解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<．
［题根4］解不等式2
|55|1x x -+<．
［思路］利用｜f(x)｜ 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等 式组2 1551x x -<-+<即22 551 (1)551 (2) x x x x ?-+-??求解。 ［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<， 即2 2 551(1)551 (2) x x x x ?-+-?? 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程 2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。 第1变 右边的常数变代数式 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x > 12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即22 2 226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<-- ???或 2 所以原不等式的解集是{x |2 ［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ?－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <－()g x 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2 -3x-4；（2）2 34 x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2 -3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2 -3x-4) ② 解①得：1-2 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2 -x+2｜ 而x 2 -x+2＝(x-14)2+74 >0 所以｜x-x 2 -2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2 -3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤2 34 x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ?9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ?x 4-17x 2+16≥0 ?x 2≤1或x 2≥16 ?-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2 (x)〈g 2(x)两边平方 去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2 <|x +a |2 即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >1 2(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x < 1 (1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5?-2x>6?x<-3. 当-3 ［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式 此类不等式的简捷解法是利用平方法，即： |()f x |<|()g x |?2 2 ()()f x g x 2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化 1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 | |||lg lg x x a a -+> ∴22 |lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是2 2 lg (1)lg (1)0x x --+> ∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -<<+ 解得0 2．不等式|x+3|-|2x-1|<2 x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=??? ? ?? ??? -≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21≥ x 时12 4+<-x x ∴x>2 当-3 21时4x+2<2x +1 ∴7 23-<<-x 当3-≤x 时12 4+<-x x ∴3-≤x 综上72 - 故填),2()7 2 ,(+∞?--∞。 3．求不等式13 3 1 log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 01 03x x >???>?-?，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：304 x <≤。 (2)当1 ∴ 2330x x -+≤ x ∴∈?。 (1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：9 34x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,34 4???? ?? ?? ? ?? 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- ［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x | ① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3 解不等式组474272x a x x a ≥?+?≤< ? - ，∴a >1 ② 当3 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x x x a ≤?--?<≤? -1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0 由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1 解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x | 解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当a >1时，|x －4|+|3－x | ［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。 2）()f x a ≤有解()min a f x ?≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ?<；这两者互补。()f x a ≤恒 成立()max a f x ?≥。 ()f x a <有解()min a f x ?>；()f x a <解集为空集()min a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成 立()max a f x ?>。 ()f x a ≥有解()max a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒 成立()min a f x ?≤。 ()f x a >有解()max a f x ?<；()f x a >解集为空集()max a f x ?≤；这两者互补。()f x a >恒 成立()min a f x ?≤。 ［请你试试4—4］ 1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。 思维点拨：要使|x +1|－|x －2|>k 对任意实数x 恒成立，只要|x +1|－|x －2|的最小值大于k 。因|x +1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，|x －2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离，|x +1|－|x －2|的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围。 解法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立 ∵|AB|=3，即|x +1|－|x －2|≥－3 故当k <－3时，原不等式恒成立 解法二 令y =|x +1|－|x －2|，则3,121,123,2x y x x x -≤-?? =--< 要使|x +1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可。 故k <－3满足题意。 2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。 解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即 21≤≤-x 时取等号。故a<3 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3| ∴ 当|x-4|+|x-3|1 （二）如图，实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|≥1 ∴恒有y ≥1 数按题意只须a>1 （三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象 由f(x) 当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a 的椭圆内部，当z 为实数时，a>1原不等式有解∴a>1即为所求 （五） 可利用零点分段法讨论. 将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间. 当x<3时，得(4-x)+(3-x)72 a -. 有解条件为 72 a -<3 即a>1 当3≤x ≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时，得(x-4)+(x-3) a - 有解条件为 72 a ->4 即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 变题： 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a 对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3| 3、若不等式|x-4|-|x-3|>a 在R 上恒成立，求a 的取值范围 评注： 1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。 4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法 设0 5 ≤,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ，亦满足不等式 2 1 2<-a x 求正实数b 的取值范围。 简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A ＝}(){ b a b a b a x x +-=<-,|， B=????? ? ??+-=???< -21,2121|222a a a x x 由题设知A ?B ，则： 21 2- ≥-a b a 21 2+≤+a b a 于是得不等式组： 21 2++-≤a a b 2 1 2+-≤a a b 又 =-+-212a a 43212 +??? ?? --a ，最小值为163； ,4 1 21212 2+??? ??-=+-a a a 最小值为41； ∴ 16 3 ≤ b , 即 ：b 的取值范围是?? ? ??163, 0 第5变 绝对值三角不等式问题 ［变题5］已知函数2 ()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证： (1)||1b ≤； (2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。 ［思路］本题中所给条件并不足以确定参数b a ,，c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。 ［解题］证明：(1)由()()()()1 1,1[11]2 f a b c f a b c b f f =++-=-+?=--，从而有 11 ||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1, 221 ||(|(1)||(1)|) 1. 2 b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤ (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),2 2 f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+?=--+=+-= 从而 ()()1[11](0)2 a f f f =+-- 将以上三式代 入 2()(,,) g x bx ax c a b c R =++∈，并整理得 222222 11 |()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211 |(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)| 2211 |(0)|1||(1)||1||(1)||1| 221111 |1||1||1|1(1)(1)22222 2 g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+ ++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ ［收获］1） 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。要求同 学们做题时要有敏锐的数学观察能力。 ［请你试试4—5］ 1．已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析：要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|。 证明：|f(a)-f(b)|=| |||| |||11|||11|2 2222 2 b a b a b a b a b a b a +-?+< +++-= +-+ ||||| |||| |||b a b a b a b a -=-?++≤ （其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴ | |||1 1112 2b a b a +< +++） 回顾：1、证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步。此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键。如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等。 第6变 绝对值不等式与其它知识的横向联系 ［变题6］（2003年全国高考试题）已知0>c .设 :P 函数x c y =在R 上单调递减. :Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R . 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. ［思路］ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则. ［解题］:函数x c y =在R 上单调递减10< 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ?函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1， ∵，，，， c x c x c c x c x x 22222|2|<≥? ? ?-=-+ ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2， ∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ?12>c ，即2 1>c ， 若P 正确，且Q 不正确，则2 10≤ 10(∞+，， . ［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命 题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视. ［请你试试4—6］ 1．（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01 321 : 2 >+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题. [分析] 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足 2151≤-a ，且≥+5 1a 1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问 题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向. [解答] 已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或5 1a x +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴2 1 3 - 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 绝对值不等式解法问题—7大类型 类型一：形如型不等式 解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当时， 或 2、当 ，无解 使的解集 3、当时， ，无解 使成立的的解集. 例1不等式的解集为（） A. B. C. D. 解： 因为，所以. 即 ， 解得： ， 所以，故选A. 类型二：形如型不等式 解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解： 或 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： 例2 不等式的解集为（） A． B. C． D. 解： 或 或，故选D 类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即： ， 或 例3设函数，若，则的取值范围是 解： ，故填：. 类型四：形如型不等式 解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即： 例4不等式的解集为 解： 所以原不等式的解集为 类型五：形如型不等式 解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即： ，无解 例5解关于的不等式 解： （1）当时，原不等式等价于： （2）当时，原不等式等价于： （3）当时，原不等式等价于： 或 或 综上所述 （1）当时，原不等式的解集为： （2）当时，原不等式的解集为： （3）当时，原不等式的解集为： 类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理 即可解得，即： ； ； 例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（） A． B. C. D. 解： 设函数 所以 而不等式对任意的实数恒成立 故，故选择A 类型七：形如 ， ， 1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解 绝对值不等式的解法教案 教学目标 （1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。 （4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。 教学重点：型的不等式的解法； 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】 【不等式的代数意义及几何意义】 学生活动 口答：代数意义 几何意义 |a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。 设计意图 绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 【不等式的性质】: ①若a>b ；c∈R 则 a+c>b+c ②若a>b ；c>0 则 ac>bc ③若a>b ；c<0 则 ac 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为，或 2、自主演练：解下列不等式 1） | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2） | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案：{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案：{ x | x>4,或x<-4 } R 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 一. 前提: 0a >; 形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为 ()()()f x a f x a f x a >?><-或; ()()f x a a f x a ()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱ 高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复 习用--可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－ x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 高三数学 序号004 高三 年级 班 教师 方雄飞 学生 分式不等式及简单的绝对值不等式的解法 学习目标 1、知识与技能：会求简单的分式不等式、简单的含绝对值不等式以及简单的高次不等式。 2、过程与方法： 通过知识点与实例巩固复习，体会数形结合及转化的思想在解题中的应用 3、情感态度与价值观：培养认真参与、积极交流的主体意识和乐于思考、踏实肯学的精神。 学习重点：绝对不等式与分式不等式的方法与步骤； 难点：注意数形结合和等价转化的思想在解题中的应用 教学过程 一、知识归纳 1、分式不等式的解法 思路是：“分式不等式??→?转化整式不等式”； 主要方法有：分类讨论、转化为整式 即: ?>0)()(x g x f ?≥0)() (x g x f 同理： ?<0)()(x g x f ?≤0) () (x g x f 2、简单的含绝对值不等式 思路是：“去掉绝对值符号”； 方法：平方法、定义法（讨论法）、几何意义法（等价变形） 即：a x a x a a x -<>?>>或)0(； a x a a a x <<-?><)0( 推广：?>≠>-)0,0(c a c b ax c b ax c b ax -<->-或 ?>≠<-)0,0(c a c b ax 3、简单的高次不等式的解法：标根法 思路：（1）、把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； （2）、各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式； （3）、把各个根从小到大依次排好标出，从右上方向左下方“穿针引线”； （4）、严格检查因式的根（特别是约去的偶次因式的根）是否在解集内； 二、例题讲解 题型1 分式不等式的解法 例1、解不等式：（1）、1213≥--x x （2）、05 46 52 2>--++x x x x ； 方法点拨1：解分式不等式的步骤：（1）先化为标准型，即 )0(0) () (<>或x g x f ； （2）转化为整式不等式； （3）解不等式时应注意“系数符号、不等号的方向以及考虑分母不为零” 练习1、解不等式：（1）、021≤-x （2）、021 2>--x x （3）21≤+x x （4）、22 06 x x x x +<+- 题型2 绝对值不等式的解法 例2、解不等式：（1）392≥-x ； （2）125x x -++< 练习2、解不等式：（1）、12≤+x （2）、311<+ 学科：数学 教学内容：含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1．绝对值的意义是：? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝． ｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝． 【思考导学】 1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？ 答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？ 答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7． 解法一：原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜ 23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x 不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7 ＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23 ｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7 ＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x 的不等式： (1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1． 解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1 当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 － 24+a ＜x ＜2 2 -a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为?， 综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜ 2 2 -a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是?． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－ 3 2 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－ 3 2 或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为?． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)． ［例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1． 解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1 (1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 前提：a 0； 形式：f （x ） =a ； f(x ） ca ； f （x ）∣κa ， f （x) Wa 等价转化为 f(x) >a = f(x ）〉a 或f （x)<—a ； f(x) va= -a 绝对值不等式|||||| a b a b +≤+，|||||| a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1 x x -+<． ［题根4］解不等式2|55|1 x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 2.3 其他不等式的解法（二） 上海教育出版社《数学》高一上册第二章2.3（2） 一、 教学目标 （一） 知识目标 （1） 掌握简单的含绝对值不等式常见的两种解法； （2） 进一步领悟“转化”的思想，掌握“转化“的方法及其依据。 （二） 能力目标 （1） 培养学生陌生问题转化为等价熟悉问题的能力； （2） 培养学生类比的能力； （三） 德育目标 （1） 培养学生转化问题的能力，从简单到复杂。 二、 教学的重难点及教学设计 （一） 教学重点 掌握含绝对值的不等式的解法。 （二） 教学难点 利用绝对值的意义，解含绝对值的不等式。 （三） 教学设计要点 1、 情境设计 （1） 通过简单复习绝对值的意义，引入含绝对值的不等式的解法，引入新课； 2、 教学方法 启发式讲授和学生合作探究相结合。 三、 教具准备 文字的ppt ，黑板，白色、彩色粉笔，幻灯片等。 四、 教学过程 （一） 引入新课——含绝对值不等式的解法 1． 复习： 在初中，我们已经知道x 的绝对表示的实数x 在数轴上所对应的点到原点的距离,正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值为0. 即： ||0x x x x x x ??=???，（当>0时） ，（当=0时）-，（当<0时） 2． 引出新课： （1）、 求不等式||x a a <（>0）的解集就是求数轴上到原点的距离小于a 的点所对应的 实数 x 的集合。 （2）、 用数轴作为图示说明，不等式||x a a <（>0） 等价于a x a -<<，解集为(),a a -，； （3）类似的，可以得到（请学生回答）： ()() [] [][]||(0),||(0),||(0),,x a a a a x a a a a x a a a a >>-∞-+∞≤>-≥>-∞-+∞ 的解集为，的解集为的解集为 3、 例题分析 （1） 例1：解不等式：|23|5x -<. 解法说明：由绝对值的意义和不等式的基本性质 （2） 例2:解不等式：2 |3|4x x -≥.（请一个学生在黑板上做） 总结：由例1和例2知解含绝对值不等式时，应先根据绝对值的意义，将它转化为不含有绝对值的不等式，再求解. （3） 例3：解不等式：23| |12x x -≥+. 两种解法：（1）先去绝对值，再解分式不等式 （2） 先化成整式不等式，再去绝对值，注意等价 （4） 例4：解不等式：|2||1| 5.x x ++-> 方法：要去绝对值，因而分类讨论 （5） 例5：若|1||2|x x a ++->的解集为R,求a 的取值范围。 五、 小结 解绝对值不等式的方法： 去绝对值，注意要等价变形 含绝对值不等式解法要点归纳 解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键． 一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法 去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有： 1．定义法去掉绝对值符号 根据实数绝对的意义，即| x | = (0) (0) x x x x ≥ ? ? -< ? ，有： | x |＜c? (0) (0) c x c c c φ -<<> ? ? ≤ ? ；| x |＞c? (0) 0(0) (0) x c x c c x c x R c <->> ? ? ≠= ? ?∈< ? 或 ； 2．利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b?a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号． 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点． 含绝对值不等式的解法 例1解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． 解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得 ｜x+3｜2>｜x-5｜2， 即（x+3）2>（x-5）2, x>1． ∴原不等式的解集为｛x｜x>1｝． 评析对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（） A．k<3 B．k<-3 C．k≤3 D．k≤-3 分析要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴ k<-3,∴选B． 评析此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长． 例3解不等式｜3x-1｜>x+3． 分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论． 解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;① 当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．② 又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③ 取①、②、③并集知不等式的解集为 ｛x｜x<- ，或x>2｝． 例4解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段： 于是，原不等式变为 （Ⅰ） 或（Ⅱ） 或（Ⅲ） 解（Ⅰ）得 x<-7，解（Ⅱ）得第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)word版本
绝对值不等式解法问题—7大类型专题
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