圆锥曲线的基本概念和性质汇总
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
一、圆锥曲线的基本概念
1、圆锥曲线：平面内以圆为母线的曲线，又称为圆锥线，是数学上的一类曲线。
2、离心率：圆锥曲线的离心率是有两个参数确定的：它们是焦距a和准线焦距c。
3、双曲线：双曲线是一类特殊的圆锥曲线，a>0, c>0时，它概括了圆锥曲线的一般情况，称为双曲线。
二、圆锥曲线的性质
1、改变离心率可以改变圆锥曲线的形状，当离心率大于1时，曲线呈双曲线，当离心率小于1时，曲线呈凹凸线；
2、圆锥曲线的焦点与顶点之间的距离是两个焦距的和，a+c；
3、圆锥曲线的切线方程的斜率是1/（a+c）；
4、圆锥曲线的半矢量的方向是以焦点为圆心，从焦距a出发的方向；
5、圆锥曲线的曲率半径是2a+c；
6、圆锥曲线的弧长是一定积分的表达式，是确定的；
7、圆锥曲线的曲线方程是确定的，但极坐标表示法有两种形式，要根据离心率来确定；
三、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线的应用着重于机械设计领域，如齿轮的设计和制造；
2、圆锥曲线的半径可以用于圆弧的求解和曲线的精度检验；
3、圆锥曲线的弧长可以用于求解同轴运动的轮毂的周长；
4、圆锥曲线的曲线方程可以用于二维图形的绘制；
5、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解曲面曲线的面积和表面积；
6、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解椭圆锥曲线的主曲线参数，以求解椭球面的曲线参数；
7、圆锥曲线的曲率半径可以用于求解圆的曲率半径参数；
8、圆锥曲线的切线可以用于求解圆弧的切线参数；
9、圆锥曲线的球面可以用于求解曲面的曲率方向；
10、圆锥曲线的曲线可以用于运动学分析和机器学习算法中的运动路径规划。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
本文将整理圆锥曲线的基本定义、性质和应用。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线。
根据与圆锥相交的方式不同，可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它具有以下性质：- 椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于拉伸的圆。
- 椭圆有两个焦点，对称轴为椭圆的长轴。
- 椭圆的离心率是一个小于1的正实数。
- 椭圆的周长和面积可以通过一系列公式计算得出。
3. 双曲线的性质双曲线与椭圆相似，但具有一些不同的性质：- 双曲线是一个非闭合曲线，其形状类似于拉伸的超越函数。
- 双曲线有两个焦点，对称轴为双曲线的长轴。
- 双曲线的离心率是一个大于1的正实数。
- 双曲线的性质使得它在几何光学和天体力学等领域中有广泛应用。
4. 抛物线的性质抛物线是另一种常见的圆锥曲线形式，具有以下性质：- 抛物线是一个非闭合曲线，其形状类似于开口向上或向下的碗。
- 抛物线只有一个焦点和一条对称轴。
- 抛物线的离心率为1。
- 抛物线的性质使得它在物理学和工程学等领域中有广泛应用，如抛物线天线和抛物线反射面。
5. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和实际应用中有广泛的应用，包括：- 电磁学中的电磁波传播和天线设计。
- 物理学中的天体力学和轨道计算。
- 工程学中的光学设计和结构建模。
总结：圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
每种曲线都有其独特的性质和应用。
理解和掌握圆锥曲线的知识对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
通过本文的整理，希望读者能够对圆锥曲线有更深入的了解，并能应用于相关领域的问题解决中。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。
本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。
其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。
根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。
1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。
圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。
2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。
椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。
抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。
4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。
双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。
而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。
2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。
3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。
例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。
4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是高中数学的重要知识点，主要包括圆锥曲线的定义、性质、方程和参数方程、焦点、直线和曲线的位置关系等内容。
下面对圆锥曲线的相关知识点进行总结：一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一个点到一定直线上一点的距离与另一定点（称为焦点）到这一定直线上一点的距离的比等于一个常数的几何图形。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种。
1. 椭圆：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
椭圆对应的方程为\(\frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)。
3. 抛物线：抛物线是平面上到一个定点F和一条直线L的距离相等的点P的轨迹。
即|PF| = |PM|，其中M是直线L上的一点。
抛物线对应的方程为\(y^2 = 2px\)。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质：A. 椭圆的长半轴是轴的两焦点的距离的2a，短半轴是2b。
B. 椭圆的离心率e的范围为0<e<1。
C. 椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b的关系为\(e = \frac{\sqrt{a^2 -b^2}}{a}\)。
3. 抛物线的性质：A. 抛物线的焦点为定点F。
B. 抛物线的离心率e=1。
C. 抛物线的焦点F到直线L的垂直距离等于抛物线的焦点到抛物线顶点的距离。
三、圆锥曲线的方程和参数方程1. 椭圆的方程：\( \frac{x^2} {a^2} + \frac{y^2} {b^2} = 1\)，参数方程为\(x = a\cos{t}, y = b\sin{t}\)。
2. 双曲线的方程：\(\frac{x^2} {a^2} - \frac{y^2} {b^2}= 1\)，参数方程为\(x = a\sec{t}, y = b\tan{t}\)。
3. 抛物线的方程：\(y^2 = 2px\)，参数方程为\(x = at^2, y = 2at\)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例1．已知P 是椭圆22x y 14
+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=︒，求12FPF ∆的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12
FPF ∆中由余弦定理得
2221212PF PF 2PF PF cos60=+-⋅︒
＝2
121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-⋅-⋅︒
，
解之得：124PF PF 3⋅=，则12
FPF ∆的面积为121PF PF sin 602⋅︒=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；
（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e ＝a
c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).
考点 利用向量求曲线方程
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：
练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．
解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得
(1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= .
所以 )1(2x MN MP +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x NP NM -=⋅ . 于是， NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于
⎪⎩⎪⎨
⎧<+---++=-+0
)1(2)1(2)]
1(2)1(2[2112
2x x x x y x 即 ⎩
⎨⎧>=+03
22x y x .
所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.
（Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
212
020=-+=⋅y x PN PM
.(1PM PN =cos 4PM PN PM PN
θ⋅=
=
⋅所以 因为 0〈30≤x ， 所以
,30,1c o s 21πθθ<≤≤<,411c o s 1s i n 202x --=-=θθ.
341
411c o s
s i n t a n 02
02
2
y x x x =-=---
==θθθ
1．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3
821-=+λλ时，求Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为
22
22
1x y a b
-=,
由椭圆22
184
x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，
∴对于双曲线:2C c =
，又y 为双曲线C 的一条渐近线
∴b a
解得 22
1,3a b ==，
∴双曲线C 的方程为2
213
y x -=
（2）由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k
-.
12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k
k
k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22
4y λ=-，
又1283
λλ+=-， 12
1123
y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.
将4y kx =+代入2
213
y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.
230k -≠，否则l 与渐近线平行.
212122224483,33k y y y y k k -∴+==
--.
222244833233k k k -∴⨯=⨯
--.2k ∴=±
(2,0)Q ∴±.
2.．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=， （1）求椭圆的离心率；
（2）若|AB|15=，求这个椭圆的方程.
解：（1）设椭圆方程为2
2
22
x y 1,(a b 0)a
b
+=>>，焦距为2c ，
则直线AB 的方程为y x c =-， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，
由22
22x y 1a
b y x
c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，
则2
12222a c x x a b +=+，212122
2
2b c y y x x 2c a b +=+-=-+，
C B
A o
y x
因OA OB OC +=，则2222222a c 2b c C(,)a b a b -++， 又点C 在椭圆上，则22
22222222
4a c
4b c 1(a b )(a b )
+=++， 整理得：2224c a b =+＝222a (a c )+-，即222a 5c =，
所以c e a ==（2）|AB||AF ||BF |=+＝12(a ex )(a ex )-+-＝122a e(x x )-+＝2
22
c 2a c 2a a a b -⋅+ ＝3a 152
=，
则a 10=
，c =，2b 60=，
椭圆方程为22
x y 110060
+=.
小结：（1）利用向量，可将较复杂的A 、B 、C 三点之间的关系用较简单的形式给出来； （2）焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解； （3）计算复杂是解析几何的通性，要细心.
3.设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x
C(1,0)-的直线交椭圆E 于
A 、
B 两点，且CA 2B
C =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+， 由222x 3y t my x 1
⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则122
4m y y 2m 3
+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②
由①②得：12
8m
y 2m 3
=+，22
4m y 2m 3
-=+， 则AOB 1221m
S |y y |6|
|2
2m 3
∆=-=+
＝632|m ||m |
≤
+
，
当23m 2
=
，即m =AOB ∆面积取最大值，
此时2
1222
2
2t 32m y y 2m 3
(2m 3)
-==-++，即t 10=，
所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.。