伽罗华与群论
群论
群论一群的定义群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.说明：本章群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”. （2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G . 定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群. ∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
（但不是有限半群）同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙∙∙C C C R R R Q},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙N N N N 都是可换半群。
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
数学史简介
尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺 公式”。
根式求解代数方程的问题
• 解决了三次方程和四次方程的求根问题以后，人们自然就 把注意力放到了五次和五次以上方程的求根问题上。然而， 这一问题的困难程度远远超出了人们最初的想象。人们经 过几百年来的努力，仍然无法找到这一问题的解决途径。 于是，人们逐渐就把解决方程求根问题当作了世界性的难 题。
• 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的 方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。 这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全 胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这 个重要发现公之于世。
“卡尔丹诺公式”
• 卡尔丹登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔 纳始终守口如瓶，滴水不漏。后来，冯塔纳终于用一种隐 晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了 卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”， 可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实 践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。
博弈论
• 如果问二战后的50年里对社会科学影响最广泛的是什么理论，不同领 域的学者可能会给出不同的回答，然而大多数学者尤其是经济学家会 认为，对社会科学影响最广泛的理论应该是game theory(博弈论)。
• game theory直译“游戏理论”，而汉语里“游戏”一词有儿戏的味 道，且游戏理论不太严肃，所以把它译为“博弈论”。但将game theory译成“博弈论”雅则雅已，但似乎过于严肃。Game在英语中， 是一个人人熟知的词，指两人或两人以上的群体在确定的规则下的活 动，在这个活动中，每个人都有自己的目标，且每个人都努力达到其 目标。Game的外延较大，从下棋、体育竞赛到企业间的竞争、国家 间的外交活动均叫game。它指称的对象也包括我们汉语所说的“游 戏”。 其实，game theory确实确定我们所认为的一般意义上的 “游戏”，而研究人员也用实际中的游戏试验来丰富或检验博弈论。
数学的由来和发展
数学的由来和发展数学的由来和发展数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学。
那么店铺今天为大家分享的内容是数学的由来和发展，请慢慢欣赏。
数学的由来和发展数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。
大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。
但同时数和形也是相互联系的有机整体。
数学是一门高度概括性的科学，具有自己的特征。
抽象性是它的第一个特征；数学思维的正确性表现在逻辑的严密上，所以精确性是它的第二个特征；应用的广泛性是它的第三个特征。
一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。
因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后。
数学在提出问题和解答问题方面，已经形成了一门特殊的科学。
在数学的发展史上，有很多的例子可以说明，数学问题是数学发展的主要源泉。
数学家门为了解答这些问题，要花费较大力量和时间。
尽管还有一些问题仍然没有得到解答，然而在这个过程中，他们创立了不少的新概念、新理论、新方法，这些才是数学中最有价值的东西。
数学概览数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简单地说，就是研究数和形的科学。
由于和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。
在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
伽罗华最悲情的天才数学家
伽罗华:最悲情的天才数学家作者：姚兴航来源：《百科知识》2011年第09期他是一个天才少年，15岁学习数学，短短5年就创造出对后世影响深远的“群论”，带来数学的革命。
他也是一个悲情少年，两次升学未成，三次论文发表被拒，两次被捕入狱，20岁时就因与情敌对决而黯然离世。
他就是法国数学家伽罗华，其惊人才华的背后却是充满坎坷的悲剧人生。
2011年是伽罗华诞辰200周年，当我们再次追忆这段科学史上的传奇时，依然会为其成就赞叹，为其命运唏嘘。
令人惊叹的天才少年伽罗华1811年出生于法国巴黎，1826年，15岁的伽罗华开始选修初级数学的课程，从而使他的数学天赋被彻底激发。
伽罗华很快对数学教科书的内容感到无聊和厌倦，开始自学数学大师的巨著,如勒让德的《几何原理》、拉格朗日的《解析函数》等。
伽罗华有着炉火纯青的心算本领，可以凭借纯粹的心算完成最困难复杂的数学研究。
1828年伽罗华在法国一个专业数学杂志上，发表了他的第一篇论文——《周期连分数一个定理的证明》。
虽然此时的伽罗华还只是一个中学生，但已经能把大数学家的工作向着更完美的方向推进。
也正是这一年，17岁的伽罗华第一次参加升入巴黎综合理工学院的竞赛考试，这所学校被誉为法国科学界的最高学府。
但可能因为准备不足，伽罗华的考试失败了。
这次考试的失败让那些惊叹于他数学天赋的伙伴们感到吃惊。
许多人认为这次失败是一种不公正行为的结果，直至20多年后，这种争论仍未停息。
厄运不断的学术生涯早在1828年，17岁的伽罗华就开始研究方程论，他创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的高次方程求解问题。
伽罗华最重要的成就，就是提出了“群”的概念，他用群论改变了整个数学的面貌。
1829年5月，伽罗华将其研究的初步结果提交给法国科学院。
负责审查这篇论文的是当时法国数学界的泰斗——柯西。
当时柯西意识到这篇论文的重要性，也曾提及要在科学院的会议上介绍这篇文章，但在随后的科学院会议上柯西并未提及伽罗华的工作。
伽罗华
伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。
虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（école Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。
在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。
伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。
Galois小传：1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
天才的童年1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内。
现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦生于此，卒年20岁，1811～1832年”。
纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗瓦表示敬意，于1909年6月设置的。
伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。
伽罗瓦五次方程根式解
伽罗瓦五次方程根式解？
答：伽罗瓦（Galois）理论是数学中的一个重要分支，它主要研究了代数方程的解的性质，特别是关于哪些类型的代数方程可以用根式求解的问题。
伽罗瓦的工作彻底解决了寻找五次（及更高次）方程的根式解的问题，并证明了一般的五次方程没有根式解。
在详细解释之前，我们需要明确几个概念：
1.根式解：如果一个方程的解可以由方程的系数通过有限次加、减、乘、除以及开方运算得到，那么这个方程就有根式解。
2.群论：伽罗瓦理论的基础是群论，这是一种研究代数结构（如数字集合和它们之间的运算）的数学分支。
3.可解群：在群论中，如果一个群可以通过一系列的子群链（每个子群都是前一个子群的正规子群，并且商群是阿贝尔群）最终降低到平凡子群，那么这个群就是可解的。
现在，我们可以解释为什么一般的五次方程没有根式解：伽罗瓦证明了一个代数方程可以用根式求解当且仅当
其对应的伽罗瓦群是可解的。
对于一般的五次方程，伽罗瓦群是$S_5$（5个元素的对称群），这是一个不可解群。
因此，一般的五次方程没有根式解。
这个结论彻底终结了数学家们长期以来寻找五次方程
根式解的尝试，并开启了现代代数和群论的新篇章。
一到两位数学家的有关资料
一到两位数学家的有关资料伽罗华（Galois,1811-1832,法国）1829年5月，他写出了关于代数方程可解判断的论文，1830年2月修改。
由于审稿人去世，手稿竟被遗失。
1831年他再次修改了论文，但仍未得到公正的评价。
1832年他因为爱情之事与别人进行了决斗，在决斗前夕他整理了他的数学手稿，概括了他的主要成果。
他不幸死于决斗。
到1846年，他的部分文章才得以出版。
1870年，若当（Jordan,1838-1922)才全面的介绍了伽罗华的工作和思想。
伽罗华用群论彻底解决了根式求解高次方程的问题，并由此建立了关于群和域的理论--伽罗华理论，从而开辟了抽象代数的研究领域。
French mathematician who made valuable contributions to number theory algebra before being killed in a duel at the age of 21.康托尔（Cantor,1845-1918,法国）集合（set)论的创始者。
他的名言是：数学的本质在于思考的充分自由。
他的思想使得我们有可能研究超越了感觉想象到的高维和无限维的空间，使数学家可以建立起抽象的纯数学和种种特异的数学来，并且还将促使数学永无止境地向前发展。
但是康托尔的一生并不平坦，1884年他患了精神分裂症，并且以后34年间一直影响着他的生活。
他发病的一个重要原因是他的创见和思想不被当时的许多人（其中甚至包括一些数学界的领袖人物）所理解，反而受到了一些功击和不公正对待。
但是康托尔的集合论毕竟给数学这个乐园建立了一个坚实的基础，从而使现代数学成为了一门真正的独立科学。
______________________________________希尔伯特（Hilbert,1862-1943,德国）二十世纪最伟大的数学家之一，他最为有名的事迹之一是在二十世纪开端时提出了著名的二十三个数学问题，这些问题在相当程度上引导和促进了二十世纪数学的发展。
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伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译引言大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。
然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。
的确，在学校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专门学院的教程差不多也有三百多年的历史。
笛卡尔（Descartes）之创造解析学和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。
可是，事实是这样的：数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实地的向前迈进了。
数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣，而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。
哲学家公认：近代数学与基本的宇宙说是有直接关系的。
心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。
的确，谁都要珍重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。
这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。
这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。
伽罗华殁于一百年以前，死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门数学在今日已成为数学中的重要部分了。
自古以来的二十五位大数学家中，他就是其中之一位。
他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了，他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。
(在决斗的前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。
敬祝他的灵魂安乐！--I 群的重要在讲群论之先，先把群论之所以重要的几个原因之一说一下。
我们都知道数学中一椿要紧的事情是解方程式。
代数方程式可以依他的次数来分类。
一次方程式ax+b=0只要是学过初等代数的小孩子都会解。
他的解答是x=-b/a二次方程式2ax + bx +c =0的解法在初等代数中也有，他的解答是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a在纪元前数世纪，巴比伦人(Babylonians)已能解这种形式的方程式了。
三次方程式3 2ax + bx +cx +d =0和四次方程式4 3 2ax + bx +cx +dx +e =0的解法已比解一次，二次的方程式难得多了。
直到十六世纪才有了解法。
这法子在每本方程式论的书中都可以找到。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。
向来数学家虽都不会解一般高于四次的方程式，可是都相信一定是可能的。
直到十九世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。
此处读者应该要懂得透澈的是刚才所说的“不可能”三个字。
一个问题之能否解决是要看我们对于解答所加的限制条件而定的，比如x+5=3是能解的，假使我们允许x可以是负数的话，设若我们限定x不能是负数，那末这方程式就不能解了。
同样，假使x表示银圆数，方程式2x+3=10是可解的。
如果x表示人数，这方程式就不能解了，因为x=3.5没有意义。
要三等分任意一角，若只准用直尺与圆规，这是不可能的，但是若许用别的仪器，就可能了。
一个代数式之为可约的(reducible,就是说可以分解因数)或不可约的(irreducible)，要看我们在什么数域(Field)中分解因数而定。
比如：2x + 1在实数域(Field of Real Numbers)中是不可约的，可是在复数域(Field of Complex Numbers)中却是可约的，因为2x + 1 =(x+i)(x-i)----此处的i=√-1.简单的说：我们若单说一个代数式是可约的或是不可约的，而不说出在什么数域内，这话是全然没有意义的。
数学家知道特别说明范围(Environmont)的重要。
我们说：一个命辞在什么范围中是对的，在什么范围中是错的，甚而至于在什么范围中是绝对没有意义的。
那末，刚才所说的一般高于四次的方程式不能解究竟是什么意思呢？这个问题的答案是：一般高于四次的方程式不能用根式解的所谓“不能用根式解”是说方程式的根不能用有限次的有理运算（加，减，乘，除）和开方表作方程式的系数之函数。
为要说明这一点，拿一次方程式ax+b=0来看，这方程式的根是x=-b/a;所以x的值可以用a除b而得，这是一个有理运算!二次方程式2ax + bx +c =0的两根是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a这也可以由有限次的有理运算和开方而得。
同样，一般的三次，四次方程式的根也可用有限次的有理运算和开方表作系数的函数，换句话说：他们可以用根式解(Solvableby Radicals)可是，若论到高于四次的方程式时，这就不再成立了。
当然，这是指一般高于四次的方程式而言，有些特殊的高次方程式还是可以用根式解的。
以后我们将看到怎样用群论的原理来证明一般高于四次的方程式还是可以用根式解的。
我们还可以看到：用群论的道理来证明以直尺，圆规三等分任意角之不可能是何等简单而绮丽，正如应用群论于其他名题一样。
--III 群的重要性质有时一个群的一部分元素自己形成一体，这种群称为约群(Subgroup).例如，前章的(a)例中，一切整数对于加法而言，固然成为一群，若单拿一切偶数来看，对于加法而言，他们也成一群；因为群的四个性质都能适合：1。
两个偶数的和还是偶数。
2。
零是主元素。
3。
一个正偶数的逆元素是一个负偶数，而一个负偶数的逆元素是正偶数。
4。
结合律当然成立。
所以单是偶数全体对于加法而言作成一个群，这群是那个由一切整数对于加法而言作成的群的约群。
仿此，一个置换群（即是以置换作元素的群）也可以有约群。
例如，拿1,(12),(123),(132),(13),(23)六个置换来看，此处1表示那个不动置换(Identity Substitution,即是将x1代作x1,x2代作x2,x3代作x3的置换)。
这六个置换形成一群，因为群的四条性质都成立：1。
这六个中每两个的积还是这六个中的一个置换，比如(12)(123)=(13)(123)(132)=1,(13)(23)=(123)(123)(123)=(132)等等。
2。
主元素是1。
3。
每个元素的逆元素都在这六个元素之中，比如(123)的逆元素是(132) (12)的逆元素是(12)等等。
4。
结合律成立现在从这六个置换中取出1和(12)两个来，这两个也做成一个群，这是原来那个群的约群。
我们很容易证明：约群的元数(Order，即是元素的个数)是原来的群的元数的约数。
一种最重要的约群是不变约群(Invarient Subgroup)。
为要解释这个名词，先得说明变形(Transform)的意义。
设有一个元素(12),我们用另一个元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132) 去左乘他，如此所得的结果是(132)(12)(123)=(23)这个结果(23)就称为(12)应用(123)的变形。
同样，群中一个元素若以另一个元素右乘，再用这另一个元素的逆元素左乘，所得结果称为元素应用另一个元素的变形。
一个约群中任何元素应用原来的群中任何元素的变形，若仍是约群中的元素，这约群就称为原来那个群的不变约群。
不变约群是很重要的，尤其重要的是一种极大不变真约群(Maximal Invarient Proper Subgroup)。
设H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真约群。
若将G的元数用H的元数去除，H的元数用K的元数去除，。
如此所得诸数，称为群G的组合因数(Composition Factors).假使这些组合因数都是质数，我们就说G是一个可解群(Solvable Group).这里“可解”两个字的意义，容后再说。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素(不是主元素)的乘幂，比如在群1,(123),(132)中，2(123) =(123)(123)=(132)3(123) =(123)(123)(123)=1这群中的元素都是(123)的乘幂，像这种群，称为循环群(Cyclic Group).在一个置换群中，如果每个文字都有一个而且只有一个置换将文字换成其他某一个文字(这个文字也可以和原来那个文字相同)，那末，这个群就称为正置换群(Regular Substitution Group)。
例如方才所说的群1,(123),(132)在1中x1变成x1,在(123)中x1变成x2,在(132)中x1变成，。
所以这是一个循环正置换群(Regular Cyclic Group), 这种群在方程式的应用上很重要，在以后的各章中可以见到。
--II 群是什么数学中的系统(Systom)可以是一部教学的机器(A MathematicalMachine),他的主要成分是(1)元素(Element);(2)一种运算(Operation);例如：(a) (1) 元素是一切整数(正或负或0)(2)运算是加法。
((1)元素是一切有理数(0除外)(2)运算是乘法。
© (1)元素是某几个文字(如x1,x2,x3)的置换(Substitution)(2)运算是将一个转换跟着另一个置换(这个待以后再解释)(d) (1) 元素是下图的旋转，转的度数是60度或是60度的倍数；(该图样子是将一个圆用三条直径分成相同六块)(2)运算是如©中一般，将一个旋转跟着另一个旋转。
从这么一个简单的出发点着手，看去似乎弄不出什么东西来，然而这样讨论下去所得的结果会令人诧异的！这种系统若能满足下列四条性质，就称为群(Group):1.假使两个元素用那规定的运算结合时，所得的结果还是系统中的一个元素。