数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。

f 和g 都是连续函数。

椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。

不妨设0)0(,0)0(g >=f 。

当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。

这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。

就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。

证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。

销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x .利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。

前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12/011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由0,021=∂∂=∂∂p Up U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++=)]43([2102Tq b a b P β++=前期销售量 dt bp a T )201⎰-、（ 后期销售量dt p a TT )(2/2⎰-总销售量 0Q =)(221p p bTaT +-在销售量约束条件下U 的最大值点为8~01T bT Q b a p β--= ,8~02T bT Q b a P β+-= 7.(1)雨水淋遍全身，22.2)2.0*5.12.0*5.05.0*5.1(*2)(2m ac bc ab s =++=++= 以最大速度跑步，所需时间s v d t m 2005/1000/min ===(2)顶部淋雨量v bcdw Q /cos 1θ=雨速水平分量 θsin u ,水平方向合速度 v u +θsin 迎面淋雨量 uv v u abdw Q /)sin (2+=θ 总淋雨量 21Q Q Q +=当m v v =时，Q 最小，15.10≈=Q ，θL;L 55.1Q 30≈=，。

θ(3)合速度为|sin |v u -α总淋雨量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=-+≤-+=-+=ααααααααααsin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos u v v av a c u u bdw v u v a cu ubdw u v vava c u u bdw v v u u cu u bdw Q 若0sin cos <-ααa c ,即a c /tan >α,则αsin u v =时Q 最小，否则m v v =时Q 最小，当。

30=α，L Q s m v 24.0,/2,15/2tan ≈=>α最小（4）雨从背面吹来，满足）。

6.7,2.0,5.1(/tan >==>ααm c m a a c ，αsin u v =,Q最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化第四章1.（1）设证券A B C D E 的金额分别为 54321,,,,x x x x x,,,032104,52341590364466,4.1522104..045.0022.0025.0027.0043.0543,215432154321543215432154321543215432143254321≥≤---+≤++++++++≤+--+≤++++++++≤++++≥++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Max 即即(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。

投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A ，C ，E 分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由（1）可知，证券A 的税前收益可增加0.35%，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。

证券C 的税前收益可减少0.112%，故若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

6.设1,1z y 分别是产品A 是来自混合池和原料丙的吨数，22,z y 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为421,,x x x ,优化目标是总利润最大，7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i 种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为,,,,4321r r r r 该模式使用i x 次，即使用该模式切割i x 根原料钢管（i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。

第五章1、（1）SIR 模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=00)0(,)0(,ss si dt ds i i i si dtdiλμλ,s(t)曲线单调递减。

若σ10>s ,当01s s <<σ时，0>dtdi,i(t)增加； 当σ1=s 时，0=dt di,i(t)达到最大值；当σ1<s 时，0<dt di,i(t)减少，且0=∞i(2)若)(,0,10t i dtdis <<σ单调递减至09.（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率1)=t （β;（2）提倡晚婚晚育：生育模式111,)()()(1r r er r r h r r >Γ-=---αθαθα取2,2n==αθ，得21-+=n r r c ，1r 意味着晚婚，n 增加意味着晚育，这里的c r r ,1增大（3）生育第二胎的规定：1)(>t β,生育模式)(r h 曲线更加扁平。

数学建模试题（带答案）一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x1，x2，x3，x4）表示。

该问题中决策为乘船方案，记为d = (u1, u2, u3, u4)，当i在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。

(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。

（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。

（12分）1、二、(满分12分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

6分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

6分解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3（6分）（2）( 12分)三、(满分14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。

这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。

那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。

设1=i x 表示第i 门课程选修，0=i x 表示第i 门课程不选, 建立数学规划模型(1) 写出问题的目标函数(4分) (2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件? (5分)(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件? (5分)解(1)91min i i Z x ==∑ (4分)(2) 123452x x x x x ++++≥356893x x x x x ++++≥ (9分)46792x x x x +++≥(3) 2313,x x x x ≤≤47x x ≤5152,x x x x ≤≤67x x ≤9192,x x x x ≤≤85x x ≤ (14分)四、(满分10分) 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的量纲[μ]=11L MT -- 1，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=11L MT --[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲. (3分) 量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分) 由量纲PI 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. (10分)五、(满分12分)设某种群t 时刻的数量为()x t ,初始数量为0x ,(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;(2) 设容许的资源环境最大数量为N , 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并求其平衡点.解 (1) x rx = (3分)0()rx x t x e = (6分)(2) ()(1)xx t rx N=- (9分) (1)0,xrx N-= 平衡点为0x = 和x N = (12分)六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。