第2章 第4节 函数的图像
高等数学 第二章 第四节 微分
65、函数y=y(x)是由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数，求微分dy.45、设函数，求d y ．30、设函数y ＝cos （1＋x 2），则微分d y ＝（ ）．A 、－sin （1＋x 2）B 、－2x sin （1＋x 2）C 、－sin （1＋x 2）d xD 、－2x sin （1＋x 2）d x2.若函数()x f y =满足21)0('=f ,则当0→∆x 时,0x x dy =是( B ) A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小 4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于 (a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞17．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy 。
31．设7777++=x x y ，求dy 。
()()()()()()y f x x A B C D =关于函数在点处可导及可微三者的关系连续是可微的充分条件可导是可微的充分必要条件可微不是连续的充分条件连续是可导的充分必要条件 答 )()()()()()()()()()()()()(),)(())(,()(,)( 答 等于的微分改变量关于自变量在则处对应点的纵坐标为切线上处的切线方程为上点曲线处可导在 设x f D x x x C x x x B x f x x f A dy x x x f y x Y x Y x f x x f y x x f y '∆+--∆+-∆+∆====ϕϕϕϕϕ(),()()()()()()()()y f x x x dy A f x B f x C D f x x='∆'∆设函数在点处可导则它在点处的微分是指 很小的量 答 001()(),0,()2()(),()()y f x f x x f x x x dy A x B x C x D x '==∆→=∆∆∆∆若函数有则当时在点处微分是与等价的无穷小与同阶的无穷小但不是等价的无穷小比高阶的无穷小比低阶的无穷小ln 01111()()()()()y x x dy A dx B dx C dx D dx x x x xππππ=>=+设 ，则 ()(),()()()()()()()()()y f t t x dy A f t dt B x dx C f t x dt D f t dxϕϕϕ==='''''设 ，都可微则 58、讨论函数 ，在处是否可微f x x x x x x (),?=+≤->⎧⎨⎪⎩⎪=1101002259、2sin 0()0?20x x y x x x x x ≤⎧==⎨->⎩ ，讨论函数在处是否可微 ，60、2ln(1)1()0?1ln 21x x f x x x x ⎧+<==⎨-+≥⎩ ，讨论函数在处是否可微 ， 61,0()0?ln(1)0x x f x x x x <⎧==⎨+≥⎩ 讨论函数在处是否可微 ， 13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy ()()dx e f e f e x x x ---'-cos 。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用
大一轮复习·数学·BSD（理）
(3)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令 ωx利0＋用φy＝＝ksπi(nk∈x 的Z)对，称求轴得为对_称_x＝_中_k_心π_＋_为_2π_(_x_0,_0)(．k∈Z)求解，令 ωx＋φ ＝kπ＋2π(k∈Z)，求得其对称轴为 x＝x0.
解析：由函数f(x)＝2sin
2x＋π6
得周期T＝
2π 2
＝π，将函数f(x)
＝2sin2x＋6π的图像向右平移14个周期，即为函数f(x)＝2sin2x＋π6
的图像向右平移
π 4
个单位，得y＝f
x－4π
＝2sin
2x－4π＋6π
＝
2sin2x－3π.
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
即f(3)＝sin32π＋π6＝－cos
π6＝－
3 2.
答案：－
3 2
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大一轮复习·数学·BSD（理）
3 ． (2018·贵 州 贵 阳 检 测 ) 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1) ＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( B )
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2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ φ) ω>0，－2π≤φ≤π2 的图像上的一个最高点和它相邻的一个最 低点的距离为2 2 ，且过点 2，－12 ，则函数f(3)的值为 ________.
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
正弦函数余弦函数的图像教学设计
- 1 -形成图像的形探究思考2：用这种方法作图像，虽然比较精确，但不太实用，在精确度要求不高的情况下，如何快速地画出正弦函数的图像呢？方法二：用五点法作图1.]2,0[,sinπ∈=xxy中，起关键作用的五个点是：()()()0,2,1,23,0,,2,0,0ππππ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛动手：用五点法作出]2,0[,sinπ∈=xxy的图像。
2.共同探讨和总结用五点法作图的具体步骤让学生在体验、比较各种方法之后，得出“五点法”是常见、易用的作图方法作图方法二：五点教师提问：1.观察正弦函数的图像，我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法，你认为哪些点是关键性的？让学生自主讨论探究中发现[]π2,0,sin∈=xxy图像经过的五个特殊的点。
学生作图：教师在此过程中引导学生。
该过程中要适时的指点学生并加强学生与学生之间的和讨论和交流。
2.列表描点连线组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
“五点法”作图可由教师引导学生来完成。
教师提问：你以后再画正弦函数图像会采取什么办法？学生回答：画出以上的五点，再用光滑的曲线连结即可。
了学生的思维障碍。
使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图像的理解。
通过课件演示让学生直观感受正弦函数图像的形成过程。
并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。
交流的、置疑地画出正弦函数的图像，。
积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。
把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。
通过讲解使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图像。
小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线让学生在体验、比较各种方法之成图像的形成探究思考3：根据前面已学过的知识我们知道正弦函数xy sin=（Rx∈）那么如何画出xy sin=（Rx∈）的图像。
2019_2020学年高中物理第2章波粒二象性第3节康普顿效应及其解释第4节光的波粒二象性课件粤教版选修3_5
方向散射出去，则这个散射光子跟原来的光子相比( )
A．频率变大
D．波长变长
解析：光子与自由电子碰撞时，遵守动量守恒和能量守恒， 自由电子碰撞前静止，碰撞后动量、能量增加，所以光子的动 量、能量减小，故 C 错误；由 λ＝hp、E＝hν 可知光子频率变小， 波长变长，故 A 错误，D 正确；由于光子速度是不变的，故 B 错误．
一、康普顿效应及其解释
1．康普顿效应
(1)光的散射：光在介质中与物体微粒的相互作用，使光的
传播方向_被__散__射___的光现象．
(2) 康 普 顿 效 应 ： 在 光 的 散 射 中 ， 部 分 散 射 光 的 波 长
_变__长_____，波长的改变与散射角有关．
h
(3)光子的能量为E＝__h_ν_____，光子的动量为p＝____λ___.
系，不会影响金属的逸出功，故 C 错误．入射光的光强一 定时，频率越高，光子的能量值越大，入射光中的光子的数 目越少，单位时间内逸出的光电子数就越少，故 D 错误．
3．(多选)某光在真空中的波长为 λ，则此光子的( )
A．频率为λc
B．能量为hλc
C．频率为cλ
D．能量为hcλ
【答案】BC
【解析】光速为 c，则该光的频率 ν＝T1＝cλ，选项 A 错误，
光的波粒二象性的理论和实验表明，大量光子的行为表现 出波动性，个别光子的行为表现出粒子性．光的波长越长，衍 射性越好，即波动性越显著；光的波长越短，其光子能量越 大，个别或少数光子的作用就足以引起光接收装置的反应，所 以其粒子性就很显著．故选项C正确，A、B、D错误．
答案：C 【题后反思】光既不是宏观观念的波，也不是宏观观念的 粒子，光具有波粒二象性是指光在传播过程中和同物质作用时 分别表现出波和粒子的特性．
应用高等数学第2章 微分学及其应用
7
例2-1 求函数y=c(c为常数)的导数.
8
例2-2 求函数y=sinx的导数.
9
三、函数可导性与连续性的关系 x0 定理2-1 若函数y=f(x)在点x0可导，则f(x)在点 .
例2-3 证明函数
在点x=0连续，但不可导.
10
图2-3
11
四、曲线的切线与法线 根据导数的几何意义，如果函数y=f(x)在点x0 可导，则曲线y=f(x)在点M0（x0，y0）处的切线方 程为
33
图2-4
34
三、微分的运算 由导数运算法则可推出微分的运算法则：
35
例2-26 已知y=lnsin(2x+1)，求dy.
36
四、由参数方程所确定的函数的导数 前面研究的都是形如y=f(x)的函数关系.但在某 些情况下，函数y与自变量x的函数关系是通过第3 个变量（叫做参变量）给出的，如方程
19
例2-10
已知
解 因为y=ax与x=logay互为反函数，由反函数 求导法，得
20
定理2-4 如果u=φ(x)在点x处有导数
函数y=f(u)在对应点u处有导数 则复合函数y=f［φ(x)］在点x处有导数，并且
21
例2-11 已知y=sin2x，求
解 y=sin2x由y=sinu,u=2x复合而成.
2
图2-1
3
2 设曲线L的方程为y=f(x)，求此曲线上点M0处 切线的斜率K（见图2-2）.
图2-2
4
二、导数定义 求瞬时速度与切线斜率这两个问题，在数学上 共同地被表示为一个函数在某点的增量与自变量增 量比的极限.除了这两个在历史上与导数概念形成 有着密切关系的问题外，在科学和工程技术领域中 还有大量类似的问题.例如：物理学中的电流强度 ，化学中的反应速度等等，都可以用增量比的极限 来描述，这就是我们要引入的导数.
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2009~2013年高考真题备选题库
第2章 函数、导数及其应用
第4节 函数的图像
考点
函数解析式与图像
1．（2013福建，5分）函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是( )
解析：本题主要考查函数图像的奇偶性与根据特殊点判断函数图像等基础知识，意在考
查考生的数形结合能力和运算求解能力．依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)
为偶函数，即函数f(x)的图像关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，
应选A.
答案：A
2.（2013江西，5分）如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m
的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上
移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间
t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为( )
解析：本题主要考查函数建模、函数图像的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、
判断、解决问题的能力．设经过t(0≤t≤1)秒直线l2与圆交于M，N两点，直线l1与圆被直
线l2所截上方圆弧交于点E，则∠MON＝x，AE＝t，OA＝1－t.所以cosx2＝OAOM＝1－t1＝1－t，
所以y＝cos x＝2cos2 x2－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1.故其对应的图像为B.
答案：B
3．（2013湖北，5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时
间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )
解析：本题主要考查函数的相关知识，考查考生的识图能力．出发时距学校最远，先排
除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
答案：C
4．（2012山东，5分）函数y＝cos 6x2x－2－x的图像大致为( )
解析：函数y＝cos 6x2x－2－x是奇函数，图像关于坐标原点对称，排除选项A中的图像；当x>0
时，2x－2－x＝22x－12x>0，故函数值的符号取决于cos6x的符号，x∈(0，π12]时cos 6x>0，排除
选项B中的图像；在后续区间上函数值取正负的区间长度都是π6，排除选项C中的图像，只
能是选项D中的图像．
答案：D
5.（2012江西，5分）如右图，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，
OA与OB的夹角为π6，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延
长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，
再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至
点A后停止．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)
＝0)，则函数y＝S(t)的图像大致是( )
解析：由余弦定理知，cos ∠AOB＝OA2＋OB2－AB22OA·OB＝32，求得AB＝5－23.由已知
可知：当t≤1时，所围成的图形为与三角形ABO相似的三角形，S(t)＝12t·2tsin π6＝12t2，对应
的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t0，使得当1
＝12－35－232＋35－232t，对应的函数图像为过一、三、四象限的直线的一部分；当t>t
0
时，甲乙两质点停止运动，S(t)的值恒定不变，对应图像为平行于x轴的直线．
答案：A
6．(2012湖北，5分)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如
图所示，则y＝－f(2－x)的图像为( )
解析：将函数y＝f(x)向左平移两个单位得到y＝f(x＋2)的图像，再由关于原点对称即可
得y＝－f(2－x)的图像，故选B.
答案：B