高考★圆锥曲线★的基本公式推导
高考数学圆锥曲线公式
高考数学圆锥曲线公式
以下是一些常见的高考数学圆锥曲线公式:
1. 椭圆公式:a = π/2(x - b)^2,其中a、b为椭圆的长轴和短
轴长度,π约为3.14。
2. 圆公式:r = (a + b) / 2,其中a、b为椭圆的长轴和短轴长度,a和b分别表示椭圆的两个端点之间的距离。
3. 双曲线公式:c = π/4(x - y)^2,其中c为双曲线的公共参数方程,x为双曲线的参数离心率,y为双曲线的参数向心率。
4. 抛物线公式:p = (a + b) / 2,其中a、b为抛物线的长轴和
短轴长度,p为抛物线的参数方程。
5. 等腰三角形公式:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
6.直角三角形公式:勾股定理:a^2 + b^2 = c^2,其中a、b为直
角三角形的两条直角边长度,c为直角三角形的斜边长度。
7. 等边三角形公式:a = b,其中a和b为等边三角形的两条边长度。
这些公式是高考数学圆锥曲线部分的基础,掌握这些公式能够更
好地理解和解决圆锥曲线问题。
同时也要注意在解题过程中对参数的取值作出适当的规定,这一点在考试中也非常关键。
高中圆锥曲线公式总结大全
高中圆锥曲线公式总结大全
高中数学中，圆锥曲线是一个重要的内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的公式是
几何、物理、工程等领域中常用的，下面是圆锥曲线公式总结：
1. 椭圆公式
椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x和y方向上的半轴长度。
2. 双曲线公式
双曲线的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1。
其中，(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x和y方向上的半轴长度。
3. 抛物线公式
抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别为常数，a表示抛物线的开口方向、大小，b表示抛物线水平方向位置，c表示抛物线的最低点（也就是y轴截距）。
4. 曲率半径公式
曲线在某一点的曲率半径R可以使用以下公式计算：R = [(1+(y')^2)^(3/2)]/|y''|。
其中，y'和y''分别表示曲线在该点处的一阶和二阶导数。
5. 弧长公式
曲线在两点之间的弧长可以使用以下公式计算：L = ∫(a to b)[((1+(y')^2)^(1/2)]dx。
其中，a和b分别代表起点和终点，在这个区间内，x的取值范围满足 a≤x≤b。
总之，圆锥曲线的公式是高中数学中的重要内容，不仅在理论研究方面有着广泛的应用，也
在实际问题的建模和解决中具有重要意义。
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。
具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。
*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2.【1-1】椭圆的切线方程： ①椭圆12222=+y x上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+yy xx 。
(【1-2【1-3 【1-41、第入原始式，最后得切线方程式1)()(2202202020=+=+by a x b yy a xx （注:k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x ⇒)2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= 2200a b x y k MN -=⋅∴(弦中点公式的椭圆基本表达式。
双曲线则是2200ab x y k MN =⋅) 当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。
即得切线斜率0022y x a b k ⋅-= 3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
推导圆锥曲线的方程
推导圆锥曲线的方程圆锥曲线是指在三维空间中，一个平面截切一个圆锥所得到的曲线。
根据截切的位置和角度的不同，可以得到不同类型的圆锥曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
本文将介绍如何推导这些圆锥曲线的方程。
1. 椭圆的方程椭圆是由一个平面截切圆锥所得到的曲线，其特点是离心率小于1。
设圆锥的顶点为O，其轴与截切平面的交点为F，将截切平面投影到XY平面上。
设F在XY平面上的坐标为(Fx, Fy)，圆锥顶点O在XY平面上的坐标为(0, 0)。
假设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆上任意一点P的坐标为(x, y)。
由于椭圆上的任意一点P到定点F的距离加上定点F到点P'的距离等于2a，其中P'为点P关于X轴的对称点。
根据点到直线的距离公式，可以得到以下方程：PF + PF' = 2a√((x - Fx)² + (y - Fy)²) + √((x - Fx)² + (y + Fy)²) = 2a对上述方程进行平方化，化简为：(x - Fx)² + (y - Fy)² + (x - Fx)² + (y + Fy)² + 2√((x - Fx)² + (y - Fy)²)√((x - Fx)² + (y + Fy)²) = 4a²化简后的方程可以进一步简化为：(x - Fx)² + (y - Fy)² + (x - Fx)² + (y + Fy)² - 4a² = - 2√((x - Fx)² + (y - Fy)²)√((x - Fx)² + (y + Fy)²)将左右两边同时平方，得到：[(x - Fx)² + (y - Fy)²]² + [(x - Fx)² + (y + Fy)²]² + 2[(x - Fx)² + (y - Fy)²][(x - Fx)² + (y + Fy)²] = 4a⁴将上式展开并化简，得到椭圆的标准方程：(x² / a²) + (y² / b²) = 12. 抛物线的方程抛物线是由一个平面截切圆锥所得到的曲线，其特点是离心率等于1。
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式摘要：1.圆锥曲线概述2.圆锥曲线弦长公式的推导3.圆锥曲线弦长公式的应用4.提高解题效率的方法正文：在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
弦长公式是圆锥曲线中的一个关键概念，掌握它对于解决相关问题具有很大的实用价值。
一、圆锥曲线概述圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面相交而成的曲线。
根据圆锥的顶点、开口方向和截面形状，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们各自具有不同的性质和公式，但在求解弦长问题时，都可以利用相同的弦长公式。
二、圆锥曲线弦长公式的推导设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，圆锥曲线的方程为y=f(x)。
根据两点间距离公式，弦长AB可以表示为：AB = √[(x1-x2) + (y1-y2)]为了求解弦长，我们需要先求出交点A、B的坐标。
将直线的方程y=kx+b代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程，可以得到交点A、B的坐标。
三、圆锥曲线弦长公式的应用1.求解直线与圆锥曲线的交点坐标将直线的方程代入圆锥曲线的方程，解出交点坐标。
2.求解弦长利用求得的交点坐标，代入弦长公式，计算得到弦长。
3.求解其他相关问题利用求得的弦长，可以进一步求解其他问题，如弦的中点、弦的垂直平分线等。
四、提高解题效率的方法1.熟练掌握圆锥曲线的性质和公式熟练掌握圆锥曲线的性质和公式，有助于快速解决相关问题。
2.善于运用整体代换、设而不求的思想在解决圆锥曲线问题时，善于运用整体代换、设而不求的思想，可以简化运算过程。
3.多练习、多总结通过多练习，熟练掌握解题方法；通过多总结，不断提高解题效率。
总之，掌握圆锥曲线弦长公式，能够帮助我们解决圆锥曲线相关问题。
推导高考数学中的圆锥曲线方程
推导高考数学中的圆锥曲线方程圆锥曲线是一个几何图形，由两个不平行的直线和一个不包含它们的点构成。
它包括四种曲线：椭圆、双曲线、抛物线和圆。
在高考数学中，推导圆锥曲线方程是一个重要的知识点，并且也是数学难度较高的一个部分。
本文将详细讲解如何推导高考数学中的圆锥曲线方程。
1. 椭圆椭圆是一个平面内到两点的距离之和等于常数的点的集合。
这两点称为椭圆的焦点。
设椭圆的焦点分别为F1和F2，椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和为：PF1 + PF2 = 2a （a>0）根据勾股定理，可以得出：PF1^2 = x^2 + (y-b)^2PF2^2 = (x-c)^2 + y^2将上面两个式子代入到PF1+PF2=2a中，得到：(x-a)^2 + y^2/b^2 = 1这就是高考数学中椭圆的标准方程。
2. 双曲线双曲线是一个平面内到两点的距离之差等于常数的点的集合。
这两点称为双曲线的焦点。
设双曲线的焦点分别为F1和F2，双曲线上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之差为：|PF1 - PF2| = 2a (a>0)根据勾股定理，可以得出：PF1^2 = x^2 + (y-b)^2PF2^2 = (x-c)^2 + y^2将上面两个式子代入到|PF1-PF2|=2a中，得到：(x-a)^2 + y^2/b^2 = 1这就是高考数学中双曲线的标准方程。
3. 抛物线抛物线是一个平面内到一个点的距离等于另一个点到同一点的距离的点的集合。
这个点称为抛物线的焦点，抛物线的形状由抛物线的参数决定。
设抛物线的焦点为F，抛物线上任意一点P(x,y)到焦点F的距离为：PF = sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2)将焦点到顶点的距离和顶点到任意一点的距离相等代入得到：x^2 = 2py其中p为抛物线的参数。
这就是高考数学中抛物线的标准方程。
4. 圆圆是一个平面内到一个点的距离等于常数的点的集合。
这个点称为圆的圆心。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
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圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。
从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1：切线方程、极线方程】
【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2
换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ：
①椭圆 12222=+b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。
②过椭圆 12222=+b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy
a xx 。
③椭圆122
22=+b
y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A
(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：
①双曲线12222=-b
y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy
a xx 。
②过椭圆 12222=-b
y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy
a xx 。
③椭圆122
22=-b
y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02
2222=--C b B a A
【1-3】抛物线的切线方程：
物线 px y 22
= 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy +=
②过抛物线 px y 22
=外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22
=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22
= 【1-4】 基础知识的证明：
【公式一：曲线C 上切点公式证明】
1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程
设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令
0=∆,得到k 的表达式，
再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22
02202020=+=+b
y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）
2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)
证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,122
22
2222
1221ΛΛΛΛb y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a
b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212
x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 22
00a b x y k MN -=⋅∴ (弦中点公式的椭圆基本表达式。
双曲线则是2200a b x y k MN =⋅)
当M 、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。
即得切线斜率0
22y x a b k ⋅-=
3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
()()2
2
2
2
2
2
000022','=''+1,1''''
+11
x a x y b y x y x y
a b
x x y y xx yy a b
=⋅⋅=+
==+=坐标变幻，令,因为圆方程为从而得到变形后椭圆表达式
因为圆切线方程为从而得到椭圆切线方程
附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。
③
①切线斜率可用导数表示。
②得到式子后，要利用px y 22
0=把2
0y 消去。
【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)
证明思路：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。
⇒⎩⎨
⎧=++=++00
2
211C By Ax C By Ax 。
所以⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为0=++C Bx Ax 证明(就举椭圆为例)
解：过),(00y x P 作两条曲线C 的切线，切点为A ),(11y x ，B ),(22y x 。
过A 点切线:
12121=+b yy a xx ，过B 点切线：122
22=+b
yy a xx 。
⇒过A 、B 两点直线AB l 方程为12020=+b
yy
a xx
【公式三：由公式一的思路可得】
【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格) 【1-0】
【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。
对于焦半径PF ， 口诀：椭圆F 左加右减。
ex a ±(记忆：a 大则在前)
双曲线F 左加右减，双曲线上点P 左减右加。
a ex μ±
焦半径与点到准线距离关系如下。
即(ex a ±)/e=准线距离=±x c
a 2
推广应用:
通过n m ,比例⇔e 的值 ⇔θcos 的值⇔ k =θtan 的值
巧用公式e
n m n m 1
cos ⋅+-=
θ(注：双曲线交于同侧、抛物线类似) 不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为e
n m n m 1
cos ⋅-+=θ，具体自己推导吧
【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】
【证明】：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,
122
22
2222
1221ΛΛΛΛb y a x b
y a x ⇒)2()1(-，得.022
22122221=-+-b y y a x x 22
12121212a
b x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,000021211212
x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=Θ 22
00a
b k k x y k OP MN MN
-=⋅=⋅∴即 (常用) 结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。
【抽象理解型证明】
具体理解，可以用“坐标系变幻理解”
证明：设某斜率为定值k 的直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
2222
1x y a b
+=，令',='x a x y b y =⋅⋅⇒22
(')+ (')1x y =。
∵变幻后， x a y b 轴缩短倍，轴缩短倍，得到中点轨迹方程始终与MN 垂直
''2
''2
'1''OP MN OP MN OP MN y b y b
k k k k x a x a
b b
b k k k k a a
a
∆∆∴⋅=-===⋅∆∆∴⋅=
⋅=-Q 又
【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)
2
2AP BP
b k k a
⋅=-,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂
直，证明方法和上面一样。
至于双曲线，则是2
2AP BP
b k k a
⋅=。
结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。
【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)
证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似) A ),(n m 、B ),(n m --在椭圆上，且关于原点对称。
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(.1)1(,12
22222
1221ΛΛΛΛb n a m b y a x ⇒)2()1(-，得2222
22a b m x n y -=-- 222
222==AP BP y n y n y n b k k x m x m x m a
-+-⋅⋅=--+-∴。