数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案）

第一章

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换，

0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证

明如下的数学命题：

已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，

0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f

证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，

必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f

8

第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设

kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，

销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出

ka q kbp pa bp x r --++-=02)(

当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为

b

a

kb ka q p 2220*+--=

6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x .

利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。

前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12

/011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由

0,02

1=∂∂=∂∂p U

p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++=

)]4

3([2102T

q b a b P β++=

前期销售量 dt bp a T )2

01⎰

-、（ 后期销售量

dt p a T

T )(2

/2⎰

-

总销售量 0Q =)(2

21p p bT

aT +-

在销售量约束条件下U 的最大值点为

8~01T bT Q b a p β--= ,8

~02T bT Q b a P β+-= 7.

(1)雨水淋遍全身，22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步，所需时间s v d t m 2005/1000/min ===

(2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=

雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin 迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ 总淋雨量 21Q Q Q +=

当m v v =时，Q 最小，15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。

θ

(3)合速度为

|

sin |v u -α总淋雨量

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu u

bdw u v v

av

a c u u bdw v v u u cu u bdw Q 若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小，

否则m v v =时Q 最小，当。30=α，L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小

（4）雨从背面吹来，满足）。6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ，αsin u v =,Q

最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化

第四章

1.（1）设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x

,,,0

32104,52341590364466,4.152210

4..04

5.0022.0025.0027.0043.0543,2154321543215

432154321543215

43215432143254321≥≤---+≤++++++++≤+--+≤++++++++≤++++≥++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Max 即即

(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A ，C ，E 分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由（1）可知，证券A 的税前收益可增加0.35%，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券C 的税前收益可减少0.112%，故若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

6.设1,1z y 分别是产品A 是来自混合池和原料丙的吨数，22,z y 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为421,,x x x ,