怎样学好圆锥曲线知识讲解
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学的一大难点，涉及范围广泛，概念复杂，涉及到多种图形和方程的表示。
为了使学生更好地掌握圆锥曲线的知识，我们需要采用适当的教学方法和解题技巧。
一、教学方法1、理论概念与实际例子相结合圆锥曲线的理论概念通常比较抽象，难以让学生完全理解。
因此，教师需要通过具体的例子来帮助学生更好地理解圆锥曲线。
例如，对于椭圆，可以通过一个足球形的实物来解释椭圆的概念，对于双曲线，可以通过交叉的铁路来说明双曲线的形状等。
2、几何图形与代数方程相结合圆锥曲线通常可以用代数方程表示，但这种表示方法可能对于学生来说比较抽象。
因此，我们可以通过几何图形的方式帮助学生更好地理解代数方程的含义。
例如，通过将焦点和直角等几何图形绘制在坐标系上，并使用代数方程来表示，来帮助学生更清晰地理解圆锥曲线的含义。
3、实际问题与数学公式相结合高中数学的知识通常与实际问题密切相关。
因此，我们可以利用实际问题来帮助学生更好地理解相关的数学公式。
例如，在学习椭圆的时候，可以通过讲解地球绕太阳的轨迹等实际问题来帮助学生理解椭圆的概念。
二、解题技巧1、理解归纳、推理和分析思维圆锥曲线的解题需要运用到归纳、推理和分析等思维方式。
因此，学生需要掌握这些思维方法，以便更好地应用到圆锥曲线的解题中。
2、熟练掌握基本公式圆锥曲线的基本公式是解题的基础，学生需要熟练掌握这些公式，并且能够使用代数方程表示不同类型的圆锥曲线。
3、注意特殊情况在解题过程中，学生需要留意特殊情况。
例如，在椭圆的求解中，当长轴和短轴等于一定值的时候，椭圆可能变成一个圆，这种情况需要特别处理。
4、运用变量代换圆锥曲线的解题通常需要同时涉及多个变量，因此，运用变量代换可以使问题变得更简单。
例如，在求解双曲线的顶点时，可以将$x$和$y$分别表示为某个变量的函数，然后进行变量代换，将问题转化为一个单变量的问题。
总之，通过采用合适的教学方法和解题技巧，可以帮助学生更好地掌握圆锥曲线的知识，提高解题能力。
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧
圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121y y k x x -=- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-③12AB y =- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠）两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩距离d = 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩距离d =2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
圆锥曲线的经验
学好圆锥曲线的关键1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（ x 2 ，y 2 ），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x 1 ，y 1 ），B（ x 2 ，y 2 ）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳1.球面坐标系与圆锥曲线：在球面坐标系中，圆锥曲线可以看作是一个直线在球面上的投影。
通过利用球面坐标系的相关性质，可以简化圆锥曲线的解题过程。
2.圆锥曲线的标准方程：圆锥曲线的标准方程是通过平移和旋转的方式将一般方程转化成一种特殊形式的方程。
通过将一般方程转化成标准方程，可以方便地研究圆锥曲线的性质。
3.圆锥曲线的分类与特点：根据圆锥曲线的二次项和四次项的系数可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
每一类圆锥曲线都有其特有的性质和特点，熟悉这些特点可以帮助我们更好地解题。
4.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线的参数方程是通过引入一个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数方程，可以简化圆锥曲线的分析和解题过程。
5.圆锥曲线的对称性：圆锥曲线具有多种对称性，包括关于坐标轴、原点和直线的对称性。
利用这些对称性可以简化问题的分析和解题过程。
6.圆锥曲线的焦点与准线：焦点和准线是圆锥曲线的两个重要特点。
了解焦点和准线的性质可以帮助我们理解圆锥曲线的形状和性质，并解决相关的问题。
7.圆锥曲线的参数化方程：圆锥曲线的参数化方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数化方程，可以更灵活地处理圆锥曲线上的点和相关的问题。
8.圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线的极坐标方程是通过将直角坐标系中的变量用极坐标表示来得到的。
利用极坐标方程，可以方便地研究圆锥曲线的性质，并解决相关的问题。
9.圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的转换：圆锥曲线的参数方程和极坐标方程可以相互转换。
通过掌握参数方程和极坐标方程之间的转换关系，可以灵活地处理圆锥曲线的问题，并得到更加深入的理解。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。
在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。
2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。
3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。
准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。
二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。
2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。
3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。
4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。
5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。
三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。
2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。
3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。
四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。
2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。
3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究高中数学圆锥曲线是高中数学课程中的重要部分，也是学生普遍认为难度较大的内容之一。
圆锥曲线的教学不仅需要老师有深厚的数学功底，还需要有合适的教学方法和解题技巧。
本文将探讨高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧，帮助学生更好地理解和掌握这一部分的知识。
一、教学方法1. 理论知识讲解在教学圆锥曲线时，老师首先应该对圆锥曲线的相关理论知识进行讲解，包括圆锥曲线的定义、性质、方程等内容。
通过清晰的理论课讲解，让学生对圆锥曲线有一个整体的了解，为后续的习题讲解打下基础。
2. 图像展示在学完理论知识后，老师可以通过图像展示的方式向学生介绍圆锥曲线的各种图形特征，让学生通过直观的视觉感受来理解圆锥曲线的性质。
通过投影仪展示不同参数的椭圆、双曲线、抛物线等图形，让学生对这些图形的形态和特点有更直观的认识。
3. 实例演练在讲解完理论知识和图像展示后，老师可以通过实例演练的方式来帮助学生巩固所学内容。
选取一些经典的例题，让学生通过实际的运算和推导来理解圆锥曲线的方程和性质，培养学生的解题能力和数学思维。
4. 融合联想在教学圆锥曲线时，老师可以将圆锥曲线和其他数学知识进行融合联想，帮助学生更好地理解和记忆。
老师可以将圆锥曲线的方程和性质与直线、平面几何等知识进行关联，让学生在解题中能够综合运用不同的数学知识。
二、解题技巧1. 熟练掌握方程变换在解题中，掌握圆锥曲线的各种方程之间的相互转化是至关重要的。
学生应该熟练掌握圆锥曲线的标准方程、一般方程、参数方程等形式，能够灵活地在不同形式的方程之间进行转化，从而更好地解题。
2. 注重几何意义在解题过程中，学生应该注重对圆锥曲线的几何意义的理解。
抛物线的焦点与直角三角形的几何关系、双曲线的渐近线与图形的交点等，通过几何的方法来解题，有利于对问题的理解和解决。
3. 善用对称性圆锥曲线都具有一定的对称性，学生在解题时应该善于利用这种对称性。
对称轴、对称中心等对称性质能够帮助学生简化问题、减少运算，提高解题的效率。
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怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。
解决这类问题常用定义法和待定系数法。
●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题1】某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点。
已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. 建立坐标系并写出该双曲线方程。
命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题。
知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程。
错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键。
技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程。
解：如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为2222byax-=1(a＞0,b＞0),则a=21AA′=7又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上，所以有179,17112222222122=-=-byby由题意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=72故双曲线方程为984922yx-=1.【例题2】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求：直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一：将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.由e=22=ac,得21222=-aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy++-=--设AB中点为(x0,y0),则k AB=－2yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是－2yx=－1,k AB=－1, 设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''byxbxybxy111221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2, b2=89,1692=a.∴所求椭圆C的方程为2291698yx+ =1, l的方程为y=－x+1.解法二：用韦达定理. 由e =21,22222=-=a b a a c 得, 从而a 2=2b 2,c =b . 设 椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212kk +. 直线l ： y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1), 即y =－x +1, 以下同解法一.【例题3】如图已知：△P 1OP 2的面积为427，P 为线段P 1P 2的一个三等分点， 求：以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程. 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程.错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确表示出 △P 1OP 2的面积是困难的. 技巧方法：利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值.解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系.设 双曲线方程为2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)由e 2=2222)213()(1=+=a b ac ，得23=a b . ∴ 两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x 设 点P 1(x 1, 23x 1),P 2(x 2,－23x 2)(x 1＞0,x 2＞0), 则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2, 得P 点坐标为(22,322121x x x x -+), 又点P 在双曲线222294ay a x -=1上， 所以 222122219)2(9)2(ax x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ① ,427131241321sin ||||211312491232tan 1tan 2sin 21349||,21349||212121121212222212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又即x 1x 2= 29 ②由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.考点二 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等。
突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析和解决问题的能力、计算能力较高，起到拉开考生“档次”，有利选拔的功能. ●思路方法：1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常使用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题1】如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交 (不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求 △AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是用韦达定理，设而不求简化运算. 解：由题意可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎩⎨⎧=+=xy m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0,解得 m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -.点A 到直线l 的距离为d =25m+.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128. ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m 即m =－1时取等号.故 直线l 的方程为y =x －1， △AMN 的最大面积为82.【例题2】已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)， (1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题；第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”。