《数学建模》期末考试试卷一与参考答案
福建师范大学“数学与应用数学”《数学建模》23秋期末试题库含答案
福建师范大学“数学与应用数学”《数学建模》23秋期末试题库含答案第1卷一.综合考核(共20题)1.分析检验一般有()。
A.量纲一致性检验B.参数的讨论C.假设合理性检验2.数学建模中常遇到微分方程的建立问题。
()A.正确B.错误3.4.将所有可能提供选择的变量都放入模型中，不加剔除叫做淘汰法。
()A.错误B.正确5.我们研究染色体模型是为了预防遗传病。
()A.错误B.正确6.建模中的数据需求常常是一些汇总数据。
()A.正确B.错误7.观察实际问题中的平衡现象的方法有()。
A.从长期的宏观的角度着眼，在大局上或整体上进行研究B.从瞬时的局部的角度着眼，把微小结构及瞬时变化作为问题来研究C.利用宏观模型去观察D.利用微观模型去观察8.对模拟模型的分析包括____A.收集系统长期运转的统计值B.比较系统的备选装置C.研究参数变化对系统的影响D.研究改变假设对系统的影响E.求系统的最佳工作条件9.模型具有可转移性。
()10.11.一个理想的数学模型需满足_______。
A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性12.在构造一个系统的模拟模型时要抓住系统中的主要因素。
()A.正确B.错误13.赛程安排不属于逻辑分析法。
()A.错误B.正确14.用框图说明数学建模的过程。
15.估计模型中参数值的常用方法有()。
A.直接查阅资料B.图解法C.统计法D.机理分析法16.17.对黑箱系统一般采用的建模方法是_______。
A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法18.引言是整篇论文的引论部分。
()A.正确B.错误19.20.第1卷参考答案一.综合考核1.参考答案：ABC2.参考答案：A4.参考答案：A5.参考答案：B6.参考答案：A7.参考答案：ABCD8.参考答案：ABCDE9.参考答案：正确11.参考答案：AB12.参考答案：A13.参考答案：A14.参考答案：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：15.参考答案：ABCD17.参考答案：C18.参考答案：A。
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
《数学建模》期末试卷A
《数学建模》期末试卷A一、填空题（每题2分，共20分）1、在数学建模中，我们将所要研究的问题________化。
2、在解决实际问题时，我们常常需要收集大量的数据，这些数据通常是不________的。
3、在建立数学模型时，我们通常需要对变量进行假设，这些假设通常是对________的描述。
4、在解决实际问题时，我们通常需要对多个因素进行________，以确定哪些因素对所要研究的问题有显著影响。
5、在建立数学模型时，我们通常需要对数据进行________，以发现数据之间的规律和关系。
6、在解决实际问题时，我们通常需要将复杂的问题________化，以方便我们更好地理解和解决它们。
7、在建立数学模型时，我们通常需要将实际问题________化，以将其转化为数学问题。
8、在解决实际问题时，我们通常需要考虑实际情况的________性，以避免我们的解决方案过于理想化。
9、在建立数学模型时，我们通常需要使用数学语言来________模型，以方便我们更好地描述和解决它。
10、在解决实际问题时，我们通常需要使用计算机来帮助我们进行________和计算。
二、选择题（每题3分，共30分）11、在下列选项中，不属于数学建模步骤的是（）。
A.确定变量和参数B.建立模型C.进行实验D.验证模型12、在下列选项中，不属于数学建模方法的是（）。
A.归纳法B.演绎法C.类比法D.反证法13、在下列选项中，不属于数学建模应用领域的是（）。
A.物理学B.工程学C.经济学D.政治学14、在下列选项中，不属于数学建模语言的是（）。
A.文字语言B.符号语言C.图形语言D.自然语言15、在下列选项中，不属于数学建模原则的是（）。
A.简洁性原则B.一致性原则C.可行性原则D.可重复性原则16、在下列选项中，不属于数学建模步骤的是（）。
A.对数据进行分析和处理B.对模型进行假设和定义C.对模型进行检验和修正D.对结果进行解释和应用17、在下列选项中，不属于数学建模应用领域的是（）。
高中数学建模试题及答案
高中数学建模试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数学建模的一般步骤不包括以下哪一项？A. 问题提出B. 模型假设C. 模型求解D. 数据收集答案：D2. 在数学建模中，模型的验证通常不包括以下哪一项？A. 模型的逻辑性检验B. 模型的适用性检验C. 模型的稳定性检验D. 模型的美观性检验答案：D3. 以下哪一项不是数学建模中常用的方法？A. 微分方程B. 线性规划C. 概率论D. 文学创作答案：D4. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的要素？A. 模型的假设B. 模型的变量C. 模型的参数D. 模型的结论答案：D5. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分类？A. 确定性模型B. 随机性模型C. 静态模型D. 动态模型答案：C6. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的构建过程？A. 模型的假设B. 模型的建立C. 模型的求解D. 模型的发表答案：D7. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分析方法？A. 数值分析B. 符号计算C. 图形分析D. 文字描述答案：D8. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的优化方法？A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 统计分析答案：D9. 数学建模中，以下哪一项不是模型的应用领域？A. 工程技术B. 经济管理C. 生物医学D. 音乐艺术答案：D10. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的评估标准？A. 模型的准确性B. 模型的简洁性C. 模型的可解释性D. 模型的复杂性答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 数学建模的一般步骤包括：问题提出、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型验证和______。
答案：模型报告2. 在数学建模中，模型的假设应该满足______、______和______。
答案：科学性、合理性、可行性3. 数学建模中，模型的求解方法包括解析方法和______。
答案：数值方法4. 数学建模中，模型的分析方法包括______、______和______。
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案数学建模试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点(5分) 答：（1）可处理非线性^；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) `证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢(15分) {解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
数学建模期末试题及答案
数学建模期末试题及答案1. 题目描述这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。
以下是试题的具体描述及答案解析。
2. 问题一某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示：\[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\]其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。
请回答以下问题：a) 请解释一下该函数的含义。
b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？【解析】a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。
通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。
函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。
基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。
b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。
c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时间段。
3. 问题二某学校的图书馆借书规则如下：- 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。
- 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期限30天。
请回答以下问题：a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本，请写出该学生在每次借书后的总借书数。
b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？【解析】a) 总的借书数为每次借书的累加和。
学生第一次借2本，总共借书数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。
b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可以延长借阅期限30天。
因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。
数学建模期末答案
《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：成绩：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。
------------------------------（√）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
------（√）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。
---------------------------------------------（√）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。
-------（√）5、数学模型是原型的复制品。
-------------------- （×）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。
A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。
B、模型误差是可以避免的。
C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。
D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。
2、建模能力包括ABCD 。
A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。
A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。
A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AC 。
A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。
（10分）四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
荆州学院《数学建模》2023-2024学年第一学期期末试卷
荆州学院《数学建模》2023-2024学年第一学期期末试卷考试课程：数学建模考试时间：120分钟专业：应用数学总分：100分---一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 对于一个线性规划问题，如果目标函数和约束条件都是线性的，那么该问题属于哪一类数学建模问题？A. 整数规划B. 动态规划C. 线性规划D. 非线性规划2. 在数学建模中，常用的数学模型有哪几类？A. 线性模型、非线性模型、离散模型B. 静态模型、动态模型、稳态模型C. 经济模型、物理模型、生物模型D. 离散模型、连续模型、混合模型3. 下列哪个不是数学建模中常用的优化算法？A. 蚁群算法B. 遗传算法C. 动态规划算法D. 随机森林算法4. 在数据拟合问题中，常用的拟合方法包括：A. 最小二乘法B. 蒙特卡洛方法C. 梯度下降法D. 贝叶斯推断法5. 下列哪个软件不常用于数学建模？A. MATLABB. PythonC. RD. AutoCAD6. 对于一个动态规划问题，其最优解是通过：A. 分治法求解B. 贪心算法求解C. 动态规划算法求解D. 模拟退火算法求解7. 在整数规划问题中，约束条件中的决策变量一般是：A. 实数B. 负数C. 整数D. 分数8. 在离散模型中，常用的离散分布包括：A. 泊松分布、二项分布B. 正态分布、指数分布C. 均匀分布、伽马分布D. 高斯分布、韦伯分布9. 在数学建模中，描述动态系统行为的模型一般是：A. 微分方程模型B. 线性规划模型C. 整数规划模型D. 差分方程模型10. 在模拟实验中，常用的随机数生成方法包括：A. 中值法B. 极值法C. 拟合法D. 抽样法---二、判断题（每题2分，共20分）11. 线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。
（）12. 数学建模中的常用数学模型包括线性模型、非线性模型和离散模型。
（）13. 动态规划算法适用于求解非线性优化问题。
（）14. 在数据拟合问题中，最小二乘法用于拟合线性模型。
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《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号一、（15分）以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示，适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示。
表1 农田面积和灌溉配水量 表2 农作物期望净收益、用水量试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？建立线性规划问题的数学模型并写出用LINGO 求解的程序。
二、（15分）用单纯形方法求解线性规划问题。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=000242126042..61314S max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x ；；三、（15分）上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。
其主要产品有４种，分别用代号A 、B 、C 、D 表示，生产A 、B 、C 、D 四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。
根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示：在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0,,,300048462000552424005284480..81169max 432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 9.000000 0.5000000 0.1666667 X2 6.000000 0.5000000 INFINITY X3 11.00000 0.3333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000 Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 20.00000 80.000003 2400.000 INFINITY 610.00004 2000.000 400.0000 20.000005 3000.000 40.00000 280.0000对灵敏度分析结果进行分析 四、（15分）（1）叙述层次分析法的步骤。
（2）给定最佳旅游地选择问题的递阶层次结构准则层（景色、费用、饮食、居住、旅途）对目标层的比较判断矩阵为：最佳旅游地景色 费用 饮食 居住 旅途苏杭 黄山 庐山⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1235/13/12/1127/15/13/12/117/15/1577123552/11A ，0976.5max =λ，对应的归一化的特征向量T W )1157.0,0685.0,0485.0,4809.0,2863.0()2(=,对于5阶矩阵随机一致性指标12.1=RI方案层(旅游地)对准则层的每一准则比较判断矩阵分别为：58.0,2970.05396.01634.0,0092.3,12/122132/13/11(1max 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ景色）；58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（费用）； 58.0,1515.02184.06301.0,1078.3,12/13/1214/13413max 3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（饮食）； 58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max 4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（居住）； 58.0,1364.02790.05396.0,0092.3,12/13/1212/13212max 5=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B （旅途） 求方案层对目标层的权重；进行总排序的一致性检验，并给出结论。
五、（10分）模糊综合评价：某项工程招标，希望由具备以下条件的单位承包：1A —技术力量较强；2A —机械化程度较高；3A —预计工程质量较好；4A —施工期较短；5A —所需资金较少。
现有)6,5,4,3,2,1( j B j 家公司招标，经专家评审得分如下表。
请用变异系数法确定中标公司。
六、（15分）微分方程建模：已知容器内盛有1000升的盐水，含10公斤盐，如果以每分钟3升的均匀速度向容器内注入淡水，瞬间搅拌后又以每分钟2升的均匀速度将盐水抽出，则一小时后容器内的含盐量是多少？七、（15分）解求解模糊线性规划：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++≤++++=0,,10230360223..254max 321~32~321~321321x x x x x x x x x x x t s x x x S 对应的约束条件伸缩指标分别取2,6,4321===d d d 其求解步骤为：先求解问题：得解：0,5,325x 321===x x ；最优值：3175其次求解问题：得解：0,6,10x 321===x x ；最优值：70 最后求解问题：《数学建模方法》期末考试试卷参考答案一、解：设社区i 种植甜菜（1=j ）、棉花（2=j ）和栗子（3=j ）的面积分别为ij x 英亩（)3,2,1,=j i则可建立使总收益达到最大的线性规划模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++++++++++=)3,2,1,(0375238002360023325500600300600400..)(100)(300)(400max 333231232221131211332313322212312111333231232221131211332313322212312111j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x ij 用lingo 求解的程序：Max =400*(x11+x21+x31)+300*(x12+x22+x32)+100*(x13+x23+x33); X11+x12+x13<=400; X21+x22+x23<=600; X31+x32+x33<=300; X11+x21+x31<=600; X12+x22+x32<=500; X13+x23+x33<=325; 3*x11+2*x12+x13<=600; 3*x21+2*x22+x23<=800; 3*x31+2*x32+x33<=375;二、解：引进松弛变量54,x x 化成标准型⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++++=0,,,,242126042..61314S max 5432153214321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x 由于存在明显的可行基),(P P B =，作出单纯形表，应用单纯形方法求解1x 进基变量，x 出基变量，换基迭代： 2x 进基变量，出基变量，换基迭代：3x 进基变量，出基变量，换基迭代：最优：原线性规划问题的最优解为：321，294S max =。
三、最优解：4450m ax ,10,70,0,4004321=====Z x x x x即：生产A 产品400单位，不生产B 产品，生产C 产品70单位，山产D 产品10单位，可使总利润达到最大，最大利润为4450元。
（2）其对偶线性规划问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥+++≥++++++=0,,,1185264289644..300020002400480min 43214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y W 对偶问题的最优解为：75.0,5.0,0,5.24321====y y y y ，4450min =W （3）75.0,5.0,0,5.24321====y y y y 分别代表冲压、成形、装配和喷漆4种工艺的影子价格。
在其他条件不变的情况下，使影子价格不变的资源的变化范围分别为：冲压[480-80,480+20]=[400,500]；成形[2400-610,2400+∞]=[1790, +∞]；装配[2000-20,2000+400]=[1980,2400]；喷漆[3000-280,3000+40]=[2720,3040]。
在其他条件不变的情况下，当A 、B 、C 、D 的单位利润变化范围分别为：A 产品[9-1/6,9+0.5]=[53/9,9.5]；B产品[6-∞,6+0.5]=(-∞,6.5)；C 产品[[11-1,11+1/3]=[10,34/3]；D 产品[8-1,8+1]=[7,9]时，产品结构不变。
四、（1）叙述层次分析法的步骤； 1.建立递阶层次结构； 2.构造成对比较判断矩阵； 3.计算权向量并作一致性检验；4.计算组合权重向量并作组合一致性检验。