高考★圆锥曲线★的基本公式推导

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】

【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2

换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ：

①椭圆 12222=+b

y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。

②过椭圆 12222=+b

y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy

a xx 。

③椭圆122

22=+b

y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A

(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：

①双曲线12222=-b

y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy

a xx 。

②过椭圆 12222=-b

y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy

a xx 。

③椭圆122

22=-b

y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02

2222=--C b B a A

【1-3】抛物线的切线方程：

物线 px y 22

= 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy +=

②过抛物线 px y 22

=外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22

=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22

= 【1-4】 基础知识的证明：

【公式一：曲线C 上切点公式证明】

1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程

设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令

0=∆,得到k 的表达式，

再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22

02202020=+=+b

y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）

2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)

证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)

2(.1)1(,122

22

2222

1221ΛΛΛΛb y a x b

y a x ⇒)2()1(-，得.022

22122221=-+-b y y a x x 22

12121212a

b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212

x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 22

00a b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是2200a b x y k MN =⋅)

当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。即得切线斜率0

22y x a b k ⋅-=

3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。

()()2

2

2

2

2

2

000022','=''+1,1''''

+11

x a x y b y x y x y

a b

x x y y xx yy a b

=⋅⋅=+

==+=坐标变幻，令,因为圆方程为从而得到变形后椭圆表达式

因为圆切线方程为从而得到椭圆切线方程

附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③

①切线斜率可用导数表示。

②得到式子后，要利用px y 22

0=把2

0y 消去。

【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)

证明思路：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。

⇒⎩⎨

⎧=++=++00

2

211C By Ax C By Ax 。所以⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为0=++C Bx Ax 证明(就举椭圆为例)

解：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。 过A 点切线:

12121=+b yy a xx ，过B 点切线：122

22=+b

yy a xx 。 ⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为12020=+b

yy

a xx

【公式三：由公式一的思路可得】

【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格) 【1-0】

【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF ， 口诀：椭圆F 左加右减。ex a ±(记忆：a 大则在前)

双曲线F 左加右减，双曲线上点P 左减右加。a ex μ±

焦半径与点到准线距离关系如下。即(ex a ±)/e=准线距离=±x c

a 2

推广应用:

通过n m ,比例⇔e 的值 ⇔θcos 的值⇔ k =θtan 的值

巧用公式e

n m n m 1

cos ⋅+-=

θ(注：双曲线交于同侧、抛物线类似) 不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为e

n m n m 1

cos ⋅-+=θ，具体自己推导吧

【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】

【证明】：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x