圆锥曲线的基本概念和性质汇总

圆锥曲线的基本概念和性质

圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.

例1．已知P 是椭圆22x y 14

+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=︒，求12FPF ∆的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12

FPF ∆中由余弦定理得

2221212PF PF 2PF PF cos60=+-⋅︒

＝2

121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-⋅-⋅︒

，

解之得：124PF PF 3⋅=，则12

FPF ∆的面积为121PF PF sin 602⋅︒=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；

（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率

曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a

c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);

(2) 双曲线的离心率e ＝a

c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).

考点 利用向量求曲线方程

利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：

练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．

解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得

(1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= .

所以 )1(2x MN MP +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x NP NM -=⋅ . 于是， NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于

⎪⎩⎪⎨

⎧<+---++=-+0

)1(2)1(2)]

1(2)1(2[2112

2x x x x y x 即 ⎩

⎨⎧>=+03

22x y x .

所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.

（Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

212

020=-+=⋅y x PN PM

.(1PM PN =cos 4PM PN PM PN

θ⋅=

=

⋅所以 因为 0〈30≤x ， 所以

,30,1c o s 21πθθ<≤≤<,411c o s 1s i n 202x --=-=θθ.

341

411c o s

s i n t a n 02

02

2

y x x x =-=---

==θθθ

1．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22

184

x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3

821-=+λλ时，求Q 点的坐标.

考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.

解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为

22

22

1x y a b

-=,

由椭圆22

184

x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，

∴对于双曲线:2C c =

，又y 为双曲线C 的一条渐近线

∴b a

解得 22

1,3a b ==，

∴双曲线C 的方程为2

213

y x -=

（2）由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k

-.

12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k

k

k

λλ∴--=+=+.

11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22

4y λ=-，

又1283

λλ+=-， 12

1123

y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.

将4y kx =+代入2

213

y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.

230k -≠，否则l 与渐近线平行.

212122224483,33k y y y y k k -∴+==

--.

222244833233k k k -∴⨯=⨯

--.2k ∴=±

(2,0)Q ∴±.

2.．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=， （1）求椭圆的离心率；

（2）若|AB|15=，求这个椭圆的方程.

解：（1）设椭圆方程为2

2

22

x y 1,(a b 0)a

b

+=>>，焦距为2c ，

则直线AB 的方程为y x c =-， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，

由22

22x y 1a

b y x

c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，

则2

12222a c x x a b +=+，212122

2

2b c y y x x 2c a b +=+-=-+，