最新圆锥曲线的概念及性质

合集下载

高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质

高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。

本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。

根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。

它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。

椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。

2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。

它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。

抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。

3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。

双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。

4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。

圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。

二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。

1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。

2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。

3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。

4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。

总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。

第四讲圆锥曲线的概念和几何性质

第四讲圆锥曲线的概念与几何性质【基础回顾】一、基础梳理：1.圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF 1|+|PF 2|=2a, (2a>|F 1F 2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P| ||PF 1|-|PF 2||=2a, (2a<|F 1F 2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

2.圆锥曲线的方程。

1.椭圆：22221x y a b +=（a>b>0）或22221y x a b +=（a>b>0）（其中，a 2=b 2+c 2）2.双曲线：22221x y a b -=（a>0, b>0）或22221y x a b-=（a>0, b>0）（其中，c 2=a 2+b 2）3.抛物线：y 2=±2px（p>0），x 2=±2py（p>0）二、基础达标：1.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为__________ 2. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则椭圆方程是__________3. 已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是172，则点P 到左焦点的距离__________．4. 方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是__________． 5. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(,3)P m -到焦点的距离为5，则抛物线方程为__________．【典型例题】例题1：已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e =，短轴长为例题2：已知A 、B 为椭圆22222519x y a a +=上两点，2F 为椭圆的右焦点，若2285AF BF a +=，AB 中点到椭圆左准线的距离为32，求该椭圆方程．例题3：已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，试求实数k 的取值范围．例题4：已知抛物线21y ax =-上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.【巩固练习】1．若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为____________2．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是____________3．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为___________4. 若椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值是___________5. 在椭圆22143x y +=内有一点()1,1P -，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，则这一最小值是___________6. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是___________ 7. 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为___________8. 已知双曲线方程为2214y x -=，过()1,0P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 共有___________条9. 不论a 取何值，直线(1)210a x y a --++=恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为___________10. 已知圆22670x y x +--=，与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p = ___________．11. 已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程.12．已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。

圆锥曲线的基本概念与性质

圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。

本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。

1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。

椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。

- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。

- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。

1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。

双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。

- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。

- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。

1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。

抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。

- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。

- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。

2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。

2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。

例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。

2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。

例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。

2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。

通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。

3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。

3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。

4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。

二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。

2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。

三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。

4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。

四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。

2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。

3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。

五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。

2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。

3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。

4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。

总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
一、圆锥曲线的基本概念
1、圆锥曲线：平面内以圆为母线的曲线，又称为圆锥线，是数学上的一类曲线。

2、离心率：圆锥曲线的离心率是有两个参数确定的：它们是焦距a和准线焦距c。

3、双曲线：双曲线是一类特殊的圆锥曲线，a>0, c>0时，它概括了圆锥曲线的一般情况，称为双曲线。

二、圆锥曲线的性质
1、改变离心率可以改变圆锥曲线的形状，当离心率大于1时，曲线呈双曲线，当离心率小于1时，曲线呈凹凸线；
2、圆锥曲线的焦点与顶点之间的距离是两个焦距的和，a+c；
3、圆锥曲线的切线方程的斜率是1/（a+c）；
4、圆锥曲线的半矢量的方向是以焦点为圆心，从焦距a出发的方向；
5、圆锥曲线的曲率半径是2a+c；
6、圆锥曲线的弧长是一定积分的表达式，是确定的；
7、圆锥曲线的曲线方程是确定的，但极坐标表示法有两种形式，要根据离心率来确定；
三、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线的应用着重于机械设计领域，如齿轮的设计和制造；
2、圆锥曲线的半径可以用于圆弧的求解和曲线的精度检验；
3、圆锥曲线的弧长可以用于求解同轴运动的轮毂的周长；
4、圆锥曲线的曲线方程可以用于二维图形的绘制；
5、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解曲面曲线的面积和表面积；
6、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解椭圆锥曲线的主曲线参数，以求解椭球面的曲线参数；
7、圆锥曲线的曲率半径可以用于求解圆的曲率半径参数；
8、圆锥曲线的切线可以用于求解圆弧的切线参数；
9、圆锥曲线的球面可以用于求解曲面的曲率方向；
10、圆锥曲线的曲线可以用于运动学分析和机器学习算法中的运动路径规划。

完美版圆锥曲线知识点总结

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。

本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。

根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。

1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。

椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。

2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。

抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。

3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。

双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。

二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。

1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。

2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。

焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。

3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。

4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。

对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。

5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。

当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。

三、常见类型的圆锥曲线。

圆锥曲线知识点

圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。

圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。

本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。

其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。

根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。

1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。

圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。

2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。

椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。

抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。

4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。

双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。

而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。

2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。

对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。

3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。

例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。

4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

圆锥曲线的概念及性质第二讲圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0.答案：C2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ ba ＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27，此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ()A．4 3 B．8 C．8 3 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－3(x－2)，当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)．当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,43)，∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴．又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°，又由抛物线定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴F A ＝8，∴P A ＝8.故选B. 答案：B5．高8 m 和4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m ，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：如图1，假设AB 、CD 分别为高4 m 、8 m 的旗杆，P 点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BP A ＝∠DPC ，则Rt △ABP ∽Rt △CDP ，BA P A ＝DCPC ，从而PC ＝2P A .在平面APC 上，以AC 为x 轴，AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图2)，则A (－5,0)，C (5,0)，设P (x ，y )，得(x －5)2＋y 2＝2(x ＋5)2＋y 2化简得x 2＋y 2＋503x ＋25＝0，显然，P 点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2⇒e 2<12，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c ＝4，ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)3x ±y ＝0即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ⎝⎛⎭⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a ，整理得a 2＝3c 2，即e 2＝13，解得e ＝33.答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝235， ∴b 2＝103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1. 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，则|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴．故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)，化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0， Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2， ④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．12．(2009·陕西，21)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围．解：解法一：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255， ∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0.由AP →＝λPB →＝λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ，将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝(1＋λ)24λ，设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2， ∴tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1.记S (λ)＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，则S ′(λ)＝12⎝⎛⎭⎫1－1λ2. 由S ′(λ)＝0得λ＝1，又S (1)＝2， S ⎝⎛⎭⎫13＝83，S (2)＝94， ∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2，当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，83. 解法二：(1)同解法一．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知|k |<2，m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 2－k ，2m2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝－2x ，得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＋k ，2m 2＋k .由AP →=λPB →得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k －λ2＋k ，2m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k ＋λ2＋k ，将P 点坐标代入y 24－x 2＝1得4m 24－k 2＝(1＋λ)2λ.设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为(0，m )．S △AOB ＝S △AOQ ＋S △BOQ ＝12|OQ |·|x A |＋12|OQ |·|x B |＝12m ·(x A －x B )＝12m ⎝⎛⎭⎫m 2－k ＋m 2＋k ＝12·4m 24－k 2＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1. 以下同解法一．。