高中数学数列知识与练习题附答案
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
高中数学《数列》100题(问题+答案)
数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。
最全的高中数学数列练习题_附答案与解析
交，∴ f( k) ＝ f( k－ 1) ＋ ( k－ 1) ．
由 f( 3) ＝ 2，
f( 4) ＝ f( 3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝ 5，
f( 5) ＝ f( 4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋ 4＝ 9， ……
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∴ S13＝ 13( a1＋a13 ) ＝ 13( a4＋a10 ) ＝ 13 4 ＝ 26．
2
2
2
15．－ 49．
解析：∵ d＝ a6－ a5＝－ 5，
∴ a4＋ a5＋…＋ a10
＝ 7( a4＋a10 ) 2
＝ 7( a5－d＋a5＋5d) 2
＝ 7( a5＋ 2d)
＝－ 49．
16． 5， 1 ( n＋1)( n－ 2) ． 2
4． C
解析：
解法 1：设 a1＝ 1 ， a2＝ 1 ＋ d， a3＝ 1 ＋ 2d， a4＝ 1 ＋ 3d，而方程 x2－ 2x＋ m＝ 0 中两根之和为 2， x2
4
4
4
4
－2x＋ n＝ 0 中两根之和也为 2，
∴ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝1＋ 6d＝ 4，
∴ d＝ 1 ， a1＝ 1 ， a4＝ 7 是一个方程的两个根， a1＝ 3 ， a3＝ 5 是另一个方程的两个根．
∴ d＝－ 1， q2＝ 2，
∴ a2 a1 ＝ d ＝ 1 ．
b2
q2
2
10． C
解析：∵ { an} 为等差数列，∴ an2 ＝an －1＋ an＋1，∴ an2 ＝ 2an，
又 an≠ 0，∴ an＝ 2， { an} 为常数数列，
而 an＝ S2n 1 ，即 2n－ 1＝ 38 ＝ 19，
高中数列知识点归纳及习题附答案
第五章 数列5.1数列基础 5.1.1数列的概念一、知识点1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。
2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 ,n a a a a ,......,,321，-1a 首项。
3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母.4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一.5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.6. 分类：1）有穷数列：项数有限个2）无穷数列：项数无限个3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等6）摆动数列：时而增大时而减小二、典型题典型题一 数列定义的理解1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A.11B.12C.13D.143.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,典型题二 求数列的通项公式4.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) A.a n =1+(-1)n+1B.a n =1-cos nπC.a n =2sin2D.a n =1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)5.已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项是（ ）A.2B.40C.56D.906.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A.a n =3n-1B.a n =2n-1C.a n =3nD.a n =2n-17.已知数列{a n }的通项公式为13+=n na n ，那么这个数列是（ ） A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 8.写出下列数列的一个通项公式.(1)-,…;(2),…;(3)7,77,777,7 777,….典型题三 数列的单调性9.在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }是递增数列,求实数k 的取值范围.10.(2020北京第十一中学高三一模)数列{a n }的一个通项公式为a n =|n-c|(n ∈N +),则“c<2”是“{a n }为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.数列{a n }的通项公式为nan a n +=。
高中数学 数列基础练习及参考答案
基础练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 21 B. 22 C. 2 D.22.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 .4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ． 635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2 6.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1909.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m = （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 .10.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n +1.【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。
【答案】B 3.答案：C 【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C 4.解: 172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 5.【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12【答案】B 6.【答案】B 【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝1007.【答案】B【解析】可分别求得1122⎫+⎪=⎬⎪⎪⎩⎭，1]12=.则等比数列性质易得三者构成等比数列. 8.【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2n n a n =+，同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ，又由(1)2nn a n =+知n a 必为奇数，故选C. 9.【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m m a a a -++-=，得：2ma －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10，故选.C 。
高中数列基础试题及答案
高中数列基础试题及答案一、选择题1. 已知数列\( \{a_n\} \)的前几项为1, 2, 3, ..., 则该数列的第10项是多少？A. 10B. 11C. 12D. 132. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 17B. 14B. 13D. 12二、填空题3. 若数列\( \{a_n\} \)是等比数列，首项为2，公比为3，求第5项的值。
4. 已知数列\( \{b_n\} \)的通项公式为\( b_n = 2^n - 1 \)，求第8项的值。
三、解答题5. 已知数列\( \{c_n\} \)的前几项为1, 4, 9, 16, ..., 请找出该数列的通项公式，并求出第10项的值。
6. 一个等差数列的前5项之和为40，首项为2，求公差。
答案一、选择题1. 答案：A. 10解析：这是一个等差数列，首项\( a_1 = 1 \)，公差\( d = 1 \)，根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=10得\( a_{10} = 1 + 9 = 10 \)。
2. 答案：A. 17解析：根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( d = 3 \)得\( a_5 = 2 + 4 \times 3 = 14 \)，但选项中没有14，因此需要检查题目是否有误。
二、填空题3. 答案：162解析：等比数列的通项公式为\( a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( r = 3 \)得\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)。
4. 答案：255解析：根据通项公式\( b_n = 2^n - 1 \)，代入n=8得\( b_8 =2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \)。
三、解答题5. 解答：该数列的通项公式为\( c_n = n^2 \)。
高中数列精选大题50题(带详细答案)
高中数列精选大题50题（带详细答案）1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
高中数列测试题及答案
高中数列测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下数列中，哪一个是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 2, 4, 8, 16D. 1, 1, 2, 3, 52. 等比数列的公比为2，首项为1，其第五项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 1283. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n - 1，求a_5。
A. 7B. 9C. 11D. 134. 一个等差数列的前三项分别为3, 6, 9，求该数列的公差。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 数列{a_n}满足a_1 = 2，且a_n = 2a_{n-1} + 1（n≥2），则a_3等于多少？A. 7B. 9C. 11D. 136. 一个等差数列的前n项和为S_n，若S_5 = 75，S_10 = 175，则该数列的公差d是多少？A. 5B. 10C. 15D. 207. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n = 2n^2 + n，求a_5。
A. 19B. 21C. 23D. 258. 等比数列{a_n}的前三项分别为1, 2, 4，求该数列的公比。
A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求该数列的通项公式。
A. a_n = 3n - 1B. a_n = 3n + 1C. a_n = 2n + 1D. a_n = 2n - 110. 数列{a_n}满足a_1 = 1，且a_n = a_{n-1} + 2（n≥2），则a_4等于多少？A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（每题4分，共20分）11. 若数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 4，d = 3，则a_4 = _______。
12. 等比数列{a_n}的前三项分别为2, 6, 18，求该数列的公比q。
13. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 3n + 2，求a_7。
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数列的概念和性质（一）练习题答案及时反馈1.（1）2+n n ；（2）1)1(2+-n n 一.巩固提高 1.C.；2.A ； 3D. 二.能力提升 5.（1）n a ＝)12)(12(+-n n n ： （2）n a ＝)1()1(1+--n n n（3）n a ＝n 3174－ （为了寻求规律，将分子统一为4，则有144，114，84，54，……；所以n a ＝n3174－）（4）n a ＝110-n （5）n a ＝9934（1102-n ）. 由（4）的求法可得1a ＝9934（102－1）， 2a ＝9934（104－1），3a ＝9934（106－1），……故n a ＝9934（1102-n ）6.(1))12(3--n ； (2)1)1()1(+++n n n n ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=为正偶数）为正奇数）（n n n n a n (221；或41)1(2--+=n n n a .（评注：⎩⎨⎧=为正偶数）为正奇数）（n n g n n f a n ()()(，则：)(4)1(1)(2)1(1n g n f a nn n -++--=）数列的概念和性质（二）答案：即时反馈1. ⎩⎨⎧∈≥--==),2(22)1(1*N n n n n a n 即时反馈2. 分析：)32)(12(2232)11(1211+++=+++=++n n n n a n b bn nn 138448422>++++=n n n n ，所以数列}{n b 是单调递增数列.即时反馈3. 数列}{n a 中最小的项是7a ＝8a ＝16 分析：法1：直接由二次函数性质求出法2：由n a >1－n a 且n a <1＋n a 求出： 及时反馈4. (1)21(2) 1+n a 43=n a （),1*N n n ∈≥ 1+n S 43=21+n S （),1*N n n ∈≥巩固提高.1.Ｄ 2.Ｄ 3.Ｂ 4.Ｂ能力提升.5.D. 分析：n a ＝2212121)1(-=⋯⋯⋯⋯-n n a a a a a a n n ，所以5a ＝16256. B. 分析：经计算可知每6个数数列将会重复出现，2008a ＝4a ＝－17. ⎩⎨⎧==12b c 或⎩⎨⎧=-=63b c ;. 8. 320-=a分析：计算出32-=a ，33=a ，4a ＝0，所以20a ＝32-=a 9. n a =n110. 3a ＝2 分析：当n ＝3时，3a 4a ＝（3＋2）（0＋2）＝10，由于n a 为非负整数，所以3a 的可能取值为1，2，5，10.当3a ＝1时，4a ＝10，4a 5a ＝（1＋2）（3＋2）＝15，得5a ＝23，不合题意； 当3a ＝2时，4a ＝5，4a 5a ＝（2＋2）（3＋2）＝20，得5a ＝4；此时5a 6a ＝（5＋2） （2＋2）＝28，6a ＝7，……当3a ＝5时，4a ＝2，4a 5a ＝（5＋2）（3＋2）＝35，得5a ＝235不合题意； 当3a ＝10时，4a ＝1，4a 5a ＝（10＋2）（3＋2）＝60，得5a ＝60；此时5a 6a ＝（1＋2）（10＋2）＝36，6a ＝53，不合题意 综合可知：3a ＝211. (1)1,21, 31,41,51. (2) n a =n 1. 12. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+==),2(12)1(0＋n N n n n n a等差数列概念和性质等差数列性质应用答案 即时反馈1. B; 即时反馈2. ； 即时反馈3. ； 即时反馈4. 5个巩固提高 1：B. 由于奇偶－S S ＝5d ＝15，所以d ＝32：B. 由15321=++a a a 可知52=a ，所以5（5－d ）（5＋d ）＝80，故d ＝3而=++131211a a a 312a ＝3（d a 102＋）＝105 3：B. 由于25a ＝1264=+a a ，所以5a ＝6，所以9S ＝95a ＝544： B. 由于41a a ＋＝1332=+a a 且21=a 得4a ＝11，所以d ＝3，而=++654a a a 35a ＝3（4a ＋d ）＝425：=m 0；公差d ＝2. 由公式Bn An S n +=2（2dA =）直接可得 能力提升6. C7. 130. 由于230a ＝15a ＋45a ，所以30a ＝50，而60a ＋15a ＝30a ＋45a ，所以60a ＝130 8.11-+n n . 由于有21+n 个奇数项，21-n 个偶数项，所以项数之比为11-+n n 9. 5 . 由3227=偶奇S S 得奇偶奇偶＋－S S S S ＝27322732＋－，即5953546=d ，所以d ＝5 10. 10. 由于奇偶－S S ＝50d ＝25，且奇偶S S +＝45，所以奇S ＝1011. d ＝－1 .10S －5S ＝++76a a ……＋10a ＝－15，（10S －5S ）－5S ＝5×5d ＝－25，所以d ＝－112. 16. 奇偶－S S ＝nd ＝6，=--112a a n 2（d n )1-＝10.5，相除得n ＝8因此项数为1613. 72-. 1991955512()99,2192a a S a a a a a a +⨯==-+=⇒=-∴+=-，11651216()16()1691672222a a a a S +⨯+⨯-⨯====-等差数列性质应用（二）等差数列性质应用（二）练习答案：即时反馈1. （1）当1,231==d a 时，n n n n n S n +=-+=2212)1(23，由2)(2k k S S =得，2224)21(21k k k k +=+ ，即0)141(3=-k k ，又0≠k ，所以4=k ．（2）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2k k S S =中分别取2,1=k 得⎩⎨⎧==224211)()(S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=211211)2122(2344 d a d a a a ，由（1）得01=a 或11=a ．当01=a 时，代入（2）得：0=d 或6=d ；当0,01==d a 时，0,0==n n S a ，从而2)(2k k S S =成立；当6,01==d a 时，则)1(6-=n a n ，由183=S ，216,324)(923==S S 知， 239)(S S ≠，故所得数列不符合题意；当11=a 时，0=d 或2=d ，当11=a ，0=d 时，n S a n n ==,1，从而2)(2k k S S =成立；当11=a ， 2=d 时，则2,12n S n a n n =-=，从而2)(2k k S S =成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列； 0=n a 或1=n a 或12-=n a n ． 另解：由2)(2k k S S =得22221111[(1)][(1)]22k a k d k a k d +-=+-，整理得 12222211111111()()()042242d d k da d k a a d d da -+-+-++-=对于一切正整数k 都成立，则有122122111104210211042d d da d a a d d da ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-++-=⎪⎩解之得：100d a =⎧⎨=⎩或101d a =⎧⎨=⎩或121d a =⎧⎨=⎩ 所以所有满足条件的数列为：0=n a 或1=n a 或12-=n a n ．即时反馈2 不是.提示：令1=n 得，321=+a a ，所以a a -=32当3≥n 时，12-=n a n ，若数列}{n a 是等差数列，则1a ＝a 1=，a a -=323=此时0=a 故这样的a 不存在. 所以数列}{n a 不是等差数列即时反馈3. n a ＝）－（）（－1211n n +（*N n ∈） 分析：（1）当n ＝1时，1a ＝1S ＝1（2）当2≥n 时，n a ＝n S －1-n S ＝）－（）（－1211n n +，当n ＝1时，也适合， 所以n a ＝）－（）（－1211n n +（2≥n ），（*N n ∈） 即时反馈4. A巩固提高：1. B 2.C 3.D 4.B 5.C能力提升：6.证明略7. 解+++963a a a ……99a +＝66分析：设1T ＝+++741a a a ……97a +，2T ＝+++852a a a ……98a +，3T ＝+++963a a a ……99a +，则3T －2T ＝33d ，2T －1T ＝33d ，即2T ＝3T －33d ，1T ＝3T －66d所以1T ＋2T ＋3T ＝33T －99d ＝99，所以3T ＝668. 变式1.即n ＝7或n ＝8，n S 取最大值.分析：若用解法1，当n ＝215时，取最大值，但是215*N ∉,因此需取距215较近的正整数， 即n ＝7或n ＝8，n S 取最大值. 另两种解法略（同学们一定自己认真完成）变式2.（1）若n m +为偶数，则2n m k +=*N ∈，所以2n m S +最大 （2）若n m +为奇数，则2n m k +=*N ∉，所以21++n m S ＝21-+n m S 最大 分析：用解法3非常简单，另两种解法略（同学们一定自己认真完成） 解：由)(n m S S n m ≠=可知，对称轴为2n m k +=（1）若n m +为偶数，则2n m k +=*N ∈，所以2n m S +最大 （2）若n m +为奇数，则2n m k +=*N ∉，所以21++n m S ＝21-+n m S 最大 9.①228n a n =+ ②21n a n =+ ③21n a n = ④121(2)33n n a -=+⋅- 10. 4(1)n a n n =+。