函数的图象(解析版)
第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
专题53 高中数学正切函数的性质与图象(解析版)
专题53 正切函数的性质与图象知识点 正切函数的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数对称中心 ⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数 题型一 类型一 定义域1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为________． [解析]因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z . 2．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．[解析]要使函数有意义应满足π6－x 4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z . 3．函数f (x )＝1tan x －1的定义域是____________．[解析]若使函数f (x )有意义，需使tan x －1≠0，即tan x ≠1.∵tan x 有意义，∴x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴f (x )＝1tan x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .4．函数y ＝1tan x －1的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z B ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z}C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋π2，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z [解析]若使函数y ＝1tan x －1有意义，需使tan x －1>0，即tan x >1.结合正切曲线，可得k π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z)．所以函数y ＝1tan x －1的定义域是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z)． 5．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为________．[解析]因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3.又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z)．6．函数y ＝log 12tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z [解析]由题意tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＞0，即tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＜0，∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，故选B. 7．函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为________．[解析]要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x <π4＋k π，k ∈Z . 8．函数y ＝－tan x ＋cos x 的定义域为________．[解析]由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ≥0，cos x ≥0，所以2k π－π2＜x ≤2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝－tan x ＋cos x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤2k π，k ∈Z . 9．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 (1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π4，求β的值． [解析] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得x ≠k π＋π4，k ∈Z.所以函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意；得tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫β－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， 整理得sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4⎣⎡⎦⎤2cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝0或cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，由sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝0得β＋π4＝π，β＝3π4， 由cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝12得β＋π4＝π3，β＝π12，所以β＝π12或β＝3π4. 类型二 值域1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________． [解析]因为y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2，⎝⎛⎦⎤π2，3π4上都是增函数，所以y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1. 2．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π3的值域为________． [解析]y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)． 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6的值域是________． [解析]因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4∈(1，3)． 4．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)[解析]当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ≤－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x≥1.即当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0∪⎝⎛⎭⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 5．求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [解析]由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18(k ∈Z ). 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.6．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析]∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]．∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．7．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域． [解析]令tan x ＝t ，由|x |≤π3，则t ∈[－3，3]．即有y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，则y 在[－3，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．∴y 的最大值为3＋23，最小值为－1.∴f (x )的值域为[－1,3＋23]． 8．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上都不对[解析]cos x ∈[－1,1]，y ＝tan x 在[－1,1]上是增函数，所以y ＝tan(cos x )的值域是[－tan 1，tan 1]． 9．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析]由题意知，2x ＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，所以x ＝k π2，k ∈Z ，又x ∈[0,2π)．所以x ＝0，π2，π，3π2，共4个．故选B.题型二 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 类型一 奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x .[解析]①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数． 2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝tan 2 x －tan x tan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 3．函数y ＝|x |tan 2x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数 [解析]易知2x ≠k π＋π2，即x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，定义域关于原点对称．又|－x |tan(－2x )＝－|x |tan 2x ，∴y ＝|x |tan 2x 是奇函数． 4．函数y ＝tan x1＋cos x( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数[解析]函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2且x ≠π＋2k π，k ∈Z ，关于原点对称． 设y ＝f (x )＝tan x1＋cos x ，则f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x 1＋cos x ＝－f (x )．所以y ＝f (x )是奇函数．故选A.5．当x ∈(－π2，π2)时，函数y ＝tan |x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．无法确定[解析]函数y ＝tan |x |，x ∈(－π2，π2)是偶函数，其图象关于y 轴对称．故选B.6．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________. [解析]∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，∴a sin 5＋b tan 5＝6，∴f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5. 7．已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． [解析] 设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1， ∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0.类型二 周期性1．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． [解析]函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为________． [解析]法一：(定义法)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π2. 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4，则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 [解析]由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4.4．函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为________． [解析]y ＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝⎩⎨⎧tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ，－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π－π4，k ∈Z ，其图象如图所示：由图象知y ＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为π. 5．若f (n )＝tan n π3，(n ∈N *)则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.[解析] 因为f (n )＝tan π3n 的周期T ＝ππ3＝3，且f (1)＝tan π3＝3，f (2)＝tan 2π3＝－3，f (3)＝tan π＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝20193×0＝0.6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0B ．1C ．－1D.π4[解析] 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan4x, f ⎝⎛⎭⎫π4＝tanπ＝0，故选A. 类型三 图象的对称性1．已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________． [解析]由x －π3＝k π2(k ∈Z)得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，所以图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π3，0，k ∈Z. 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)[解析] ∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，∴x ＋π5＝k π2，(k ∈Z)∴x ＝k π2－π5(k ∈Z) 当k ＝2时，x ＝45π，∴对称中心为⎝⎛⎭⎫45π，0. 3．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解析]①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z. ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z. 4．已知函数f (x )＝tan(x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0且|φ|<π2，则φ＝________. [解析] 由题意得π3＋φ＝k π2(k ∈Z)，即φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π6或φ＝－π3.5．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称； ③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________．[解析] ①若取φ＝k π(k ∈Z)，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错误； 观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)对称， 令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1,2知②、③正确，④显然正确．6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是2π C ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 [解析]令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 错误；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，令k ＝1得到x ＝π6，∴⎝⎛⎭⎫π6，0是函数的对称中心，故C 正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选C. 7．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．[解析] (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z)，则x ＝k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z)． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左， 右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．题型三 正切函数单调性的应用类型一 求单调区间1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是________． [解析]令k π－π2＜x －π5＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π10＜x ＜k π＋7π10，k ∈Z即函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π5的单调增区间是⎝⎛⎭⎫k π－3π10，k π＋7π10，k ∈Z. 2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．[解析]y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k 2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的减区间为(－π8＋k 2π，3π8＋k2π)，k ∈Z. 3．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间；[解析]由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调增区间为________．[解析] 由题意知，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z.所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z)． 5．函数 f (x )＝13tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z [解析]由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z)得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z)．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z)． 类型二 比较大小1．t an 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． [解析]y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)， 又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π2，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1. 2．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°＞tan 800°B ．tan 1＞－tan 2C ．tan 5π7＜tan 4π7D ．tan 9π8＜tan π7[解析]对于A ，tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，所以tan 735°＜tan 800°；对于B ，－tan 2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜π2，所以tan 1＜－tan 2；对于C ，π2＜4π7＜5π7＜π，tan 4π7＜tan 5π7；对于D ，tan 9π8＝tan π8＜tan π7.3．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小； [解析]由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 4．比较大小：tan 65π________tan ⎝⎛⎭⎫－137π； [解析]tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7， 因为－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. 5．已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.(1)求它的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f (π)与f ⎝⎛⎭⎫3π2的大小．[解析] (1)因为f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，所以T ＝πω＝π14＝4π.由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，得4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z)．因为y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z)上单调递增， 所以f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z)上单调递减． 故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z) (2)f (π)＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－π4＝3tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－3tan π12，f ⎝⎛⎭⎫3π2＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－3π8＝3tan ⎝⎛⎭⎫－5π24＝－3tan 5π24， 因为π12＜5π24，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π12＜tan 5π24，所以f (π)＞f ⎝⎛⎭⎫3π2. 类型三 单调性的应用(求参等)1．解不等式tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤ 3. [解析]将x ＋π3看成一个整体，由函数y ＝tan x 的图象可知在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan x ≤3的解应满足－π2<x ≤π3，再结合y ＝tan x 的周期，得k π－π2<x ＋π3≤k π＋π3，k ∈Z ，即k π－56π<x ≤k π，k ∈Z ， 所以不等式tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－56π<x ≤k π，k ∈Z . 2．若tan x ≥1，则( )A ．2k π－π4＜x ＜2k π(k ∈Z) B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z) C ．k π－π4＜x ≤k π(k ∈Z) D ．k π＋π4≤x ＜k π＋π2(k ∈Z) [解析]因为tan x ≥1＝tan π4.所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z. 3．不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥1的解集为______________． [解析]由已知可得k π＋π4≤2x ＋π4<k π－π2，解得k π2≤x <k π2－3π8，k ∈Z ， ∴不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π2≤x <k π2－38π，k ∈Z . 4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )[解析]当π2＜x ＜π，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0；当x ＝π时，y ＝0； 当π＜x ＜3π2时，tan x ＞sin x ，y ＝2sin x ．故选D. 5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[解析]∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. 6．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx －π3的最小正周期T 满足1＜T ＜32，求正整数k 的值，并写出f (x )的奇偶性、单调区间．[解析]因为1＜T ＜32，所以1＜πk ＜32，即2π3＜k ＜π.因为k ∈N *，所以k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3， 由3x －π3≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π＜3x －π3＜π2＋k π，k ∈Z ， 得－π18＋k π3＜x ＜5π18＋k π3，k ∈Z.所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z. 7．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值； (2)求使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数的θ的取值范围．[解析] (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43.因为x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )取得最小值－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值233. (2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2. 8．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π2. 因为ω＞0，所以ω＝2，所以f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(2)令－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π＜2x ＜k π＋π4，k ∈Z ，即－3π8＋k π2＜x ＜π8＋k π2，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． 9．是否存在实数a ，且a ∈Z ，使得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－ax 在x ∈⎝⎛⎭⎫π8，5π8上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在，请说明理由．[解析]∵y ＝tan θ在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，∴a ＜0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫π8，58π，∴－ax ∈⎝⎛⎭⎫－a 8π，－5a 8π，∴π4－ax ∈⎝⎛⎭⎫π4－a 8π，π4－5a 8π，∴⎩⎨⎧ k π－π2≤π4－a 8π(k ∈Z )，k π＋π2≥π4－58a π(k ∈Z ).解得－25－8k 5≤a ≤6－8k (k ∈Z )．令－25－8k 5＝6－8k ，解得k ＝1，此时－2≤a ≤－2， ∴a ＝－2＜0，∴存在a ＝－2∈Z ，满足题意．。
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(解析版)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到． 二、正（余）弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点 (0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π (0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π正（余）弦曲线正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππD ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-； （2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）按五个关键点列表xπ-2π-2ππcos x1-0 11cos 1x -2- 1- 01- 2-（2）按五个关键点列表x2π-0 2ππ32πsin x1- 011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x0 2ππ32π2πsin x11-sin x -0 1-0 1 0【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图. （1）2sin ([0,2])y x x π=∈；（2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：x2ππ 32π2π 2sin x 02 0 -2 0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ 32π2π 52πsin()2x π-0 1 0 -1 0（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像． 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩， 其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表x0 2ππ32π2πsin ||y x =1 0 -1 0作图：先作出(]0,2π的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称， 即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ； 当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ；综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-， 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin ,(0,2)2xx π∈的解集为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin ,(0,2)2xx π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（ ）A ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式3sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令3sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式3sin x <的解集为45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()2sin13f x x π=- ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin103x π-≥，即1sin32x π≥， 即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（ ） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A 【解析】()f x 的定义域是3⎡-⎢⎣⎦，故由31sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y 12log sin x________． 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈. 故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =， 在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()()e x g x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=， 由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点， 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-， 所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-， 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π， 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。
第10讲 函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1， 【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0， 【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，
高考数学复习重点知识专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)
高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数||()122x xx f x =+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】函数图像的识别，通常利用性质+排除法进行判断： 利用函数的奇偶性排除B ，利用特殊点的坐标排除A 、C. 【详解】 由||()22x xx f x -=+，得()f x 的定义域为R ，(0)0f =，排除A 选项． 而||()()22x xx f x f x --==+，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除B 选项．()1141421,1152522f f ⎛⎫====< ⎪⎝⎭+，排除C 选项． 故选：D ．2．（2021·浙江·高三月考）函数sin 2x y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断当3,22x x ππ==的符号，可排除AC ，求导，判断函数在()0,π上的单调性，可排除D ，即可得出答案. 【详解】解：由()()sin 02x y f x x x==≠得，1310,0223f f ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除AC ， ()2cos sin 2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当0πx <<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在()0,π上递减， 所以()()00g x g <=在()0,π上恒成立， 即()2cos sin 02x x xf x x-'=<在()0,π上恒成立， 所以函数()f x 在()0,π上递减，故排除D. 故选：B.3．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知215()sin ,()42f x x x f x π⎛⎫+⎪⎭'=+ ⎝为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项. 【详解】22co 151()si s n424f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-，∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D.又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·浙江·高二开学考试）函数())ln cos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在3[,2]2ππ上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项． 【详解】())cos())cos ()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-，()f x 是奇函数，排除AB ，在3[,2]2x ππ∈时，由复合函数单调性知)y x =是增函数，且)0y x =>，又cos y x =增函数，且cos 0y x =>，所以)cos y x x =是增函数，而y x =是增函数，所以()f x 是增函数，排除D ． 故选：C ．5．（2021·浙江金华·高三月考）函数|ln()|x ay x a +=-的图象，不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的定义域、值域以及特殊值对四个选项中的函数图像一一分析即可判断.【详解】对于A ，当0a =时，ln xy x=，其定义域为{}0,1x x x >≠，且0y >恒成立，故A 正确； 对于B ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a >-时，0y >，当x a <-时，0y <，故B 正确；对于C ，由函数定义域可知，0a >，当1x a -=时，函数无意义，且0y ≥恒成立，故C 正确；对于D ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a <-时，0y <，但图中0y >，不满足条件，故D 错误； 故选：D.6．（2021·全国·高三专题练习）函数2x y π=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由02x <<时()0f x >，排除B 和C ；再探究出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 【详解】当02x <<时，sin 02x π>，所以()sin02xy f x π==>，故排除B 和C ；又(2)(2)sinsin()22x xf x f x ππ--===，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．7．（2021·天津市新华中学高三月考）函数23sin ()x x x x x f x e e--=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e--=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x xf x f x e e---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证. 8．（2021·全国·高三专题练习）函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()()f x f x -=-；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解. 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，；当()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B 【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.9．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()2322sin log sin log f x x x x x x ππ=⋅⋅=⋅，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()22sin log sin log f x x x x x f x ππ-=-⋅-=⋅=-，函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠， 即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x 时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．（2022·全国·高三专题练习）函数()122cos cos 4421x x f x x x ππ+-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先将()f x 的解析式化简，然后判断()f x 的奇偶性，再根据()f π的取值特点判断出对应的函数图象. 【详解】因为()12221cos cos 2442121x x x x f x x x x x x x ππ+⎫⎫--⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222121cos sin cos22121x x x x x x x --=⋅-=⋅++， 所以()()()2112cos 2cos22112x xx x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++且定义域为R 关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，排除A 和C ；由()21cos2021f ππππ-=>+，排除B ， 故选：D ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据解析式判断奇偶性，在0x π>>上0x +→有()f x →-∞，利用导函数，结合函数图象分析0x π>>内极值点的个数，即可确定正确函数图象. 【详解】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求． 当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而1()cos 0f x x x'=+=时，1,cos y y x x==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B 符合要求.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x ，()g x 满足()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】依题意得()()()221=4x x f x g x e e --⋅，根据奇偶性定义知()h x 为奇函数，再结合特征点即可得答案． 【详解】因为()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得()()()()11=,=22x x x xf x e eg x e e --+- 所以()()()221=4x x f x g x e e --⋅，则()()()22sin 4cos 2=x xx x h x f x g x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅- ()h x 定义域为{}0x x ≠因为()()224cos x xxh x h x e e --==--，故()h x 是奇函数，则B ，D 错；当02x π<<时，()224cos 0x xxh x e e -=>-，则C 正确，故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的识别可以以下方面入手： （1）从函数定义域判断； （2）从函数单调性判断； （3）从函数奇偶性判断； （4）从函数特征点判断．14．（2021·湖南·长郡中学二模）函数sin cos 4411()x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题首先可通过()()f x f x -=-判断出函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，然后取04x π<≤，通过sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断出此时()0f x <，即可得出结果.【详解】 因为sin cos cos sin 44441111()()x x x x f x f x ee e e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝==-⎭⎝⎭，x ∈R ，所以函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，当04x π<≤，442x πππ<+≤，sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411x x e e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411()0x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝，B 错误，故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.15．（2021·福建龙岩·高一期末）已知函数()cos6x xxf x e e -=-，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】 对于函数()cos6x xxf x e e-=-，0x x e e --≠，解得0x ≠，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos 6cos6x xx xx xf x f x e e e e----==-=---，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项， 当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，60,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos60x >且0x x e e -->，此时，()0f x >，排除A 选项. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.16．（2021·湖北武汉·高一期末）函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x xx x x x x xx x x x f x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x --+-===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．（2021·全国·高三专题练习（理））函数()x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当0x >时，()f x 的符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g x x =为奇函数，令())ln0g x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x =. 所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.18．（2021·全国全国·高三月考（理））已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--⋅-=-+⋅-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.19．（2020·全国全国·模拟预测（文））函数()()ee sin 32xx xf x -+⋅=在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除A,再结合π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除C ，最后讨论函数在对应区间内的零点个数即可得答案. 【详解】∵()()()()()e e sin 3e e sin 322xx xx x f f xx x --+⋅-+⋅==-=--，∴()f x 是奇函数，排除A ．当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ．由()0f x =得sin30x =，又15153,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴30x =或π±或2π±，∴()f x 在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.20．（2020·山西·河津中学高三月考（理））函数(),()sin f x x g x x x ==+，则()()()h x f x g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由()h x 为偶函数，故排除选项B ，当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数，()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D ，从而可得出()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C ，得到答案.【详解】()(sin )h x x x x =+，则()()()()sin sin h x x x x x x x h x -=---=+=，所以()h x 为偶函数，故排除选项B. 当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数.()1cos 0g x x '=+≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D. 设120x x <<，则()()120f x f x <<，()()120g x g x << 则()()()()()()121122g g h x h x f x x f x x -=-()()()()()()()()11121222g g g g f x x f x x f x x f x x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+-由条件()10f x >，()()12g g 0x x -<，则()()()()112g g 0f x x x -<()2g 0x >，()()120f x f x -<，则()()()()212g 0x f x f x -<所以()()()()()()()()112212g g g 0f x x x x f x f x -+-<，即()()12h x h x < 因此()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.。
二次函数的图象和性质(解析版)
第04讲 二次函数的图象和性质(重点题型方法与技巧)目录类型一：二次函数的定义 类型二：二次函数的图象与性质 类型三：二次函数的解析式 类型四：二次函数的平移问题类型一：二次函数的定义函数y =ax 2+bx +c 为二次函数的前提条件是a ≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．典型例题例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝21x ＋x ＋1 B ．y ＝x 2－(x ＋1)2C ．y ＝－12x 2＋3x ＋1 D ．y ＝3x ＋1【答案】C 【详解】A. y ＝21x ＋x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； B. y ＝x 2－(x ＋1)221x ，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；C. y ＝－12x 2＋3x ＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D. y ＝3x ＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选C点评：例题1考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠B ．2m ≠C ．2m ≠且1m ≠D ．全体实数【答案】B【详解】∵()()221y m x m x =-+-是关于x 的二次函数，∴20m -≠， ∴2m ≠， 故选B ．点评：例题2主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是（ ） A ．正方体集装箱的体积3m y ，棱长x mB ．小莉驾车以108km h 的速度从南京出发到上海，行驶x h ，距上海y kmC ．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D ．高为14m 的圆柱形储油罐的体积3m y ，底面圆半径x m 【答案】D【详解】A.由题得：3y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意； B.由题得：108y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意； C.由题得：86y x=，不是二次函数，故此选项不符合题意； D.由题得：214y x π=，是二次函数，故此选项符合题意． 故选：D ．点评：例题3考查二次函数的定义，形如2(0)y ax bx c a =++≠的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．例题4．（2021·广西南宁·九年级期中）若12m y x x -=+是关于x 的二次函数，则m ＝_______ 【答案】3【详解】解：∵函数12m y x x -=+是关于x 的二次函数， ∴12m -=， 解得：3m =． 故答案为：3．点评：例题4考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．例题5．（2021·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x ，那么十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为______． 【答案】()2501=+y x【详解】解：十月份医用防护服的产量y （万件）与x 之间的函数表达式为 ()2501=+y x故答案为：()2501=+y x点评：例题5考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量⨯（1+增长率）2”是解本题的关键.某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x ，则九月份的产量为()501x +万件，十月份医用防护服的产量为()2501x +万件，从而可得答案.例题6．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()221y m m x mx m =-+++，m 是常数．()1若这个函数是一次函数，求m 的值；()2若这个函数是二次函数，求m 的值．【答案】（1）1m =；()20m ≠且1m ≠．【详解】（1）依题意得200m m m ⎧-=⎨≠⎩∴010m m m ==⎧⎨≠⎩或 ∴1m =；()2依题意得20m m -≠，∴0m ≠且1m ≠．点评：例题6主要考查了一次函数及二次函数的定义，关键是掌握一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k≠0，自变量次数为1；二次函数y=ax2+bx+c 的定义条件是a≠0，b 、c 为常数，自变量的最高次数是2．同类题型演练1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．2832y x x =++B ．81y x =+C ．8y x=D ．28y x =【答案】A【详解】A 、2832y x x =++是二次函数，符合题意； B 、81y x =+是一次函数，不合题意； C 、8y x=是反比例函数，不合题意； D 、28y x =不是二次函数，不合题意； 故选A ．2．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值为（ ）A ．－3B ．3或－3C ．3D ．2或－2【答案】C【详解】解：∵函数()1334m y m x x -=++-是二次函数，∴12m -=且m ＋3≠0， 解得：m =3， 故选：C ．3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）；④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【详解】形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C ．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3（m 为常数）． （1）当m _______时，该函数为二次函数； （2）当m _______时，该函数为一次函数． 【答案】 ≠2 =2【详解】解：（1）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为二次函数， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2．（ 2 ）∵函数y =（m ﹣2）x 2+mx ﹣3为一次函数， ∴m ﹣2=0，m ≠0， ∴m =2．故答案为：（1）≠2；（2）=25．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．【答案】2105607350y x x =-+-【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元， 所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-6．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数： (1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；(2)一个半径为10cm 的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S （cm 2）是方孔边长x （cm ）的函数；(3)有一块长为60m 、宽为40m 的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S （cm 2）是草坪宽度a （m ）的函数． 【答案】(1)p = m 2﹣5m ，是二次函数 (2)S =100π﹣4x 2，是二次函数(3)S =4a 2﹣200a +2400；是二次函数【详解】(1)解：这两个数的乘积p 与较大的数m 的函数关系为：p =m （m ﹣5）=m 2﹣5m ，是二次函数； (2)解：剩余的面积S （cm 2）与方孔边长x （cm ）的函数关系为：S =100π﹣4x 2，是二次函数；(3)解：郁金香的种植面积S （cm 2）与草坪宽度a （m ）的函数关系为：S =（60﹣2a ）（40﹣2a ）=4a 2﹣200a +2400，是二次函数；7．（2019·湖北·黄州区宝塔中学九年级阶段练习）已知函数()()24323mm y m x m x +-=++++（其中0x ≠）．()1当m 为何值时，y 是x 的二次函数？()2当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【答案】()1当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当m 为3-117-±121-±y 是x 的一次函数．【详解】()1根据题意得30m +≠且242m m +-=，解得2m =， 即当m 为2时，y 是x 的二次函数；()2当30m +=时，即3m =-时，y 是x 的一次函数；当240m m +-=且20m +≠时，y 是x 的一次函数，解得117m -±=； 当241m m +-=且320m m +++≠时，y 是x 的一次函数，解得121m -±=； 即当m 为3-117-±121-±时，y 是x 的一次函数． 类型二：二次函数的图象与性质二次函数的解析式中，a 决定抛物线的形状和开口方向，h 、k 仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a 必相等．典型例题例题1．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小【答案】B【详解】解：∵224125y x x x =--=--（）， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5）， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故选项B 符合题意， 故选：B ．点评：例题1考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 例题2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）抛物线()2235y x =--的顶点坐标是（ ） A ．(3,5)-- B ．(3,5)- C ．(3,5)- D ．(3,5)【答案】C【详解】解：抛物线()2235y x =--的顶点坐标是()3,5-，故选：C ．点评：例题2考查了求抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标的求法．例题3．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c ＞1；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<．你认为其中错误的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】D【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x 轴有两个交点， ∴240b ac ∆=->； 故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y 轴的交点在点（0，1）以下， ∴1c <；故本选项错误； （3）由图示，知对称轴12bx a=->-；又函数图象的开口方向向下， ∴0a <，∴2b a -<-，即20a b -<， 故本选项正确；（4）根据图示可知，当x ＝1，即0y a b c =++<，∴0a b c ++<；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个； 故选：D ．点评：例题3主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．由抛物线与x 轴交点情况判断24b ac -与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴及a 的范围推理2a b -的符号，根据当x ＝1的函数值判断a b c ++的符号．例题4．（2022·全国·九年级专题练习）若点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3）为二次函数y ＝﹣x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____（用“＞”号连接）． 【答案】y 2＞y 3＞y 1【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+4x +5中a ＝﹣1， ∴函数图象开口向下，∵y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9， ∴函数的对称轴为直线x ＝2，∵A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （4，y 3），∴A 点到对称轴的距离为3，B 点到对称轴的距离为1，C 点到对称轴的距离为2， ∴y 2＞y 3＞y 1， 故答案为：y 2＞y 3＞y 1．点评：例题4考查了二次函数的图象性质，由解析式求出对称轴是解题关键．求出函数的对称轴为直线x ＝2，由于函数开口向下，则函数图象上的点离对称轴越远所对应的函数值越小，由此即可求解． 例题5．（2021·福建漳州·模拟预测）已知抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点． (1)若抛物线的对称轴是直线x ＝2． ①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b ≥4，0≤x ≤2时，函数y 的最大值满足5≤y ≤13，求b 的取值范围． 【答案】(1)①245y x x =-++；②存在，点P （2，217）或P （2，2217-） (2)4≤b ≤6【详解】（1）解：①抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线()212b bx =-=⨯-，抛物线的对称轴是直线x ＝2， ∴22b=，解得b ＝4， ∴抛物线的解析式为245y x x =-++； ②存在．理由如下：抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连结OB ′、PB ，则OB '＝OB ，PB '＝PB ，如图所示：对于245y x x =-++，令y ＝0，则2450x x -++=，即2450x x --=， 解得125,1x x ==-， ∴A （﹣1，0），B （5，0）， ∴OB '＝OB ＝5，∴在Rt B OC '∆中，90B CO '∠=︒，5,2OB OC '==，则22225221B C B O OC ''--= ∴(21B '，设点P （2，m ），由22BP B P '=，得()2222921mm +=-，即(22921m m +=，解得217m =， ∴P （2221）， 同理，当点P 在x 轴下方时，P （2，221， 综上所述，点P （2，2217）或P （2，217-； （2）解：∵抛物线25y x bx =-++的对称轴为直线2bx =， ∴当b ≥4时，22bx =≥， ∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大， ∴当0≤x ≤2时，取x ＝2，y 有最大值，即y ＝﹣4+2b +5＝2b +1，∵5≤y≤13，∴5≤2b+1≤13，解得2≤b≤6，又∵b≥4，∴4≤b≤6．点评：例题5考查二次函数的综合应用，涉及到二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，轴对称性质，二次函数最值问题，二次函数增减性应用等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质、轴对称性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题．（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′（2，21），再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再根据函数值y的最大值满足5≤y≤13，列出不等式解答即可．同类题型演练1．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（－1，－2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而增大≤≤2时，y有最大值为8，最小值为0D．当－1x【答案】D【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线y轴，故选项B不合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D 符合题意；故选：D．2．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线2314y x的顶点坐标是()A．（1，4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）【详解】解：根据题意得：抛物线2314y x 的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故选：D3．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m （am ＋b ）＋b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①④【答案】B【详解】解：∵函数图象与x 轴有两个交点， ∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根， ∴b 2−4ac >0， ∴4ac −b 2<0， 故①正确；∵函数图象与x 轴的一个交点的横坐标在0至1之间， ∴函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标在-2至-3之间， 由图象可知：当x =−2时，y >0， ∴4a −2b +c >0， ∴4a +c >2b ， 故②错误； ∵12ba-=-， ∴b =2a ，∵当x =1时，y <0， ∴a +b +c <0，∴102b bc ++<，3b +2c <0，∵由函数图象可知x =−1时，该二次函数取得最大值， ∴a −b +c >am 2+bm +c (m ≠−1)， ∴m (am +b )<a −b ， 故④正确；∴正确的有①③④三个， 故选：B ．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）已知抛物线21y x x =--与经过点（m ，1），则代数式m ²-m +2019的值为_____． 【答案】2021【详解】解：∵抛物线2=1y x x +-经过点(,1)P m ∴21=1m m --，即22m m -=∴²2019m m -+=2+2019=2021． 故答案为：2021．5．（2022·全国·九年级课时练习）已知点A （-1，y 1），B （2 ，y 2），C （5，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x +c 的图象上，则y 1， y 2， y 3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）． 【答案】231y y y <<【详解】解：∵二次函数y =x 2-6x +c 中a =1＞0， ∴抛物线开口向上，有最小值． ∵63221b x a -=-=-=⨯， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大， ∵3(1)5332-->->-， ∴231y y y <<； 故答案为：231y y y <<．6．（2022·福建三明·九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ． (1)当抛物线经过点（1，2），求抛物线的函数表达式；(2)求顶点A 的坐标（用含字母a 的代数式表示），判断顶点A 是在x 轴上方还是下方，并说明理由； (3)当x ≥0时，抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的最高点到直线y ＝3a 的距离为5，求a 的值． 【答案】(1)241y x x =-+-(2)()2,1a a a -+，顶点A 在x 轴上方，理由见解析(3)222+-1【详解】（1）解：当抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）经过点（1，2）， ∴2121a a =-++-， 整理得2a =．将2a =代入221y x ax a -++-＝中， ∴抛物线的函数表达式为241y x x =-+-；（2）解：∵抛物线221y x ax a -++-＝（a 为常数）的顶点为A ， ∴()2221b ax a a =-=-=⨯-， 将x a =代入221y x ax a -++-＝中， 得到222211y a a a a a =-++-=-+，∴顶点为A 的坐标为()2,1a a a -+；顶点A 在x 轴上方，理由如下：∵2213124a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，2102a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴2314a a -+≥， ∴顶点A 在x 轴上方．（3）解：由（2）可知，抛物线221y x ax a -++-＝的对称轴为x a =，顶点坐标为()2,1a a a -+，①当0a ＞时，对称轴在y 轴右侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点()2,1a a a -+，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5，∴2135a a a -+-=，即2415a a -+=，若2415a a -+=，解得12222,222a a =+=-（不合题意，舍去）， 若2415a a -+=-，()222a -=-，原方程无解； ②当0a =时，对称轴是y 轴，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是顶点0,1，最高点到直线y ＝3a 的距离不可能为5， ∴此种情况不存在；③当0a ＜时，对称轴在y 轴左侧，如图所示，∵x ≥0时图象的最高点是()0,1a -，且最高点到直线y ＝3a 的距离为5， ∴135a a --=，解得1a =-． 综上所述，a 的值为222+或-1．类型三：二次函数的解析式用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ，将已知条件代入解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组求出a ，b ，c 的值，解析式便可得出． （2）设顶点式：y =a （x -h ）2+k ，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y =a （x -h ）2+k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．（3）设交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）（a ≠0），若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0)，设所求二次函数为y =a （x -x 1）（x -x 2），将第三个点的坐标（m ，n )（其中m ，n 为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式．典型例题例题1．（2021·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象的顶点是(1,2)-，且经过点(0,5)-，则二次函数的解析式是（ ）． A ．23(1)2y x =-+- B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =--- D ．23(1)2=--y x【答案】C【详解】解：设该抛物线解析式是：y ＝a （x -1）2﹣2（a ≠0）． 把点（0，-5）代入，得 a （0-1）2﹣2=-5， 解得a=-3．故该抛物线解析式是23(1)2y x =---． 故答案选：C点评：例题1主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式． 例题2．（2020·内蒙古·乌海市海南区教育局教研室九年级期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ） A ．y=4（x -2）2 -3 B ．y=-2（x -2）2+3C ．y=-2（x -2）2-3D ．y= -225(x -2）2+3 【答案】B【详解】∵抛物线的顶点为（2，3）， ∴设抛物线的解析式为y=a （x -2）2+3， ∵经过点（3，1）， ∴代入得：1=a （3-2）2+3， 解得：a=-2， 即y=-2（x -2）2+3， 故选B ．点评：例题2考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．设抛物线的解析式为y=a （x-2）2+3，把点（3，1）代入得出1=a （3-2）2+3，求出a 即可．例题3．（2020·吉林·九年级阶段练习）将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的函数解析式是（ ） A ．2y x x =+ B ．2y x xC ．2y x x =-+D ．2y x x =--【答案】D【详解】∵2211()24y x x x =+=+-，∴二次函数2y x x =+的图象顶点坐标为（-12，-14），∴将二次函数2y x x =+的图象沿x 轴翻折后，所得图象的顶点坐标为（-12，14），且图形开口方向相反，开口大小相等，故a=1，∴翻折后图象的函数解析式为2211()24x y x x =-++=--，故选：D.点评：例题3考查翻折的性质，求函数解析式，将二次函数的一般形式化为顶点式.先求出二次函数2y x x =+的图象顶点坐标，利用翻折得到所得函数的顶点坐标为（-12，14），a=1，由此得到函数的解析式. 例题4．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）． 【答案】25y x =-（答案不唯一）【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴二次函数()()20=-+≠y a x h k a 中0a >， ∵顶点坐标为()0,5-，∴这个二次函数的解析式可以是25y x =- 故答案为：25y x =-（答案不唯一）点评：例题4主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据二次函数的图象开口向上，可得0a >，再由顶点坐标为()0,5-，即可求解例题5．（2022·河南新乡·九年级期末）小刚在用描点法画抛物线C 1：2y ax bx c =++时，列出了下面的表格：x … 0 1 2 3 4 … y…36763…请根据表格中的信息，写出抛物线C 1的解析式：______． 【答案】243y x x =-++【详解】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y =ax 2+bx +c 中得： 36427c a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪++⎩＝＝＝， 解得：143a b c -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线C 1的解析式为：y =-x 2+4x +3， 故答案为：y =-x 2+4x +3．点评：例题5考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是准确熟练地进行计算． 例题6．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在下图的平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）．(1)求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；(2)将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标的取值范围；(3)在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．【答案】(1)24y x x =-，B （2，-4） (2)45P y -≤≤ (3)40b -<≤【详解】（1）解：∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上 ∴1680m -=，解得2m =．∴24y x x =-，即()224y x =-- ∴顶点坐标为B （2，-4）． （2）解：如图所示， 当2x =时，y 有最小值-4； 当5x =时，y 有最大值5∴点P 纵坐标的P y 的取值范围是45P y -≤≤．（3）解：如图所示： b 的取值范围为−4＜b ≤0，直线0y kx b k =+≠（）与图象G 有两个公共点．点评：例题6主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）根据二次函数的增减性和对称性可求P 点纵坐标P y 的取值范围； （3）先画出函数图象，再结合图象写出b 的取值范围．同类题型演练1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2 +2021B ．y ＝2（x ﹣1）2 +2021C ．y ＝﹣2（x +1）2+2021D ．y ＝2（x +1）2+2021【答案】C【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2021，∵抛物线y ＝a （x +1）2+2021与二次函数y ＝2x 2的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x +1）2+2021． 故选：C ．2．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线()()213y x x =+-关于y 轴对称后所得到的抛物线解析式为（ ） A ．()()213y x x =-+- B ．()()213y x x =-- C ．()()213y x x =-+ D ．()()213y x x =--+【答案】C【详解】∵拋物线()()()2213=2-1-8y x x x =+-，∴顶点坐标为（1，－8），关于y 轴对称后顶点坐标为（－1，－8），且开口向上， ∴该抛物线的解析式为()()()221-823-1y x x x =+=+； 故选：C ．3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知点()2,3在抛物线22y ax ax c =-+上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()3,2D ．()2,3--【答案】A【详解】解：将点（2，3）代入抛物线22y ax ax c =-+， 可得y=c=3， ∴223y ax ax =-+． 当x=0时，y=c=3；当x=3时，y=9a -6a+3=3a+3； 当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3；故（0，3）一定在该抛物线上， 故选：A ．4．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）抛物线2y ax bx =+经过点A （2，0），该抛物线顶点在直线2y x =-+上，则该抛物线解析式为______． 【答案】22y x x =-+【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点()0,0 ，A （2，0）， ∴顶点横坐标为1， ∵顶点在直线y =-x +2上， ∴y =-1+2=1， ∴顶点坐标（1，1），∵y =ax 2+bx 过点A （2，0），（1，1），∴1420a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴12a b =-⎧⎨=⎩，∴22y x x =-+． 故答案为：22y x x =-+．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(x ，y )的坐标值：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…343…则这条抛物线的解析式为_______． 【答案】2y x 2x 3=-++【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0） 设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+- 将（0，3）代入解析式得33a =- 解得1a =-∴解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++故答案为：2y x 2x 3=-++．6．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与直线y =x +1相交于A （-1，0），B （4，n ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为m ．①求线段PE 长的最大值，并求此时P 点坐标；②是否存在点P 使BEC △为等腰三角形？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)245y x x =-++ (2)①PE 有最大值254，点P 的坐标为335,24⎛⎫⎪⎝⎭；②存在，413或0或34 【详解】（1）解：由题意，抛物线2y ax bx c =++的解析式可化为(1)(5)y a x x =+-， 将点()4,B n 代入直线1y x =+ 得：415n =+=，将点(4,5)B 代入(1)(5)y a x x =+- 得：(41)(45)5a +⨯-=， 解得1a =-，则抛物线的解析式为2(1)(5)45y x x x x =-+-=-++， 即245y x x =-++；（2）①由题意：设2(,45)P m m m -++，(,1)E m m +， 点P 在点E 的上方，则()2223254513424PE m m m m m m =-++-+=-++=-⎫ ⎪⎭+⎛⎝-∵ -1＜0∴当m =32时，PE 有最大值，最大值为254当m =32时，235454m m -++=，此时点P 的坐标为（32，354）；②存在，m 的值为4130或34．(4,5),(5,0),(,1)B C E m m +，222(54)(05)26BC ∴=-+-=，2222(4)(15)2(4)BE m m m =-++-=-，22222(5)(10)(5)(1)CE m m m m =-++-=-++，由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当BC BE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC BE =，即22(4)26m -=， 解得413m =413m =（ⅰ）当BC CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BC CE =，即22(5)(1)26m m -++=， 解得0m =或4m =（舍去）；（ⅰ）当BE CE =时，BEC △为等腰三角形，则22BE CE =，即2222(4)(5)(1)m m m -=-++，解得34m =；综上，m 的值为4130或34．类型四：二次函数的平移问题（1）抛物线在平移的过程中，a 的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关． （2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y =a （x -h ）2+k 的形式．（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y =ax 2的顶点是（0，0），y =ax 2+k 的顶点是（0，k ），y =a （x -h ）2的顶点是（h ，0），y =a （x -h ）2+k 的顶点是（h ，k ）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典型例题例题1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线2y x 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)1y x =+-C ．22()1y x =-+D ．2(2)1y x =--【答案】C 【详解】∵抛物线2y x 的顶点坐标为（0，0），∴2yx 向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图象的顶点坐标为（2，1），∴得到新抛物线的解析式是22()1y x =-+， 故选：C ．点评：例题1考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．例题2．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ） A ．（－4，4） B ．（0，4） C ．（0，6） D ．（－4，－6）【答案】B【详解】解：将抛物线()2325y x =++向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为： ()232251,y x =+-+- 即234,y x =+∴抛物线的顶点坐标为：()0,4, 故选:B点评：例题2考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律，掌握二次函数的顶点式．例题3．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线22(4)1y x =-+，可以将抛物线22y x =（ ）A ．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【详解】解：∵y =2(x -4)2+1的顶点坐标为（4，1），y =2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y =2x 2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y =2(x -4)2+1．故选：B ．点评：例题3考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 例题4．（2022·天津滨海新·九年级期末）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x 先向左平移2个单位，再向下平移___________个单位得到的． 【答案】3 【详解】解：抛物线2y x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：()223y x =+-． 故答案为：3．点评：例题4考查的是二次函数的图象平移变换，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键． 例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)． (1)求a 、h 的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 【答案】(1)14a h =⎧⎨=-⎩；(2)242y x x =-+【详解】（1）解：将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩解得：14a h =⎧⎨=-⎩，∴1a =，4h =-；（2）解：∵原函数的表达式为：2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得∴平移后的新函数表达式为：22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+；点评：例题5考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键同类题型演练1．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）将抛物线y = x 2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ） A ． y =()25x +-4 B ． y =()25x ++4 C ． y =()25x --4 D ． y =()25x -+4【答案】A。
一次函数的图像(作业)解析版
20.2 一次函数的图像（作业）一、单选题1．（2019·上海金山区·八年级期中）一次函数的图像不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．【答案】B【分析】先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵解析式y＝2x﹣1中，k＝2＞0，b＝﹣1＜0，∴图象过第一、三、四象限，∴图象不经过第二象限．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过第一、三象限，当b＜0时，函数图象与y轴相交于负半轴．2．（2018·上海闵行区·）一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距是( )A．2 B．-3 C．6 D．6【答案】D【分析】令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），即可得出答案．【详解】解：令x＝0，则y＝6，即一次函数与y轴交点为（0，6），∴一次函数y=-2(x-3)在y轴上的截距为6．故选D.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，关键是令x＝0求出与y轴的交点坐标．3．（2019·上海市西延安中学八年级期中）在同一真角坐标平面中表示两个一次函数，，正确的图像为（）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据的图像判断k、b的符号，再判断的图像所在的象限，即可得出正确答案．【详解】解：A.由的图像得k>0，b<0，所以的图像应在一、二、三象限，故A错误；B、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故B错误；C、由的图像得k<0，b>0，所以的图像应在二、三、四象限，故C错误；D、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查一次函数的图象，熟悉一次函数的性质是解题的关键．4．（2018·上海金山区·八年级期末）直线不经过点（）A．（-2,3）；B．（0,0）；C．（3,-2）；D．（-3,2）．【答案】A【分析】直接把各点代入直线进行检验即可．【详解】A. 当x=−2时，y==≠3，故此点不在直线上，故本选项正确；B. 当x=0时，y==0，故此点在直线上，故本选项错误；C. 当x=3时，y==−2，故此点在直线上，故本选项错误；D. 当x=−3时，y==2，故此点在直线上，故本选项错误故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握直接代入的方法. 5．（2020·上海松江区·八年级期末）一次函数的图像经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可．【详解】解：一次函数中，k=2＞0，b=3＞0，所以一次函数的图象经过第一、二、三象限．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．6．（2020·上海八年级期中）如果直线y＝2x+3和y轴相交于点M，那么M的坐标为（）A．M（2，3）B．M（0，2）C．M（0，）D．M（0，3）【答案】D【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出点M的坐标．【详解】当x＝0时，y＝2x+3＝3，∴点M的坐标为（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．7．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）若bk<0，则直线y=kx+b一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【答案】D【分析】根据题意讨论k和b的正负情况，然后可得出直线y＝kx＋b一定通过哪两个象限．【详解】解：由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．综上可得，函数图象一定经过一、四象限．故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．8．（2018·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）无论k取何值，一次函数的图像必经过点( )A．B．C．D．无法确定【答案】C【分析】先对一次函数进行整理，然后根据图象过定点，得到关于x,y的一个方程组，解方程组即可．【详解】由得∵一次函数过定点，∴解得，∴一次函数过点故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数过定点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2018·上海闵行区·八年级期末）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+5平行，那么下列结论正确的是（）A．k＝﹣2，b＝5 B．k≠﹣2，b＝5 C．k＝﹣2，b≠5 D．k≠﹣2，b＝5【答案】C【分析】利用两直线平行问题得到k=-2，b≠5即可求解．【详解】∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+5平行，∴k＝﹣2，b≠5．故选C．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．10．（2019·上海·八年级期末）如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是A．B．C．D．【答案】A试题分析：kx+b＞0可看作是函数y=kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集．kx+b＞0即函数y=kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，所以不等式kx+b＞0的解集是x＞-2．故选A．考点：本题考查了一次函数与一元一次不等式点评：对于一次函数y=kx+b，当y＞0时对应的自变量的取值范围为不等式kx+b＞0的解集．二、填空题11．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）直线经过第_________象限．【答案】一、三【分析】根据k的正负性确定图像的增减性，根据b的正负性确定图像与y轴的交点位置即可．【详解】解：∵＞0，∴y随着x的增大而增大，∴图像经过第一、三象限，∵b=0，∴图像过原点，∴直线经过第一、三象限，故答案为：一、三．【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像的性质是解决本题的关键．12．（2018·上海崇明区·八年级期中）直线向上平移3个单位后，所得直线的表达式是___________．【答案】【分析】根据一次函数图象的平移规律即可得．【详解】由一次函数的平移规律得：所得直线的表达式是，即故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，熟记平移规律是解题关键．13．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为________．【答案】y=-x-3【分析】根据一次函数平移的特点即可求解．【详解】将直线向下平移5个单位后，所得直线的表达式为-5=-x-3故答案为：y=-x-3．【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数平移的特点．14．（2019·上海普陀区·八年级期末）已知直线与直线平行，那么_______．【答案】5【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．【详解】解：直线与直线平行，，故答案为：5．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．15．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）直线与坐标轴围成的三角形的面积为________.【答案】【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题.【详解】解：由题意可知直线与坐标轴的交点为和，∴三角形的底为高为，∴三角形的面积为，故答案为.【点睛】本题考查一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2018·上海崇明区·八年级期中）直线与轴和轴的交点分别为、，那么线段的长为_________．【答案】5【分析】先根据一次函数的表达式求出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可得．【详解】如图，当时，，解得则点A的坐标为，当时，，则点B的坐标为，，故答案为：5．【点睛】本题考查了一次函数的图象、勾股定理，掌握一次函数的图象是解题关键．三、解答题17．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，是甲、乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量y关于工作时间x的函数图像，线段OA表示甲机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图像，线段BC表示乙机器人的工作量（吨）关于时间x（时）的函数图像．根据图像信息回答下列填空题．（1）甲种机器人比乙种机器人早开始工作小时；甲种机器人每小时的工作量是吨；（2）直线BC的表达式为；当乙种机器人工作5小时后，它完成的工作量是吨．【答案】（1）3，； (2) ， 5【分析】（1）由图像可以得到甲机器人比乙机器人早开始工作的时间，甲机器人的每小时的工作量．（2）利用甲机器人求得交点的坐标，再用待定系数法求BC的解析式．【详解】解：（1）由图像可知：甲机器人比乙机器人早工作3小时，甲机器人每小时的工作量吨，（2）设直线OA为，把代入得：，所以：，因为函数的交点的纵坐标为3，所以：横坐标为，设BC为：，又因为BC过，所以：，所以：，所以直线BC的解析式为；，当乙机器人工作5小时，即，所以：工作量．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与图像信息问题，同时考查求一次函数的解析式，弄清楚关键点的坐标含义是解题关键．18．（2018·上海市行知实验中学八年级期中）一次函数图像经过(0,-4),与两坐标轴围成的三角形面积是6，求这个函数解析式.【答案】y=x-4或y=-x-4．【分析】设一次函数与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．【详解】∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，-4），∴b=-4，设一次函数与x轴的交点是（a，0），则×4×|a|=6，解得：a=3或-3．把（3，0）代入y=kx-4，解得：k=，则函数的解析式是y=x-4；把（-3，0）代入y=kx-4，得k=-，则函数的解析式是y=-x-4．故这个函数解析式为y=x-4或y=-x-4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与x轴的交点坐标是关键．19．（2019·上海市田林第三中学八年级月考）已知一次函数图像经过点A（2，2）、B（-2，-4）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形的面积.【答案】（1）y= x−1；（2）【分析】（1）运用待定系数设出函数解析式y=kx+b，再将两点代入可得出k和b的值．（2）求出函数解析式与x轴及y轴的交点坐标，根据s= |x||y|可计算出面积．【详解】(1)设这个函数解析式为y=kx+b，已知一次函数图像经过点A（2，2）、B（-2，-4），可得：，解得：，∴函数解析式为y= x−1.(2)直线y=x−1与x轴的交点坐标为( ,0)，与y轴的交点坐标为(0,−1)所以S=××|−1|=.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，解题关键在于把已知点代入解析式.20．（2019·上海松江区·八年级期中）已知一次函数y=kx+b（k、b是常数）的图像平行于直线，且经过点（2，-3）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积.【答案】(1) y=-3x+3；(2).【分析】（1）根据题意可得k=﹣3，将点（2，-3）代入求解即可得到答案；（2）先求得该一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：（1）∵y=kx+b平行于直线，∴k=-3，∵一次函数经过点（2，-3），∴代入得b=3，∴y=-3x+3；（2）一次函数与x轴交于点（1，0），与y轴交于点（0，3），∴面积.【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解此题的关键在于根据题意准确求得一次函数的解析式.21．（2018·上海全国·八年级期中）已知y＋2与3x成正比例，当x＝1时，y的值为4.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若点(－1，a)，(2，b)是该函数图象上的两点，请利用一次函数的性质比较a，b的大小．【答案】（1）y＝6x－2；（2）a<b.试题分析：（1）由y+2与3x成正比例，设y+2=3kx（k≠0）．将x=1，y=4代入求出k的值，确定出y与x的函数关系式；（2）由函数图象的性质来比较a、b的大小．试题解析：(1)根据题意设y+2=3kx(k≠0).将x=1，y=4代入，得4+2=3k，解得：k=2.所以，y+2=6x，所以y=6x−2；(2)a<b.理由如下：由(1)知，y与x的函数关系式为y=6x−2.∴该函数图象是直线，且y随x的增大而增大，∵−1<2，∴a<b.22．（2019·上海全国·八年级期末）已知一次函数的图象经过(2，5)和(-1，-1)两点，(1)在给定坐标系中画出这个函数图象，(2)求这个一次函数解析式.【答案】(1)如图所示：(2)试题分析：（1）先在平面直角系内找到(2，5)和(-1，-1)两点，即可作出图象；（2）根据待定系数法列方程组求解即可。
人教版八年级数学下册课件函数的图像函数的图像
Q (升)
Q (升)
Q (升)
Q (升)
40
40
40
40
0 8 t (时) 0 8 t (时) 0 8 t (时) 0 8 t (时
A.
B.
C.
D.
2.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图 表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位． 结合图象判断下列叙述不正确的是 （ C ）
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
用平滑曲线去连接画出的点
（1，1） D.
AB
1注、：已函知数1点图.（1象-1可，能2是）曲是线函，数也y=可kx能的是图直象线上，的也一可点能，是则线段或射线，函数图象的形状取决于函数关系和自变量的取值范围。
请根据图象回答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
实际问题中的函数图象
思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北 京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．
你从图象中得到了哪些信息？
T/℃ 8
O4
14
-3
24 t/时
从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温.
1、画出函数 y = x + 0.5 的图象
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 全体实数 . 从x的取值范围中选取一些简洁的数值， 算出y的对应值，填写在表格里：
-2
-3
-4
.
图象上的点与函数关系式的关系：
（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x、y满足 函数关系式；
（2）满足函数关系式的任意一对（x，y）的值， 所对应的点一定在函数图象上。
判断下列各点是否在函数 y=x+0.5 的图象上？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点12 函数的图象【命题解读】 关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换。
（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。
【基础知识回顾】 1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ). (4)翻折变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. [常用结论与微点提醒] 1.记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x ．而言，如果x 的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y ．而言的，利用“上减下加”进行.1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A2、.(2020·深圳调研)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )【答案】 C【解析】 由函数f (x )的图象知a >1，－1<b <0. ∴g (x )＝a x ＋b 在R 上是增函数，且g (0)＝1＋b >0. 因此选项C 满足要求.3、已知函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)，则函数y ＝f(|x|＋1)的图象大致为( )A B C D【答案】A【解析】 先作出函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)的图象，当x>0时，y ＝f(|x|＋1)＝f(x ＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y ＝f(x ＋1)(x>0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象．故选A .4、定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( ) A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+ B ．f ()sin x = x ，()cos g x = xC ．f ()x ln = x ，()g x ln =2x D ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =【答案】ABD【解析】由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确； 由3()sin ,()cos sin()2f x xg x x x π===-知，()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；由1(),()()22f x lnxg x ln x lnx ln ===-知，()f x 项下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确； 由31321211()()11133()(),()2()()13331()23x xx log x x log f x g x -=====知，()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D 正确； 故选：ABD ．5、已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0.(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x ＜0，其图象如图所示． (2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.考向一 作函数的图象例1、作出下列函数的图象： (1)(1)y ＝2－2x ；(2)y ＝log 13 [3(x ＋2)]； (3)y ＝|log 12(－x )|. 【解析】：(1)作函数y ＝2x 的图象关于x 轴对称的图象得到y ＝－2x 的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y ＝2－2x 的图象．如图1；(2)因为y ＝log 13[3(x ＋2)]＝－log 3[3(x ＋2)]＝－log 3(x ＋2)－1.所以可以先将函数y ＝log 3x 的图象向左平移2个单位，可得y ＝log 3(x ＋2)的图象，再作图象关于x 轴对称的图象，得y ＝－log 3(x ＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y ＝－log 3(x ＋2)－1的图象， 即为y ＝log 13[3(x ＋2)]的图象．如图2；(3)作y ＝log 12x 的图象关于y 轴对称的图象，得y ＝log 12(－x )的图象，再把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y ＝|log 12(－x )|的图象．如图3.变式1、分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1．【解析】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x x ≥1，－lg x 0<x <1图象如图①．(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0x 2＋2x －1x <0．图象如图③．(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x ＋2x －1的图象，如图④．变式2、作出下列函数的图象：(1)y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x|－1. 【解析】(1)作出y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，保留y ＝的图象中x ≥0的部分，加上y ＝的图象中x>0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝的图象，如图①实线部分．①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.(4)∵y ＝22x 21,021,0x x x x x ⎧--⎪⎨+-⎪⎩≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.③ ④方法总结：1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域． (2)化简函数解析式．12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫⎪⎝⎭(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)． (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．考向二 图象的辨识例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ， 当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）函数(ln cos 2y x x =⋅的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于0x ，所以()f x 的定义域为R ，因为()ln(cos(2)f x x x -=-+⋅-)cos 2x x =⋅1)cos2x x -=⋅)cos2x x =-⋅ ()f x =-所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A ，B因为ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝，()ln(cos ln(1f ππππ=+⋅=-<-，333ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 所以排除C 故选：D变式2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 变式3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，0,222,022x xx xxx +--→+→→+，A 错误； 220,222,x xxxx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选：A方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项考向三 函数图象的应用例3、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4- 【答案】A【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m <故选：A变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C【解析】 在同一直角坐标系内，作出函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图象如下： 因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图象可得：b c a <<.故选：C.变式2、函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.【答案】2【解析】f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.变式3、已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4．(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4＝x －22－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22＋4，x <4.f (x )的图象如图所示：(3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等．(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．1、（2020天津3）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误． 故选A ． 2、（2019全国Ⅲ理7）函数在的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 因为，所以是上的奇函数，因此排除C ，又，因此排除A ，D ．故选B ． 3、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图象大致为【答案】B3222x x x y -=+[]6,6-332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x []6,6-1182(4)721f =>+【解析】当0<x 时，因为0--<x xe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．4、(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．5、(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C 【解析】∵2()()ax b f x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴0b x a =->，20b y c=>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c ．6、已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( )A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<【答案】BCD【解析】由函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，作出其函数图象：由图可知，122x x +=-，121x -<<-；当1y =时，2|log |1x =，有1,22x =； 所以341122x x <<<<； 由34()()f x f x =有2324|log ||log |x x =，即2324log log 0x x +=； 所以341x x =；则2123412111(2)(1)1(0,1)x x x x x x x x x ==--=-++∈； 故选：BCD ．。