(课标通用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 4 第四节 函数的图象课件 理PPT
2020_2021学年高考数学一轮复习考点讲解函数的图象
2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.本部分常结合函数的基本性质、导数、不等式等知识进行综合考查，多以选择题为主，难度中，高考命题频率比较高。
一、作函数的图象； 二、函数图象的辨识； 三、函数图象的应用。
【易错警示】1.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.作函数的图象1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――————————————→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【温馨提示】图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 【典例】【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.【例2】分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．函数图象的辨识函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【典例3】函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()解析 (1)法一 易知g (x )＝x ＋sin x x 2为奇函数，故y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象关于点(0，1)对称，排除C ；当x ∈(0，1)时，y >0，排除A ；当x ＝π时，y ＝1＋π，排除B ，选项D 满足.法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C ；又当x →＋∞时，y →＋∞，排除B ，而D 满足.(2)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B ； 当x ≥0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ， 所以f ′(0)＝－1<0，f ′(2)＝8－e 2>0， 所以函数f (x )在(0，2)上有解，故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 答案 (1)D (2)D【例4】函数f (x )＝(2x ＋2－x )ln|x |的图象大致为( )答案 B解析 ∵f (x )定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝(2－x ＋2x )ln|－x |＝(2x ＋2－x )ln|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当x ∈(0,1)时，2x ＋2－x >0，ln|x |<0，可知f (x )<0，排除A ，C.(2)设函数f (x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A．y＝f (|x|) B．y＝－|f (x)|C．y＝－f (－|x|) D．y＝f (－|x|)答案 C解析题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f (－|x|)的图象，故选C.函数图象的应用1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【典例】角度1研究函数的性质【例5－1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.答案 C角度2 求不等式的解集【例5－2】 已知函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线ACB ，且函数g (x )＝log 2(x ＋1)”，则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |－1<x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1<x ≤1}D.{x |－1<x ≤2}解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)， 作出函数g (x )图象如图，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}. 答案 C角度3 求参数的取值范围【例5－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)[。
届高考数学一轮复习讲义第二章函数图象-.ppt
函数图象与解析式的对应 关系
例 2 已知函数 f(x)＝lg |x|，g(x)＝－x2＋1，则函数 f(x)·g(x) 的图象只可能是______．(填序号)
f(x)·g(x)＝－(x2－1)lg|x|是偶函数，从 f(x)·g(x)的性质入手进 行判断．
解析 f(x)g(x)＝－(x2－1)lg|x|是偶函数，图象不可能是①③. 又 f(x)·g(x)＝－(x2－1)lg|x|无最小值，所以只可能是④.
要点梳理
忆一忆知识要点
(2)对称变换 ①y＝f(－x)与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称． ②y＝－f(x)与 y＝f(x)的图象关于 x 轴 对称． ③y＝－f(－x)与 y＝f(x)的图象关于 原点 对称． (3)翻折变换 ①作 y＝f(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对 称轴翻折到上方，其余部分不变，得到 y＝|f(x)|的图象； ②作 y＝f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分，并作 y 轴右边 的图象关于 y 轴对称的图象，即得 y＝f(|x|)的图象．
(2)因 y＝1＋x－3 1，先作出 y＝3x的图象，将其图象向右平移 一个单位，再向上平移一个单位，即得 y＝xx＋－21的图象，如 图②.
(3)先作出 y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位， 保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方， 即得 y＝|log2x－1|的图象，如图③.
可以用描点作图，也可以用图象变换法作图．
解 (1)∵y＝|lg x|＝l－g lxg，xx，≥01<，x<1. ∴函数 y＝|lg x|的图象如图①； (2)将函数 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位即可得出函数 y＝ 2x－2 的图象，如图②；
(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第二章4第四节函数的图象课件理
函数图象的识辨
典例2 (1)(2018课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=-x +x +2的图象大致为(
4 2
D
)
ax b (2)函数f(x)= 2 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ( x c)
C
)
A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
( )
1 2.函数f(x)= -x的图象关于 ( x
C
)
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
答案 C
D.直线y=x对称
1 ∵f(x)= -x是奇函数, x
∴图象关于原点对称.
3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑
y=f(x) y =⑩ f(|x|) ;
y=f(x)
y=
|f(x)| .
3.函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)⇔y=f(x)的图象关于y轴对称; ②函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)= f(2a+x);
由题中图象可知-c=xP>0,即c<0,排除B.
b b 令f(x)=0,可得x=- ,则xN=- , a a b <0.所以a,b异号,排除A,D.故选C. 又xN>0,则 a
规律总结
已知函数解析式判断函数图象的方法 (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象 的上下位置; (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势;
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_7函数图象课件文新人教A版
考点三|函数图象的应用 (方法突破) 方法1 利用图象研究函数的性质 【例3】 (2018·长春质检)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
跟踪训练 作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋2； (2)y＝log2|x－1|. 解析：(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)作y＝log2|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1| 的图象．
考点二|函数图象的识别 (思维突破)
【例2】 (1)函数f(x)＝lnx－1x的大致图象是(
象．当x＞1时，函数x－1x单调递增，故f(x)＝lnx－1x单调递增．故选B.
(2)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝
xax |x|
＝
ax，x＞0， －ax，x＜0.
当x＞0时，函数是一
Байду номын сангаас
个指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数递增，所以应选D.
(3)令f(x)＝1－sincos2x
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x－2－x22－x，2xx，≥x0<，0， 画出函数f(x)的 图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函 数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
方法2 方程的根或函数图象的零点 【例4】 已知f(x)＝|2lg|x|，x|x，≤x0>，0， 则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为 ________．
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第二章 第四节 函数的图象
考法(一)是利用函数图象研究函数性质．常从以下几个角 度分析研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； 看 (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 个 考法(二)利用函数图象研究不等式．通过函数图象把不等 性 式问题转化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴 的位置关系来解决问题． 考法(三)是利用图象研究方程根的问题．其依据是：方程 f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标
解决函数图象的识别问题， 注意“三关”： (1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特 殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满 找 足则排除； 共 (2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函 性 数的奇偶性、单调性等来排除选项； (3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到 巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高
求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思 想解题，其思维流程一般是：
找 共 性
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基础——在批注中理解透
单纯识记无ห้องสมุดไป่ตู้义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置； 从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化 趋势； 看 (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 个 (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； 性 (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极 值点等)，排除不合要求的图象． 考法(二)是求解因动点变化而形成的函数图象问题，既 可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动 点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择． 考法(三)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可
2020年高考 一轮复习数学(文) 函数的图象
四
节
函数的图象
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试，全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练，全练力保全能
返回
课 前 双 基落实
想一想、辨一辨、试一试，全面打牢基础
返回
必
过
教
材
关
返回
1．描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
2．如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)， 则f
1 f3＝________.
1 1 解析：由图象知 f(3)＝1，所以 ＝1，所以 f ＝f(1)＝2. f3 f3 答案：2
答案：(－1,0)∪(1， 2]
返回
4．若不等式(x－1)2＜logax(a＞0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立， 则实数a的取值范围为________．
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜ logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的 图象在y＝logax的图象的下方即可． 当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈(1,2) 时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤ loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．
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作出函数f(x)的图象如图所示． (1)由图知函数f(x)的单调递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，单调递减 区间为(－∞，1]和[2,3]． (2)由图象可知，若y＝f(x)与y＝m图象有四个不同的交点， 则0＜m＜1，所以集合M＝{m|0＜m＜1}．
2020高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第4讲 函数的概念及其表示(58张PPT) .ppt
(3)当 x 为有理数时，D(x)＝1；当 x 为无理数时，D(x)
＝0，所以函数的值域为{0，1}．
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第4讲 函数的概念及其表示
双
向 固
2．函数的表示方法
基 础
(1)函数 f(x)＝xx，2，xx≤>00，是两个函数．(
)
(2)下列各组函数是同一个函数的是②③.( )
①f(x)＝x，f(x)＝xx2；②f(x)＝x2，f(t)＝t2；
y＝x＋x＋1 1(x>－1)
y＝x＋x 1
y＝xx22－＋2xx＋＋13
y＝23－－csoins
x x
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第4讲 函数的概念及其表示
双
向
固 基
2．函数的表示法
础
(1)基本表示方法：解__析__法____、___图_像__法__、_列__表__法___．
(2)分段函数：在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式，
第4讲 函数的概念及其表示
双
向
固 基
1．函数的概念
础
(1)概念：设 A，B 都是非空的数集，如果按照某种确定
的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中
都有_唯_一__确__定__的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合
A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中 x 叫作自变
为 y cm2，则 y 关于 x 的函数关系式是______________．
图 2-4-1 [答案] y＝x 1600－x2
[解析] 矩形的对角线为40 cm，则矩形的另一条边长 为 1600－x2 cm，故矩形的面积y＝x 1600－x2 cm2，所 以所求的函数关系式是y＝x 1600－x2.
2020届高考数学一轮复习2.4函数的图象课件
考点 20
考点 21
考点 22
解析 y=f(x)
y=f(-x)
y=f[-(x-2)]=f(2-x)
y=-f(2-x),故选 B.
本题求解时注意由f(-x)→f(2-x)时不是向左平移两个单位, 而需将f(2-x)化为f[-(x-2)],再分析平移的方向与大小.
考点 20
考点 21
考点 22
考点22函数图象的应用
2.4 函数的图象
2010—2019年高考全国卷考情一览表
年份 题号 考 点
考向
2012
理 10 函数图象的识别 根据解析式识别函数图象
2013 1 卷 文 9 函数图象的识别 根据解析式识别函数图象
2015 2 卷
理 10 文 11
函数图象的识别
动点轨迹的识别
2016 1 卷 理 7 文 9 函数图象的识别 根据解析式确定函数图象
考点
考点
考点
20
21
22
9.(2016·全国1,理7文9,5分,难度★★)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大
致为( D )
解析特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除
A,B;当0<x<2时,y=2x2-ex,则y'=4x-ex, 由函数零点的判定可知,y'=4x-ex在(0,2)内存在零点,即函数y=2x2-ex 在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.
π
0,4
时,f(x)=tan x+
4 + tan2������,图象不是线段,从而排除
A,C;
∵f
π 4
=f
34π
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易错警示 (1)画函数的图象一定要注意定义域. (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函 数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析 式的影响.
1-1 分别作出下列函数的图象.
(1)y=|x-2|(x+1);
(2)y=
1 2
|x
.
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解析 (1)当x≥2,即x-2≥0时,
第四节 函数的图象
教 1.描点法作图
材 研
2.函数图象间的变换
读 3.函数图象的对称性
考 考点一 作函数的图象
点 突
考点二 函数图象的识辨
破 考点三 函数图象的应用
教材研读
1.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(或者变化趋势);(4)描点连线, 画出函数的图象.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位,再向下平移1个单位得到函 数y=f(x+1)+1的图象. ( ✕ ) (2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( ✕ ) (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. ( √ ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
3.函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)⇔y=f(x)的图象关于y轴对称; ②函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)= f(2a+x); ③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于 直线x= a 对b 称.
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=
x
-1
2
2
;
9 4
当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
=-
x
+1
2
2.所9 以y=
4
其图象如图所示.
x
1 2
2
9 4
,
x
2,
x
1 2
2
9 4
,
x
2.
(部2)分作,出加y上= y =12 的12x x图的象图,象保中留xy>=0 部12 分x图关象于中yx轴≥0的的对部称分部,去分掉,即图得象y中= x <1 2 0 的|的x | 图象,如图中实线部分所示.
2 0
x 其, x 图0象, 如图所示,故要使a=|x
,x 0,
|+x只有一个解,则a>0.
考点突破
作函数的图象
典例1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;
(2)y=x2-2|x|-1.
解析 (1)y=lglgx的(xx(图01象),x如1图) ①.
(2)y=
x2 x2
的2图x象1(如x 图0)②, .
2x 1(x 0)
方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,可 根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可去掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(√ )
2.函数f(x)= 1 -x的图象关于 ( C )
x
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
答案 C ∵f(x)= 1 -x是奇函数,
x
∴图象关于原点对称.
3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( )
2.函数图象间的变换
(1)平移变换:
(2)伸缩变换:
y=f(x) y=⑤ f(ωx) ;
y=f(x) y=⑥ Af(x) . (3)对称变换: y=f(x) y=⑦ -f(x) ; y=f(x) y=⑧ f(-x) ; y=f(x) y=⑨ -f(-x) .
(4)翻折变换: y=f(x) y=⑩ f(|x|) ; y=f(x) y= |f(x)| .
A.甲是图①,乙是图② C.甲是图③,乙是图②
B.甲是图①,乙是图④ D.甲是图③,乙是图④
答案 B 由题意知甲先快后慢,且前半程用时要比后半程少,也比乙后 半程用时少,故符合①,而由乙的运动知其符合④.
4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是
.
答案 (0,+∞)
解析
由题意得a=|x|+x,令y=|x|+x=
解析 (1)∵f(x)=-x4+x2+2,∴f '(x)=-4x3+2x,令f '(x)>0,解得x<- 2 或0<x<
2
2 ,此时, f(x)递增;令f '(x)<0,解得- 2 <x<0或x> 2 ,此时, f(x)递减.由此
函数图象的识辨
典例2 (1)(2018课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )
(2)函数f(x)=
(
a x
x的c b)图2 象如图所示,则下列结论成立的是(
C
)
A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0
2
(2)函数图象自身的中心对称 ① f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称; ②函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)= -f(2a+x); ③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2bf(2a-x);
(3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x= b 2 对a 称(由a+x=b-x得对 称轴方程); ②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直ห้องสมุดไป่ตู้x=a对称;
③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;
④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.