圆锥曲线全部公式及概念

圆锥曲线

1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ

=??=? 离心率c e a ==

准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2

b a

.

2.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2

F PF F PF

S b ?∠=.

3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b

?+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b

?+>.

4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线

的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2

b a

焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2

2|()|||a PF e x a ex c

=-=-，

两焦半径与焦距构成三角形的面积122

1cot 2

F PF F PF S b ?∠=.

5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b

?->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b

?-<.

6.双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b

7.抛物线px y 22

=的焦半径公式:

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122.

8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p

y 或2

(2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =.

9.二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a

--=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.

11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB =

1212||||AB x x y y ==-=-

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程??

?=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的

倾斜角，k 为直线的斜率，2

121212||()4x x x x x x -=+-.

12.圆锥曲线的两类对称问题:

（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B

++++-

-=++. 特别地，曲线(,)0F x y =关于原点O 成中心对称的曲线是(,)0F x y --=. 曲线(,)0F x y =关于直线x 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y 轴对称的曲线是(,)0F x y -=. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =轴对称的曲线是(,)0F y x =. 曲线(,)0F x y =关于直线y x =-轴对称的曲线是(,)0F y x --=.

13.圆锥曲线的第二定义：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e ，若01e <<，M 的轨迹为椭圆；若1e =，M 的轨迹为抛物线；若1e >，M 的轨迹为双曲线.

注意：1、还记得圆锥曲线的两种定义吗解有关题是否会联想到这两个定义 2、还记得圆锥曲线方程中的：

（1）在椭圆中：a 是长半轴，b 是短半轴，c 是半焦距，其中2

2

2

b a

c =-，,(01)c

e e a

=<<是离心率，

2a c 是准心距，2b c 是准焦距， 2

b a

是半通径.

（2）在双曲线中：a 是实半轴，b 是虚半轴，c 是半焦距，其中222

b c a =-，,(1)c e e a

=>是离心率，2a c 是

准心距，2b c 是准焦距， 2

b a

是半通径.

（3）在抛物线中：p 是准焦距，也是半通径.

3、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序（到定点的距离比到定直线的距离）

4、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少（2e =）

5、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当0?>时：直线与双曲线有两个交点（包括直线与双曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当0?=时，直线与双曲线有且只有一个交点（此时称指向与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当0?<时，直线与双曲线没有交点.

6、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.此时2

2

2

a b c =+. 7、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.（想一想在双曲线中的结论） 8、你知道椭圆、双曲线标准方程中,,a b c 之间关系的差异吗

9、如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点.此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程.

椭圆练习

1.过椭圆122

22=+b

y a x (a>b>0)的左焦点F 1任做一条不与长轴重合的弦AB,F 2为椭圆的右焦点,则△ABF 1的周长是

（ ） (A)2a (B)4a (C)2b (D)4b

2.设b a b a b a +=+∈则,62,,2

2

R 的最小值是（ ）

(A)22- (B)3

3

5-

(C)－3

(D)2

7-

3.椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点,是一个含600

角的菱形的四个顶点,则椭圆的离心率为（ ） （A ）

21 （B ）23 （C ）33 （D ）21或2

3 4.设常数m>0，椭圆x 2

+m 2y 2

=m 2

的长轴是短轴的两倍，则m 的值等于（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）2或

21 （D ）2或2

2

5.过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则

椭圆的离心率为

12 (D)1

3

6.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（ ）

（A ）18倍 （B ）12倍 （C ）9倍 （D ）4倍

7.当关于x,y 的方程x 2sin α－y 2cos α=1表示的曲线为椭圆时,方程(x+cos α)2+(y+ sin α)2

=1所表示的圆的圆心在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

8.已知椭圆的焦点为F 1,F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）直线 （D ）其它

9.已知椭圆14

922=+y x 与圆(x-a)2+y 2

=9有公共点, 则a 的取值范围是( )

(A)-6

<25 (D)|a|≤6

10.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A

）

2 （B

）1

2

（C

）2（D

1 11.在椭圆122

22=+b

y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2,三点依次与某一焦点连结的线段长为r 1,r 2,r 3,则有

（ ） （A ）r 1,r 2,r 3成等差数列 （B ）

2

312

11r r r =+ （C ）r 1,r 2,r 3成等比数列 （C ）以上都不对 12.已知椭圆2

2:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF

13.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） (A)(0,1) (B)1(0,]2

(C)

(D)

14.一个椭圆中心在原点,焦点12F F 、在x 轴上,P （2

）是椭圆上一点,且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为( ) （A ）22186x y += （B ）221166x y += （C ）22184x y += （D ）22

1164

x y +=

15.若椭圆

19822=++y a x 的离心率是2

1

,则a 的值为————————. 16.椭圆x 2

cos 2

α+y 2

=1(0<α<π,α≠

2

π

)的半长轴=——————，半短轴=——————，半焦距=——————，离心率=——————. 17.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使

1221

sin sin a c

PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

是椭圆14

922=+

y x 上的一点,F 1,F 2 是椭圆的焦点,且∠F 1MF 2=900

,则△F 1MF 2的面积等于——————. 19.与圆(x+1)2+y 2=1相外切,且与圆(x －1)2+y 2

=9相内切的动圆圆心的轨迹方程是—————— 20.设椭圆????

?==α

α

sin 32cos 4y x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角∠POx=3π,则点P 的坐标是__.

21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)

a P c ，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

22.已知直线l :y=mx+b,椭圆C:2

2)1(a x -+y 2

=1,若对任意实数m,l 与C 总有公共点,则a,b 应满足的条件

是 .

23.椭圆4cos 2sin x y ?

?

=??

=?（?为参数）上点到直线20x y -=的最大距离是 .

24.12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 .

25.已知椭圆焦点为F 1(0,－22),F 2(0, 22),长轴长为6, 过焦点的弦的长等于短轴长,求这焦点弦的倾斜角.

26.在椭圆19

162

2=+

y x 上求一点M ，使它到直线l:3x+4y －50=0的距离最大或最小. 27.在△ABC 中，BC=24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.

29.椭圆122

22=+b

y a x 与x 轴、y 轴正方向相交于A 、B ，在第一象限内的椭圆上求一点C ，使得四边形OACB 的面积

最大.

30.点A 、B 分别是椭圆

120

2

362=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；

(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.

双曲线练习

、F 2为双曲线14

22

-=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积是________________.

2.双曲线焦点在y 轴上,且一个焦点在直线5x －2y +20=0上,两焦点关于原点对称,

3

5

=a c ,则此双曲线的方程是________.

3.已知双曲线22

163

x y -=的焦点为1F 、2F ，

点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为________________. 4.已知双曲线22a

x －22b y ＝1（a ＞0,b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22

a （O

为原点）,则两条渐近线的夹角为______________________.

5.已知定点A 、B 且|AB|=4,动点P 满足|PA|－|PB|=3,则|PA|的最小值是_________________.

6.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在

双曲线上,则双曲线的离心率是_________________.

7.过双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的

圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.

8.双曲线

112

422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6,这样的点有______个. 9.直线y=x+3与曲线14

|

|92=-x x y 的交点个数是 .

10.双曲线的两准线间的距离是焦距的5

3，则此双曲线的离心率为 .

11.已知双曲线的渐近线方程是x y 3

2±=,且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为 ,双曲线的方程为 . 12.设连接共轭双曲线四个顶点和四个焦点所成两个四边形的面积分别为S 1,S 2,则(

2

1

S S )max 为 . 13.已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(0,－10), F 2(0,10)且一条渐近线方程是430x y -=,则双曲线的标准方程为

14.已知双曲线经过)3,4

5

3(-A ,且与另一双曲线

116922=-y x ,有共同的渐近线,则此双曲线的标准方程是 .

15.已知双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ,焦点是椭圆

125

1002

2=+y x 与坐标轴的交点,则双曲线的标准方程是 .

16.已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是60?,则此双曲线的离心率为 . 9.直线y x =-1被双曲线,3222=-y x 所截得弦的中点坐标是 ，弦长是 .

17.已知关于x ，y 的二次方程4814)16()4(222+-=-+-m m y m x m 表示的是双曲线，则m 的取值范围是 .

18.已知双曲线方程为19

162

2=-

y x ，经过它的右焦点F 2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则该直线的斜率是 .

19.已知双曲线方程为422=-x y ,过一点P (0，1),作一直线l ,使l 与双曲线无交点,则直线l 的斜率k 的集合是 .

20.双曲线19

162

2=-

y x 右支上一点P 到左右两个焦点的距离之比是5:3,则P 点右准线的距离为_____________. 21.以230x y ±=为渐近线,且经过点(1 , 2)的双曲线是 .

22.双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .

23.双曲线13

2

2

=-y x 的渐近线中,斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 . 24.若双曲线22

22b

y a x -=1的一条渐近线的倾斜角为锐角α,则双曲线的离心率为____________.

25.已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ,一条准线的方程为0335=+y ,则双曲线方程 .

26.双曲线1422=+

k y x 的离心率e ∈(,)12，则k 的取值范围是______________.

27.椭圆14222=+a y x 与双曲线12

2

2=-

y a x 的焦点相同,则a = . 28.如图，OA 是双曲线的实半轴,OB 是虚半轴,F 为焦点，

且∠=?BAO 30,S ABF

?=

)336(2

1

-,则该双曲线方程是 . 29.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆x y 2

2

17+=相交于点A (4 , －1)，若圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程.

30.双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.

31.直线231+=x y 与双曲线14

92

2=-y x 的两个交点与原点构成三角形，求此三角形的面积.

32.已知双曲线b x a y a b 222222

-=上有一点P ，焦点为F 1、F 2，且∠=F PF 12α，求证：2

2

2

1

α

ctg b S PF F ·=?.

33.斜率为2的直线l 被双曲线12322=-

y x 截得的弦长为155

2

,求直线l 的方程. 34.已知P 为双曲线x y 22

44-=上的动点，Q 是圆4

1

)2(22=

-+y x 上的动点，求PQ 的最小值。 35.双曲线的方程是14

22

=-y x .

（1）直线l 的倾斜角为

4π,被双曲线截出的弦长为113

8

,求直线l 的方程. （2）过点P (3 , 1)作直线l ',使它截出的弦长恰好被点P 平分,求l '的方程. 35.求与圆A :22)5(y x ++=49和圆B :22)5(y x +-=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程. 36.已知双曲线的焦点为Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）,过F ２且斜率为5

3

的直线交双曲线于P 、Q 两点, 若ＯＰ⊥ＯＱ,｜ＰＱ｜＝４,求双曲线的方程.

抛物线练习 1.抛物线x 2

=4y 的焦点弦的长为

3

16

,则此弦的倾斜角为（ ） (A)60o

(B)30o

(C)60o

or 120o

(D)30o

or 150

o

2.过抛物线x y 42

=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（ ） (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在 3.方程22)1(2)1(2-+-y x =|x+y+2|表示的曲线是（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线 （C ）抛物线 （D ）原点 4.已知A(0,4),P 为y=x 2

+1上一点,则|PA|的最小值是（ ） (A)

23 (B)210 (C)2

11

(D)3 5.设抛物线y 2

=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是（ ） (A)[－

21，2

1

] (B)[－2，2] (C)[－1，1] (D)[－4，4]

6.若曲线C 与抛物线y 2

=4x －3关于直线x+y=0对称,则曲线C 的方程是( )

(A)x 2－4y －3=0 (B)x 2+4y+3=0 (C)y 2+4x+3=0 (D)x 2

－4y+3=0

7.抛物线顶点在坐标原点,以y 轴为对称轴,过焦点且与y 轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为 . 8.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(,)-525到焦点距离是6,则抛物线方程为__________.

9.抛物线)0(22>=p px y 上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则此抛物线焦点与准线的距离为 . 是抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点弦,且|AB|=m,则△AOB 的面积是————————. 11.一卡车要通过跨度为8米,拱高为4米的抛物线型隧道（从正中通过）,为保证安全,车顶离隧道顶部至少应有

0.5米的距离,如果卡车宽1.6米,则卡车的限高为 米.（精确到）.

12.抛物线(x －1)2

=y 上的点到直线x+y+1=0的最短距离是————————. 13.抛物线顶点在y 轴上,对称轴平行于x 轴,且过点（

2

1

，3）和（2，4）,求其方程. 14.抛物线y px 2

2=有内接直角三角形,直角顶点在原点,一条直角边所在直线方程为x y 2=，斜边长为35,求

P 的值.

15. k 是什么实数时,直线01=+-y kx 与抛物线x y 42=有:两个交点;只有一个交点;无交点. 16.已知直线l 在x ，y 轴上的截距分别为2和－1，并且与抛物线y x 21

4

=

交于A 、B 两点. 求:（1）抛物线的焦点F 到直线l 的距离;（2）?ABF 的面积.

17.有一抛物线,开口向右,对称轴为y=1,顶点在x+y+1=0上,若抛物线与y 轴的两个交点之间的距离为6,求此抛物线的方程.

18.过抛物线y 2

=4x 的焦点引直线l 交此抛物线于A,B 两点,若S △AOF =2S △BOF ,求直线l 的方程. 19.若直线P 1P 2为抛物线C ：2

2(0)y px p

=的一条焦点弦，F 为C 的焦点。求证：

12112PF PF P

+=.