解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
解析几何专题讲座
解析几何专题讲座题型一 圆锥曲线的概念及性质【例1】椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2－1,1)D.⎣⎡⎭⎫12，1又e ＝ca ，∴2e 2＋e ≥1，∴2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0，又0<e <1，∴12≤e <1，故选D. 答案：D 拓展提升——开阔思路 提炼方法圆锥曲线的性质是高考的必考内容，常以选择、填空形式考查，也在大题中考查，重点考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线．变式1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°. ∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ，∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2，∴c 2a 2≥14，即e ≥12，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. (2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．题型二 圆锥曲线的方程【例2】设椭圆C ：22221(0),l ,x y a b F F C A B ab+=>>的右焦点为过的直线与椭圆相交于两点60,2l AF FB =直线的倾斜角为(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为FA →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.拓展提升——开阔思路 提炼方法求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解，但要注意焦点所在坐标轴，避免漏解．题型三 热点交汇【例3】)已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．(1)解：如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)， 上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为 y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得M ⎝⎛⎭⎫103，16k 3，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S ⎝⎛⎭⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N ⎝⎛⎭⎫103，－13k .∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k≥216k 3·13k ＝83当且仅当16k 3＝13k k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值是83. 拓展提升——开阔思路 提炼方法(1)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或导数为工具，考查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题，是近年高考的热点内容．这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活，值得关注．(2)本题涉及到最值问题时，可先建立问题(即面积)的函数关系式，然后根据其结构特征，运用函数的单调性或基本不等式去获解．求解时应掌握消元技巧，尽量利用根与系数的关系去简化解题过程，提高运算速度和准确度．题型四 直线与圆锥曲线的位置关系【例4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k26≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)． 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32.拓展提升——开阔思路 提炼方法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题对于直线与圆锥曲线的交点可利用“设而不求”的办法，可利用一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系进行过渡，解决的常见问题有：弦长、弦的中点、垂直、三点共线等等．题型五 圆锥曲线中的探索性问题【例5】 (2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t .由⎝ ⎛y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在． 解法二：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有：⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y212＝1.(2)同解法一．题型六 热点交汇【例6】已知两点M （-2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影是H ，如果PH →·PH →，PM →·PN→分别是公比q ＝2的等比数列的第三、第四项．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点A ，B ，设R 为AB 的中点，若过点R 与定点Q (0，－2)的直线交x 轴于点D (x 0,0)，求x 0的取值范围．设222222:(,),(0,),(,0),(2,),(2,),4422P x y H y P H x P M x y P N x y P H P H x P M P N x y P M P N x y x P H P H=-=---=--==+-+-==(1)解则又则有∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝4(x ≠0)．(2)当k ＝±1时，不成立．设直线AB 的方程为：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)，其中x 3＝x 1＋x 22，y 3＝y 1＋y 22. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2－x 2＝4，化简得(k 2－1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0，∴y 3x 3＝1k ，∴DQ 的方程为y ＋2x ＝y 3＋2x 3. 令y ＝0，得2x 0＝y 3＋2x 3＝1k ＋2x 3，∴x 0＝21k ＋2·k 2－12k2＝2－⎝⎛⎭⎫1k －122＋54. 又由Δ＝16k 4－16(k 2－1)2＝32k 2－16>0，y 1＋y 2<0， y 1·y 2>0，可得22<k <1， ∴1<1k2，∴2－1<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋54<1， ∴2<x 0<2＋2 2.故所求的x 0的取值范围为(2,2＋22)．变式1．如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为a n的正方形A n B n C n D n(n＝1,2，…)，其对角线B n D n依次放置在x轴上(相邻顶点重合)．设{a n}是首项为a，公差为d(d>0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0)．(1)当a＝8，d＝4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；(2)在(1)的条件下，证明：所有顶点A n均落在抛物线y2＝2x上．(3)为使所有顶点A n均落在抛物线y2＝2px(p>0)上，求a与d之间所应满足的关系式．解析几何训练题（1）设双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（2）已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F,右准线为l，点A l∈，线段A F交C于点B，若3FA FB=,则||AF=( )D. 3（3）（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若12A B B C=，则双曲线的离心率是( ) A．B．CD（4）设1F和2F为双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两个焦点, 若12F F，，(0,2)P b是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．32B．2C．52D．3（5）已知双曲线22122x y-=的准线过椭圆22214x yb+=的焦点，则直线2y kx=+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A.11,22K⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.22K⎡∈-⎢⎣⎦D. ,22K⎛⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎪⎝⎦⎣⎭（6）已知双曲线()222210,0x yC a ba b-=>>：的右焦点为F,过F的直线交C于A B、两点，若4AF FB=,则C的离心率为(A．65B.75C.58D.95（7）抛物线2y x=-上的点到直线4380x y+-=距离的最小值是（）A．43B．75C．85D．3（8）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A.（－∞，0）B.（－∞，2]C.［0，2］D.（0，2）9、已知直线)0(112222>>=++-=b a by ax x y 与椭圆相交于A 、B 两点。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
高中数学-圆锥曲线知识点
高中数学-圆锥曲线知识点解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。
其中，圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，下面将介绍椭圆和双曲线的知识点。
一、椭圆1、定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和（大于│F1F2│）为常数的点的轨迹。
其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距。
注：2a＞│F1F2│非常重要，因为当2a＝│F1F2│时，其轨迹为线段F1F2；当2a＜│F1F2│时，其轨迹不存在。
2、标准方程、图形和性质：椭圆的标准方程为│MF1│+│MF2│=2a(a＞0)，其中M为椭圆上任一点。
椭圆的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。
椭圆的离心率e＝(＜e＜1)，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。
二、双曲线1、定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离之差（小于│F1F2│）为常数的点的轨迹。
其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做双曲线的焦距。
2、标准方程、图形和性质：双曲线的标准方程为│MF1│-│MF2│=2a(a＞0)，其中M为双曲线上任一点。
双曲线的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定双曲线的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。
双曲线的离心率e＞1，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。
以上是解析几何中椭圆和双曲线的基本知识点，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用解析几何。
双曲线是一种与两个定点和一个常数有关的点的轨迹，其轨迹上满足两个定点到该点距离之差的绝对值小于定点之间距离的常数。
这两个定点分别称为双曲线的焦点，该常数为双曲线的焦距。
对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F1和F2的距离之差的绝对值减去焦距的结果为常数2a。
平面解析几何与圆锥曲线
平面解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一门学科，它研究的是几何图形在坐标系中的运动和性质。
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，由直线和圆相交、旋转、平移等方式形成的曲线。
本文将探讨平面解析几何与圆锥曲线的关系及相关概念。
一、平面解析几何基本概念在平面解析几何中，我们常用的坐标系是笛卡尔坐标系，它由两条相互垂直的直线构成。
其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，x称为横坐标，y称为纵坐标。
根据欧氏距离公式，两点间的距离可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
在解析几何中，直线是一个基本图形。
根据两点确定一条直线的原理，我们可以通过已知的两个点求解直线的方程。
一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
二、圆锥曲线的基本类型圆锥曲线可以分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，那么椭圆的标准方程为(x²/a²) + (y²/b²) = 1。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的类型。
它的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中非常常见的一种形式。
它的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点组成的图形。
抛物线的标准方程为y² = 2px，其中p是焦点到准线的垂直距离。
4. 直线直线可以看作是圆锥的一种特殊情况，它的标准方程可以表示为Ax + By + C = 0。
直线在平面解析几何中有着重要的应用，如直线的交点和直线与曲线的切点等。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。
本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。
一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。
曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。
曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。
曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。
二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都具有独特的性质和方程。
1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。
椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。
椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。
2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。
抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。
抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。
3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。
双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。
双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。
三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。
例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。
当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。
解析几何中的圆锥曲线
解析几何中的圆锥曲线解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形的性质和变换，其中圆锥曲线是解析几何中的重要概念之一。
圆锥曲线由平面与一个双曲面或者一个抛物面相交而产生，包括椭圆、双曲线和抛物线。
本文将对这些圆锥曲线的性质和应用进行一些解析。
椭圆是一种非常常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆有很多有趣的性质，比如它的离心率小于1，离心率等于0时，椭圆就变成了一个圆。
椭圆也是一种对称图形，它的两个焦点和中心都在同一条直线上。
椭圆还有一些重要的应用，比如在天文学中，行星的轨道就可以近似看作是椭圆。
双曲线是另一种常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个给定点同样称为焦点，而常数则是离心率。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1。
双曲线也有很多有趣的性质，比如它的两个焦点和中心不在同一条直线上。
双曲线在物理学和工程学中也有广泛的应用，比如电磁波的传播就可以用双曲线来描述。
抛物线是圆锥曲线中的最后一种形式。
它的定义是平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。
这个给定点称为焦点，给定直线称为准线。
抛物线有很多有趣的性质，比如它是一种对称图形，焦点和准线都在对称轴上。
抛物线在物理学中也有重要的应用，比如抛物线的形状可以用来描述物体的抛射运动。
除了上述三种基本形式的圆锥曲线，解析几何还研究了它们的性质和变换。
例如，圆锥曲线的方程可以用代数的方法来表示，这样就可以通过方程来研究它们的性质。
此外，圆锥曲线还可以进行平移、旋转和缩放等变换，这些变换可以改变圆锥曲线的形状和位置。
在实际应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。
比如在工程学中，圆锥曲线可以用来描述光的反射和折射现象，从而帮助设计光学器件。
在航天领域，圆锥曲线可以用来描述行星和卫星的轨道，从而帮助计算它们的运动轨迹。
在计算机图形学中，圆锥曲线可以用来描述曲线和曲面的形状，从而帮助生成逼真的图像。
中考复习认识圆锥曲线的特点与性质
中考复习认识圆锥曲线的特点与性质圆锥曲线是解析几何中的重要概念，被广泛应用于数学和物理学等领域。
掌握圆锥曲线的特点与性质，不仅对于中考考试至关重要，还能够帮助我们更深入地理解数学的抽象概念。
本文将介绍圆锥曲线的特点与性质，并提供一些有助于复习的重要知识点。
1. 定义和基本概念圆锥曲线是指在平面上由一个点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
- 椭圆：焦点到准线的距离之和等于常数。
- 双曲线：焦点到准线的距离之差等于常数。
- 抛物线：焦点到准线的距离等于其所在直线的距离（与焦点的连线垂直）。
2. 椭圆的特点与性质椭圆是圆锥曲线中最为常见的一种。
它具有以下特点与性质：- 焦点与准线存在关系：椭圆的焦点与准线的位置关系决定了椭圆的形状。
当焦点在准线上时，椭圆退化为一个线段；当焦点在准线上方时，椭圆向上打开；当焦点在准线下方时，椭圆向下打开。
- 对称性：椭圆具有中心对称性，即以椭圆的中心为对称中心，椭圆上的任意一点与关于中心的对称点关于中心形成的线段的中点落在椭圆上。
- 焦点的性质：椭圆上任意一点到焦点的距离之和等于焦距的两倍。
3. 双曲线的特点与性质双曲线是圆锥曲线中与椭圆相对的一种类型，具有以下特点与性质：- 两个分支：与椭圆不同，双曲线有两个分支，呈现出开口的形状。
- 焦点与准线存在关系：类似于椭圆，当焦点在准线上方时，双曲线向上打开；当焦点在准线下方时，双曲线向下打开。
不同的是，当焦点在准线上时，双曲线退化为两条平行直线。
- 渐近线：双曲线具有两条渐近线，是指当曲线的两个分支逐渐延伸时，会无限接近但永远不会与其相交的两条直线。
- 焦点的性质：双曲线上任意一点到焦点的距离之差等于焦距的两倍。
4. 抛物线的特点与性质抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，具有以下特点与性质：- 对称性：抛物线具有对称轴，是指经过焦点且垂直于准线的直线称为对称轴。
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4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ba ＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－3(x－2)，当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)．当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,43)，∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴．又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°，又由抛物线定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴F A＝8，∴P A＝8.故选B.答案：B5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BAP ADCPC，从而PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2化简得x2＋y2＋503x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2⇒e 2<12，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F()p 20，则B ()p4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c ＝4，ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)3x ±y ＝0即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ()a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a，整理得a 2＝3c 2， 即e 2＝13e ＝33.答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝235，∴b 2＝103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 2101.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2， 则|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线， 都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)， 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－()y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2， ④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直 线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．12．(2009·陕西，21)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两 条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围． 解：解法一：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255， ∴ab a 2＋b2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255，c a ＝52c 2＝a 2＋b2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0.由AP →＝λPB →＝λPB →得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝(1＋λ)24λ，设∠AOB ＝2θ，∵tan()π2－θ＝2， ∴tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12()λ＋1λ＋1. 记S (λ)＝12()λ＋1λ＋1，λ∈[]13，2，则S ′(λ)＝12)1－1λ2.由S ′(λ)＝0得λ＝1，又S (1)＝2， S()13＝83，S (2)＝94， ∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2，当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是[]2，83. 解法二：(1)同解法一．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知|k |<2，m >0. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 2－k ，2m 2－k ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m y ＝－2x ，得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2＋k ，2m 2＋k . 由AP →=λPB →得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k －λ2＋k ，2m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k ＋λ2＋k ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1得4m 24－k 2＝(1＋λ)2λ.设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为(0，m )．S △AOB ＝S △AOQ ＋S △BOQ ＝12|OQ |·|x A |＋12|OQ |·|x B |＝12m ·(x A －x B )＝12⎝⎛⎭⎫m2－k ＋m 2＋k ＝12·4m 24－k 2＝12()λ＋1λ＋1. 以下同解法一．7.1 数学思想方法--函数与方程思想一、选择题1．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ等于 ( )A ．1或2B ．2或－12C ．2D ．0解析：λa ＋b ＝(3λ－6,2λ＋1)，a －λb ＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa ＋b )⊥(a －λb )，则 (3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－12答案：B2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是 ( ) A ．[2，＋∞) B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[－2，－1]∪[2，3] 答案：A3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有 ( ) A ．af (a )≤f (b ) B ．bf (b )≤f (a ) C ．af (b )≤bf (a ) D ．bf (a )≤af (b ) 解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0，即[xf (x )]′≤0， ∴xf (x )是减函数．又∵a <b ， ∴af (a )≥bf (b )． 又∵b >a >0，f (x )≥0， ∴bf (a )≥af (a )且bf (b )≥af (b )， ∴bf (a )≥af (a )≥bf (b )≥af (b )， ∴bf (a )≥af (b )． 答案：C4．f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (2)＝0，则函数y ＝f (x )在区间(－1,4)内的零点个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.由f (2)＝0，得f (－2)＝0. 又∵f (x )的周期为3，∴f (1)＝0，f (3)＝0. 又∵f ⎝⎛－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫32， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝0.故选D. 答案：D5．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是 ( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <2或x >3解析：将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－ 4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0， 解之得x <1或x >3. 答案：B 二、填空题6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2a ＋ 1≥9，即(a )2＋2a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：47．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝(2－2－|x －2|)2，要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的 值．∵f (x )的值域为[1,4)∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.答案：[－1,2)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x || x ≠0a x ＝0，a ∈R ，若方程f 2(x )－f (x )＝0共有7个实数根，则a ＝________.解析：设y ＝t 2－t ，t ＝f (x )作出两函数的图象如图所示，由t 2－t ＝0知t ＝0，或t ＝1， 当t ＝0时，方程有两个实根；当t ＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a ＝1. 答案：19．若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝________.解析：令x ＝()12n，则0<x ≤12构造f (x )＝83x 3－3x 2＋x ，x ∈(]0，12∴f ′(x )＝8x 2－6x ＋1令f ′(x )＝0，故x 1＝14，x 2＝12.∴f (x )在(]0，14上为增函数， f (x )在()14，12上为减函数∴f (x )max＝f ()14即当x ＝14时，f (x )最大，∴n ＝2时，a 2最大． ∴m ＝2. 答案：2三、解答题10．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋(y －1)2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2 ＝(1－a 2)⎝⎛⎭⎫y －11－a 22－11－a2＋1＋a 2， 因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |最大值为2.11．已知f (x )是定义在正整数集N *上的函数，当x 为奇数时，f (x ＋1)－f (x )＝1，当x 为偶数时，f (x ＋1)－f (x )＝3，且满足f (1)＋f (2)＝5. (1)求证：{f (2n －1)}(n ∈N *)是等差数列； (2)求f (x )的解析式．(1)证明：由题意得⎩⎨⎧f (2n ＋1)－f (2n )＝3f [(2n －1)＋1]－f (2n －1)＝1， 两式相加得f (2n ＋1)－f (2n －1)＝4.因此f (1)，f (3)，f (5)，…，f (2n －1)成等差数列． 即{f (2n －1)}(n ∈N *)是等差数列．(2)解：由题意得⎩⎨⎧ f (2)－f (1)＝1f (1)＋f (2)＝5，解得⎩⎨⎧f (1)＝2f (2)＝3. 所以f (2n －1)＝f (1)＋(n －1)×4＝2(2n －1)，因此当x 为奇数时，f (x )＝2x . 又因为当x 为奇数时，f (x ＋1)－f (x )＝1，所以f (x ＋1)＝2x ＋1＝2(x ＋1)－1， 故当x 为偶数时，f (x )＝2x －1. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x 为奇数2x －1，x 为偶数.12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足： 3－x 与t ＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知 2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元， 当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的 一半”之和，则当年的产销量相等．(1)将2010年的年利润y 万元表示为促销费t 万元的函数；(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入 －生产成本－促销费)解：(1)由题意，得3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 由题意，知每件零售价为32()32＋3x ＋12·t x. 年利润y ＝⎣⎡⎦⎤32()32＋3x ＋12·t x x －(3＋32x )－t＝16x －12t ＋32＝16⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1－12t ＋32 ＝50－⎝⎛⎭⎫t ＋12＋32t ＋1＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)∵y ＝50－⎝⎛⎭⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42(万元)，当且仅当t ＋12＝32t ＋1， 即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费定为7万元时，利润最大．3.2 数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{a n }的前n 项和S n ，且S 10＝18，S 20＝24，则S 40等于 ( )A.803 B.763 C.793 D.823解析：根据分析易知：∵S 10＝18，S 20－S 10＝6，∴S 30－S 20＝2，S 40－S 30＝23，∴S 40＝803，故选A. 答案：A2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )A ．25B ．576C ．624D ．625解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝－(n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n －n ＋1)]＝n ＋1－1＝24，故n ＝624.选C. 答案：C3．(2010·大连模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项之和，若不等式a 2n ＋S 2n n2≥λa 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为 ( ) A ．0 B.15 C.12D ．1解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S 2nn 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)d2代入上式，并化简得： λ≤54⎣⎡⎦⎤(n －1)d a 1＋652＋15，∴λ≤15，∴λmax ＝15.答案：B4．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20等于 ( )A ．0B ．－ 3 C. 3 D.32解析：∵a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…. 从而知3为最小正周期， 从而a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3. 答案：B5．(2009·广东)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( ) A ．(n －1)2 B ．n 2 C ．(n ＋1)2 D ．n (2n －1)解析：∵a 5·a 2n －5＝22n ＝a 2n ，a n >0， ∴a n ＝2n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3…a n －1)＝log 221＋3＋…＋(2n －1)＝log 22n 2＝n 2.故 选B. 答案：B二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，且a 4＝54，则a 1＝________.解析：由于S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，则a 4＝S 4－S 3＝a 1(81－1)2－a 1(27－1)2＝27a 1，且a 4＝54，则a 1＝2. 答案：27．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S9S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 则由a 5＝5a 3知a 1＝－32d ，∴S 9S 5＝9(a 1＋4d )5(a 1＋2d )＝9.答案：98．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 4＝4a 1＋6d ≥10，即2a 1＋3d ≥5，S 5＝5a 1＋10d ≤15，即a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ， 因此求a 4的最值可转化为在线性约束条件⎩⎨⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a 4＝a 1＋3d ，经 过点A (1,1)时有最大值4. 答案：49．(2009·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所 报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总 次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，… 所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍 数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5 个数，故答案为5. 答案：5 三、解答题10．(2010·济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k ·2n ＋m ，k ≠0，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)方法一：依题意有⎝⎛3＝2k ＋m ，3＋a 2＝4k ＋m ，3＋a 2＋a 3＝8k ＋m .①解得a 2＝2k ，a 3＝4k ，∴公比为q ＝a 3a 2＝2，a 23＝2k3＝2，k ＝3，代入①得m ＝－3，∴a n ＝3·2n －1.方法二：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1·k . 由a 1＝3得k ＝3，∴a n ＝3·2n －1， 又a 1＝2k ＋m ＝3，∴m ＝－3.(2)b n ＝n a n ＝n 3·2n －1，T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋22＋322＋…＋n 2n－1， ② 12T n ＝13⎝⎛⎭⎫12＋222＋ …＋n －12n －1＋n 2n ， ③ ②－③得12T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋12＋222＋ (12)－1－n 2n ， T n ＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1·()1－12n1－12－n 2n ＝43⎝⎛⎭⎫1－12n －n 2n＋1.11．(2010·浙江五校联考)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1)，求适合方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551n 的值．解：当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，∴a n ＝13a n －1.∴{a n }是以2313为公比的等比数列，故a n ＝23·()13n －1＝2·()13n. (2)∵1－S n＝12a n＝()13n，b n ＝log 3(1－Sn ＋1)＝log 3()13n ＋1＝－n －1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝()12－13＋()13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2. 解方程12－1n ＋2＝2551，得n ＝100.12．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≠－1)，设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)． (1)用数学归纳法证明：b n ≤(3－1)n2n －1；(2)证明：S n <233. 证明：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋2x ＋1>1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明不等式b n ≤(3－1)n2n －1.①当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立． ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即b k ≤(3－1)k2k －1，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝(3－1)|a k －3|1＋a k≤3－12b k ≤(3－1)k ＋12k.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①和②，可知不等式对任意n ∈N *都成立． (2)由(1)知b n ≤(3－1)n2n －1.所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n≤(3－1)＋(3－1)22＋…＋(3－1)n2n －1＝(3－1)·1－⎝⎛⎭⎫3－12n 1－3－12<(3－1)·11－3－12＝233. 故对任意n ∈N *，S n <233.2.(安徽理10) 函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值 可能是（A ）1,1m n == y (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()fa 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.。