实数与向量的积一
向量与实数之间的计算公式
向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。
1. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。
具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。
数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。
(k1k2)a = k1(k2a)。
k(a + b) = ka + kb。
数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。
2. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。
向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。
(a + b) + c = a + (b + c)。
向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。
3. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。
实数和向量的积
实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点 所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。
2017-2018学年高中数学北师大版四教学案：第二章§3第1课时数乘向量含答案
第1课时数乘向量［核心必知]1．数乘向量(1)定义:一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度:|λa|＝|λ||a|;②方向:当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0,方向任意．（2）几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ〉0）或反方向(λ〈0）上伸长(|λ|>1）或压缩(｜λ｜〈1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量,λ，μ为实数．①结合律：λ（μa）＝(λμ)a；②第一分配律:（λ＋μ）a＝λa＋μa；③第二分配律:λ（a＋b）＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）．3．向量共线定理判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ，使得b ＝λa,则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量?提示:数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当λ＝0时,λa＝0，那么当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0，对吗?提示:正确．3．向量共线定量为什么规定a是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a＝b＝0时，实数λ仍然存在,但λ是任意实数,不唯一；若a＝0，b≠0时,则不存在实数λ，使b＝λa.讲一讲1．已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；(2)－2a与5a的方向相反,且－2a的模是5a的模的错误!倍；（3）－错误!a与错误!a是一对相反向量；（4）a－b与－(b－a)是一对相反向量．［尝试解答] （1）正确,∵2〉0,∴2a与a的方向相同,且｜2a｜＝2|a｜；(2）正确，∵－2〈0，5>0，∴－2a与5a的方向相反，又错误!＝错误!＝错误!,∴|－2a|＝错误!×｜5a｜；(3）正确，因为｜－12a｜＝错误!｜a|＝|错误!a|，且－错误!a与a反向，错误!a与a同向；（4）错误,∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a）是相等向量,而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点:一是大小，二是方向．设λ,μ∈R，a≠0若λμ<0，则λa与μa的方向相反，若λμ〉0，则λa与μa的方向相同；若λμ＝0，则λa，μa至少有一个为0;当λμ≠0时，错误!＝错误!。
向量的数乘和点乘
向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。
2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。
3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。
- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。
- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。
- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。
2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。
- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。
- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。
- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。
3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。
- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。
- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。
- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。
（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。
2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。
二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
高一数学实数与向量的积
D
例3：
如图：G 为 ABC 的重心
A
求证： 1AB BC CA 0
2 GA GB GC 0 3GD GE GF
0
F G C D B P E
4 PA PB PC 3PG P为平面内任意一点
4、平面向量基本定理
基本定理：如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， 有且只有一对实数 1、2，使
a 1 e1 2 e2
说明：我们把不共线的向量 e1、 e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底。
例4：
如图,平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 M , 且 AB a , AD b ,用 a 、b 表示 MA、 MB、 MC 和 MD
D C
b
M
A
a
B
例5：
如图， OA ，OB 不共线， AP t ABt R
jch58kcf
子？往好处想，老太太一日不死，两位太太再大也大不过老太太去，嘉颜还在老太太院子里，平常跟着老太太享享福，有什么事，出去， 阖府还都跟敬老太太似的敬着她，有些银钱财物的孝敬是不来了，但也省去很多劳碌，对养身有益。洛月交付了桩差事，回转门来，厚 棉门帘子一动，带进来一丝冷冽，她仔细把门帘子放好，抬头看宝音神色，问：“姑娘这几日有心事？”还不是七王爷那档子事……苏 小横把担子揽了过去，也没深责怪宝音。宝音总觉得眼皮跳，怕这事儿没这么容易完。“酒庐那儿——”宝音开口，想同洛月诉诉心事。 “那个蝶老板难为 了？！”洛月立刻倒吸一口冷气。七王爷在酒庐带走蝶宵华一事，沸沸扬扬，洛月因此知道蝶宵华也在酒庐。她一 见 为酒庐为难，怎么立刻以为是蝶宵华呢？宝音静下来，问她：“我见过蝶老板，是不是？”洛月的表情很奇怪。 见过蝶老板，是当 然的，为什么还问“是不是”？第九十三章 那夜笙蝶初相见（4） 宝音坐在床沿，拍拍旁边的褥子：“过来坐。”洛月便贴着宝音裙 边，掇个杌子坐了。宝音携她：“上来。”洛月不肯上。宝音无奈道：“傻丫头，你坐那么低，难道要我弯腰勾头跟你说话儿？”洛月 还是不敢上座，便另换了张高些的椅子，在宝音下首坐了。宝音一说话，她便立起身，弯腰在宝音嘴边听着。宝音捺她在椅子上，自己 弯腰与她头凑头，低低道：“我那天差点病死，活是活转来，却落下病根。”洛月神色凄然：“嗯。”“你看出来了？”宝音问。 “ 许多事情记不得了。”洛月伤心道。饶宝音手段高、遮掩得宜，洛月贴身尽心服侍 久了，又怎能看不出破绽？一些习惯性动作、处 世风格有变化，宝音还可说是经历生死大关，性情巨变，但有些该知道的，懵然无所知，就不可以拿“性情大变”来解释了。宝音问洛 月：“你早就知道，怎么不跟我提？”洛月低郁道：“ 没提。”她以 为天， 不提的，她就不多嘴，甚至连想都不多想。宝音道： “我现在告诉你，我忘了很多事。”“忘了……”洛月喃喃的重复着，没听懂。“那天，我真以为自己死过去了，再醒过来，有那么一 会儿连自己是谁都记不起，后来，陆陆续续想起一些、又想起一些，但总有些东西丢了，拣都拣不回来。”洛月一脸的错愕、心疼，甚 至……失落？“我记得你是我最好的丫头。”宝音赶紧表白。洛月还是有点难过。喂！如果是如胶似漆的小夫妻，一方忽然失忆，告诉 对方：“我记得你是我的好妻子。”对方心里还是难受，那还情有可原。只是 和丫头而已，有没有必要这么撒娇啊……不过，表 六亲 无靠，屋中晨昏倚仗的，无非丫头洛月。对洛月来说， 在阁一天，服侍一天，出了阁，多半带了走的非零向量，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.３实数与向量的积（一）
班级 学号 姓名
一、课堂目标：（1）掌握实数与向量的积的定义，能说出实数与一个向量的积与这个向量
的
模及方向之间的关系；
（2 ）掌握实数与向量的积的运算律，并会运用它们进行运算；
（3）理解两个向量共线的充要条件，会根据条件判断两个向量是否共线。
二、要点回顾：
1、实数与向量的乘积仍旧是一个 ，它的长度和方向规定如下： （1
）= （2）0>λ时，a λ与a 的方向 ；
0<λ时，a λ与a 的方向 ；
（3）0=λ时，0=a λ，它的方向 。
2、实数与向量的积的运算律：设μλ,为实数，、为两个向量，则：
（1）)(μλ= ；（2）)(μλ+= ；（3）=+)(λ 。
3
、
任
一
向
量
与非零向量
共线的充要条件
是 。
三、目标训练：
1、若AD 是三角形ABC 的中线，已知a AB =，b AC =，则等于…………………（ ） （A ）
)(21+ （B ）)(21- （C ）)(21- （D ）)(2
1
+- 2、已知向量1e 、2e 不共线，若=31e －４2e ，=６1e +k 2e ，且∥，则k 的值为（ ）
（A ）8 （B ）－８ （C ）３ （D ）－３ ３、下面几组向量中共线的有
①=21e ，=22e ， ②=1e －2e ，=－２1e +２2e ③=４1e －522e ，=1e －10
1
2e ④=1e +2e ，=２1e －２2e （1e 、2e 不共线）
４、已知平行四边形ABCD 中，3
2
=
，若=，=，则等于…（ ） （A ）+31 （B ）31－ （C ）－31 （D ）－－3
1
5、已知=1e +2e ，=２1e －2e ，则向量+2与2－…………………（ ）
（A ） 一定共线（B ）一定不共线（C ）仅当1e 与2e 共线时共线（D ）仅当1e =2e 时共线 6、如图（1）所示，已知AB AP 34=，AB AQ 3
1
=
=…（
）
（A ）343
1+
（B ）34
31+- （C ）OB OA 3431-- （D ）OB OA 3
4
31-
7、若向量=a 1e －22e ，=b ２1e +2e ，=c 61e －２2e ，且1e 、2e 不共线， 求证：+与共线。
８、已知任意四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ的中点，Ｆ是ＢＣ的中点。
求证：)(2
1
DC AB EF +=
９、如图（2）所示，平行四边形ABCD 中，M 、N DC 、BC 的中点，已知c AM =，d AN =，
试用c 、d 表示AB 和AD 。
10、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，
求证：ABCD 为梯形
*11、如图（3）设平行四边形ABCD 一边AB 的四等分点最靠近B 的一点为E ，对角线BD
的五等分点中靠近B 的一点为F ，求证：E 、F 、C 三点在一条直线上
图1。