01背包问题动态规划详解及C++代码
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
01背包问题回溯法c语言
01背包问题回溯法c语言01背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用回溯法来解决。
在C语言中，我们可以通过递归的方式来实现回溯法解决01背包问题。
首先，让我们来看一下01背包问题的描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。
现在有一个背包，它能够容纳一定的重量，问如何选择装入背包的物品，使得背包中物品的总价值最大。
接下来，让我们来看一下如何使用回溯法来解决这个问题。
我们可以定义一个递归函数来尝试将每个物品放入背包或者不放入背包，然后找出最优解。
以下是一个简单的C语言代码示例：c.#include <stdio.h>。
#define N 5 // 物品的数量。
#define W 10 // 背包的容量。
int weight[N] = {2, 2, 6, 5, 4}; // 每个物品的重量。
int value[N] = {6, 3, 5, 4, 6}; // 每个物品的价值。
int maxValue = 0; // 最大的总价值。
void backtrack(int index, int currentWeight, int totalValue) {。
if (index == N || currentWeight == W) {。
if (totalValue > maxValue) {。
maxValue = totalValue;}。
return;}。
// 不放入背包。
backtrack(index + 1, currentWeight, totalValue); // 放入背包。
if (currentWeight + weight[index] <= W) {。
backtrack(index + 1, currentWeight +weight[index], totalValue + value[index]);}。
}。
int main() {。
backtrack(0, 0, 0);printf("背包能够容纳的最大总价值为，%d\n", maxValue);return 0;}。
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）
动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）参考：⽬录描述：有N件物品和⼀个容量为V的背包。
第i件物品的体积是vi，价值是wi。
求解将哪些物品装⼊背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最⼤。
⼆维动态规划f[i][j] 表⽰只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最⼤是多少。
result = max(f[n][0~V]) f[i][j]:不选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j];选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]（v[i]是第i个物品的体积）两者之间取最⼤。
初始化：f[0][0] = 0 （啥都不选的情况，不管容量是多少，都是0？）代码如下：n, v = map(int, input().split())goods = []for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()])# 初始化，先全部赋值为0，这样⾄少体积为0或者不选任何物品的时候是满⾜要求dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]for i in range(1, n+1):for j in range(1,v+1):dp[i][j] = dp[i-1][j] # 第i个物品不选if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是⼤于第i件物品的体积# 在选和不选的情况中选出最⼤值dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])print(dp[-1][-1])⼀维动态优化从上⾯⼆维的情况来看，f[i] 只与f[i-1]相关，因此只⽤使⽤⼀个⼀维数组[0~v]来存储前⼀个状态。
那么如何来实现呢？第⼀个问题：状态转移假设dp数组存储了上⼀个状态，那么应该有：dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])max函数⾥⾯的dp[i]代表的是上⼀个状态的值。
01背包问题c语言代码回溯法
以下是使用C语言实现01背包问题的回溯法代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 初始化背包struct knapsack {int maxWeight; // 背包最大承重int *items; // 物品数组int n; // 物品数量};// 定义物品重量、价值和数量int weights[] = {2, 2, 6, 5, 4};int values[] = {6, 3, 5, 4, 6};int quantities[] = {3, 2, 2, 1, 1};// 初始化背包最大承重和当前承重int maxWeight = 10;int currentWeight = 0;// 初始化最大价值为0int maxValue = 0;// 遍历物品数组void traverseItems(struct knapsack *knapsack, int index) { // 对于每个物品，遍历其数量for (int i = 0; i < knapsack->quantities[index]; i++) {// 如果当前物品可以放入背包装且当前承重不超过背包最大承重，计算放入该物品后的总价值，并更新最大价值if (currentWeight + weights[index] <= knapsack->maxWeight) {int currentValue = values[index] * knapsack->quantities[index];if (currentValue > maxValue) {maxValue = currentValue;}}// 回溯，将当前物品从背包装中移除，递归地尝试下一个物品knapsack->quantities[index]--;if (index < knapsack->n - 1) {traverseItems(knapsack, index + 1);}knapsack->quantities[index]++; // 恢复物品数量，以便下次遍历尝试放入其他物品}}// 主函数int main() {// 初始化背包装和物品数组struct knapsack knapsack = {maxWeight, weights, 5};knapsack.items = (int *)malloc(sizeof(int) * knapsack.n);for (int i = 0; i < knapsack.n; i++) {knapsack.items[i] = values[i] * quantities[i]; // 根据价值和数量计算物品价值，并存储在物品数组中}knapsack.n = quantities[4]; // 由于最后一个物品的数量为1，因此只需遍历前n-1个物品即可得到所有可能的结果// 使用回溯法求解01背包问题，返回最大价值traverseItems(&knapsack, 0);printf("The maximum value is %d.\n", maxValue);free(knapsack.items); // 释放内存空间return 0;}```希望以上信息能帮助到你。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
蛮力法、动态规划法 求解01背包问题
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值
c语言算法--贪婪算法---01背包问题
c语言算法--贪婪算法---0/1背包问题在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。
从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。
对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。
约束条件为n ?i =1wi xi≤c 和xi?[ 0 , 1 ] ( 1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出xt 的值。
xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。
0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。
货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。
例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。
店中有n 种不同的货物。
规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。
你的目标是使车中装载的物品价值最大。
当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。
这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。
0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。
在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。
一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。
这种策略不能保证得到最优解。
例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。
当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。
而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。
另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。
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1.问题描述
给定一个载重量为C的背包有n个物品其重量为wi价值为vi 1<=i<=n要求:把物品装入背包并使包内物品价值最大2.问题分析
在0/1背包问题中物体或者被装入背包或者不被装入背包只有两种选择。循环变量i j意义前i个物品能够装入载重量为j的背包中
数组c意义c[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值
c[i][j] = v[i] + c[i - 1][j - w[i]];
else c[i][j] = c[i - 1][j];
}
else c[i][j] = c[i - 1][j];
}
}
}
void OUTPUT_SACK(int c[50][50], int x[50], int w[50], int n, int C)
请按任意键继续. . .
若w[i]>j第i个物品不装入背包
否则若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>c[i-1][j]则记录当前最大价值替换为第i个物品装入背包后的价值
其c++代码如下
#include<iostream>
using namespace std;
void KANPSACK_DP(int c[50][50], int w[50], int v[50], int n, int C)
}
cout<<endl<<"最大容量为"<<endl;
cout<<c[n][C]<<endl; system("pause");
return 0;
}
运行结果如下
输入物品的总个数5
输入背包的总容量10
依次输入物品的重量2 2 6 5 4
依次输入物品的价值6 3 5 4 6
最优解为1 1 0 0 1
最大容量为15
int x[50];
int C,n;
cout<<"输入物品的总个数";
cin>>n;
cout<<"输入背包的总容量";
cin>>C;
cout<<"依次输入物品的重量"<<endl;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cin >> w[i];
}
cout<<"依次输入物品的价值"<<endl;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cin >> v[i];
}
KANPSACK_DP(c, w, v, n, C);
OUTPUT_SACK(c, x, w, n, C);
cout<<"最优解为"<<endl;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cout<<x[i]<<" ";
{
for(int k = n; k >= 2; k --)
{
if(c[k][C] == c[k-1][C])
x[k] = 0;
else {
x[k] = 1;
C = C - w[k];
}
}
x[1] = c[1][C] ? 1 : 0;
}
int main()
{
int c[50][50];
int w[50],v[50];
{
for(int i = 0; i <= C; i ++)
{
c[0][i] = 0;
}
for(int i = 1; i <= n; i &#;
for(int j = 1; j <= C; j ++)
{
if(w[i] <= j)
{
if(v[i] + c[i - 1][j - w[i]] > c[i - 1][j])