最新圆锥曲线的概念及性质

圆锥曲线的概念及性

质

第二讲 圆锥曲线的概念及性质

一、选择题

1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.⎝⎛

⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭

⎫62，0 D ．(3，0)

解析：∵原方程可化为x 21－y 2

1

2＝1，a 2＝1，

b 2＝12，

c 2＝a 2＋b 2＝32，

∴右焦点为⎝⎛⎭

⎫

62，0.

答案：C

2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一

个

焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2

27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2

9

＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ b

a ＝ 3.①

∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③

由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2

27＝1.

答案：B

4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ()

A．4 3 B．8 C．8 3 D．16

解析：解法一：AF直线方程为：

y＝－3(x－2)，

当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)．

当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6，

∴P(6,43)，

∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B.

解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴．

又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°，

又由抛物线定义知P A＝PF，

∴△P AF为等边三角形．

又在Rt△AFF′中，FF′＝4，

∴F A ＝8，∴P A ＝8.故选B. 答案：B

5．高8 m 和4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m ，则地面上观察两旗杆

顶端仰角相等的点的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

解析：如图1，假设AB 、CD 分别为高4 m 、8 m 的旗杆，P 点为地面上观察两旗杆

顶端仰角相等的点，由于∠BP A ＝∠DPC ，则Rt △ABP ∽Rt △CDP ，BA P A ＝DC

PC ，从而

PC ＝2P A .在平面APC 上，以AC 为x 轴，AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图

2)，则A (－5,0)，C (5,0)，设P (x ，y )，得

(x －5)2＋y 2＝2

(x ＋5)2＋y 2

化简得x 2＋y 2＋50

3

x ＋25＝0，显然，P 点的轨迹为圆．

答案：A 二、填空题

解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c

2

，

又

e ∈(0,1)，所以e ∈⎝

⎛⎭

⎫0，

22. 答案：⎝

⎛⎭

⎫0，

22 7．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在 抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p

4，1， ∴2p ×p

4＝1，解得p ＝ 2.

∴B ⎝⎛

⎭

⎫

24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：324

8．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点相

同，

那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：∵椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，

∴c ＝4，c

a ＝2，c 2＝a 2＋

b 2，

∴a ＝2，b 2＝12，

∴双曲线方程为x 24－y 2

12＝1，

∴渐近线方程为y ＝±b

a x ＝±3x ，

即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)

3x ±y ＝0

即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a

.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝

2a －3c 2

a ，整理得a 2＝3c 2，

即e 2＝13，解得e ＝3

3.

答案：

33

三、解答题

10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和2

3

5，

过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．

解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)，两个焦

点

分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1

中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝

2

35， ∴b 2＝

103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 2

10

＝1. 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2， 则|PF 1|＝

453，|PF 2|＝25

3

. 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝60

9

， ∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝10

3

.

又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 2

5＋

3y 2

10

＝1或3x 210＋y 2

5

＝1.

11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到

y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；