绝对值不等式
绝对值不等式的证明及应用
绝对值不等式的证明及应用一、绝对值有关性质回顾：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②ab a b =,aa b b= (0)b ≠ ③22a a =④0a ≥ ⑤a a a -≤≤⑥x a a x a ≤⇔-≤≤ x a x a a ≥⇔≥≤-或 二、绝对值不等式：定理：绝对值三角不等式：a b a b a b-≤±≤+.(代数形式)a b a b a b -≤±≤+(向量形式)几何解释:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(0b a b ab +≤+≥取等号） 证明:方法一：()22+a b a b +≤, 2222+22a ab b a ab b +≤++, 22ab ab ≤,而22ab ab ≤显然成立,∴(0a b a b ab +≤+≥取等号）||||||a b a b +=====+||||||a b a b +===<==+方法二：（选修4-5证法） 当ab ≥0时, ||,ab ab =||,ab ab =-当ab ＜0时综上，a b a b +≤+ 0ab ≥当时，取等号， 方法三：（原人教版教材证法） ∵a a a -≤≤ ① b b b -≤≤ ②①+②：()a b a b a b -+≤+≤+， 逆用性质x a ≤得：a b a b +≤+推论1：123123.......n a a a a a a a +++≤++ ，当123,,,......n a a a a 都非正或都非负时。
a b a b -≤+.证明:方法一:当0a b -<时显然成立,当0a b -≥时，两边平方,()22a b a b-≤+, 222222a ab b a ab b -+≤++, 22ab ab -≤,而22ab ab -≤显然成立,∴a b a b -≤+,(当0ab <时取等号). 方法二:直接利用定理1a ab b a b b a b b =+-≤++-=++.当()()0a b b +-≥时,取等号.即()00a b b ab +≤⇒≤,取等号. 合在一起得:a b a b a b -≤+≤+.(当0ab ≤时左边取等号,当0ab ≥时右边取等号)(当0ab ≥时左边取等号, 当0ab ≤时左边取等号)证明:只需利用已有结论把a b a b a b -≤+≤+中的b 用b -代替即得到定理3.b ac b c -≤-+-证明：a b a c c b a c c b a c b c-=-+-≤-+-=-+-，（当()()0a c c b --≥时，取等号）几何解释：设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
含绝对值的不等式
含绝对值的不等式在数学的世界里，不等式是一个非常重要的概念，而含绝对值的不等式更是让很多同学感到头疼。
但别担心，让我们一起来揭开它神秘的面纱，看看它到底是怎么回事。
首先，咱们得搞清楚绝对值的含义。
简单来说，绝对值就是一个数到 0 点的距离。
比如说，｜3|就是 3 到 0 的距离，是 3；｜－3|呢，也是 3，因为-3 到 0 的距离同样是 3。
那含绝对值的不等式又是什么呢？比如说，｜x| ＜ 5，这就表示 x 到 0 的距离小于 5，那 x 就在-5 和 5 之间，也就是－5 ＜ x ＜ 5。
再比如，｜x| ＞ 3，这意味着 x 到 0 的距离大于 3，所以 x 要么小于－3，要么大于 3，即 x ＜－3 或 x ＞ 3。
接下来，咱们看看更复杂一点的情况。
如果是｜2x 1| ＜ 3，这该怎么解呢？我们可以把它分成两种情况来看。
第一种情况，当 2x 1 是非负数，也就是2x 1 ≥ 0 时，不等式就变成了 2x 1 ＜ 3。
解这个不等式，先移项得到 2x ＜ 4，再除以 2 得到 x ＜ 2。
同时别忘了，因为前提是2x 1 ≥ 0，所以还得解这个不等式，得到x ≥ 1/2。
综合起来，就是1/2 ≤ x ＜ 2。
第二种情况，当 2x 1 是负数，也就是 2x 1 ＜ 0 时，不等式变成了（2x 1) ＜ 3。
去括号得到－2x ＋ 1 ＜ 3，移项得到－2x ＜ 2，除以－2 时要注意，不等号方向要改变，得到 x ＞－1。
又因为前提是 2x 1 ＜ 0，解这个不等式得到 x ＜ 1/2。
综合起来，就是－1 ＜ x ＜ 1/2。
把这两种情况综合起来，不等式｜2x 1| ＜ 3 的解集就是－1 ＜ x＜ 2。
再来看一个例子，｜3x ＋ 2| ≥ 4。
同样分成两种情况。
第一种情况，当 3x ＋2 ≥ 0 时，不等式变成 3x ＋2 ≥ 4。
解这个不等式，移项得到3x ≥ 2，除以 3 得到x ≥ 2/3。
第二种情况，当 3x ＋ 2 ＜ 0 时，不等式变成（3x ＋2) ≥ 4。
绝对值不等式性质及公式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a&sup2;＜b&sup2;
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对
绝对值基本不等式
绝对值基本不等式在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的。
公式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|几何意义：1、当a，b同号时它们坐落于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等同于它们至原点的距离之和。
2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离) 相关公式：绝对值关键不等式推论过程：我们知道|x|={x，(x\ue0);x，(x=0);-x，(x\uc0);因此，存有：-|a|≤a≤|a| ......①-|b|≤b≤|b| ......②-|b|≤-b≤|b|......③由①+②得：-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即为|a+b|≤|a|+|b| ......④由①+③得：-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|即 |a-b|≤|a|+|b| ......⑤另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b||b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|由④知：|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b| =\ue |a|-|b|≤|a+b|.......⑥|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| =\ue |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| =\ue |a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| =\ue |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥，⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧，⑨得：要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可以得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0另“→”指可双向推出数学分析解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。
绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。
通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。
一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。
对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
例如，|5|=5，|-3|=3。
二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。
2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。
3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。
例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。
综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。
2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。
例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。
当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。
综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。
四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。
例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。
绝对值与不等式
绝对值与不等式绝对值和不等式是代数学中非常重要的概念和工具。
绝对值是表示一个数与零的距离，通常用符号“|x|”表示，其中x可以是任何实数。
而不等式是用于描述两个数之间关系的数学语句。
本文将介绍绝对值和不等式的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、绝对值的定义和性质绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值等于x与0之间的距离。
如果x≥0，则|x|=x；如果x＜0，则|x|=-x。
绝对值的性质：1. 非负性：对于任意实数x，|x|≥0。
2. 正则性：对于任意正数x，|x|=x。
3. 负则性：对于任意负数x，|x|=-x。
4. 零的绝对值为零：|0|=0。
5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
二、绝对值不等式的性质和解法绝对值不等式是以绝对值形式出现的不等式。
常见的绝对值不等式有以下几种类型：1. 线性绝对值不等式：形如|ax+b|<c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。
解法：分别讨论ax+b的正负情况，得出满足不等式的解集。
2. 二次绝对值不等式：形如|ax^2+bx+c|<d，其中a、b、c、d为实常数，且a≠0。
解法：将二次绝对值不等式转化为二次不等式，再进行求解。
3. 分式绝对值不等式：形如|f(x)/g(x)|<h，其中f(x)、g(x)为有理函数，h为正实数。
解法：分别讨论f(x)/g(x)的正负情况和不等式中的分母g(x)≠0的情况，得出满足不等式的解集。
三、绝对值和不等式的应用1. 几何应用：绝对值可用于计算两点之间的距离，因为两点之间的距离是非负的。
2. 优化问题：绝对值不等式在优化问题中有广泛的应用。
比如，当我们需要求解一个函数的最小值或最大值时，可以利用绝对值不等式得到一些限制条件，帮助缩小解的范围。
3. 经济学问题：在经济学中，绝对值不等式可以用来描述供求关系、生产成本等经济现象。
通过求解绝对值不等式，可以得到一些对经济决策具有参考意义的结论。
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。
绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。
解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。
首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。
要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。
首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。
然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。
因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。
接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。
对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。
同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。
然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。
因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。
在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。
总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
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(1) | 3 2 x |≥ 7
(2) | x 3 x | 4
2
解:∵ | 3 2 x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2 x 3 ≥ 7或2 x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2 ∴原不等式的解集为 , 2 5, .
( 1, 4)
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ) 或
5x-6<0
(Ⅱ)
-（5x-6）<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5 取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 进一步反思:不等式组 当6-x≦0时,显然无解； 中6-x>0是否可以去掉 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：
x 2 5 所以不等式组 的解集是 2, . 2 x 1 x 2 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
6 x x 或x 13 5
例3；解不等式 x 1 x 2 2 解 : 当x 1时, 原不等式可化为 ( x 1) ( x 2) 2, x 1 1 1 解得x , 即不等式组 的解集是 ,1 . 2 2 x 1 x 2 2 当1 x 2时, 原不等式可化为( x 1) ( x 2) 2, 1 x 2 即1 2显然成立, 所以不等式组 的 x 1 x 2 2 解集是(1, 2). 当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 即x 5 , 2
个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
2.对任意实数 x，若不等式|x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ） ( A)k 3 ( B)k 3 (C )k ≤ 3 ( D) k ≤ 3
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
1 ( A)0 a 10
( B )a 1
①a a
2
a a ② ab a b , ,…… b b
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a b 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 ห้องสมุดไป่ตู้ = OA ， a b AB
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？ · · ·
10 x 20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数 的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
| a b | (a b )2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
a 2 2ab b 2 | a |2 2 | a || b | | b |2 (| a | | b |)2
ab a
b
a
ab
b
推论 1 a1 a2 an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. -
1 (C ) a 10
( D)a 1
4.| x-1 | > 2( x-3)
X<5 X<-1 或 x>1
5.| 2x+1 |> | x+2 |
学习小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。 主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两
有更一般的结论：X<6 6-x>0 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 x>1 f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 -2≤x≤1 -(x-1)-(x+2)-5 x<-2 y 2x-4 x>1 方法三：通过构造函数，利用了函数的图象， 体现了函数与方程的思想． f(x)= -2 -2≤x≤1 -2x-6 x<-2 1 -2 由图象知不等式 的解为 x 2或x -3
-3
-2
2
x
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
例 ； 解不等式 3x 4 6 1 1
3x 4 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组 3x 4 6 5 x 1或x 3 3 x 4 1或 3 x 4 1 即 6 3 x 4 6 10 x 2 3 3 10 5 2 解得 x 或1 x 3 3 3 2 10 5 故原不等式的解集为 , 1, . 3 3 3
例2 解不等式 2 x 3 4 x 解 : 当x 3时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解得x , 即不等式组 2 x2 x3 4 的解集是( , 3]. 当 3 x 2时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显然成立, 所以不等式组 x2 x3 4 的解集为( 3, 2). 当x 2时, 原不等式可化为( x 2) ( x 3) 4, x 2 3 即x , 不等式组 的解集是[2, ). 2 x2 x3 4 综上所述, 原不等式的解集是R.
解：对绝对值里面的代数式符号讨论：
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得（0，2） 解：
当且仅当ab ≥0时, 等号成立.
将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立
例1 已知ε> 0, - a|<ε, - b|<ε, |x |y 求 证: 2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
二、绝对值不等式
复习回顾： 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a ( a 0) |a| ⑴ a 0 (a 0) ;（定义） a x 0 a (a 0) O A ⑵ a 的几何意义:
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
0 -a a 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
(3) | 3 2 | 1
x
(4)1 | 3 x 4 |≤ 6
2 10 5 ( 1, ] [ , ) 3 3 3
(, 0) (1, )
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2 所以原不等式的解为 1 2 x 2或x -3
方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数 型结合的思想．