数学建模练习试题
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
数学建模13道题
数学建模13道题1.某投资者有40000美元用于投资，她所考虑的投资方式的收益为：储蓄利率7%，市政债券9%，股票的平均收益为14%，不同的投资方式的风险程度是不同的。
该投资者列出了她的投资组合目标为：1）年收益至少为5000美元； 2）股票投资至少为10000美元；3）股票投资额不能超过储蓄和市政债券投资额之和；4）储蓄额位于5000-15000美元之间； 5）总投资额不超过40000美元。
2.用长8米的角钢切割钢窗用料。
每副钢窗含长1.5米的料2根，1.45米的2根，1.3米的6根，0.35米的12根，若需钢窗100副，问至少需切割8米长的角钢多少根？3.某照相机厂生产12,A A 两种型号的相机，每台12,A A 型相机的利润分别为25元和40元，生产相机需要三道工序，生产两种不同型号的相机在不同的工序所需要的工作时间（单位：小时）如下表所示：工序相机类型机身制造零件装配检验包装1A 0.1 0.2 0.1 2A0.70.10.3此外三道工序每周可供使用的工作时间为机身制造有150小时，零件装配有250小时，检验包装有100小时，而市场需要12,A A 型相机每周至少为350台和200台，该工厂应如何安排生产，才能使得工厂获得最大利润？4.某饲料公司生产饲养雏鸡，蛋鸡和肉鸡的三种饲料，三种饲料都是由A,B,C 三种原料混合而成，具体要求，产品单价，日销售量表如下：原料A 原料B 原料C 日销量（t ）售价（百元/t ）雏鸡饲料不少于50% 不超过20%5 9 蛋鸡饲料不少于30%不超过30% 18 7 肉鸡饲料不少于50%10 8 原料价格（百元/t ） 505 4 5受资金和生产能力的限制，每天只能生产30t ，问如何安排生产计划才能获利最大？5.某公司用木头雕刻士兵模型出售。
公司的两大主要产品类型分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别为28美元和30美元。
制作一个“盟军”士兵需要使用2张木板，花费4小时的木工，再经过2小时的整修。
数学建模试卷及参考答案
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
数学建模练习试题
１、放射性废料的处理问题美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为９0多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂,从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验。
发现当圆桶下沉速度超过１２.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为２39.46 ｋg,体积为0.2058m3,海水密度为1035.７1ｋｇ/ｍ3,如果圆桶速度小于1２.２m／s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k＝0.6。
现要求建立合理的数学模型,解决如下实际问题：1．判断这种处理废料的方法是否合理?2．一般情况下,ｖ大，k也大;v小,k也小。
当v很大时，常用kｖ来代替k,那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m／ｓ,圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)鱼雷攻击问题在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。
当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处,两方潜艇士兵同时发现对方。
甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑,在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。
假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。
已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。
试建立合理的数学模型解决以下问题:1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹;2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中3、贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率１%，贷款期为２5年,要求建立数学模型解决如下问题：1）问该居民每月应定额偿还多少钱？2)假设此居民每月可节余700元,是否可以去买房?4、养老保险问题养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择,分析保险品种的实际投资价值。
数学建模试题(带答案)
数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。
试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。
f 和g 都是连续函数。
椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。
不妨设0)0(,0)0(g >=f 。
当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。
就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。
证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。
2023全国数学建模题目
2023全国数学建模题目一、选择题（每题3分，共15分）下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 9D. 13若一个圆的半径是5cm，则它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π下列哪个方程表示的是一条直线？A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 1/xD. xy = 1下列哪个数最接近√10？A. 2B. 3C. 4D. 5一个三角形的两边长分别为3和4，第三边的取值范围是多少？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 8C. 3 < x < 9D. 4 < x < 10二、填空题（每题4分，共20分）绝对值等于5的数是_______。
已知|a - 3| + (b + 2)² = 0，则 a + b = _______。
已知一个正方体的棱长是6cm，则它的体积是_______ cm³。
方程2x - 3 = 5 的解是x = _______。
已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是_______ cm²。
三、计算题（每题10分，共30分）计算：√27 - | - 2| + (1/2)^(-1) - (π - 3)^0。
解方程组：{x + 2y = 5,3x - y = 8.}已知一个矩形的面积是48cm²，一边长为6cm，求另一边长。
四、应用题（每题15分，共30分）某商店购进一批苹果，进价为每千克5元，售价为每千克8元。
若商店想要获得至少300元的利润，则至少需要售出多少千克的苹果？一辆汽车从A地开往B地，前两小时行驶了120km，后三小时行驶了180km。
求这辆汽车的平均速度。
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一、名词解释1.Table命令的使用格式；2.Solve命令的使用格式；3.Do命令的使用格式；4.Plot命令的使用格式；5.ListPlot命令的使用格式；6.Reduce命令的使用格式；7.Expand命令的使用格式；8.FindRoot命令的使用格式；9.Switch命令的使用格式；lO.ConstrainedMin命令的使用格式；11 .Factor命令的特点与几种使用格式。
12.Clear命令的特点与使用格式二、计算题1. 1959年8月4日是星期几，这一天与2001年12月4日之间共有多少天?2.求我国北京市的地理经纬度。
3.北美地区有几个国家？写出它们的名字。
4.求解递归关系式a” = 3% _2a”_2，ao =1,4 = 2。
5.求斐波那契(Fibonacci)数列Fibonacci[n]从n=l至【Jn = 50的值。
6.分别以0.1、0.01、0.001为误差上限，将J方化成近似分数。
7 .求下列矩阵的特征值与对应的特征向量:13•求解方程7% -和"—张+ 1X 14.求1+ 28+38+...+n 8的简洁表达式。
15.求Pell 方程.r 2 -234y 2 -1的最小正整数解。
16.将16进制的数字20转化为10进制的数字。
17.求下列矩阵的行列逆矩阵与转置矩‘1 2 3、A= 2 3 1、3 1 2,8.求多项式 f=( X1 + X2 +X3 + X4 + X5严中 Xi 3 x 23 X35 X42 X55 的系数。
9•求208素因子分解。
10. 用Lindo 求解下列整数线性规划问题。
max / = 20 兀 1 +10%兀1 +兀2 +兀3 = 30y, + y 2 + = 2020x l +10% = 30X 2 + 20y 2 = 25 x 3 + 15y 3s.tA 20兀i +10% <20*30 + 10*2030兀2+20y2 <30*30 + 20*20 25兀3+15儿 <25*30 + 15*20 x t , y j > 0,integers11. 求中国香港的地理经纬度。
初中数学建模试题及答案
初中数学建模试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，原计划需要30天完成，实际需要多少天完成？A. 20天B. 25天C. 30天D. 35天答案：B2. 一个长方体的长、宽、高分别为2厘米、3厘米、4厘米，求其体积。
A. 12立方厘米B. 24立方厘米C. 36立方厘米D. 48立方厘米答案：C3. 某商店销售一种商品，进价为50元，售价为70元，若打8折销售，利润率为多少？A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%答案：B4. 一个圆的半径为5厘米，求其面积。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 78.5平方分米D. 157平方分米答案：A5. 一个班级有50名学生，其中男生占60%，女生占40%，求男生和女生各有多少人？A. 男生30人，女生20人B. 男生30人，女生20人C. 男生25人，女生25人D. 男生35人，女生15人答案：B6. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，原计划需要30天完成，实际需要多少天完成？A. 20天B. 25天C. 30天D. 35天答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别为2厘米、3厘米、4厘米，求其体积。
A. 12立方厘米B. 24立方厘米C. 36立方厘米D. 48立方厘米答案：C8. 某商店销售一种商品，进价为50元，售价为70元，若打8折销售，利润率为多少？A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%答案：B9. 一个圆的半径为5厘米，求其面积。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 78.5平方分米D. 157平方分米答案：A10. 一个班级有50名学生，其中男生占60%，女生占40%，求男生和女生各有多少人？A. 男生30人，女生20人B. 男生30人，女生20人C. 男生25人，女生25人D. 男生35人，女生15人答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，其体积为____立方厘米。
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1、放射性废料的处理问题美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验。
发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 kg，体积为0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。
现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：1. 判断这种处理废料的方法是否合理?2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。
当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)鱼雷攻击问题在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。
当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。
甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。
假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。
已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。
试建立合理的数学模型解决以下问题:1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中3、贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?4、养老保险问题养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。
某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)?5、生物种群数量问题种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。
要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。
由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为xm，称为最大种群容量。
又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比记为：r(x)=r-sx, r,s>0，其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前 (即t=0时)种群数量为x0，时刻种群数量为x(t)。
若利用统计数据可知xm，r，x，则1）设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。
2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。
请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。
6、生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。
一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。
那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
7、产品最佳价格调整问题物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格P(t)由现在的p0=70元调整到p1=70元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。
某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量S与其价格P和价格变化率有着密切的联系，他想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。
在如下假设条件下：(1) 物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；(2) 某公司经理多年经营A产品关于“每周销售量S与其价格的P和价格变化率p’的关系”的信息是可靠的，不妨假设S=(S,P’)；(3) 某公司生产A产品的能力足以满足市场需求。
设每周生产S件A产品的生产费用是C(S)；(4) 函数S=(S,P’)和C(S)由统计方法拟合成连续可微函数。
现查阅统计资料得到S=(S,P’)=－P+100 P’+100,C(S)=0.5S2+2S+40经过核实，这两个具体函数符合公司的实际情况；(5) 约定一年以52周计。
在调价期资金流动的时间价值忽略不计。
请建立合理的数学模型为该公司的A产品制定最佳调价方案，并计算在最佳调价方案下的全年最大利润值。
8、最佳投资企业的优选问题某投资银行拟对某市3家企业(记为X1, X2, X3, X4)进行投资, 抽取5项主要指标进行评估: C1: 年产值(单位:千万元)；C2:社会效益(单位:千万元)；C3：生产能力；C4：管理能力；C5：技术能力。
评估专家组考察了3家企业2003年-2005年三个年度在5个指标下的具体情况，考察的指标值见表1, 其中前2个指标信息是各企业的精确数据, 后3个指标信息是评估专家组经考察后的定性结论。
各评价指标权重已知W=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。
试建立数学模型确定投资银行的最佳投资企业。
任取n枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色相异的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；继续如此做下去。
如果经n 次这样的操作后，棋子全变为黑色的，那么，n 应满足什么条件。
请给出证明过程。
10、人口预测问题如果要推测中国15亿人口，有哪些方法？你用的是什么方法，结果如何？11、点菜问题我们在餐馆中点菜，需要包含某些营养成份，但同时又希望总价格最低。
下表是这个餐馆的部分菜单，请你通过数学建模方法，提供合理的选菜方案。
1．以下是一个数学游戏：(1) 甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，...，如此继续下去。
规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？(2) 如将6改为n，将50改为N，问题又当如何回答？2．甲乙两人约定中午12：00至1：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。
3．某人由A处到位于某河流同侧的B处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使走的总路程最少？4．地面是球面的一部分，（直径约为12.72×10公里），显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。
设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问顶面面积比地面面积大多少？5．建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
6．消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。
请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。
7．已知在气体中音速V与气压P、气体的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
8．风车的功率P与风速v、叶面的顶风面积S及空气的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
13、逻辑模型练习1．证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图2．9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。
3．将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。
证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。
4．给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的4阶完全图）。
5．在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。
6．某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。
现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。
请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。
7．某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。
试用Shapley公式计算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。
8．设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。
试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。
（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。
9．猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。
下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0—999之一）的数字让乙猜。
在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。
乙可提问题，但甲只回答是或者不是。
（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。
（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。
10．在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。
我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。
你知道原因吗？14、标靶设计掷飞镖是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇形区域，在这些区域填有数字1 ~ 20 表示飞镖落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇形区域的数字能增加掷镖的难度。
15、铁路列车时刻表问题全国性的铁路网由几条干线和许多支线组成，编排完整的列车运行时刻表的工作量非常巨大，通常需要先单独编排每条干线上的列车运行时刻表。
设已知某条干线上的站点分布、车速限制、车距限制、运行车次及每次车的停靠站点等数据，建立编排该干线上的列车运行时刻表的数学模型。