高考弹簧问题专题详解

高考弹簧问题专题详解高考动向弹簧问题能够较好的培养学生的分析解决问题的能力和开发学生的智力，借助于弹簧问题，还能将整个力学知识和方法有机地结合起来系统起来，因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。

知识升华一、弹簧的弹力1、弹簧弹力的大小弹簧弹力的大小由胡克定律给出，胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比。

数学表达形式是：F=kx 其中k是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数。

说明：①弹力是一个变力，其大小随着弹性形变的大小而变化，还与弹簧的劲度系数有关；②弹簧具有测量功能，利用在弹性限度内，弹簧的伸长（或压缩）跟外力成正比这一性质可制成弹簧秤。

2、弹簧劲度系数弹簧的力学性质用劲度系数描写，劲度系数的定义因弹簧形式的不同而不同，以下主要讨论螺旋式弹簧的劲度系数。

（1）定义：在弹性限度内，弹簧产生的弹力F（也可认为大小等于弹簧受到的外力）和弹簧的形变量（伸长量或者压缩量）x的比值，也就是胡克定律中的比例系数k。

（2）劲度系数的决定因素：劲度系数的大小由弹簧的尺寸和绕制弹簧的材料决定。

弹簧的直径越大、弹簧越长越密、绕制弹簧的金属丝越软越细时，劲度系数就越小，反之则越大。

如两根完全相同的弹簧串联起来，其劲度系数只是一根弹簧劲度系数的一半，这是因为弹簧的长度变大的缘故；若两根完全相同的弹簧并联起来，其劲度系数是一根弹簧劲度系数的两倍，这是相当于弹簧丝变粗所导致；二、轻质弹簧的一些特性轻质弹簧：所谓轻质弹簧就是不考虑弹簧本身的质量和重力的弹簧，是一个理想化的模型。

由于它不需要考虑自身的质量和重力对于运动的影响，因此运用这个模型能为分析解决问题提供很大的方便。

性质1、轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受到的力大小是相同的。

其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。

如图1和2中相同的轻弹簧，其端点受到相同大小的力时，无论弹簧是处于静止、匀速还是加速运动状态，各个弹簧的伸长量都是相同的。

性质2、两端与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化——弹簧缓变特性；有一端不与物体相连的轻弹簧上的弹力能够在瞬间变化为零。

如在图1、2、3、4、中撤出任何一个力的瞬间，弹簧的长度不会变化，弹力的大小也不会变化；但是在图5中撤出力F的瞬时，弹簧恢复原长，弹力变为零。

说明：①上述结论可以通过弹簧和物体组成系统的振动周期公式加以理解，弹簧恢复原长需要四分之一个周期，并且物体的质量越大劲度系数越小，恢复时间就越长。

物体的质量非常小时，可以认为无限短的时间就可以恢复原长。

②重的弹簧可以等价于轻弹簧连接着一个物体，弹簧自由端的恢复也仍然需要一点时间。

性质3、弹簧的形变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向相反。

分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。

性质4、弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx ，是一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。

以简谐运动为模型分析动力学问题会减少错误带来方便。

例如一个质量为M的物体从高处自由下落在一个弹簧上，试分析物体的运动情况。

由简谐运动的知识知道，物体一旦接触弹簧其运动就进入了简谐振动过程，必定存在一个平衡位置（如图中O的位置，重力等于弹力），物体靠近平衡位置的阶段必定是速度增大、加速度减小，远离平衡位置的阶段，必定是速度减小、加速度增大。

如果结合简谐运动的对称性还可以方便地分析力的变化、能量的变化等问题，应当注意体会和运用。

性质5、弹性势能和弹力的功（1）弹性势能①弹性势能的大小：弹簧能够储存弹性势能，它储存的弹性势能的大小与弹性形变量的大小和劲度系数有关，（运用此式的定量计算在高中阶段不作要求，只做理解弹性势能的依据）。

②弹性势能的计算：弹性势能的定量计算依据功能关系或能的转化和守恒定律。

（2）弹力的功弹力的功是变力的功，因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力求得即，说明：①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩x长度的过程弹力做的功，上式中的F 是形变量为x时的弹力。

②当形变量由x1变为x2时弹力功的大小为（3）弹力功的特点弹簧弹力的功与路径无关——同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。

这一点对于计算弹力的功和弹性势能是非常重要的，必须引起重视。

（4）弹性势能与弹力功的关系①弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。

②弹力的功等于弹性势能增量的负值即：三、弹簧问题的题目类型1、求弹簧弹力的大小（或弹簧秤的示数）2、求弹簧的形变量（伸长、压缩、原长、总长以及作用点的位移）3、求与弹簧相连接的物体的瞬时加速度4、在弹力作用下物体运动情况分析——弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能等物理量发生变化的情况5、与简谐运动相关的动力学问题6、有弹簧参与的临界问题和极值问题7、探究弹力的功与弹性势能的变化8、弹力做功弹性势能变化、能量转化和守恒综合问题的计算9、与弹簧相关的动量守恒、能量守恒综合问题四、解决弹簧问题方法归类1、基本方法是：依据运动和力的关系，运用解决动力学问题的一般方法去分析解决。

具体的说：①分析物体受到合力的大小、方向变化情况——分析物体初速度或者速度方向——确定物体的运动情况，由此求出未知量；或者明确已知的运动情况（即物体处于什么样的运动状态）——确定物体的受力情况，由此求出未知量；②选取物理规律列方程物体处于平衡状态时——运用平衡条件结合胡克定律物体做匀变速运动时——用牛顿第二定律和运动学公式物体做简谐振动时——运用简谐振动的规律非匀变速运动的过程——通常要用能的转化和守恒定律综合性问题——动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律灵活运用2、分析弹簧问题需要特别关注的几点（1）弹力的变化特点——物体做变加速运动（2）弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间，（3）物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性（4）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点（5）有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等（6）弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解经典例题透析类型一：关于弹簧的伸长量和弹力的计算解决这类问题的方法是：（1）根据物体所处的运动状态，运用牛顿定律或平衡条件求出弹簧受到的弹力，然后由胡克定律计算弹簧的形变量或原长等。

（2）由物体的运动情况和几何关系求出弹簧的形变量，然后用胡克定律计算弹力，进而求解物体的运动情况。

值得注意的是：弹簧可能产生拉力也可能产生压力，同一弹力弹簧可能有两个长度；轻质弹簧上的弹力大小处处相等。

1、对轻弹簧的理解1、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .若认为弹簧的质量都为零，以依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）A. B. C. D.答案：D思路点拨：要比较四种不同物理情景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理情景中弹力的大小和弹簧的劲度系数．由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧各处所受的弹力，弹簧只是传递物体间的相互作用．可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将等大地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= k△x，则四个弹簧的伸长量△x 相同．解析：首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为 0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处处拉力都相同 .因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为 0，而加速度不是无穷大，所以合力必为 0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同 .按题意又可知大小皆为 F.其次，弹簧的伸长量，K为劲度系数 .由题意知四个弹簧都相同，即 k 都相同 .故可知伸长量必相同总结升华：本题通过对四种不同物理情景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力．①②两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同．常有学生错误地认为第②种情形中弹簧所产生的弹性形变比第①种情形中弹簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第①种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第①种情形与第②种情形的受力情况是等效的，其实在第①种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第①②两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第③④两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但轻弹簧中产生的弹力大小处处等于外力F的大小，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。

认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些，是错误的。

没有注意到轻弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件。

举一反三：【变式】如图所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L＝10 cm，劲度系数k＝500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m＝__________。

（g取10m/s2）解析：首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程：答案：1kg2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性，以防漏解。

解决这类问题的方法是：以与弹簧相联系的物体为研究对象，进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能的状态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。

对物体应用平衡条件求出弹力，或者结合胡克定律求出弹簧的伸长量、压缩量以及弹簧的长度与原长。

2、如图所示，a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们均处于平衡状态.则:（）A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态解析：研究a、N、c系统由于处于平衡状态，N可能处于拉伸状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态；研究a、M、b系统由于处于平衡状态，M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态)，而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析，本题只有A、D正确.答案：A、D举一反三：【变式】如图所示，重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120。