组合2

会英语，3人只会日语，还有1人既会英语又 会日语，现从这9人中选出3人会英语，2人会 日语，有多少种不同的选法？
A
B
51
3
练习：
某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会 跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演 员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村 演出，问有多少种选法？
A
B
32 2
五、先组后排
(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放
入 2 个盒子中，有两类放法：第一类：1 个盒子放 3 个小球，
1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C34种，再放到 2 个 小盒中有 A24种放法，共有 C34·A24种放法；第二类：2 个盒子中 各放 2 个小球有 C24·C42种放法，故恰有 2 个盒子不放球的方法 共有 C34·A24＋C42·C24＝84(种)．
跟踪练习
1．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法 计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
例5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学 科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代 表，但不担任数学科代表．
分析：“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考 虑．
答案：〔1〕 〔2〕
1
1
1010101010 100000
1 1 1010 100
变式： 某体育彩票规定：从01至36共36 个号码中抽出7个号码为一注，每注2元. 某人想从01至10中选3个连续的号码，从 11至20中选2个连续的号码，从21至30中 选1个号码，从31至36中选1个号码组成1 注.则此人把这种特殊要求的号码买全， 至少要花多少钱？
解析：法一：设 A，B 代表 2 位老师傅． A，B 都不在内的选法有：C45·C44＝5(种)； A，B 都在内且当钳工的选法有：C22·C35·C44＝10(种)； A，B 都在内且当车工的选法有：C22·C45·C24＝30(种)； A，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选法有： C22·A22·C53·C34＝80(种)；
练习：
1、（1）将四个不同的小球分给甲、乙两人， 每人两个，有多少分法？
（2）、将四个不同的小球分成两组，每 组两个，有多少种分法？ （3）、将四个小球分成两组，一组三个， 一组一个，有多少分法？
（4）、将四个小球分给甲乙两人，一人 三个，一人一个，有多少分法？
四、元素交叉问题
例4、某出旅行社有9名导游，其中有5人只
1．涂色问题
(1)图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求 较高的问题，需要特别关注图形的特征，有多少块，用多少 种颜色．
涂色问题一般是先分步后分类．
(2)若图形不很规则，往往从某一块出发，进行分步涂色， 从而选用分步计数原理；若图形具有一定的对称性，那么先 对涂色方案进行分类，每一类再进行分步．
法二：5 名钳工有 4 名选上的方法是：C45·C44＋C45·C34·C12＋
C45·C42·C22＝75(种)；
5 名钳工有 3 名被选上的方法是：
C35·C44·C12＋C35·C34·A22＝100(种)； 5 名钳工有 2 名被选上的方法是：C25·C22·C44＝10(种)． ∴一共有 75＋100＋10＝185(种)．
y=x2+1
B
A. 1个
B. 27
C. 39个
D. 8个
解析：分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得 x=±1,x=±2,x=±3.由函数的定义，定义域中元素的选取分四种
①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素： 先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选 两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
第二步：再对 A，B，C 进行内部排队，有 A33种不同排法．由 分步计数原理，A77＝NA33.
故 A，B，C 三人前后顺序一定的排列数 N＝AA7733＝840(种)．
跟踪练习 多面手问题
7、车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车 工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名 工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派 方法．
解析：(1)分步完成：
第一步：在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种情况； 第二步：在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种情况； 第三步：把 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A77种情 况．所以符合题意的七位数有 C34·C54·A77＝100 800(个)． (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34·C45·A33·A55＝
练习：
1、在 200件产品中，有2件次品，从中任取5件；
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有几种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
二、指标问题采用“隔板法”：
例2、有10个三好生名额，分配到高三年级6个 班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分 配方案？
(4)A，B，C三人的前后顺序一定．
以上四种要求分别有多少种不同的排法？ 解析：(1)题中有特殊元素 A，B 和特殊位置“两头”．采 用优先法，先排 A，B，再排其余，有 A22·A55＝240 种不同的 排法． (2)题中有关键词“相邻”，采用捆绑法，先内排后外排， 有 A33·A55＝720 种不同的排法．
练习1 福彩“排列5”是经财政部批准，在我省 自行组织发行的一种彩票新玩法.其特点是玩法 简单，中奖容易.每1注彩票由5个号码组成，每 个号码从0至9中选择，按摇奖机出号先后排列， 只要对中2个相邻的号码即可中奖.
（1）试计算该彩票中一等奖的可能性是多少？
（2）若某人的某注彩票选中了一等奖号码 中的前3位数字，后2位数字随机排列，试计算 他中一等奖的可能性是多少？
1
Cm n
=
Cn-m n
2
Cm n+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
一、有限制条件的（至少至多）组合问题：
例 1、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同 选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
变式：有编号为1，2，3的三个盒子，将20个 完全相同的小球放在盒子中，要求每个盒子中 球的个数不小于它的编号数，则共有多少种不 同的分配方案？
三、分组问题：
例 3：六本不同的书，按下列条件，各有多少 种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份二本，一份 三本。 （4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一 人二本，一人三本。
答案：从01到10中3个连续号共有8 个，从11至20中2个连续号共有9
个,故共有：C81C91C110C61 4320 种
故买全至少要花8640元.
练习2、在一次口试中，要从20道题中随机 抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就 获得优秀，答对其中的4道题就获得及格， 某考生会回答20道题中的8道，试求：
5．用0到9这十个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位 数中，奇数有多少个？ (2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解析：(1)可以组成9A39＝4 536个四位数． 适合题意的四位奇数共有 A15gA18gA82＝2240(个)．
(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
2．常见的解题策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略； (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； (10)构造模型的策略．
解析：(1)先取后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有 C35·C32＋C45·C13种，后排有 A55种，
共有(C35·C23＋C45·C31)·A55＝5 400(种)． (2)除去该女生后，先取后排有 C47·A44＝840(种)． (3)先取后排，但先安排该男生，有 C47·C41·A44＝3 360(种)． (4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C36种，再安 排该男生有 C13种，其余 3 人全排有 A33种， 共有 C36·C31·A33＝360(种)．
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有
C
3 4
·C54
·A44
·A