动态规划
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划的基本思想
动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。
这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。
一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。
动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。
2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。
3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。
4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。
5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。
三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。
问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。
根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。
2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划原理
动态规划原理动态规划（Dynamic Programming）是一种在数学、计算机科学和经济学等领域中使用的优化方法。
它是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的方法，通过将问题分解成相互重叠的子问题，动态规划可以大大简化问题的解决过程，提高算法的效率。
在本文中，我们将介绍动态规划的原理及其应用。
动态规划的基本原理是将原问题分解成相互重叠的子问题，通过解决子问题来解决原问题。
在动态规划中，我们通常使用一个表格来存储子问题的解，以便在解决更大的问题时能够重复利用已经计算过的结果。
动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，这些问题可以被分解成相互重叠的子问题，并且最优解可以通过子问题的最优解来计算得到。
动态规划的关键步骤包括定义子问题、构建状态转移方程、初始化边界条件和计算最优解。
首先，我们需要定义子问题，即将原问题分解成更小的子问题。
然后，我们需要构建状态转移方程，即找到子问题之间的递推关系，以便能够通过子问题的解来计算更大的问题的解。
接下来，我们需要初始化边界条件，即确定最小的子问题的解。
最后，我们可以通过自底向上或自顶向下的方式计算最优解。
动态规划的应用非常广泛，包括但不限于最短路径问题、背包问题、编辑距离、最长公共子序列、最大子数组和斐波那契数列等。
这些问题都具有重叠子问题和最优子结构性质，因此可以通过动态规划来解决。
动态规划在实际应用中往往能够大大提高算法的效率，因此受到了广泛的关注和应用。
总之，动态规划是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的优化方法。
通过定义子问题、构建状态转移方程、初始化边界条件和计算最优解，动态规划可以大大简化问题的解决过程，提高算法的效率。
它在各个领域都有着广泛的应用，是一种非常重要的算法设计思想。
希望本文能够帮助读者更好地理解动态规划的原理及其应用。
以上就是关于动态规划原理的介绍，希望对您有所帮助。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划的基本概念与方法
动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划的基本概念是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。
通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。
为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。
这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。
动态规划的基本方法是“状态转移”。
状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。
通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。
在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。
第一步，定义子问题。
将原问题划分为若干个子问题。
这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。
例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。
第二步，确定状态。
状态是求解问题所需要的所有变量的集合。
子问题的解需要用到的变量就是状态。
也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。
第三步，确定状态转移方程。
状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。
在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。
最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。
例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。
动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。
但是，动态规划也有一些限制。
首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。
其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一 般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策 面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为 状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状 态和终止状态，或称输入状态和输出状态， 阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公 式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且 与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;
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§2 最优化原理与动态规划的数学模型
2-1 动态规划的解题思路
将一个n阶段的决策问题转化为依次求解n个具有递 推关系的单阶段的决策问题。 动态规划问题的计算中较多采用逆序算法
B1
6 5
7 5
C1
1
4
6
D1
3
3
3
A
B2
2
4
5
C2
3
E
4
B3
1 5
D2
3
C3
Next Solv1
Next Solv2
Next Solv3
sk——第k阶段状态变量。
特征： ① 反映研究对象的演变特征； ② 包含到达这个状态前的足够信息，并具有无后效性； 或称决策的相互独立性； ③ 状态变量具有可知性，当决策确定后，到达的状态是 可以测知的。 描述状态所必须使用的变量数，称动态规划的维数。
（3）决策（decision）：指在某阶段初从给定的状态出发，决策者在 面临的若干种不同的方案中所做出的选择。 决策变量xk(sk) ∈Dk(sk)——允许决策集合， xk(sk)取值范围。
Back
B3C1+ f3(C1) f2(x2=B3)= min B3C2+ f3(C2) B3C3+ f3(C3) = min
5+4 1+7 5+6 =8，x2 * (B3) = B3C2
4）k=1， f1(x1)=min{v1(s1，x1) + f2(x2)}， AB1+ f2(B1) f1(x1=A)= min AB2+ f2(B2) AB3+ f2(B3) = min 2+11 5+7 3+8 =11，x1 * (A) = AB3
逆序求解
1）k=4，由递推方程知 f4(x4)=min{v4(s4，x4) + f5(x5)}， 而 f5(x5) =0 为边界条件
∴
f4(x4=D1)=min {D1E+ f5(x5) }=3，x4* (D1) = D1E f4(x4=D2)=min{D2E+ f5(x5) }=4 ，x4 * (D2) = D2E
=7，x3 * (C2) = C2D2
Back
f3(x3=C3)= min
C3D1+ f4(D1) C3D2+ f4(D2)
= min
3+ 3 3+ 4
=6，x3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(s2，x2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) 7+4
§1 多阶段的决策问题 §2 最优化原理与动态规划的数学模型 §3 离散确定性动态规划模型的求解 §4 离散随机性动态规划模型的求解 §5 一般数学规划模型的动态规划解法
§1 多阶段的决策问题
【例1】从A至E需经B、C、D，问如何行走，路程最短？
7 6 5 3 5
B1
C1
1
4 6
D1
3
3
A
B2
2
4 5
f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2)
B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3)
= min
5+7 6+6 3+4
=11，x2 * (B1) = B1C1
= min
2+7 1+6
=7， x2 * (B2) = B2C1 ， 或 x2 * (B2) = B2C3
200
3
500
4
300
5
200
6
100
交货数量（件） 100
可看成6个阶段的决策：
生 产 库存
生 产
生 产
1
月
库存
2
月
库存
库存
6
月
费用
费用
费用
【例3】某公司承担一种新产品试制任务，合同要求三 个月内交出一台合格的样品，否则将负担1500元的赔 偿费。试制时投产一台成功的概率为1/3，投产一批的 准备费用为250元，每台试制费用为100元。若投产一 批后全部不合格，可再投产一批试制，但每投产一批需 要一个月的周期。问每批应该投产多少台，可使总的费 用（包括可能发生的赔偿费用）期望值最小？
第1月
试制
合格否? N Y STOP
第2月
试制
合格否? N Y STOP
第3月
试制
合格否? N
赔偿费
Y
STOP
多阶段决策问题的特点：
① 决策过程可划分为若干个互相联系的阶段； ② 在每一阶段分别对应着一组可以选取的决策； ③ 当每个阶段决策选定以后，活动过程也随之确定。
许多多阶段决策问题表现出明显的时序性，故体 现出“动态”的特点，所以是动态规划研究的主要对 象。某些静态问题，当采用动态规划的方法求解时， 也会使问题的处理变得简单。
要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。
（4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列 总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策略。 n 阶段策略可记为 {x1(s1), x2(s2) , … , xn(sn)}， 子策略可记为 {xk(sk), xk+1(sk+1) , … , xn(sn)}。 （5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值sk出 发，当决策变量xk的取值确定之后，下一阶段的状态值sk+1按某种规律 T(sk , xk)确定。 第k+1阶段状态是第k阶段状态sk和变量xk的函数 sk+1 = T(sk , xk)， 又称状态转移方程。
2）k=3， f3(x3)=min{v3(s3，x3) + f4(x4)}， f3(x3=C1)= min C1D1+ f4(D1) C1D2+ f4(D2) f3(x3=C2)= min C2D1+ f4(D1) C2D2+ f4(D2) = min = min 1+ 3 4+ 4 6+ 3 3+ 4 =4，x3 * (C1) = C1D
B3
1 5
D2
3
C3
【例2】某工厂根据合同要求在未来半年中需提供货物数 量如表中所示，表中数字为月底交货数量。该厂的生产 能力为每月400件，其仓库的存货能力为3百件。已知每 百件货物的生产费用为10千元，在进行生产的月份，工 厂要支出固定费用4千元，仓库保管费用为每百件货物每 月1千元，假定开始及6月底交货后均无存货，试问每个 月应该生产多少件产品，才能既满足交货任务又使总费 用最小？ 月 份 1 2
∴
最优策略：A——B3——C2——D2——E， 最短距离：f（A）=11 Back
2-2 动态规划的基本概念
（1）阶段（stage）：指一个问题需要做出决策的步数。 k——阶段变量。 （2）状态（state）：某阶段初始状况。既反映前面各阶段决策的 结局，又是本阶段作出决策的出发点和依据。是动态规划中各阶 段信息的传递点和结合点。