第一讲 不等式和绝对值不等式(1)
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高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
2
（3）
a
2
b
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
（3）
a
2
b
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
高二数学PPT之4-5(人教A版)：第一讲1
3 2ab2c.当且仅当a2x＝bcx2，即 x＝ 3 a2bc时，等号成立．
2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个 正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、 三相等”的条件，缺一不可．
[变式训练] 求函数 y＝136x2＋3x(x＞0)的最小值． 解：因为 x＞0， 所以 y＝136x2＋3x ＝136x2＋23x＋23x≥3 3 136x2·23x·23x＝94.
答案：B
1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．
(1)“一正”．不论是三个数的或者 n 个数的算术—
几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，
3
如 a＋b＋c≥3 abc，取 a＝b＝－2，c＝2 时 a＋b＋c＝－
3
2，而 3 abc＝6，显然－2≥6 不成立．
(2)“二定”．包含两类求最值问题：一是已知 n 个 正数的和为定值(即 a1＋a2＋…＋an 为定值)，求其积 a1·a2·…·an 的最大值；二是已知积 a1·a2·…·an 为 定值，求其和 a1＋a2＋…＋an 的最小值．
类型 3 利用定理 3 解应用题
[典例 3] 如图所示，把一块边长为 a 的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起做 成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时，盒子 的体积最大？
解：设切去的正方形的边长为 x，无盖盒子的容积为
V，
则
V
＝
(a
－
2x)2x
＝
1 4
(a
－
2x)(a
高二数学PPT之4-5（人教A版）课件：第一讲三个正数旳算术—几何平均不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
2
= x +2+
2
1 x2 + 2
1 时是减函数. 又∵ x + 2 ≥ 2 ,又∵函数 y = t + 在 t ∈ [1, +∞ ] 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x = 0 时,函数 y = x + 2 + 取得最小值 . 2 2 x +2
x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 + 1 1 2 = = x +2+ 解 : ⑶∵ y = ≥2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 3 ∴函数 y = 的最小值为 2. x2 + 2 上面解法错在哪? 上面解法错在哪?
AM=y米 解:设AM= 米
200 - x 2 因而 4 xy + x 2 = 200 y = 4x
D A
Q
P C B
于是S = 4200 x 2 + 210 × 4 xy + 80 × 2 y 2 0 < x < 10 2
M
N
E
F
课堂练习: 课堂练习: 练习 1.判断下列命题是否正确 判断下列命题是否正确: 判断下列命题是否正确 (1) a > b, c > b a > c ( ×) (2) a > b c a < c + b ( ) √ (3) a > b ac 2 > bc 2 ( × (4) a > b, c > d ac > bd × ) ) ( a b √ (5) 2 > 2 a > b ( ) (6) a 2 > b 2 a > b × ) ( c c √ (7) a > b a 2 > b 2 × ) ( (8) a > b a 2 > b 2 ( )
= x +2+
2
1 x2 + 2
1 时是减函数. 又∵ x + 2 ≥ 2 ,又∵函数 y = t + 在 t ∈ [1, +∞ ] 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x = 0 时,函数 y = x + 2 + 取得最小值 . 2 2 x +2
x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 + 1 1 2 = = x +2+ 解 : ⑶∵ y = ≥2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 3 ∴函数 y = 的最小值为 2. x2 + 2 上面解法错在哪? 上面解法错在哪?
AM=y米 解:设AM= 米
200 - x 2 因而 4 xy + x 2 = 200 y = 4x
D A
Q
P C B
于是S = 4200 x 2 + 210 × 4 xy + 80 × 2 y 2 0 < x < 10 2
M
N
E
F
课堂练习: 课堂练习: 练习 1.判断下列命题是否正确 判断下列命题是否正确: 判断下列命题是否正确 (1) a > b, c > b a > c ( ×) (2) a > b c a < c + b ( ) √ (3) a > b ac 2 > bc 2 ( × (4) a > b, c > d ac > bd × ) ) ( a b √ (5) 2 > 2 a > b ( ) (6) a 2 > b 2 a > b × ) ( c c √ (7) a > b a 2 > b 2 × ) ( (8) a > b a 2 > b 2 ( )
第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].
![第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/65359cec81c758f5f61f67e2.png)
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式
1、不等式的基本性质：
a a b, b c ①、对称性： b b a 传递性：_________ a c
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
a＞b，
c 0 ，那么ac＜bc
a b
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面 积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长 最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p， p 那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果 和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 1 2 s 4
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b&l-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5， 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c 的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
F
补充例题 已知a,b (0,+)，且a+b=1，求证： 1 （1）a b ; 2 1 1 （2） 2 2 8； a b 1 2 1 2 25 （3）（a+ ) (b ) ； a b 2 1 1 25 （4）（a+ )(b ) . a b 4
2 2
课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题
例4
1、不等式的基本性质：
a a b, b c ①、对称性： b b a 传递性：_________ a c
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
a＞b，
c 0 ，那么ac＜bc
a b
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面 积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长 最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p， p 那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果 和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 1 2 s 4
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b&l-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5， 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c 的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
F
补充例题 已知a,b (0,+)，且a+b=1，求证： 1 （1）a b ; 2 1 1 （2） 2 2 8； a b 1 2 1 2 25 （3）（a+ ) (b ) ； a b 2 1 1 25 （4）（a+ )(b ) . a b 4
2 2
课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题
例4
5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2
x2 2 1 x2 2
x 2
的最小值.
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和 定积大),但特别要注意条件的满足： 一正、 二定、 三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 ≥ abc ， 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.
推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,an， 它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值， a1 a2 a3 an ≥ n a1 a2 a3 an 即 n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解 一些简单的不等式和证明一些不等式， 如 1.求解下列不等式： x2 2 ① x 3 x 10 0 ② >0 x5 3 2 2.设 n 1 ,且 n 1, 求证: n 1 > n n .
第一讲不等式和绝对值不等式小结课件人教新课标
二 分类讨论的思想方法 【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f(0)＝f(1)，当 x1、x2 ∈[0,1]，x1≠x2 时都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|<12.
【证明】 不妨设 0≤x1<x2≤1，以下分两种情形讨论． ①若 x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤12， ∴|f(x2)－f(x1)|<12. ②若 x2－x1>12，∵f(0)＝f(1)， ∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|
规律技巧 利用几个代数式的范围来确定某个代数式的范围 是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向(异向)不等 式的两边可以相加(相减)”这种转化往往不是等价变形，在一个解 题过程中多次使用这种转化时，有可能扩大代数式的取值范围，尤 其当不等式中含有多个“≤(或≥)”时，其中的“＝”不一定同时 取得．解这类问题可利用待定系数法先建立待求范围的代数式与已 知范围的代数式的等量关系，最后通过一次线性不等关系的运算， 求得待求的范围；或转化为线性规划问题，用线性规划的方法求解.
【解】 (1)∵a＝1，∴lg(|x＋5|＋|x－5|)<1＝lg10.∴|x＋5|＋|x －5|<10.
由实数绝对值的几何意义知，不等式的解就是数轴上表示到－ 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合．如图所示．
设 x 对应点为 C，当 C 在线段 AB 上时，|AC|＋|BC|＝10，当点 C 在线段 AB 的外端时|AC|＋|BC|>10，因此，适合题意的点 C 不存 在，即当 a＝1 时，不等式无解，故原不等式无解．
(3)各种类型绝对值不等式的解法． ①|x|<a(a>0)⇔－a<x<a. ②|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<－a. ③|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ④|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 有三种方法选择：
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选修４-５ 不等式选讲
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不
第二讲
等
证明不等式的基本方法
式
选 讲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB gg ab b>a
基本不等式
B
A
g
g
b
a
a>b
a>ba-b>0
a<ba-b<0
b=a b-a=0
= 200 y =
200 - x2 4x
D A
C B
于是S = 4200x2 + 210×4xy + 80×2y2 M
N
0 < x < 10 2
EF
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c (× )
(3) a b ac2 bc2 (×)
(5)
a c2
b c2
ab
(√)
(7) a b a2 b2 (×)
(2) a b c a c b (√) (4) a b, c d ac bd (× ) (6) a2 b2 a b (×) (8) a b a2 b2 (√)
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
定理：设 x, y, z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值2 s. ⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy 有最大值 p2 .
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
4
注：一正、二定、三等。
例 3求证:
(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
（（12））若若ca>>ab>, b1a>0，b1则，c则aaa>0，cbb<0b。（（真真命 命题 题） ）
二: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米21平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系
式;
HG
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:设AM=y米
Q
P
从而
4xy + x2
一: 不等式的性质
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x 1
x 1 有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
4、求函数y x 1 的值域. x
=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1)2 2
1 2
0
∴A>B
3.若a、b、x、y∈R，则 成立的（C ）
x y a (x a)( y
b b)
是 0
x
y
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
注:是比较两个数大小的依据
例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
（开方性）
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
b c
证明: c d 0, cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
c
cc
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不
第二讲
等
证明不等式的基本方法
式
选 讲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB gg ab b>a
基本不等式
B
A
g
g
b
a
a>b
a>ba-b>0
a<ba-b<0
b=a b-a=0
= 200 y =
200 - x2 4x
D A
C B
于是S = 4200x2 + 210×4xy + 80×2y2 M
N
0 < x < 10 2
EF
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c (× )
(3) a b ac2 bc2 (×)
(5)
a c2
b c2
ab
(√)
(7) a b a2 b2 (×)
(2) a b c a c b (√) (4) a b, c d ac bd (× ) (6) a2 b2 a b (×) (8) a b a2 b2 (√)
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
定理：设 x, y, z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值2 s. ⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy 有最大值 p2 .
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
4
注：一正、二定、三等。
例 3求证:
(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
（（12））若若ca>>ab>, b1a>0，b1则，c则aaa>0，cbb<0b。（（真真命 命题 题） ）
二: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米21平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系
式;
HG
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:设AM=y米
Q
P
从而
4xy + x2
一: 不等式的性质
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x 1
x 1 有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
4、求函数y x 1 的值域. x
=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1)2 2
1 2
0
∴A>B
3.若a、b、x、y∈R，则 成立的（C ）
x y a (x a)( y
b b)
是 0
x
y
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
注:是比较两个数大小的依据
例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
（开方性）
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
b c
证明: c d 0, cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
c
cc