点总结
扭曲时空的概念最早由爱因斯坦在他的广义相对论中提出。
在这部著作中，他提出了引力场对时空结构的影响，并通过数学公式描述了时间和空间的扭曲。
爱因斯坦认为，引力是由物体对时空的扭曲而产生的，而时间和空间的扭曲则影响物体的运动轨迹和速度。
这一理论在后来的实验中得到了验证，成为现代物理学的基石。
除了爱因斯坦的理论外，量子物理学和弦理论也对扭曲时空提出了不同的观点。
量子物理学认为，时间和空间是由微观粒子构成的，并且在量子层面上存在诸多奇特的现象，如虚空能、量子纠缠等。
这些现象使时间和空间的性质变得更加复杂，有时甚至出现了量子涨落、不确定性等现象。
此外，弦理论则认为宇宙中存在多个维度，并且时间和空间也可以在这些维度中扭曲和变形。
这些理论都为人们对时间和空间的本质提供了全新的认识。
在哲学领域，扭曲时空的概念也被用来探讨时间、存在和自我等问题。
一些哲学家认为，时间并不是线性的，而是可以通过人的思维和感知被扭曲和改变。
在这种观点下，存在着时间错位、时间流逝的相对性等现象，使得时间不再是绝对的，而是相对的。
这种观点在文学和电影中也有所体现，如《时光机器》、《致命遥控器》等作品都展现了扭曲时空对人类生活的影响。
总的来说，扭曲时空的概念是一种超越传统的时间和空间观念的思维方式，它在物理学、哲学、文学和艺术等领域都有着重要的意义。
通过对这一概念的探讨和研究，人们可以更好地理解时间和空间的本质，以及宇宙的奥秘。
扭曲时空的知识不仅仅是一种理论，更是一种对于人类智慧和想象力的挑战，它激励人们超越常规的思维模式，探索宇宙的未知领域。
广义相对论下的弯曲时空
广义相对论下的弯曲时空广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的物理理论，它认为质量和能量会弯曲时空，这种弯曲现象被称为时空弯曲。
本文将探讨广义相对论下的弯曲时空对宇宙和引力的影响。
一、时空弯曲的基本原理广义相对论认为质量和能量会引起时空的弯曲。
在平直（未受引力影响）的时空中，物体将沿直线运动，而在弯曲的时空中，物体的路径将弯曲。
这种弯曲是由质量和能量的分布所引起的，质量越大、能量越密集的地方，时空弯曲的程度就越大。
二、弯曲时空对引力的影响由于时空的弯曲，物体在弯曲时空中受到引力的作用。
引力从本质上说是物体在弯曲时空中沿曲线运动的结果。
牛顿力学认为引力是由物体的质量直接产生的，而广义相对论则将引力解释为时空弯曲而产生的结果。
三、弯曲时空对光线传播的影响广义相对论指出，光线也会在弯曲的时空中发生弯曲。
这一现象可以通过研究光通过弯曲时空的路径来解释。
例如，太阳光线经过太阳附近的弯曲时空时，会发生弯曲，从而导致日食的发生。
这一现象也被称为引力透镜效应。
四、弯曲时空与宇宙的演化广义相对论认为宇宙的演化受到弯曲时空的影响。
根据弯曲时空的原理，宇宙中的物质分布会导致时空的弯曲，进而影响宇宙的演化轨迹。
弯曲时空还可以解释宇宙背景辐射的起源和分布，以及大尺度结构的形成。
五、实证检验与广义相对论广义相对论的理论预言已经被多次实证检验所支持。
例如，引力透镜效应和种族脱离的观测数据与广义相对论的预言吻合。
此外，引力波的探测也为广义相对论提供了另一项重要验证。
六、广义相对论的应用领域广义相对论的理论和方法已经在多个领域得到广泛应用。
它被应用于引力波天文学、黑洞研究、宇宙学和粒子物理学等领域。
广义相对论的成功应用推动了这些领域的发展并带来了许多重要突破。
小结广义相对论下的弯曲时空是一个重要的物理理论，它深刻地影响着我们对宇宙和引力的认识。
时空的弯曲导致物体受到引力的作用，光线传播的路径也会发生改变。
弯曲时空对宇宙的演化起着重要的作用，并且广义相对论的理论预言已经通过实验得到了验证。
弯曲时空粒子运动四速度与三速度
弯曲时空粒子运动四速度与三速度弯曲时空粒子运动四速度与三速度一、弯曲时空的概念1. 弯曲时空是相对论的基本概念之一，由爱因斯坦在提出广义相对论理论时首次提出。
它揭示了物质和能量如何影响时空的结构，创立了现代物理学的基石。
2. 在弯曲时空中，物体不再沿直线运动，而是沿着时空弯曲的路径运动，这导致了我们对运动的理解发生了根本的改变。
弯曲时空使得空间和时间成为了统一的整体，给物体的运动轨迹带来了新的规律。
二、粒子运动四速度的概念1. 粒子运动四速度是相对论中描述粒子运动的重要概念，它包括了粒子在时空中的位置和时间方向上的运动。
四速度的引入使得我们能够完整地描述粒子在时空中的运动状态。
2. 粒子运动四速度不仅仅包括了粒子在空间中的三维运动，还包括了时间方向上的运动。
这使得我们不再把时间和空间分开考虑，而是将它们统一在了一个整体中。
三、粒子运动三速度的概念1. 粒子运动三速度是描述粒子在空间中三维运动的概念，它是我们日常生活中最常接触到的运动概念之一。
三速度是我们观察和描述物体运动的基本工具之一。
2. 粒子运动三速度是相对论中的概念，它通过相对论的变换公式与四速度相联系。
虽然我们在日常生活中很少考虑到时空的弯曲，但是在高速或强引力场中，时空的弯曲效应将会显现出来。
四、粒子运动四速度与三速度的关系1. 粒子运动四速度包含了粒子在时空中的所有运动信息，它是对粒子运动的完整描述。
2. 粒子运动三速度只包含了粒子在空间中的运动信息，它是对粒子在三维空间中的定位和运动速度的描述。
3. 粒子运动四速度与三速度之间通过相对论的变换公式建立了联系，在特殊相对论情况下，它们之间可以相互转化。
五、个人观点和理解1. 我认为弯曲时空是相对论理论的一大突破，它揭示了宇宙的奥秘，让我们对时空有了更加深刻的认识。
2. 粒子运动四速度和三速度的引入，使得我们对粒子运动有了更加全面和深刻的理解，它们之间的联系也为我们理解高速、强引力场下的粒子运动提供了重要的工具和思路。
时空弯曲引力的原理和应用
时空弯曲引力的原理和应用引言在爱因斯坦的广义相对论中，时空弯曲是一个关键概念。
根据相对论的观点，质量和能量会产生引力，这种引力会使得周围的时空弯曲。
本文将介绍时空弯曲引力的原理和应用，并重点讨论其在宇宙学和导航系统中的应用。
原理时空弯曲引力的原理可以用以下几个要点来解释：1.质量和能量会曲率时空：根据爱因斯坦的方程，质量和能量会影响周围的时空。
质量越大或能量越高，其影响就越显著。
2.弯曲的时空会影响物体运动：当物体经过弯曲的时空时，其路径将发生偏转。
这可以理解为物体受到了引力的作用，被牵引向质量或能量较高的区域。
3.引力的传播速度等于光速：引力的传播速度与电磁波（光）的传播速度相等。
这一点与牛顿力学中的引力有所不同，牛顿引力的传播速度无限大。
应用时空弯曲引力的应用非常广泛，包括宇宙学、导航系统和科学研究等领域。
宇宙学1.宇宙膨胀和暗物质：时空弯曲引力的概念在宇宙学中起着核心作用。
根据爱因斯坦的方程，质量和能量的分布会影响宇宙的膨胀。
此外，宇宙中存在着无法直接观测到的暗物质，其存在可以通过对可观测物体的运动模式进行研究。
2.引力透镜效应：时空弯曲引力还可以产生引力透镜效应。
当一个星体位于另一个星体的后面时，其引力会使背后的光线发生偏转，从而产生一种“透镜”效应。
这种效应能够帮助天文学家观测到远处的天体。
导航系统GPS（全球定位系统）是一个广为人知的导航系统，它也是运用时空弯曲引力原理的典型应用之一。
1.相对论修正：相对论的修正是GPS定位精度的关键之一。
由于地球的引力场会引起卫星时钟的变化，如果不考虑时空弯曲引力，定位结果将会出现严重的偏差。
因此，相对论的修正对于 GPS 定位系统至关重要。
2.时钟同步：GPS系统中的卫星需要精确的时钟同步，以确保用户可以准确地计算出自己的位置。
由于卫星位于地球引力场较弱的地方，卫星的时钟比地球上的时钟运行得更快。
这种差异需要通过时空弯曲引力的修正来纠正，以确保准确的时钟同步。
弯曲时空和引力场
引力场
定义与特性
引力场的定义：引力场是由物体产 生的，能够使其他物体受到向该物 体方向拉引的力。
引力场的产生：由质量产生，任何 有质量的物体都会产生引力场。
添加标题
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引力场的特性：引力场具有无限作 用范围，且随着距离增加而减小。
引力场的表现：在引力场中，物体 受到的引力作用表现为向质心偏转 的现象。
海洋学：利用引 力场数据，研究 海洋环流和海平 面变化。
地质学：通过分 析地壳的引力场 分布，研究板块 运动和地震活动。
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弯曲时空：引力场的产生根 源
相对论效应：时间膨胀和长 度收缩
弯曲时空与引力场 的应用
宇宙学中的应用
天体物理学中的应用
广义相对论预言了强引力场下时空的弯曲，为黑洞和引力波的存在提供了 理论依据。
弯曲时空理论在天体物理学中用于解释行星、恒星和星系的运动规律，以 及宇宙的起源和演化。
引力场在宇宙尺度上起着至关重要的作用，弯曲时空理论为研究宇宙的尺 度、星系的形成和演化等问题提供了重要的理论工具。
物质形态：弯曲的时空可以导致物质形态发生变化，例如在强引力场中，物质可能会被压缩 成极端形态。
物质相互作用：弯曲时空可以影响物质之间的相互作用，例如在黑洞附近，物质可能会被强 烈吸引并最终落入黑洞。
物质演化：弯曲时空可能会影响物质的演化过程，例如恒星的形成和演化。
与相对论的关系
弯曲时空是相对论中的核心概念 相对论认为时空是相对的，物体运动会导致时空弯曲 弯曲时空解释了引力场的形成和作用机制 弯曲时空与相对论相互印证，成为现代物理学的重要基石
相对论中，引力 场是由质量引起 的空间时间的几 何形变
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∂xα ∂ξα
∂ ∂xβ
∂ξα ∂xν
Tν
=
T,αβ
+
∂xα ∂ξα
∂2ξα ∂ xβ ∂ xν
Tν.
1
2
第四章 弯曲时空中的物理定律
注意在LGS中所有的克氏符号全为零，从(3.23)式立即得到
T;αβ = T,αβ + Γαβν T ν .
(4.1)
显然，当克氏符号全为零，协变偏导数退化为普通偏导数，或者说分号退化为逗号. 可以引入张量的协变微分 DT α，它与普通微分 dT α 的差别是
eθ(r);θ = 1/r, er(θ);θ = −r, eθ(θ);r = 1/r,
其余为零. 通过这个例子可以看到，尽管一个向量的坐标分量在所有的点上都取常数值，它的协变偏导 数甚至在时空平直的情况下也不一定为零. 这些协变导数正确地显示了这两个基底向量场不是常数向量 场.
重写测地线方程 用4速度 uα = dxα/dλ 表示的测地线方程为
1阶逆变张量的协变导数 既然张量的普通偏导数 T,αβ 不再是一个张量，我们来构造一种构成张量 的新的偏导数，称为协变偏导数并记为 T;αβ. 当然它必须有明确的几何和物理意义. 一种自然的构思是在 局部测地线坐标系LGS中，这两种偏导数相等. 张量是一个几何量，当它在某一个坐标系中的坐标分量
已经确定，这个张量就已经完全确定了.
在弯曲空间里有可能用数学方法定义各种各样的平行移动. 广义相对论自然要求所定义的平行移动 有物理意义. 设想一个像自由粒子一样在引力场中自由下落的宇航员. 他随身携带一个标准钟和三个方向 相互正交的陀螺. 陀螺的质心和宇航员一起自由下落，陀螺也不受任何力矩的作用. 我们把这种陀螺称之 为自由陀螺. 标准钟所指示的原时增加的方向是他的4速度的指向. 4速度和陀螺指向一起构成了宇航员处 的局部惯性架. 处于封闭飞船中的宇航员感觉不到任何力的作用，船舱中狭义相对论的物理定律成立. 宇 航员有理由认为自己在平直时空中不受任何力的作用，他同样有理由认为自己在时空中的轨迹的指向和 携带的陀螺的指向都是不变的. 换句话说，他会认为他的4速度和陀螺的指向都在作平行移动. 在弯曲时 空中定义的向量的平行移动应当与等效原理给出的这种物理直觉相吻合.
ei(θ)/∂θ 显然都是零，似乎说明这个张量场是一个常数张量场， = r，沿径向随 r 增加而增加，沿横向则其方向随 θ在变化. 这
说明张量的普通偏导数并不能正确地表示张量场的性质. 径向基底场 e(r) 虽然长度保持不变，方向却随 θ
变化，情况类似.
上面指出这两组基底在极坐标系中的坐标分量对坐标的偏导数都是零. 如果这种偏导数是张量, 那么
度规的协变导数 在给定时空点的LGS中，度规为闵可夫斯基度规而且所有的克氏符号均为零. 从 克氏符号的定义(3.11)式可见，克氏符号是度规1阶偏导数的线性齐次函数，可以解出度规的一阶偏导数
为克氏符号的线性齐次函数,
gαβ,ν = gαρΓρβν + gβρΓραν .
(4.8)
所以，在LGS中度规的1阶偏导数为零.
现在来看平直空间和弯曲空间中向量的加减法有什么不同. 首先，在平直空间里不同点的切空间彼 此重合，而在弯曲空间里则不重合. 其次，在平直空间做不同点之间的向量的减法时，要把其中之一平 行移动到另一点去，然后在同一点对两个向量进行相减. 在弯曲空间里，我们不知道如何进行向量的平 行移动. 因此完全有必要来定义弯曲空间中的平行移动.
dT α = {T α(Q) − T α(P)}LP.
(4.10)
其中下标LP表示取花括号内的增量的线性部分. 注意 T α(Q) 和 T α(P) 分别是不同时空点P和Q处的张 量，它们属于不同的切空间. 在§1.1已经强调指出，只有在两个张量属于同一点的切空间时它们之间的运 算才是有意义的，所以上式右边的减法不符合张量之间的减法运算规则. 这从另一个角度说明普通微分 的结果不是1个张量.
物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围. 第一章中强调过每一个张量都属于 一个时空点的切空间，不同切空间中的张量不能进行加减等运算. 为了要建立不同切空间的张量之间的 联系，必须首先学习黎曼几何中的一个重要概念：协变导数和向量的平移.
4.1 协变导数
为什么要引入协变导数 选取极坐标，其度规为
逆变向量的平移 向量的协变微分是一个张量, 与(4.10)式类比, 逆变向量的协变微分可写为
DT α = {T α(Q) − T α(P → Q)}LP.
(4.11)
这里 T α(P → Q) 表示将张量 T α(P) 平移到Q点. 这种平移还有待进一步说明. 另一方面, 从(4.2)式有
DT α = T;αβdxβ = T,αβdxβ + Γαβγ T γ dxβ = dT α + Γαβγ T γ dxβ
§4.1 协变导数
3
在每一个时空点都可以选到局部测地线坐标系LGS，这条狭义相对论的物理定律在其中成立. 下一步是 把它改造成广义相对论的物理定律. 方法是把普通偏导数“,”改成协变偏导数“;”, 把闵可夫斯基度规 ηαβ 改成度规 gαβ (例如把(4.4) 改写成(4.3)). 这种改写在LGS中是完全合理的，因为在其中所有的克氏符号 为零，协变导数变成普通导数，度规变成闵可夫斯基度规. 改写后的张量形式的定律应当在所有的坐标 系中都正确，称作是是广义协变的. “广义”表示对于所有的坐标系都成立，并不局限于惯性系. “协变”表 示物理定律由张量组成，其坐标分量在坐标变换下按照逆变或协变的规律变化.
DT α = T;αβdxβ,
dT α = T,αβdxβ.
(4.2)
前者是张量而后者不是.
T;αβ 是一个混变张量，可以用度规对指标进行升降. 例如，T α;β = gβν T;αν . 现在来计算2维欧氏空间 E2 在极坐标系中径向基底和横向基底场的协变偏导数. 显然有 er(r) = 1，eθ(r) = 0，er(θ) = 0 和 eθ(θ) = 1. 从度规可算得不为零的克氏符号为 Γrθθ = −r 和 Γθrθ = Γθθr = 1/r. 从协 变导数的定义(4.1)式算出不为零的2个基底坐标分量的协变偏导数为
现在用一个例子来说明张量对坐标的偏导数的缺陷. 在2维欧氏空间 E2 中 ds2 = dr2 + r2dθ2.
在空间的每一点都有一个横向的坐标基底 e(θ) = (0, 1)，构成了一个全空间的基底向量场. 它的2个坐标
分然量而对实坐际标上横r 或向基θ 的底偏e(导θ)数的∂长e度i(θ)为/∂r√和gθθ∂
从左边为零立即可得(4.8)式. 也可以将克氏符号的定义代入上式来验证(4.9)式.
4.2 向量的平移和陀螺的进动
为什么要讨论向量的平移 可以从数学和物理各种角度来看研究向量平移的必要性. 上一节已经指出张量的普通偏导数和普通微分不是张量. 设在时空点P计算张量 T α 的普通微分 dT α，而Q是P无穷小邻近的一点，按定义有
在任何坐标系中都应当是零. 改用直角坐标系，径向基底的坐标分量应当是 (cos θ, sin θ)，它对极坐标 θ
或直角坐标的偏导数都不是零. 这说明我们过去在微积分中学习的普通偏导数不是张量. 从第一章开始就
多次提到，物理定律应当写成张量之间的关系，所以要去寻求是张量的一种导数，就是本节引入的协变
S;α = S,α.
(4.5)
1阶协变张量的协变导数 可以像构造1阶逆变张量的协变偏导数的方式一样来得到1阶协变张量的 协变偏导数，但也可以用下面更为简便的方法.
设 Tα 和 Qα 是2个任意向量，它们间的缩并是1个标量，根据(4.5)式，有
(TαQα);β = (TαQα),β.
进一步规定协变导数和普通导数一样满足莱伯尼茨法则，即 (AB);β = A;βB + AB;β. 对上式两端都运用 莱伯尼茨法则，对 Qα;β 用(4.1)式，立即得到1阶协变张量的协变偏导数为
duµ dλ
+
Γµαβ uαuβ
=
uµ,α + Γµαβ uβ
uα = 0.
其中 λ 为仿射参数. 显然，用协变导数的语言，测地线方程可简洁地写成
Duµ dλ
=
uµ;αuα
=
0.
(4.3)
测地线方程的上述形式可以用等效原理直接了当地给出. 根据等效原理, 在LGS中不存在引力，狭义 相对论的定律成立，自由粒子的测地线方程为
用广义协变原理建立广义相对论物理定律的过程叙述如下. 首先写下1条狭义相对论的物理定律，把 它写成洛伦茨不变的形式，亦即在洛伦茨变换下它的形式不变. 例如自由粒子的测地线方程(4.4)就是洛 伦茨不变的，那里出现的物理量已经是张量，只是偏导数为普通偏导数. 洛伦茨变换把惯性系变换成惯 性系，将闵可夫斯基度规变换成闵可夫斯基度规，使得(4.4)的形式保持不变. 根据爱因斯坦等效原理，
在LGS中度规的1阶偏导数与1阶协变偏导数相同，由此推出在LGS中度规的协变导数为零. 因为度
规的协变导数是1个张量，立即得出在任意坐标系中都有
这是1个重要的结论.
gαβ;ν ≡ 0.
(4.9)
4
第四章 弯曲时空中的物理定律
从(4.7)式写出度规协变偏导数的表达式 gαβ;ν = gαβ,ν − gαρΓρβν − gβρΓραν .
设 {xα} 为任意坐标系，而 {ξα } 为LGS. 作为张量的偏导数 T;αβ 在坐标变换下的变换规律为
T;αβ
=
∂xα ∂ξα
∂ξβ ∂xβ
T,αβ
.
这里已经用了在LGS中协变导数与普通导数相同. 为了得到协变偏导数 T;αβ 在坐标系 {xα} 中的表达式, 将上式右端进一步变换成
T;αβ
=
duµ dλ
=
uµ,αuα
=