高中数学知识点总结(第四章 三角函数、解三角形 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用)

第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用一、基础知识1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0 3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x ”发生多大变化，而不是看角“ωx ＋φ”的变化． 考点一 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[典例] (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________. [解析] (1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. (2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.[答案] (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6[解题技法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种 [题组训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1. 2.(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23，T ＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23， 即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．因为|φ|<π，所以k ＝0，φ＝－3π4.故函数的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4. 考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2[解析] 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.[答案] D[解题技法] 三角函数图象变换中的3个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换 量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[题组训练]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选B 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12.2．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.考点三 三角函数模型及其应用[典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数f (x )的简图如图所示，三角函数模型为：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[题组训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 设水深的最大值为M ，由题意并结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M ＝8.2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 Ⅰ，12月份的月平均气温最低为18 Ⅰ，则10月份的平均气温为________Ⅰ.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6x －6，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3 B.33C ．1D.3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3.5.(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论： ①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A . 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫14，0和⎝⎛⎭⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z)，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z)，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z)时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.6．(2018·山西大同质量检测)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6.7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，最小正周期T 为__________，频率为___________，初相φ为___________．解析：振幅A ＝2，最小正周期T ＝2ππ3＝6，频率f ＝16.因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：2 6 16 π68.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－ωx (ω>0)向左平移半个周期得g (x )的图象，若g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1，则ω的取值范围是________． 解析：由题意，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω ＝sin ⎣⎡⎦⎤－π－⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， 由x ∈[0，π]，得ωx －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，ωπ－π3. 因为g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以π2≤ωπ－π3≤4π3，解得56≤ω≤53.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤56，53. 答案：⎣⎡⎦⎤56，5310．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝0， 故π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝－cos π2x ＋6. 答案：y ＝－cos π2x ＋611．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32且－π2<φ<0，所以φ＝－π3. (2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 列表：2x －π3－π3 0 π2 π 3π2 5π3 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )121－11212．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵T 2＝11π12－5π12＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，又∵sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1，|φ|<π2， ∴φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 当4x ＋π6＝π2时，x ＝π12，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1，又因为g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12， 故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.B 级1．(2019·惠州调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫A >0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又∵|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B 正确．2．(2019·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32C ．2D.54解析：选C 因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π12，又因为函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以{ω＝8k ＋2k ∈Z ，0<ω≤6，所以ω＝2.3.(2018·南昌模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围．解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z)． (2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，t ∈[－1,1]， 记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫t －142＋94， 因为t ∈[－1,1]， 所以h (t )∈⎣⎡⎦⎤－4，94， 即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，故a ∈⎣⎡⎦⎤－4，94. 故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4，94.。